第一型曲面积分

C ).
z
z a2 x2 y2
( B)


yd S 4 y d S ;
1
o
x
(C )


z d S 4 z d S ;
1
a
y
二、第一型曲面积分的计算
第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.
定理 22.1 设有光滑曲面
S : z z( x , y ) , ( x , y ) D ,
D可改写为：0 y 1,0 x y,
则 dx x e
0 x 1 1 2 y2
y 1 o
yx
D
1
dy
dy
0
1
y
0
xe
2 y2
dx
e
0
1
y2
1 3 y dy 3
x
1 1 2 y2 1 1 1 1 y2 2 2 1 1 2 y2 y2 e dy 2 e y d y y de y e 0 0 0 0 6 3 2 6 1 1 1 1 y2 1 e [e ] 0 . 6 3e 6
(A)


0
d f (r )dr
2 0
R 2
R
（B） (D)
2 2
)
d f (r 2 )rdr
0 R
(C) d f (r )rdr 0 0
2 2


D
2
0
d f (r 2 )dr
0
R
5.设 D : 1 x y 4 ，则
( A) dθ r dr
结论2 则 如果积分曲面 关于平面 y x 对称（轮换对称性）
f ( x , y, z )dS

1 f ( y , x , z )dS [ f ( x, y, z )dS f ( y, x, z )dS ] 2
例1. 设
1为 在第
一卦限中的部分, 则有(
2 2 2 2
z
1
y
所割下的部分.
x2 y2 2x 解1: : z x y ， D : z 0 2 2 dS = 1 z z 2dxdy, x y dxdy
2 2

o
D
原式 ( xy y x 2 y 2 x x 2 y 2 ) 2dxdy
1
第二十二章 曲面积分 §1 第一型曲面积分
一、第一型曲面积分的概念
二、第一型曲面积分的计算
一、第一型曲面积分的概念
引例: 设曲面形构件具有连续面密度 量 M. z 类似求平面薄板质量的思想, 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 求质
( k ,k , k )
的方法, 可得

M
d
0
2π
a 2 h2
0
2 a
a 2 h2
0
a r dr 2 2 a r r dr 2 2 a r
2 a 2 h2 0
πa ln(a r )
2
a 2aπ ln . h
例2. 求 ( xy zx yz )dS ,其中为锥

面z x y 被曲面x y 2 x
(3):x x( y, z), ( y, z) Dyz
f ( x , y, z )dS

D yz
x 2 x 2 f [ x ( y , z ), y , z ] 1 ( ) ( ) dydz. y z
温馨提示： 向哪个坐标面投影，由所给积分曲面方程 的形式决定.
注意：对面积的曲面积分的计算步骤如下： (1)画出曲面,写出Dxy并由的方程的类型选定公式； (2)由的方程,求出曲面的微元dS；
2 2 如:dS = 1 z z x y dxdy
(3)计算在投影面Dxy上的二重积分，
f ( x , y, z )dS

f [ x, y, z( x ,
y ) ] 1 zx 2 zy 2 dxdy.
Dxy
简述为：一代、二换、三投影 代：将曲面的方程代入被积函数 换：换面积元 dS 投影：将曲面投影到坐标面得投影区域
例1 计算

S
1 dS , 其中 S z
2 2 2
z
h
是球面 x y z a 被
2
平面 z h (0 h a ) 所截 得的顶部 (图22-1).
D3
x2 2 1 1 x2
dx ( x y)dy dx
0 1
11 ( y x )dy . 15
2
4、交换积分次序的方法
1.计算 dx x e dy
2 y2 0 x 1 1
解 由于 e dy是无法积出类型， 则需交换积分次序，
y2
D：0 x 1, x y 1,
在 S i 的面积, 分割 T 的细度 || T || max Si 的直径 ，
1 i n
S i 上任取一点 ( i ,i , i ) ( i 1, 2, , n), 若存在极限
||T ||0
lim f ( i ,i , i )Si I ,
i 1
n
且与分割 T 及 ( i ,i , i ) 的取法 无关, 则称此极限为
2
a
x
O
y
图 22 1
2 2
解 曲面 S 的方程为 z a x y , 定义域 D 为
2 2 2 2 x y a h . 由于 圆域
1 zx z y
2 2
a a2 x2 y2
,
因此由公式 (2) 求得 dS a 2 dxdy 2 2 z S D a x y
B . d x
4 0
f ( x , y )dy; f ( x , y )dy.
y
x y3
(2,1)
x 2y y1
C . d x x
2
D. d x
o
x
4.设D ( x , y ) x 2 y 2 R 2 , y 0 , 则在极坐标系中二重积分

