2009年惠州市高一数学竞赛获奖名单
惠州市2009年华杯赛决赛成绩通报
七
刘志辉
叁
华罗庚中学
林嘉麒
七
吴政先
叁
惠高附属实验学校
刘欣
七
邓洪波
叁
惠阳高级中学初中部
刘达贤
七
温海雄
叁
惠州市第一中学
王燕
七
胡昌莲、彭高阳、郑志慧
叁
惠阳高级中学初中部
徐严妍
七
朱洁
叁
澳头中学
许贺芳
七
曾琪瑛
叁
惠阳高级中学初中部
胡璟
七
朱洁
叁
华罗庚中学
叶仕安
七
吴政先
叁
惠阳第一中学
周文盛
七
刘翠玲
叁
惠州市外国语学校
叁
惠州市第一中学
成勇
七
胡昌莲、彭高阳、郑志慧
叁
惠阳高级中学初中部
戴育成
七
温海雄
叁
惠城区水口中学
邓代昭
七
余志刚
叁
惠阳第一中学
董仲维
七
吴恒华
叁
惠州市第五中学
韩帅
七
黄文英
叁
惠城区水口中学
胡伟兵
七
杨英俊
叁
惠州市第一中学
黄熙
七
胡昌莲、彭高阳、郑志慧
叁
惠阳崇雅中学初中部
黄华坤
七
林旭明
叁
惠阳中山中学
黄俊龙
七
黎密梅、聂瑞秀
六
徐红英
壹
惠州市实验小学
陈正胤
六
叶秋莲
壹
惠州市第十一小学
刘弘斌
六
林秋蓉
壹
博罗实验学校
关于东莞市参加2009年全国高中数学联赛获奖情况的通报
关于东莞市参加2009年全国高中数学联赛获奖情况的通报
各完全中学，高级中学：
今年我市有39所学校共465名学生参加了2009年全国高中数学联赛。
获全国二等奖2人、全国三等奖9人；获省一等奖7人、省二等奖14人、省三等奖12人；获市一等奖21人、市二等奖66人、市三等奖109人（获奖名单见附件）。
东莞中学的赵银仓、东莞市南开实验学校的雷幼阶，田东华、东华高级中学的田留印、东莞实验中学的唐光明、东莞中学松山湖学校的罗国驰、熊本周等7位老师获得2009年全国高中数学联赛优秀指导老师奖；东莞中学的赵银仓等16位老师被评为2009年全国高中数学联赛东莞市优秀指导老师。
希望获奖的学生和老师继续努力，戒骄戒躁，争取更大成绩，同时也希望学校对获奖的学生和老师给予表扬，以资鼓励。
附件一东莞市参加2009年全国高中数学联赛获奖名单
附件二2009年全国高中数学联赛东莞市优秀指导老师名单
东莞市教育局教研室
东莞市中学数学教学研究会
二OO九年十二月十日
1
6。
2015全国高中数学联赛获奖情况
附件
2010—2015年惠州市学生获全国奖的人数情况
全国壹等奖全国贰等奖全国参等奖2011年 1 3 12 2012年 1 5 7 2013年0 2 25 2014年 2 9 2015年0 5 8
我市参加2015全国高中数学联赛获奖名单
获全国奖名单
校名姓名辅导老师奖次
惠州市第一中学谭桔陈玲荣全国贰等奖惠州市第一中学叶睿旻陈玲荣全国贰等奖惠州市第一中学张行健陈玲荣全国贰等奖博罗中学朱剑辉张小梅全国贰等奖惠州市第一中学梁可萱陈玲荣全国贰等奖惠州市第一中学王上恺许红平全国叁等奖惠州市第一中学余瑞璟李小明全国叁等奖惠州市第一中学邹永前陈玲荣全国叁等奖惠州市第一中学林大略许红平全国叁等奖惠州市第一中学徐昊宣陈玲荣全国叁等奖惠州市第一中学龚尚越陈玲荣全国叁等奖惠州市第一中学陈慧锋陈玲荣全国叁等奖惠州市第一中学张朝阳陈玲荣全国叁等奖。
惠州市2009年华杯赛决赛成绩通报
七
朱洁
叁
惠高附属实验学校
陈志明
七
孔水清
叁
惠州市第一中学
胡瑶
七
胡昌莲、彭高阳、郑志慧
叁
惠城区水口中学
李志伟
七
张学瑛
叁
惠高附属实验学校
马晓娜
七
邓洪波
叁
惠阳高级中学初中部
宋子存
七
温海雄
叁
惠阳崇雅实验学校
童芷娇
七
罗志浩
叁
惠阳崇雅实验学校
王燕玲
七
罗志浩
叁
惠东中学
吴宇权
张志宾
叁
惠高附属实验学校
杨光
七
刘振永
六
叶迈炬
壹
惠阳区淡水中心小学
杨展朗
六
李秀文
壹
惠州市上排小学
严庭玮
六
潘国英
壹
惠州市南坛小学
余佩璇
六
叶小惠
壹
惠阳区淡水群力小学
龚志康
六
曾艳春
壹
惠州市中堂小学
张化雨
六
杨文新
壹
惠州市南坛小学
张擎峰
五
王文飞
壹
博罗实验小学
陈睿
六
陈桂明
壹
惠州市东湖双语学校
何睿哲
六
董三强
壹
惠阳区淡水中心小学
潘钰升
六
李秀文
壹
惠州市实验小学
惠州市2009年华杯赛决赛成绩(中学组)
学校
学生姓名
性别
年级
辅导教师
获奖等级
惠州市第一中学
黄栩
七
胡昌莲、彭高阳、郑志慧
关于公布2009年全国高中数学联合竞赛暨珠海市2009年高中
关于公布2009年全国高中数学联合竞赛暨珠海市2009年高中数学竞赛获奖名单的通知各会员单位：由珠海市教育学会中学数学专业委员会承办和组织的2009年全国高中数学联赛（广东赛区）暨珠海市高中数学竞赛已圆满结束。
