第一型曲面积分
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第一型曲面积分【高等数学PPT课件】
a2 h2
0
思考: 若 是球面
出的上下两部分, 则
dS z
(
0
)
dS z
(
4 a ln a
h
)
被平行平面 z =±h 截
z
h o
y x h
例2. 计算
其中 是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面.
z
解: 设 1, 2 , 3, 4分别表示 在平面 1
Σ
Σ
Ò x d S
x Σ
Ò d S
Σ
Dxz
一投： 将曲面 向 xoz 面投影，得 Dxz .
二代： f ( x, y, z) : y y( x, z) f ( x, y( x, z), z);
三换：
dS
1
y
2 x
(
x,
z
)
yz2( x, z)
dxdz;
3. 若曲面 ： x x( y, z) 则
f ( x, y, z)dS f [ x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2 dydz.
上的部分, 则 o
原式 =
Σ1 Σ2 Σ3 Σ4
xyz dS
1 x
1y
x yz d S
Σ4
4 : z 1 x y,
(x,
y)
Dxy
:
0
0
y
x
1 1
x
1
1 x
3 x dx y(1 x y) dy
Σ
Σ1
• 线性性质.
4.4第一型曲面积分
例2计算∫∫ xyzdS , ∑ 如图示为封闭曲面.
∑
解 : ∑ = ∑1 + ∑ 2 + ∑ 3 + ∑ 4 其中 ∑1 , ∑ 2 , ∑ 3 为三个坐标面, ∑4 : x + y + z = 1
x + y + z =1
在 ∑1 , ∑ 2 , ∑ 3 三个坐标面上, 被积函数f ( x, y, z ) = 0 ∴ ∫∫ xyzdS = ∫∫ xyzdS
1. 若 面Σ: 曲
z = z(x, y)
D 为 在 y平 上 投 , Σ xO 面 的 影 xy 函 z(x, y)在 xy上 连 的 导 . 数 D 有 续 偏 数
z
z = f (x, y)
S
o
Dxy
y
x
z
dσ dS = cos γ = 1 + z ′ + z ′y dσ x
2 2
z = f (x, y)
2
故
∫∫ ( x + y + z )ds
Σ
= 2 ∫∫ (5 + x)dxdy
Dxy
= 2 ∫∫ ( x + y + 5 − y )dxdy
D xy
= 2 ∫ dθ∫ (5 + r cos θ)rdr = 125 2π.
0 0
2π
5
例4
计算 ∫∫ | xyz | dS ,
Σ
2 2
其中 Σ 为抛物面 z = x + y （ 0 ≤ z ≤ 1 ）.
2 2
或 = ∫∫ f [ x( y, z ), y, z ] 1 + x′y + x′ dydz. z
第一型曲面积分中值定理
第一型曲面积分中值定理
第一型曲面积分中值定理（也称为平均值定理）是曲面积分的一个重要定理，它指出在有界曲面上，曲面积分与曲面上某一点的法向量所夹角的余弦的乘积的积分是相等的。
具体地说，设有一个有界曲面S，上面有一标量函数f(x, y, z)定义，且f(x, y, z)在S上连续。
令n(x, y, z)是曲面S上某一点的法向量，则第一型曲面积分中值定理可以表达为：
∫∫S f(x, y, z) dS = f(a, b, c) ∫∫S cosθ dS
其中，(a, b, c)是曲面S上的一点，θ是向量n(x, y, z)与向量(0, 0, 1)之间的夹角。
这个定理的意义在于，曲面积分可以通过选择合适的点作为代表来计算，从而简化了计算的复杂性。
同时，这个定理也可用于推导其他曲面积分的性质和计算方法。
第二章第二节第一型曲面积分doc
第18 章 曲面积分第二节 第一类型曲面积分1、 第一类型曲面积分的定义问题：设∑是3R 中一张有面积的曲面，∑上按面密度)(p ρρ=分布着某种物质，问如何求出分布在∑上物质的总质量？沿用以前用过的作法，将∑分成若干小块n S S S ,,,21 ，并在每一小块i S 上任意取定一点i p ，这时小块i S 上的质量)()(i i i S p m σρ≈，n i ,,2,1 =。
于是曲面片∑上的质量就近似地等于)()(1i ini S pσρ∑= 。
当我们把曲面片∑无限细分时，上面的和式的极限就可以定义为展布在曲面片∑上物质的质量M ，即)()(lim1i ini S pM σρ∑==。
以上的实例引导出下面的第一类型曲面积分的定义。
定义18.2 设∑是3R 中一张可求面积的曲面片，f 是定义在∑上的函数,分割T 把∑分成若干更小的曲面片n S S S ,,,21 。