D
f ( x 2 y 2 )dxdy 可表示为( C
Dxy
1
2 d
2
64 2. 4 2 (cos sin cos sin cos )d 15 2
5 4 5
2 2
x
2cos
0
( 2 sin cos 2 sin 2 cos ) d
例2. 求 ( xy zx yz )dS ,其中为锥

面z x y 被曲面x y 2 x
2 2 2 2
z
1
y
所割下的部分. 解2: 利用对称性 由于关于xoz面对称，
则 ( xy yz )dS 0，


o
x2 y2 2x D: 1 z 0 x
则 原式 xzdS x x y 2dxdy
f ( x , y , z ) 为 S 上的连续函数, 则

S
2 f ( x , y , z )dS f ( x , y , z( x , y )) 1 z x z2 y dxdy . D
(2)
所以 (1):z z( x, y), ( x, y) Dxy
f ( x , y, z )dS


2.二次积分 dx
( A) dy
0 1 1
1
x x
0
y
y
2
f ( x, y )dx; ( B) 0 dy y f ( x, y)dx;
f ( x, y)dy改变积分次序后为（ y A ）
1 y2 1 y y
(C ) dy
0
y y
f ( x, y )dx. ( D) dy
f ( x, y, z )d S f ( x, y, z )d S f ( x, y, z )d S .
1 2
(3)若在曲面Σ上，f ( x, y, z ) g( x, y, z ),则
f ( x, y, z )d S g( x, y, z )d S .
f ( x , y , z ) 在 S 上的第一型曲面积分, 记作
I f ( x , y, z )dS .
S
(1)
于是, 前述曲面块的质量由第一型曲面积分表示为:
m ( x , y, z )d S .
S
特别地, 当 f ( x , y , z ) 1 时,曲面积分 dS 就是曲面
1
2
ydv 0 ydv 0,
3、含绝对值函数的二重积分的计算 例1. 计算 y x 2 d . 其中 D : 1 x 1, 0 y 1.
D
解 先去掉绝对值符号，如图

D
y x 2 d
D3
D1 D2

D1 D2
1

1
( x 2 y )d ( y x 2 )d
例5.
设有空间闭区域1 ( x , y , z ) x 2 y 2 z 2 R 2 , z 0 ,
2 ( x , y , z ) x 2 y 2 z 2 R 2 , x 0, y 0, z 0 , 则有
(C)
(A)
Байду номын сангаас
xdv 4 xdv

f [ x, y, z( x ,
y ) ] 1 zx 2 zy 2 dxdy.
Dxy
类似的有
(2):y y( x, z ), ( x, z ) Dxz


f ( x , y , z )dS
Dxz

2 2 f [ x , y ( x , z ) , z ] 1 y y x z dxdz .

(4)积分区域的对称性及变量的轮换对称性.
结论1
f ( , , ) S f ( x, y, z)d S lim
0 i 1 i i i
n
i
1 2 , 1与2 关于xoy(或yoz, 或zox )对称,


2 f ( x, y, z )dS, f 关于z(或x, 或y)是偶函数， f ( x , y, z )dS 1 f 关 于 z ( 或 x , 或 y ) 是奇函数 . 0 ，
S
块 S 的面积.
②第一类曲面积分的性质 (假定下面的面积分都存在)
(1)设 , 为常数, 则
[ f ( x, y, z ) g( x, y, z )]d S f ( x, y, z )d S g( x, y, z )d S .

(2)可加性： 若曲面Σ可分为两片光滑曲面Σ1和Σ2 , 则
0
3 3 y
f ( x, y)dx;
o x
3.I dy
0
1
2y
0
f ( x, y )dx dy
1
2 0
0
f ( x, y )dx, 则交换积分次序后为( C )
3 x 2x 2x 3 x
A. dx
0 2 0
4
x 2 3 x 3 x
f ( x , y )dy； f ( x , y )dy;
2 0 1 2 4
x 2 y 2 dxdy （C ）
2 0 2
( B)
dθ r dr
1 2 1
4
(C ) dθ r dr
2 0 1
2
2
( D) dθ r dr
0
6.将 dy
2 0
0
1
1 y 2
0
f ( x, y )dx化为极坐标系下的二次积分
d 0 f ( cos , sin ) d ______________________________.

n
k 1
o x
y
其中, 表示 n 小块曲面的直径的
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
定义1 设 S 是空间中可求面积的曲面, f ( x , y , z ) 为
定义在 S 上的函数. 对曲面 S 作分割 T, 它把 S 分成 n 个小曲面块 Si (i 1, 2, , n), 以 Si 记小曲面块
1 2
（B） ydv 4 ydv
1 2
(C)
解:
1
zdv 4 zdv
1 2
(D)
xyzdv 4 xyzdv
1 2
由对称性,
xdv 0,
1
xdv 0
2
2
z R2 x 2 y 2
xyzdv 0 xyzdv 0,