现将获奖情况通报如下：一、学生获奖名单1．高三组全国二等奖（3人）：李博海（市一中辅导教师：樊彦朝）李家耀（市一中辅导教师：樊国林）李池洋（市一中辅导教师：樊国林）全国三等奖（5人）：谢泽强（市一中辅导教师：樊彦朝）曹洪彬（市一中辅导教师：樊彦朝）戴培基（市一中辅导教师：樊国林）汪洋（市实验中学辅导教师：张平）黄海明（斗门一中辅导教师：唐学宁）市一等奖（9人）：市一中：李建德蓝新宇陈增强黄东程梁恩亮庄辰市二中：林锦标市实验中学：赵磊赵国胤市二等奖（23人）：市一中：李璐瑶张城徐雪熠胡才益梁锦平曾宇嘉何肖煌灿林泽宏冯桥王司东周杰辉李梁华市二中：王一桐市实验中学：李玉璞胡凯文马淼周洋党小磊斗门区斗门一中：黄雄何卓波斗门区和风中学：杨林衡市三等奖（55人）：市一中：高孜周杰雄张湛潘菲赖金明舒晓峰卢旭光彭镜哲卢怀因李楚李凌斌郑志豪蒋楠市二中：孙浩然柯嘉辉黄星宇陈志杰王君钟如浩市三中：蒙仁彬叶世桃市四中：陈怡蓉市实验中学：唐大伟马宁胜王维维孙麟张磊马骏敏吴伟俊黄江珠海北大附中：张盛李海艇香洲区前山中学：黄文豪斗门区斗门一中：周伟锋向春明杨森罗泽庭陈惠泉黄杰光严冬青林少鸿林建俊李永裕马洁浩容颖琪斗门区和风中学：吴文发陈乐华谢崇锦谢坤华黄诗翊杨林燊梁鹏立陈雅儒金湾区金海岸中学：潘美玲2．高二组市一等奖（16人）：市一中：胡才益江汇泽邝迪峰马胤泰市二中：杨军威黄梓健市实验中学：李世昭黄俊凯斗门区斗门一中：罗伟杰陈廷宇林俊耀梁嘉华陈泽群陈贤标苏子东斗门区和风中学：梁远文市二等奖（31人）：市一中：彭淑晨市二中：梁颖仪市四中：曾海涛市实验中学：胡懿伦刘兴许万尘徐导何光辉陈曦黄远达梁健威张天华市北师大附中：张洲碧香洲区前山中学：赵宁皓钟海音珠海北大附校：刘付华婷斗门区斗门一中：李洪发戴健鹏曾吉申蔡汉彬冯迪拓方舒海张万坚刘正洋郭梦诗林显裕梁小平李嘉明梁正大陈红光斗门区和风中学：莫士辉市三等奖（104人）：市一中：卢旭光市二中：龙俊豪郭容标赵旭铭陈文濠张嘉润曾丽林真民卜伟华邱悦张绍杜马启斐王子博陈斯伟吴奕峰李都李盼窦保罗郑伟娟游才臻郑桂文市三中：郭晓华陈海炜叶桂森林泽鸿黄坚清市四中：张锦煊陈家宝朱志茂方昱博杨文采市实验中学：陆勤学杨耀成赖首冲袁秀泉敖立志杨海龙曾志康童海熠王廷坤戴宁王明谢永杰程乙周启明市北师大附属高中：卢伟财杨俊叶健彭文辉梁俊文香洲区前山中学：梁俊桥梁治民高新区唐家中学：李书旭珠海北大附校：朱忆帆李鑫梁沛玲曾远伟谭力为张永斌薛振源邱俊源斗门区斗门一中：张逸鸿伏仕波谢仕熔刘达岑远舟赖艺雄梁雄毅黄芙蓉祁麟柯泽锐廖健叶嘉豪杨嘉俊杨羽李振铭黄彬冯永健吴俊杰冯敏峰许家成林显平易煜锦肖碧琪斗门区和风中学：胡裕辉邝升亮黄国杰赖金华梁进华满文强何紫华邓广星杨瑞生彭大斌冯家浩林旭华斗门区田家炳中学：高栏港区平沙一中：彭伟森金湾区红旗中学：冯家彬罗小燕黄晨曦廖福升陈佳林文世李海婷金湾区金海岸中学：3．高一组（165人）市一等奖（37人）：市一中：万政超林立文姚瀚文黄俊健黄珉吴彬陈增贤吕水清杨佳略韩宽刘宣求市二中：徐耿彬吴伟霖李航唐有慧陈恒陈泽创李吉隐曹志忠市四中：陆炳健市实验中学：蔡文凯戈兰浩荆宇昊斗门区斗门一中：扶粤丛何庆祥杨弈鹏李健良阮仕彬李汉尧郭晓军柯春城陈睿哲陈子彬李少杰谭俊杰陈信助黄嘉贤市二等奖（54人）：市一中：王励夫李振宇林菁菁刘创勋涂鸿卢启基麦殷闻市二中：吴思华李皓莹林枫旭曾志雄黄明浩吴国柱黄晓强刘贤明崔启明周家雅杨成彬黄文冠陈小冰潘俊宁罗成析刘旭东童惟雄黄婉玲吴雨丰龚学源市四中：方浩槟罗日龙陈晖雯市实验中学：马玉努单善孟松松武轩谭幸根黄家骏梁羽轩白杨张睿斗门区斗门一中：邹林芮颉嵘梁凯宁庄泽鹏骆泽星许展通廖毅发梁艺豪王跃张辉杨婉华斗门区和风中学：陈晓胜周聪杰金湾区红旗中学：朱惠华市三等奖（74人）：市一中：单增光陈晓颖蒋伟鑫市二中：马丁杜紫琪李函峰江满琳邓楚玉韩涨繁周健钊卢世杰林舒繁崔卓尔市三中：温文宇市四中：陈少龙王佳发罗立煌成斌揭志敏何子浩林泽圣王翔市实验中学：谢泽亮赵璇刘美茵巴·道丽玛丁雪妮买买提伊力夏提·牙森阿勒西尔·努尔买买提关智华赵磊林跃丽吴文龙刘伟杰刘朕奇萧奕然林康邓雨乔阿卜力肯木·阿卜杜热合曼市北师大附中：杨琪陈忠海赵嘉俊谭志聪罗荣陈焕嘉香洲区前山中学：黄厚生谭民诚唐俊豪珠海北大附校：张桂昱陈馨暖斗门区斗门一中：苏晓航邓翔天邹建炜赖焕林永灿叶铧张昌荣温其松李齐利郝志坤李海浩杨蕾黄芷汐斗门区和风中学：吴淑媚黄鸿辉李旺郑传飘陈艳灵黄景进黄耀豪斗门区田家炳中学：张伟聪高栏港区平沙一中：谭绍衡李远志金湾区红旗中学：徐胜芳二、团体奖名单1．高三组市一中（264分）市实验中学（89分）斗门一中（61分）市二中（33分）和风中学（29分）市三中（6分）北大附校（6分）2．高二组斗门一中（209分）市实验中学（107分）市二中（85分）市一中（43分）和风中学（51分）北大附校（29分）红旗中学（21分）前山中学（20分）市四中（20分）市北师大附中（20分）3．高一组：斗门一中（239分）市二中（210分）市一中（154分）市实验中学（126分）市四中（49分）和风中学（31分）市北师大附中（18分）前山中学（9分）三、优秀辅导员名单1．高三组：樊彦朝樊国林张平唐学宁邹秀清罗文宗2．高二组：尹惠民李琦吴道山黎跃友魏岩黄杰高贵彩樊文联樊彦朝3．高一组：傅乐新刘瑞祥梁荣光雷蓉董玉琦郭俊峰陈水松温如春邢维金姜峰王铁成陈镜全敖宗伦廖以翔黄臻峰黄雪涛李诣殷陈东辉二〇一〇年三月十二日。
2008年全国高中数学联赛惠州获奖名单
5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
2008年全国高中数学联赛惠州获奖名单5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
2009年全国高中数学联赛一、二试及详细答案和评分标准(A卷)