定义分割T 的宽度为},,2,1,max{||||n i diamS T i ==，在每一小片i S 上任意取定一点i p ，如果和数)()(1i i ni S p f σ∑=当0||||→T 时有有限的极限，并且其极限值不依赖于分割及点ip 在iS上的选择，那么称这个极限值为函数f 沿曲面∑的第一型曲面积分，记作σd f ⎰∑，或dSf ⎰⎰∑。
2、 第一类型曲面积分的计算公式由曲面面积元素的表达式dudv r r d v u ||||⨯=σ，或从定义出发，求出右端的极限，便可得出第一型曲面积分的计算公式：（1） 设正则曲面∑有参数向量方程)),(),,(),,((),(v u z v u y v u x v u r r ==，∆∈),(v u ，f 是定义在∑上的连续函数，则σd f ⎰∑dudvr r v u z v u y v u x f v u ||||)),(),,(),,((⨯=⎰⎰∆dudvF EG v u z v u y v u x f ⎰⎰∆-=2)),(),,(),,((；（2） 当曲面∑是由显式D y x y x z ∈=),(),,(ϕ表达时，其中D 是有面积的平面区域，)(1D C ∈ϕ，f 是定义在∑上的连续函数，则有σd f ⎰∑dxdyzx y x y x f D⎰⎰∂∂+∂∂+=22)()(1)),(,,(ϕϕϕ。
第一型曲面积分(北工大)
2a ln a . h Nhomakorabea例
x r cos , y r sin , z (0 r a;0 2 )
设S在 xoy 面的投影区域为 Dxy ,
则 f ( x , y , z )d
S
2 d 1 z'2 x z' y dxdy
f [ x , y , z( x , y ) ]
D xy
2 1 z '2 z ' x y dxdy
(2). 若曲面 S : 设 S在
S
y y( x , z )
求和 取极限
M ( k ,k , k ) Sk .
k 1
n
M lim ( k ,k , k ) Sk .
0 k 1
n
设在三维空间 R 3 中有光滑 或者逐片光滑的曲面S,
函数 f ( x , y , z )在曲面S上有定义。首先，用 曲面S上的曲线网，将曲面S任意分成n个 小曲面：S1 , S 2 ,, S n ,
L f ( x , y , z ) d ,
S
其中 d 是曲面S的面积微元。
3. 第一型曲面积分的性质
若S 可分为分片光滑的曲面 S1及S 2 , 则
f ( x , y , z )d f ( x , y , z )d f ( x , y, z )d
S
S1
D
'2 '2 '2 ' ' ' ' ' E x y z , F x x y y z 其中 u u u u v u v u z ' ,
G
'2 xv
第一型曲面积分
|| T || 为分割 T 的细度，即为诸
Si 中的最大直径.
定义1 设 S 是空间中可求面积的曲面,
f 为( x, y, z)
定义在 S 上的函数. 对曲面 S 作分割 T, 它把 S 分成
n 个小曲面块 Si (i 1, 2, L , n), 以 Si 记小曲面块
Si 的面积, 分割 T 的细度
D
其中
E xu2 yu2 zu2 , F xu xv yu yv zuzv , G xv2 yv2 zv2 .
例2 计算
I z dS , 其中 S 为 S
螺旋面(图22-3)的一部分:
z
x ucos v,
S
:
y
u sin
v,
(u,v)
D
,
2
z v,
O
(a, 0, 0)
I f ( x, y, z)dS .
(1)
S
于是, 前述曲面块的质量可由第一型曲面积表示为:
特别地, 当
块 S 的面积.
m ( x, y, z)dS . S
f ( x, y, z) 1 时,曲面积分
dS 就是曲面
S
二、第一型曲面积分的计算
第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.
定理 22.1
z
例1 计算
S z dS , 其中 S
h
是球面 x2 y2 z2 a2 被
平面 z h (0 h a) 所截
O
a
x
y
得的顶部 (图22-1).
图 22 1
解 曲面 S 的方程为 z a2 x2 y2 , 定义域 D 为
圆域 x2 y2 a2 h2 . 由于
1 zx2 zy2
第一型曲面积分
二、第一型曲面积分的计算
第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.
定理22.1 设有光滑曲面
S : z z( x , y ) , ( x , y ) D ,
f ( x , y , z ) 为 S 上的连续函数, 则
S
2 f ( x , y , z )dS f ( x , y , z ( x , y )) 1 z x z 2 dxdy . y D
(2)
( 定理证明与曲线积分的定理20.1相仿, 不再详述. )
山西大同大学数计学院
例1 计算
S
1 dS , 其中 S z
a
x
z
h
是球面 x 2 y 2 z 2 a 2 被
O
平面 z h (0 h a ) 所截 得的顶部 (图22-1).
