电磁势及其推迟解

洛伦兹规范
请写出库仑规范下电磁势满足的微分方程。
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点源的微分方程
采用洛伦兹规范后，标势和矢势的 各分量满足形式相同的微分方程： 由于线性微分方程的解具有可叠加性，可 以将源分割成许多近似点源而分别求解。
考虑其中一个点源 为方便求解，把坐标原点临时移到这点源上
由点源产生的场必定是各向同性的，采用球坐标系处理 问题是方便的：
电磁势及其推迟解
电磁势及其推迟解
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电磁势
归根到底，随时间变化的电荷电流分布是电磁波的源， 变化的电磁场对源的依赖关系由麦克斯韦方程组描写：
将矢势代入电场的旋度方程
磁场永远 是无散场
这必定是无旋场！ 电荷与电流满 足连续性方程
标势与矢势统称电磁势，电场与磁场完全由它们确定。
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电磁势的一维行波解
先考虑新原点以外的解，作变换
要找由点源产生的波 向外传播 向内汇聚 这是一维波动方程，它 的通解有这样的形式：
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通解代入波动方程的结果
波动方程在原点之外的形式解： 对于任意函数 f ，这个解在原点外均满足 无源波动方程。而函数的具体形式则由它 在原点的行为确定。 在原点，有源波动方程的原始形式为： 将通解代入波动方程
根据叠加原理，对所有点源积分就得到扩展源的势。 为此要回到原先的坐标系：
对标势， ，对矢势， 由此得到电磁势的一组解： 这组解显示， 源对场的影响 有一段时间延 迟，因此被称 为推迟解。
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推迟解的含义
库仑定律曾误导人们认为电磁作用的传递是瞬时的， 电磁势的推迟解显示，电磁作用的传递以光速进行， 在静场情况下，源不随时间变化，推迟效应被掩盖了。 当源有分布时，由于推迟的时间与距离有关，同一时刻 同一地点的场来自不同时刻不同地点的源的贡献。 另一组解也满足波动方程和洛伦兹规范条件： 这组解显示， 源对场的影响 要超前一段时 间，因此被称 为超前解。 从因果关系看，超前解不是本问题的源产生的场，而是 我们感兴趣的场与其他场的叠加：
由于波动方程在原点有奇异性，微分方程在该处失效， 必须从积分意义下理解这个微分方程。
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单个点源产生的势
在原点处取一个无穷小的球体： 在球内对有源波动方程的两边做积分：
第二项和第四项有类似的性质，积分值趋于零。
这就是单个点 源产生的势。
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电磁势的推迟解
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电磁势的微分方程
பைடு நூலகம்
将电磁势的定义代入电场的散度方程和磁场的旋度方程
这就是电磁势应该满足的微分方程。
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洛伦兹规范
这两个微分方程呈现出很不对称的形式。
总可以找到一个规范变换， 使变换后的电磁势满足条件 在洛伦兹规范下，标势和矢势均满足有源的波动方程。 另一种常用的规范条件是令 在这种规范下，标势的方程与静电场方程一样。因此， 通常把这种规范称为库仑规范。
规范变换
对确定的电磁场，电磁势不唯一，作替换 并不改变空间中的磁感应强度： 为保持电场强度不变，标势要作相应的变换：
电磁势的规范变换
电磁场在电磁势的任意规范变换下不变 在求解电磁场时，可以根据需要，对电磁势加上特定 的限制，即对电磁势取特定的规范。 引入电磁势后，电场的旋度方程和磁场的散度方程自 动满足，另外两个方程则导出电磁势满足的微分方程。
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