2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）1． 若函数()f x ()()()n nf x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()991f = ． 【答案】 110【解析】 ()()()1f x f x ==， ()()()2f x f f x ==⎡⎤⎣⎦……()()99f x =故()()991110f =．2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．【答案】 []36， 【解析】 设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M 相交，得d 解得36a ≤≤．3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．【答案】 212t t -++【解析】 由题意知 ()f t S =阴影部分面积A OB OCD BS S S ∆∆∆=-- ()22111122t t =---212t t =-++4． 使不等式1111200712213a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ．【答案】 2009【解析】 设()1111221f n n n n =++++++．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1120073f a <-，可得2009a =．5． 椭圆22221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为 ．【答案】 22222a ba b+【解析】 设()cos sin P OP OP θθ，，ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．由P ，Q 在椭圆上，有 222221cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ② ①+②得22221111a b OP OQ+=+．于是当OP OQ ==OP OQ 达到最小值22222a b a b+．6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ． 【答案】 0k <或4k = 【解析】 ()20101kx x kx x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩当且仅当0kx > ① 10x +>② ()2210x k x +-+=③对③由求根公式得1x，2122x k ⎡=-⎣ ④2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥．(ⅰ)当0k <时，由③得 12122010x x k x x +=-<⎧⎨=>⎩ 所以1x ，2x 同为负根． 又由④知121010x x +>⎧⎨+<⎩所以原方程有一个解1x ．(ⅱ)当4k =时，原方程有一个解112kx =-=． (ⅲ)当4k >时，由③得12122010x x k x x +=->⎧⎨=>⎩所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去． 综上可得0k <或4k =为所求．7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）【答案】 981012⨯ 【解析】 易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为11d =，22d =，232d =，…，98992d =(ⅲ)100a 为所求．设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则 ()22111222n n n n n n a a a a -----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦323232n n a --=+⨯……()121212n n a n --=+-⨯ ()212n n -=+故981001012a =⨯．8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）【答案】 27 【解析】 旅客候车的分布列为候车时间的数学期望为1111110305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=二、解答题1． （本小题满分14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． 