2
y
图 22 1
2 2
解 曲面 S 的方程为 z a x y , 定义域 D 为
a 2 h2
0
a r dr 2 2 a r r dr 2 2 a r
2 a 2 h2 0
πa ln(a r )
2
a 2aπ ln . h
山西大同大学数计学院
例2 计算
( xy zx yz )dS ,
S
z
其中 S 为圆锥面 z
x2 y2
O
被圆柱面 x 2 y 2 2ax 所割 下的部分 (图22-2). 解 对于圆锥面 z 有
EG F 2 1 u 2 .
然后由公式 (3) 求得:
山西大同大学数计学院
I v 1 u dudv vdv
2 0 D
第一型曲面积分(北工大)课件
曲面积分的微分定理
总结词
曲面积分的微分定理是指在进行第一型曲面 积分时，如果被积函数是某个标量场的梯度 函数，那么积分结果等于该标量场在积分区 域上的增量。
详细描述
微分定理的具体形式是：如果被积函数是某 个标量场u的梯度函数 grad u，那么第一型 曲面积分的结果等于该标量场在积分区域上 的增量。这个定理可以用于计算某些物理量 （如力、势能等）在某个区域上的分布情况 。
总结词
圆柱面是三维空间中以直线为轴线，以实数r为半径的曲面。
详细描述
圆柱面的一型曲面积分可以通过将圆柱面分割成若干个小曲面片，然后计算每个小曲面片的面积，最 后求和得到。具体计算过程中，需要利用圆柱面坐标系进行坐标变换，将圆柱面上的点映射到直角坐 标系中，以便进行积分计算。
圆锥面
总结词
圆锥面是三维空间中以点为中心，以直 线为轴线，以实数r为半径的曲面。
05
曲面ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分的应用举例
曲面的面积计算
总结词
利用第一型曲面积分计算曲面的面积
详细描述
在几何学中，曲面面积的计算是一个常见的 问题。通过第一型曲面积分，我们可以将曲 面分成若干个小曲面元，然后计算这些小曲 面元的面积，最后求和得到整个曲面的面积
。
流体流速的计算
要点一
总结词
利用第一型曲面积分计算流体在曲面上的流速
参数方程的转换
在某些情况下，曲面可能已经给出了直角坐标方程，但为了 计算方便，我们需要将其转换为参数方程。转换的方法是通 过消去直角坐标方程中的平方项，将其化为参数方程的形式 。
面积元素的确定
面积元素的定义
面积元素是微小的曲面面积，用于计算曲面积分。在第一型曲面积分中，面积 元素与曲面的法向量有关。
4 第一型曲面积分
§4 第一型曲面积分
第一型曲面积分的概念 第一型曲面积分的计算
一 第一型曲面积分的概念
实例
是光滑的, 若曲面 Σ 是光滑的 , 它的面密度为连续
求它的质量. 函数ρ( x , y , z ) , 求它的质量.
所谓曲面光滑即曲 面上各点处都有切 平面, 平面,且当点在曲面 上连续移动时, 上连续移动时,切平 面也连续转动. 面也连续转动.
1. 若 面Σ: 曲
则
Σ
z = z(x, y)
∫∫ f ( x , y , z )dS
=
∫∫
D xy
′x 2 + z′y 2 dxdy; f [ x , y , z ( x , y )] 1 + z
定理: 定理 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 ∑ 上连续 则曲面积分 上连续,
z
Σ
o x Dxy
Σ
y + z = 5 被柱面 x + y = 25 所截得的部分.
2 2
解 积分曲面 Σ：z = 5 − y ,
投影域 ： Dxy = {( x , y ) | x 2 + y 2 ≤ 25}
2 2
与上半球面 z = a2 − x2 − y2 的 解: 锥面 z = x + y 交线为 为上半球面夹于锥面间的部分, 设∑1 为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的 投影域为 Dxy = { ( x, y) x2 + y2 ≤ 1 a2 }, 则 2
I = ∫∫ (x2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ y2 ) dS
∑1
I = ∫∫ (x2 + y2) dS
∑1
= ∫∫
Dx y
(x + y )
第一型曲面积分的概念 第一型曲面积分的计算
一 第一型曲面积分的概念
实例
是光滑的, 若曲面 Σ 是光滑的 , 它的面密度为连续
求它的质量. 函数ρ( x , y , z ) , 求它的质量.
所谓曲面光滑即曲 面上各点处都有切 平面, 平面,且当点在曲面 上连续移动时, 上连续移动时,切平 面也连续转动. 面也连续转动.
1. 若 面Σ: 曲
则
Σ
z = z(x, y)
∫∫ f ( x , y , z )dS
=
∫∫
D xy
′x 2 + z′y 2 dxdy; f [ x , y , z ( x , y )] 1 + z
定理: 定理 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 ∑ 上连续 则曲面积分 上连续,
z
Σ
o x Dxy
Σ
y + z = 5 被柱面 x + y = 25 所截得的部分.
2 2
解 积分曲面 Σ：z = 5 − y ,
投影域 ： Dxy = {( x , y ) | x 2 + y 2 ≤ 25}
2 2
与上半球面 z = a2 − x2 − y2 的 解: 锥面 z = x + y 交线为 为上半球面夹于锥面间的部分, 设∑1 为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的 投影域为 Dxy = { ( x, y) x2 + y2 ≤ 1 a2 }, 则 2
I = ∫∫ (x2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ y2 ) dS
∑1
I = ∫∫ (x2 + y2) dS
∑1
= ∫∫
Dx y
(x + y )
第一型曲面积分的计算
y
d 1 S z x 2 z 2 y d 2 x d ， d xoy d D xy y x
∵ 关 于 xo面 z对 称 ， 而yz2x2， 被 积 函 数 中 x,yy都 z是 y的 奇 函 数 ，
∴ x y y 0 ， ∴ z d ( x d y z S y ) d z x S z S 。 x
x 2 d y2 S z24 1x 2 d y2 S z24D ya z2 1z2
a dyd
a2y2
a 1
h1
4a
0
a2y2dy0a2z2dz
4 a (ar y )a c (1 a sirn z) c h t 4 a a 1 n arh c 2 t aa rh n .ct
20dx x 2
y x D 21 d y 21 dx x2D 2 x 2ydy
00
41(2x2)2 3dx41x3dx
30
30
x 2sint 16 4co4stdt1 5 .
30
33 2
习 题 三 （ P 1 8 7 ）
4 .求 曲 线 A B 的 方 程 ， 使 图 形 O A B D 绕
D
解 ： 抛 物 线 y x 2 把 D 分 为 两 个 子 区 域 ： y
D 1 { x ,y ( )x 1 ,x 2 y 2 } ， 2
ห้องสมุดไป่ตู้
D 2 { x ,y ( )x 1 ,0 y x 2 } 。 D1 y x 2
yx2 yx2, (x,y)D1 -1
设 光 滑 曲 面 的 方 程 为 z z (x ,y )， 在 x面 y 上 的 投 影 区 域 为 D x， y 函 数 z (x ,y )在 D x上 y有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 若 f(x ,y ,z )在 上 连 续 ， 则 有
d 1 S z x 2 z 2 y d 2 x d ， d xoy d D xy y x
∵ 关 于 xo面 z对 称 ， 而yz2x2， 被 积 函 数 中 x,yy都 z是 y的 奇 函 数 ，
∴ x y y 0 ， ∴ z d ( x d y z S y ) d z x S z S 。 x
x 2 d y2 S z24 1x 2 d y2 S z24D ya z2 1z2
a dyd
a2y2
a 1
h1
4a
0
a2y2dy0a2z2dz
4 a (ar y )a c (1 a sirn z) c h t 4 a a 1 n arh c 2 t aa rh n .ct
20dx x 2
y x D 21 d y 21 dx x2D 2 x 2ydy
00
41(2x2)2 3dx41x3dx
30
30
x 2sint 16 4co4stdt1 5 .
30
33 2
习 题 三 （ P 1 8 7 ）
4 .求 曲 线 A B 的 方 程 ， 使 图 形 O A B D 绕
D
解 ： 抛 物 线 y x 2 把 D 分 为 两 个 子 区 域 ： y
D 1 { x ,y ( )x 1 ,x 2 y 2 } ， 2
ห้องสมุดไป่ตู้
D 2 { x ,y ( )x 1 ,0 y x 2 } 。 D1 y x 2
yx2 yx2, (x,y)D1 -1
设 光 滑 曲 面 的 方 程 为 z z (x ,y )， 在 x面 y 上 的 投 影 区 域 为 D x， y 函 数 z (x ,y )在 D x上 y有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 若 f(x ,y ,z )在 上 连 续 ， 则 有
§6.5第一型曲面积分的计算
记d max 1 k n
的直径
k
，k的面积记为Ak .
如果不论将如何分割，点M
k
如何选取，
k
n
当d 0时， f (Mk )Ak有确定的极限，则称 k 1
函数f 在曲面上可积，极限值为f 在上的
第一型曲面积分,即
n
f
( x,
y, z)dA
lim
d 0
k 1
f (k ,k , k )Ak
( x, y) Dx y
A Dxy
Fx2 Fy2 Fz2 dxdy. Fz
例1.求球面 x2 y2 z2 a2在 z b部分的面积(a b 0).
az
S
b
y
x
二. 第一型曲面积分的概念
定义 设是一个分片光滑曲面，函数f 在上有定义.