【解析】 由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k xkmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834kmx x k +=-+()()()222184344480km k m ∆=-+-> ① ………………………………………………4分由221412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k xkmx m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223kmx x k+=- ()()()2222243120km k m ∆=-+-+> ② ………………………………………………8分因为0AC BD +=，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得2282343km kmk k -=+-． 所以20km =或2241343k k -=+-．由上式解得0k =或0m =．当0k =时，由①和②得m -<m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，由①和②得k ．因k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分2． （本小题15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-=，，(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）；(Ⅱ)若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和．【解析】 方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以()1212n n n n n a px qx a a αβαβ------=+-，()345n =，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=- 令1n n n b a a β+=-，则()112n n b b n α+==，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列．数列{}n b 的首项为：()()222121b a a p q p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以211n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n =，，．所以11n n n a a βα++=+()12n =，，．①当240p q ∆=-=时，0αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n =，，变为11n n n a a αα++=+()12n =，，．整理得，111n nn na a αα++-=，()12n =，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nna n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1n n a n α=+；……………………………………………………………………………5分②当240p q ∆=->时，αβ≠， 11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n =，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n =，，．所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n n a αβββαβα+-+=--．于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn n n a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n n n n s -+=+++++234112341222222n n n n s n ++=+++++以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n n n s +=-．……………………………………………………………………………15分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以1a αβ=+，222a αβαβ=++．特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β． ①当0αβ=≠时，通项()()1212n n a A A n n α=+=，，由12a α=，223a α=得()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得121A A ==．故 ()1n n a n α=+．