将任意分割成n个小部分（k k 1,2,L ,n),
'(面积A')
的一个法向量：{0, 0,1}
'的一个法向量：{zx , zy ,1}
| cos |
1
1
z
2 x
z
2 y
x
dAA 11zzx2x2zz2y2yd
o
y
Dxy
P(x, y)
曲面的面积元素
结论： 1.设光滑曲面 的方程为 z z( x, y)，Dxy是在 xy平面上的投影区域， 的面积为A，则
y
x
Dxy
例3.计算 ( x2 y2 z2 )dA,其中是由 x 0, y 0, x2 y2 z2 1 ( x 0, y 0)所围成的闭曲面.
z
2 1
y
x 3
§6.5 第一型曲面积分的计算
一.曲面的面积
第一型曲面积分
4
420
例7 计算 xdS , 其中 是圆柱面 x2 y2 1,
平面z x 2及z 0 所围成的空间立体的表面.
解
1
2
3
其中1：z 0 , 2：z x 2,
3： x2 y2 1. 投影域D1：x2 y2 1
D yz
x xu,v,
2) 当曲面 由参数方程
y
y u, v ,
u,v D
z
z
u,
v
,
给出时, dS EG F2 dudv,
其中
F
E xu2 yu2 zu2 , xu xv yu yv zu zv ,
G xv2 yv2 zv2 ,
adxdz
右 z z Dzx a 2 x 2 z 2
Dzx : x2 z2 a2 , z h z
h z0x
h
0
y
x
解2：用参数方程
x a sin cos
y
a
sin
sin
z a cos
(0
2
,0
arccos
h )
a
易得：dS EG F 2dd a2 sindd
1
1
z
2 x
z
2 y
故
1
z
2 x
z
2 y
是曲面法线与
z轴夹角的余弦
的倒数.
解 化作 xy 的二重积分
第一型曲面积分
解1: : z
x2
y2， D :
x2
y2
2x
z 0
dS= 1 zx2 zy2dxdy 2dxdy,
原式 ( xy y x2 y2 x x2 y2 ) 2dxdy o
D1
Dxy
x
2
2
d
2cos ( 2 sin cos 2 sin 2 cos )d
A）
0
y2
0
y
1
y
1
y
(C) 0 dy y f ( x, y)dx. (D) 0 dy y f ( x, y)dx;
o
x
3.I
1
dy
2y
f (x, y)dx
3
dy
3 y f (x, y)dx,则交换积分次序后为( C )
0
0
1
0
4
A. dx
x 2
0
5!! 15 5 31
例3. 计算
其中 是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面.
z
解: 设 1, 2, 3, 4分别表示 在平面 1
上的部分, 则 o
原式 = 1 2 3 4 xyz dS
1 x
1y
4 xyz d S
4 : z 1 x y,
Dxy
简述为：一代、二换、三投影
代：将曲面的方程代入被积函数
换：换面积元 dS
投影：将曲面投影到坐标面得投影区域
例1
计算
S
1 z
dS
,
其中 S
z h
微积分 第一类曲面积分
2
所围四面体整个边界曲
求 例3、
xyz dS , : z x
y ( 0 z 1 ).
2
求 例4、
xdS , : x
2
y
2
1, z x 2 及 z 0 .
所围成空间立体的表面
四、数量值函数在几何形体上的积分及物理应用综述
1、几何形体上的积分 定积分、第一类曲线积分 重积分、第一类曲面积分
dm
J
dm
y
转动惯量： 引力：
Fx
Ix
J
3
y dm , I
2
J
x dm
2
J
G ( x x 0 ) r
dm , F y
J
G ( y y 0 ) r
3
dm , F z
J
G ( z z 0 ) r
3
dm
例5、求密度为常数
的质心坐标及对
f ( x , y , z ) dS
D yz
f [ x ( y , z ), y , ] 1 x y x dydz z
2 2
求 例1、
( x y z ) dS , : y z 5 被 x
2
y
2
25 所截部分 .
求 例2、
xyzdS , : x 0 , y 0 , z 0 , x y z 1 面.
（2）近似：
第 i 个小曲面质量 m i ( i , i , i ) S i .
所围四面体整个边界曲
求 例3、
xyz dS , : z x
y ( 0 z 1 ).
2
求 例4、
xdS , : x
2
y
2
1, z x 2 及 z 0 .
所围成空间立体的表面
四、数量值函数在几何形体上的积分及物理应用综述
1、几何形体上的积分 定积分、第一类曲线积分 重积分、第一类曲面积分
dm
J
dm
y
转动惯量： 引力：
Fx
Ix
J
3
y dm , I
2
J
x dm
2
J
G ( x x 0 ) r
dm , F y
J
G ( y y 0 ) r
3
dm , F z
J
G ( z z 0 ) r
3
dm
例5、求密度为常数
的质心坐标及对
f ( x , y , z ) dS
D yz
f [ x ( y , z ), y , ] 1 x y x dydz z
2 2
求 例1、
( x y z ) dS , : y z 5 被 x
2
y
2
25 所截部分 .
求 例2、
xyzdS , : x 0 , y 0 , z 0 , x y z 1 面.
（2）近似：
第 i 个小曲面质量 m i ( i , i , i ) S i .
第二讲 第一型曲面积分
2.第一型曲面积分的计算
S
1 yx2 yz2 dxdz
xz
S
1 x y2 xz2 dydz.
yz
如果 z z x , y 在光滑曲面 (S) 上连续，且具有一阶连续
偏导数，则
f ( x, y, z)d S
f [ x, y, z( x, y)]
1
z
2 x
z
2 y
d
x
d
曲面面积微元
dS
rx
ry
dxdy
曲面面积为
S
dS
rx
ry
dxdy
: z z x, y
S
( )
r r x, y x, y, z x, y
rx
1,
0,
z x
,
0,1,
z y
rx
ry
i 1
j 0
k zx
0 1 zy
1
z
2 x
z
2 y
S rx ry d x d y
且每个子曲面的面积为 S k k 1 , 2 , , n
（2）任取 M k S k 做乘积 f M k S k
n
（3）做和 f M k S k k 1
记 d m a x 1 k n
Sk
（4）如果无论怎样分，无论点怎样取，上述和式趋于同一个值，
n
f
S
M
2
2 d
5
(5
cos
)d
125
2.
0
0
例3 求质量均匀分布的半径为R的球面对其直径的转动惯量.
解 上半球面 S1 : z R2 x 2 y 2 dIz 2 x2 y2 dS
S
1 yx2 yz2 dxdz
xz
S
1 x y2 xz2 dydz.
yz
如果 z z x , y 在光滑曲面 (S) 上连续，且具有一阶连续
偏导数，则
f ( x, y, z)d S
f [ x, y, z( x, y)]
1
z
2 x
z
2 y
d
x
d
曲面面积微元
dS
rx
ry
dxdy
曲面面积为
S
dS
rx
ry
dxdy
: z z x, y
S
( )
r r x, y x, y, z x, y
rx
1,
0,
z x
,
0,1,
z y
rx
ry
i 1
j 0
k zx
0 1 zy
1
z
2 x
z
2 y
S rx ry d x d y
且每个子曲面的面积为 S k k 1 , 2 , , n
（2）任取 M k S k 做乘积 f M k S k
n
（3）做和 f M k S k k 1
记 d m a x 1 k n
Sk
（4）如果无论怎样分，无论点怎样取，上述和式趋于同一个值，
n
f
S
M
2
2 d
5
(5
cos
)d
125
2.
0
0
例3 求质量均匀分布的半径为R的球面对其直径的转动惯量.
解 上半球面 S1 : z R2 x 2 y 2 dIz 2 x2 y2 dS
21-2第一类曲面积分
( x u 2 y u 2 z u 2 ) ( x v 2 y v 2 z v 2 ) ( x u x v y u y v z u z v ) 2 , n 与 z 轴夹角的余弦则为
§21.2 第一类曲面积分的计算
cos(n ,z)(x,y)W (u ,v) 1
§21.2 第一类曲面积分的计算
平面 i , 并在 i 上取出一小块 A i , 使得 A i 与 S i 在
x y 平面上的投影都是 i (见下图).
在点 M
附
i
z S:zf(x,y)
Mi
Ai
Si
O
x
D
i
近用切平面 A i 代替小
曲面片S i , 从而当 d
充分小时, 有
n
n
SSi Ai,
表示，其中 x (u ,v ),y (u ,v ),z (u ,v )在 D 上具有连续的 一阶偏导数,且
((u y,,v z)) 2 ((u z,,x v)) 2 ((x u ,,v y)) 20,
§21.2 第一类曲面积分的计算
b
f(x)
4 dx f(x)
a0
11ff2y2((2xx))d
y f(x)
4bf(x)1f2(x)d x1 1 d t
y2 ,
f2(x)y2
1zx 2z2 y
f2(x)f2(x)f2(x)
f2(x)y2
.
不妨设 f(x ) 0 ,x [a ,b ],则
§21.2 第一类曲面积分的计算
b f(x)
S2d x a f(x)
f2(x)f 2(fx 2 )( x)yf22(x)d y
§21.2 第一类曲面积分的计算
cos(n ,z)(x,y)W (u ,v) 1
§21.2 第一类曲面积分的计算
平面 i , 并在 i 上取出一小块 A i , 使得 A i 与 S i 在
x y 平面上的投影都是 i (见下图).