……………………………………………………5分 ②当αβ≠时，通项()1212n n n a A A n αβ=+=，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---．…………………………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一．3． （本小题满分15分）求函数y=【解析】函数的定义域为[]013，.因为y=当0x =时等号成立．故y的最小值为．……………………………………………5分 又由柯西不等式得 22y =()()()11122731312123x x x ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭≤所以11y ≤． ………………………………………………………………………………10分 由柯西不等式等号成立的条件，得()491327x x x =-=+，解得9x =．故当9x =时等号成立．因此y 的最大值为11．…………………………………………………………………………………15分2009年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）9． 如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧BC 、AC 的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ∆的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ． ⑴求证：MP MT NP NT ⋅=⋅；⑵在弧AB （不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记AQC ∆，QCB △的内心分别为1I ，2I ，B求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．【解析】 ⑴连NI ，MI ．由于PC MN ∥，P ，C ，M ，N 共圆，故PCMN 是等腰梯形．因此NP MC =，PM NC =．ABCMNPTI连AM ，CI ，则AM 与CI 交于I ，因为MIC MAC ACI MCB BCI MCI ∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以MC MI =．同理NC NI =．于是NP MI =，PM NI =．故四边形MPNI 为平行四边形．因此PMT PNT S S =△△（同底，等高）． 又P ，N ，T ，M 四点共圆，故180TNP PMT ∠+∠=︒，由三角形面积公式1sin 2PMT S PM MT PMT =⋅∠△1s i n 2PNT S PN NT PNT ==⋅∠△1s i n 2P N N T P MT =⋅∠ 于是PM MT PN NT ⋅=⋅．⑵因为1111NCI NCA ACI NQC QCI CI N ∠=∠+∠=∠+∠=∠，B所以1NC NI =，同理2MC MI =．由MP MT NP NT ⋅=⋅得NT MTMP NP=． 由⑴所证MP NC =，NP MC =，故 12NT MTNI MI =． 又因12I NT QNT QMT I MT ∠=∠=∠=∠，有12I NT I MT ∆∆∽．故12NTI MTI ∠=∠，从而1212I QI NQM NTM I TI ∠=∠=∠=∠．因此Q ，1I ，2I ，T 四点共圆． 10． 求证不等式：2111ln 12n k k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤，1n =，2，… 【解析】 证明：首先证明一个不等式： ⑴ln(1)1x x x x<+<+，0x >． 事实上，令()ln(1)h x x x =-+，()ln(1)1xg x x x=+-+． 则对0x >，1()101h x x '=->+，2211()01(1)(1)x g x x x x '=-=>+++． 于是()(0)0h x h >=，()(0)0g x g >=．在⑴中取1x n=得⑵111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭． 令21ln 1nn k k x n k ==-+∑，则112x =，121ln 111n n n x x n n -⎛⎫-=-+ ⎪+-⎝⎭ 211n n n<-+210(1)n n=-<+因此1112n n x x x -<<<=．又因为111ln (ln ln(1))(ln(1)ln(2))(ln 2ln1)ln1ln 1n k n n n n n k -=⎛⎫=--+---++-+=+ ⎪⎝⎭∑．从而12111ln 11nn n k k k x k k -==⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭∑∑12211ln 111n k k n k k n -=⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑12111n k kk k -=⎛⎫>- ⎪+⎝⎭∑1211(1)n k k k -==-+∑111(1)n k k k -=-+∑≥111n=-+>-．11． 设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得C k m 与l 互素．【解析】 证法一：对任意正整数t ，令(!)m k t l k =+⋅⋅．我们证明()C 1k m l =，． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：C k m p Œ．若!p k Œ，则由 1!C ()kkmi k m k i ==-+∏1[((!)]k i i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()1!m o d k p α+≡．及|!p k α，且1!p k α+Œ，知|!C k m p k α且1!C k m p k α+Œ．从而C k m p Œ．证法二：对任意正整数t ，令2(!)m k t l k =+⋅⋅，我们证明()C 1k m l =，． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：C k m p Œ．若!p k Œ，则由1!C ()kkmi k m k i ==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()!m o dk p ≡． 即p 不整除上式，故C k m p Œ．若|!p k ，设1α≥使|!p k α，但1!p k α+Œ．12|(!)p k α+．故由 11!C ()k kmi k m k i -==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()1!mod k p α+≡及|!p k α，且1!p k α+Œ，知|!C k m p k α且1!C k m p k α+Œ．从而C k m p Œ．12． 在非负数构成的39⨯数表111213141516171212223242526272829313233343536373839x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k k k x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（1k =，2，…，9）均存在某个{}123i ∈，，使得⑶{}123min ik i i i i x u x x x =≤，，．求证：（ⅰ）最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列． （ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，*1k ≠，2，3使得33⨯数表***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 仍然具有性质()O ．【解析】 （ⅰ）假设最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3不是取自数表S 的不同列．则存在一列不含任何i u ．不妨设2i i u x ≠，1i =，2，3．由于数表P 中同一行中的任何两个元素都不等，于是2i i u x <，1i =，2，3．另一方面，由于数表S 具有性质()O ，在⑶中取2k =，则存在某个{}0123i ∈，，使得002i i x u ≤．矛盾．（ⅱ）由抽届原理知{}1112min x x ，，{}2122min x x ，，{}3132min x x ， 中至少有两个值取在同一列．不妨设 {}212222min x x x =，，{}313232min x x x =，．由前面的结论知数表S 的第一列一定含有某个i u ，所以只能是111x u =．同样，第二列中也必含某个i u ，1i =，2．不妨设222x u =．于是333u x =，即i u 是数表S 中的对角线上数字．111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭记{}129M =，，，，令集合 {}{}12|min 13ik i i I k M x x x i =∈>=，，，．显然{}111332|k k I k M x x x x =∈>>，且1，23I ∉．因为18x ，38111x x >≥，32x ，所以8I ∈． 故I ∅≠．于是存在*k I ∈使得{}*22max |k k x x k I =∈．显然，*1k ≠，2，3． 下面证明33⨯数表 ***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ．从上面的选法可知{}{}*1212:min min i i i i i ik u x x x x x '==，，，，(13)i =，．