在点 M
附
i
z S:zf(x,y)
Mi
Ai
Si
O
x
D
i
近用切平面 A i 代替小
曲面片S i , 从而当 d
充分小时, 有
n
n
SSi Ai,
表示，其中 x (u ,v ),y (u ,v ),z (u ,v )在 D 上具有连续的 一阶偏导数,且
((u y,,v z)) 2 ((u z,,x v)) 2 ((x u ,,v y)) 20,
§21.2 第一类曲面积分的计算
b
f(x)
4 dx f(x)
a0
11ff2y2((2xx))d
y f(x)
4bf(x)1f2(x)d x1 1 d t
y2 ,
f2(x)y2
1zx 2z2 y
f2(x)f2(x)f2(x)
f2(x)y2
.
不妨设 f(x ) 0 ,x [a ,b ],则
§21.2 第一类曲面积分的计算
b f(x)
S2d x a f(x)
f2(x)f 2(fx 2 )( x)yf22(x)d y
第一型曲面积分
类似地，第一型曲面积分：
dS 投影d
转化为二重积分
重积分的应用一节已给出：当曲面z=z(x,y)向xOy平面上 的投影时有 d 2 2 dS 1 z x z y d cos γ 将曲面积分中的dS用dσ 表示,将z用x,y表示，得
D xy
2 2 f [ x , y , z ( x , y )] 1 z z dx f ( x , y , z ) dS d ; x y
由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知：
xdS ydS zdS xydS yzdS xzdS0,
由坐标的轮换对称性知：
1 2 2 2 x dS y dS z dS 3 ( x y z )dS ,
, ΔS ,…, ΔS ΔS n n
1 2 n
( i ,i , i )Si 取极限:求质量的精确值M= lim 0
其中, 表示 n 小块曲面的直径的最大值
i 1
n
一、第一型曲面积分的定义
设曲面是光滑的, 函数 f (x, y, z)在上有界, 把分成n小块Si (Si同时也表示第i小块曲面的面积), 设点(i , i , i )为Si上任意
是 球 面： x 2 y 2 z 2 R 2 。
解： I ( ax by cz d ) 2 dS
(a x b y c z d 2abxy 2bcyz 2acxz
2 2 2 2 2 2 2
2adx 2bdy 2cdz)dS
称性。 设Σ对称于xoy （或yoz,或zox ）坐标面. 若 f（x,y,z )关于z（或 x，或 y)是奇函 则 f ( x , y , z )dS 0 数 若 f（x,y,z )关于z（或x，或y）是偶函数 ,Σ1是Σ位于对称坐标面一侧的部分，则 f ( x, y, z )dS 2 f ( x, y, z )dS
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B . d x
4 0
f ( x , y )dy; f ( x , y )dy.
y
x y3
(2,1)
x 2y y1
C . d x x
2
D. d x
o
x
4.设D ( x , y ) x 2 y 2 R 2 , y 0 , 则在极坐标系中二重积分
D
f ( x 2 y 2 )dxdy 可表示为( C
(A)
0
d f (r )dr
2 0
R 2
R
（B） (D)
2 2
)
d f (r 2 )rdr
0 R
(C) d f (r )rdr 0 0
2 2
D
2
0
d f (r 2 )dr
0
R
5.设 D : 1 x y 4 ，则
( A) dθ r dr
(3):x x( y, z), ( y, z) Dyz
f ( x , y, z )dS
D yz
x 2 x 2 f [ x ( y , z ), y , z ] 1 ( ) ( ) dydz. y z
温馨提示： 向哪个坐标面投影，由所给积分曲面方程 的形式决定.
f ( x , y , z ) 在 S 上的第一型曲面积分, 记作
I f ( x , y, z )dS .
S
(1)
于是, 前述曲面块的质量由第一型曲面积分表示为:
m ( x , y, z )d S .
S
特别地, 当 f ( x , y , z ) 1 时,曲面积分 dS 就是曲面
n
k 1
o x
y
其中, 表示 n 小块曲面的直径的
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
定义1 设 S 是空间中可求面积的曲面, f ( x , y , z ) 为
定义在 S 上的函数. 对曲面 S 作分割 T, 它把 S 分成 n 个小曲面块 Si (i 1, 2, , n), 以 Si 记小曲面块
D3
x2 2 1 1 x2
dx ( x y)dy dx
0 1
11 ( y x )dy . 15
2
4、交换积分次序的方法
1.计算 dx x e dy
2 y2 0 x 1 1
解 由于 e dy是无法积出类型， 则需交换积分次序，
y2
D：0 x 1, x y 1,
2 0 1 2 4
x 2 y 2 dxdy （C ）
2 0 2
( B)
dθ r dr
1 2 1
4
(C ) dθ r dr
2 0 1
2
2
( D) dθ r dr
0
6.将 dy
2 0
0
1
1 y 2
0
f ( x, y )dx化为极坐标系下的二次积分
d 0 f ( cos , sin ) d ______________________________.
d
0
2π
a 2 h2
0
2 a
a 2 h2
0
a r dr 2 2 a r r dr 2 2 a r
2 a 2 h2 0
πa ln(a r )
2
a 2aπ ln . h
例2. 求 ( xy zx yz )dS ,其中为锥
面z x y 被曲面x y 2 x
f ( x , y , z ) 为 S 上的连续函数, 则
S
2 f ( x , y , z )dS f ( x , y , z( x , y )) 1 z x z2 y dxdy . D
(2)
所以 (1):z z( x, y), ( x, y) Dxy
f ( x , y, z )dS
(4)积分区域的对称性及变量的轮换对称性.