这说明 {}*111211min k x x x u >，≥，{}*313233min k x x x u >，≥．又由S 满足性质()O ．在⑶中取*k k =，推得*22k x u ≤，于是{}**2212222min k k u x x x x '==，，．下证对任意的k M ∈，存在某个1i =，2，3使得i ik u x '≥．假若不然，则{}12min ik i i x x x >，，1i =，3且*22k k x x >．这与*2k x 的最大性矛盾．因此，数表S '满足性质()O ．下证唯一性．设有k M ∈使得数表 111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ，不失一般性，我们假定 {}111121311m i n u x x x x ==，， ⑷{}221222322min u x x x x ==，，{}331323333m i n u x x xx ==，，3231x x <．由于3231x x <，2221x x <及（ⅰ），有{}11112111min k u x x x x ==，，．又由（ⅰ）知：或者()a {}3313233min k k u x x x x ==，，，或者{}2212222()min k k b u x x x x ==，，．如果()a 成立，由数表S 具有性质()O ，则 {}11112111m i n ku x x x x ==，，， ⑸{}22122222min k u x x x x ==，，， {}3313233m i n k k u x x x x ==，，．由数表S 满足性质()O ，则对于3M ∈至少存在一个{}123i ∈，，使得*i ik u x ≥．由*k I ∈及⑷和⑹式知，*1111k x x u >=，*3323k x x u >=．于是只能有*222k k x u x =≤．类似地，由S '满足性质()O 及k M ∈可推得*222k k x u x '=≤．从而*k k =．。
09年广东数学教学优秀论文——惠州高中
运用TI图形计算器探究变量间的相关关系惠州市第一中学廖伟君新课程标准提倡教师在数学教学中应用信息技术辅助教学，也鼓励学生利用信息技术学习数学。
学生适当利用信息技术，更能使他们在学习方式上从“被动学数学”转变为“主动做数学”。
由此产生了时髦的话题——数学实验。
TI图形计算器就是支持数学实验进行数学探究活动的强有力工具。
以下就以探究“变量间的相关性”来说明。
变量间的相关性是高中数学课程标准数学○3第二章统计第3节的内容[1]，本内容主要包括通过对一些典型案例（（学生收集的数据）或（人体脂肪含量百分比与年龄关系，小卖部卖出的热饮杯数与气温关系，鸟的种类与海拔高度关系））的处理，使学生经历较为系统的数据处理全过程，并在此过程中学习一些数据处理的方法，并运用所学知识、方法去解决实际问题。
在平时教学中，传统的做法是：先根据例题给出的数据作出散点图，观察散点图并根据散点图的变化趋势猜测回归方程的一般形式，然后用待定系数法、最小二乘法等方法算出回归方程的系数，得到回归方程。
最后根据回归方程进行预测。
对这一过程学生接受是不难的，但整个过程将花费大量的时间在计算回归方程的系数上，尤其是最小二乘法。
但在回归分析中，最有价值的是函数模型的建立，并不是计算。
复杂的计算可以由辅助工具去完成，我们把精力放在散点图的分析、函数模型的建立和利用模型进行合理的预测上。
下面用教材练习[1]为例通过TI图形计算器的数据分析功能阐明变量间的相关性。
题目：下表给出了某些地区的鸟的种类数与这些地区的海拔高度（m）。
分析这些数据，看一看鸟的种类数与海拔高度是否有关。
地区 A B C D E F G H I J K 种类数36 30 37 11 11 13 17 13 29 4 15 海拔/m 1250 1158 1067 457701 731610 6701493 762 549用TI图形计算器进行数据分析过程如下：1.先将数据输入表格中2.建立散点图3.作出散点图（右图为相应的Window设置）4.分析散点图，可以看出点分布在一带形区域内，因此可以采用线性函数y=ax+b作为模型，然后用回归方式求回归方程。
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黄逸朗
男
李权辉
60
叁等奖
惠阳高级中学
林选
男
甘文波
60
叁等奖
惠东高级中学
古林燕
女
王愚兵
60
叁等奖
惠东高级中学
古宝祥
男
王愚兵
60
叁等奖
博罗中学
肖慧垚
侯华峰
60
叁等奖
2009年惠州市高二数学竞赛获奖名单
考生所在学校
姓名
性别
辅导老师
决赛成绩
奖次
惠州市一中
申治
男
许红平
131
壹等奖
惠州市一中
张文锐
周华送
女
王愚兵
67
贰等奖
博罗中学
徐列满
张敏
67
贰等奖
惠阳崇雅中学高中部
朱金珑
男
操宝霞
66
贰等奖
惠东县平山中学
陈乐勇
男
邱丽萍
66
贰等奖
惠东高级中学
郑晓雪
女
王愚兵
66
贰等奖
惠州市第一中学
李乔
男
张育奇
65
叁等奖
惠东高级中学
李青山
男
王愚兵
65
叁等奖
博罗中学
黄荣鹏
曾筱敏
65
叁等奖
惠阳高级中
张育奇
74
贰等奖
惠阳崇雅中学高中部
叶思远
男
操宝霞
74
贰等奖
惠东高级中学
林保权
男
王愚兵
74
贰等奖
惠州市第一中学
陆嘉盛
男
黄建梅
73
贰等奖
惠阳崇雅中学高中部
何俊辉
男
操宝霞
73
贰等奖
惠州市第一中学
曹棣文
男
宋先平、肖永昌
72
贰等奖
惠州市第一中学
赖锦涛
男
张育奇
71
贰等奖
惠州市第一中学
杨宁
男
袁佳利、肖永昌
惠阳崇雅中学高中部
黄敏华
男
刘凤华
114
壹等奖
惠州市一中
胡嘉雯
女
陈义
112
壹等奖
惠阳崇雅中学高中部
林书亮
男
刘凤华
111
壹等奖
惠阳崇雅中学高中部
李世亨
男
王瑞生
111
壹等奖
惠州市一中
王立嘉
男
龙文德
110
壹等奖
惠州市一中
丘子杰
男
陈义
109
壹等奖
惠州市一中
谢昊
男
李玉发
109
壹等奖
惠州市一中
申彦
男
郭煜辉
108
壹等奖
2009年惠州市高一数学竞赛获奖名单
考生所在学校
姓名
性别
辅导老师
决赛成绩
奖次
惠州市第一中学
袁伟榕
男
张育奇、肖永昌
111
壹等奖
惠州市第一中学
闻远辉
男
张育奇、肖永昌
99
壹等奖
惠州市华罗庚中学
付睿
男
黄德华
99
壹等奖
惠东高级中学
李岸鸿
女
王愚兵
95
壹等奖
惠州市第一中学
刘子谦
男
邱红
94
壹等奖
惠州市第一中学
高树南
男
张育奇
78
贰等奖
惠州市第一中学
江瀚
男
张育奇、肖永昌
78
贰等奖
惠州市第一中学
冯嘉茂
男
袁佳利、
78
贰等奖
惠州市第一中学
陈栋
男
邱红
77
贰等奖
惠州市第一中学
林子皓
男
刘健
77
贰等奖
惠州市第一中学
马莹莹
男
肖永昌
75
贰等奖
惠州市第一中学
聂岸柳
男
张育奇
75
贰等奖
惠州市第一中学
许嘉玮
男
张育奇、肖永昌
75
贰等奖
惠州市第一中学
71
贰等奖
惠东县惠东中学
刘健雄
郭平
71
贰等奖
惠州市第一中学
刘鼎
男
邱红
70
贰等奖
惠州市华罗庚中学
巫伟祥
男
黄德华戴辉
70
贰等奖
惠州市实验中学
方幸达
男
李权辉
70
贰等奖
惠东县惠东中学
黄志宏
郭平
70
贰等奖
惠州市第一中学
陈勇君
男
张育奇
69
贰等奖
惠州市第一中学
师浩辰
男
袁佳利、肖永昌
69
贰等奖
惠州市第一中学
杨宇辉
男
李轩扬
男
袁佳利、肖永昌
83
壹等奖
惠州市第一中学
杨航
男
张育奇、袁佳利
83
壹等奖
惠阳崇雅中学高中部
陆润发
男
蒋立宏
83
壹等奖
惠阳一中实验学校
张平平
男
刘富良
82
壹等奖
惠州市第一中学
叶景亮
男
宋先平
81
壹等奖
惠州市第一中学
张子豪
男
袁佳利
81
壹等奖
惠州九中
李永健
罗云洪
81
壹等奖
惠州市第一中学
楚誉
男
杨海水
80
壹等奖
女
朱亮
104
壹等奖
惠阳崇雅中学高中部
练东平
刘凤华
104
壹等奖
惠州市一中
朱晓敏
男
张建平
102
贰等奖
惠州市一中
廖杰翠
女
许红平
102
贰等奖
惠州市一中
许势皇
男
岳卫涛
102
男
张育奇
94
壹等奖
惠州市第一中学
谢仕杰
男
邱红、肖永昌
92
壹等奖
惠东高级中学
丘志达
男
王愚兵
92
壹等奖
惠州市第一中学
朱柱平
男
张育奇
89
壹等奖
惠州市第一中学
李芷晴
男
张育奇、肖永昌
89
壹等奖
惠州市第一中学
李维乐
男
邱红
89
壹等奖
惠阳崇雅中学高中部
黄威威
男
操宝霞
87
壹等奖
惠州市第一中学
那智琦
男
张育奇
83
壹等奖
惠州市第一中学
男
方德兰
122
壹等奖
惠州市一中
黄文彬
男
张建平
119
壹等奖
惠州市一中
黄文睿
男
陈义
116
壹等奖
惠州市一中
黄志兴
男
杨威灵
116
壹等奖
惠州市一中
苏蓝蓝
女
许红平
116
壹等奖
惠州市一中
陈亮鸿
男
陈义
115
壹等奖
惠州市一中
罗旻
女
许红平
115
壹等奖
惠州市一中
郑琳琳
女
许红平
114
壹等奖
惠州市一中
徐晨力
男
杨威灵
114
壹等奖
惠州市八中
钟惠军
男
王新兰
108
壹等奖
惠州市一中
张敏志
男
许红平
107
壹等奖
惠州市一中
王超
男
朱映辉
107
壹等奖
惠州市一中
文灿
男
岳卫涛
107
壹等奖
惠州市八中
郭桂成
男
王新兰
107
壹等奖
惠州市一中
吴頔
男
曾环威
104
壹等奖
惠州市一中
杨惠德
男
许红平
104
壹等奖
惠州市一中
巫迪
男
方志平
104
壹等奖
惠阳一中实验学校
陈依婷
刘健
68
贰等奖
惠州市第一中学
梁镇钊
男
张育奇
68
贰等奖
惠州市第一中学
郑文忠
男
张育奇、肖永昌
68
贰等奖
惠阳高级中学
余龙
男
陈超
68
贰等奖
惠东高级中学
周立奎
男
王愚兵
68
贰等奖
惠州市第一中学
邓立光
男
袁佳利、
67
贰等奖
惠州市华罗庚中学
谭立鹏
男
黄德华、陈宇祥
67
贰等奖
惠阳一中实验学校
黄泽亮
男
刘富良
67
贰等奖
惠东高级中学
男
黄德华、陈宇祥
61
叁等奖
惠州市实验中学
谢伟军
男
李权辉
61
叁等奖
惠州市小金口中学
邹秀平
女
梁县辉
61
叁等奖
惠阳崇雅中学高中部
彭焱聪
男
蒋立宏
61
叁等奖
博罗中学
高海鴻