结论1
f ( , , ) S f ( x, y, z)d S lim
0 i 1 i i i
n
i
1 2 , 1与2 关于xoy(或yoz, 或zox z )dS, f 关于z(或x, 或y)是偶函数， f ( x , y, z )dS 1 f 关 于 z ( 或 x , 或 y ) 是奇函数 . 0 ，
f [ x, y, z( x ,
y ) ] 1 zx 2 zy 2 dxdy.
Dxy
类似的有
(2):y y( x, z ), ( x, z ) Dxz
f ( x , y , z )dS
Dxz
2 2 f [ x , y ( x , z ) , z ] 1 y y x z dxdz .
注意：对面积的曲面积分的计算步骤如下： (1)画出曲面,写出Dxy并由的方程的类型选定公式； (2)由的方程,求出曲面的微元dS；
2 2 如:dS = 1 z z x y dxdy
(3)计算在投影面Dxy上的二重积分，
f ( x , y, z )dS
f [ x, y, z( x ,
D可改写为：0 y 1,0 x y,
则 dx x e
0 x 1 1 2 y2
y 1 o
yx
D
1
dy
dy
0
1
y
0
xe
2 y2
dx
e
0
1
y2
1 3 y dy 3
x
1 1 2 y2 1 1 1 1 y2 2 2 1 1 2 y2 y2 e dy 2 e y d y y de y e 0 0 0 0 6 3 2 6 1 1 1 1 y2 1 e [e ] 0 . 6 3e 6
面z x y 被曲面x y 2 x
2 2 2 2
z
1
y
所割下的部分. 解2: 利用对称性 由于关于xoz面对称，
则 ( xy yz )dS 0，
o
x2 y2 2x D: 1 z 0 x
则 原式 xzdS x x y 2dxdy
2.二次积分 dx
( A) dy
0 1 1
1
x x
0
y
y
2
f ( x, y )dx; ( B) 0 dy y f ( x, y)dx;
f ( x, y)dy改变积分次序后为（ y A ）
1 y2 1 y y
(C ) dy
0
y y
f ( x, y )dx. ( D) dy
f ( x, y, z )d S f ( x, y, z )d S f ( x, y, z )d S .
1 2
(3)若在曲面Σ上，f ( x, y, z ) g( x, y, z ),则
f ( x, y, z )d S g( x, y, z )d S .
S
块 S 的面积.
②第一类曲面积分的性质 (假定下面的面积分都存在)
(1)设 , 为常数, 则
[ f ( x, y, z ) g( x, y, z )]d S f ( x, y, z )d S g( x, y, z )d S .
(2)可加性： 若曲面Σ可分为两片光滑曲面Σ1和Σ2 , 则
例5.
设有空间闭区域1 ( x , y , z ) x 2 y 2 z 2 R 2 , z 0 ,
2 ( x , y , z ) x 2 y 2 z 2 R 2 , x 0, y 0, z 0 , 则有
(C)
(A)
xdv 4 xdv
1 2
（B） ydv 4 ydv
1 2
(C)
解:
1
zdv 4 zdv
1 2
(D)
xyzdv 4 xyzdv
1 2
由对称性,
xdv 0,
1
xdv 0
2
2
z R2 x 2 y 2
xyzdv 0 xyzdv 0,
在 S i 的面积, 分割 T 的细度 || T || max Si 的直径 ，
1 i n
S i 上任取一点 ( i ,i , i ) ( i 1, 2, , n), 若存在极限
||T ||0
lim f ( i ,i , i )Si I ,
i 1
n
且与分割 T 及 ( i ,i , i ) 的取法 无关, 则称此极限为
0
3 3 y
f ( x, y)dx;
o x
3.I dy
0
1
2y
0
f ( x, y )dx dy
1
2 0
0
f ( x, y )dx, 则交换积分次序后为( C )
3 x 2x 2x 3 x
A. dx
0 2 0
4
x 2 3 x 3 x
f ( x , y )dy； f ( x , y )dy;
1
2
ydv 0 ydv 0,
3、含绝对值函数的二重积分的计算 例1. 计算 y x 2 d . 其中 D : 1 x 1, 0 y 1.
D
解 先去掉绝对值符号，如图