第一换元积分法

d (x2)
1 2
arctan
x2
c.
例 5.
ln2 x
x
dx
ln2
百度文库
x
d
(
ln
x)
1 3
ln 3
xc .
例 6.
sin3
x cos xdx
sin3
x d sin x
1 4
sin4
xc.
常用的"凑微分":
dx
1 a
d(ax b)
xdx
1 2
d(x2)
1 2
d(x2
b)
1 2a
d (ax 2
dx
a
2
1
1
x a
ad 2
x a
1 a
arctan
x a
c.
例10, 例11加入基本积分表.
例12 .
x2
dx 4x
8
(
d x
(
x 2)2
2)
例 10
4
1 2
arctan (
x
2
2) c
.
在积分过程中, 适当的函数运算是必要的 .
例 13 .
tan
x dx
sin cos
x x
dx
例17.
1
dx e
x
.
解法1
(1 ex ) ex 1 ex
dx
dx
d(1 ex ) 1 ex
x ln(1 ex ) C
解法2
ex 1 ex
dx
d(1 ex ) 1 ex
ln(1 ex ) C
ln(1 ex ) ln[ex (ex 1)] 两法结果一样
例18.
1 2x 3
x 2
c
.
tan
x 2
2 sin 2
x 2
2
sin
x 2
cos
x 2
1 cos sin x
x
csc
x
cot
x
.
csc x dx ln csc x cot x c . (新公式)
sec x dx
csc
2
x
d
2
x
(新公式)
ln
csc
2
x
cot
2
x
c ln sec x tan x
1 2
(2x
1)8
(2x 1)dx
1 2
(2x 1)8d(2x 1)
1 2
(2x 1)9 9
c
1 (2x 1)9 c . 18
例 3.
x
1
x2 dx
1 2
1 x2 d (1 x2 )
3
3
1 2
2 3
1 x2
2
c
1 3
1 x2
2 c.
例4.
1
x x
4
dx
1 2
1 1 x4
1 arcsin
x 2
d
arcsin
x 2
ln
arcsin
x 2
c.
1 a2
x2
dx
arcsin
x a
c
(公式)
例21. 设 f (sin2 x) cos2 x , 求 f ( x) .
解 . 记 u sin2 x ,
代入上式得: f (u) 1 u .
f (u) (1 u )du
一 . 第一换元法公式: (凑微分法)
g( x)dx f ( x) ( x)dx
u( x)
f (u)d u
g( x) f ( x)( x)
例1 .
cos 3xdx
1 3
cos 3x (3x)dx
1 3
cos 3 x
d(3x)
1 3
sin 3 x
c
.
例 2.
(2x
1)8 dx
dx 2x 1
2x 3
2x 3
2x 1
2x 1 2x 3
2x 1 dx
2x 3 4
2x 1dx
1 4
2x
3
dx
1 4
2x 1 dx
1 8
2x
3
d(2x
3)
1 8
2x 1 d(2x 1)
1 2x 33 1 2x 13 c .
12
12
例19.
1
1 cos
x
dx
1 cos 1 cos2
u
u2 2
c .
f (x) x x2 c . 2
例22
求
arctan x(1
xdx. x)
解
原
2
arc 1
tan (x
x )2
d
x.
arctanu
2 1 u2 du.
令 u x
2 arctanud(arctanu)
arctan u2 C arctan
x dx d 1 x2 1 x2
以上方法不必硬背, 而在于熟练运用!
课堂练习
例8. 求 sec6xdx.
解: 原式 = sec4x sec2 xdx.
(tan 2 x 1)2 sdect2anxdxx
(tan4 x 2 tan2 x 1) dtan x
1 tan5 x 2 tan3 x tan x C
5
3
例9 求三角函数的不定积分
结论: 一般地, 对形如 这样的不定积分:
当n为偶数时应先降次后再积分；
当n为奇数时应先凑微分再积分；
对形如这样的不定积分应先积化和差后再积分.
例10 .
1 a2
x2
dx
a
1 1
ad x2 a
x a
arcsin
x a
c
.
例11 .
a
2
1
x2
dx a2 x2
x
dx 2 a
2
1 2a
ln
xa xa
c.
(新公式)
例 15 .
sin
1 x cos
x
dx
sec2 x tan x
dx
d tan x tan x
ln tan x c .
例16.
csc
x
dx
1 sin
x
dx
sin
1
x 2
cos
xd 2
x 2
例15
ln
tan
d cos x cos x
ln cos x c . (新公式)
cot x dx ln sin x c . (新公式)
积分是否正确, 可用微分法检验.
例 14 .
dx x2 a2
1 2a
x
1
a
x
1
a
dx
1 2a
x
1
a
dx
x
1
a
dx
1 2a
ln
x
a
ln
x
a
c
1 ln x a c . (新公式) 2a x a
c.
sec x dx
sec x(sec x tan x)dx sec x tan x
(sec2 x sec x tan x)dx sec x tan x
d(sec x tan x) ln sec x tan x c . sec x tan x
csc x dx ln csc x cot x c . (新公式)
b)
x k dx
k
1
1
d
(
xk 1)
(k
1 1) a
d
(axk
1
b)
1 x
dx
d (ln x) d (a ln x)
1 b
d (a b ln x)
e xdx d (e x ) d (e x b)
cos x dx d (sin x) d (sin x b)
sin x dx d (cos x) d (cos x b)
x x
dx
1 sin2
x
cos x sin2 x
dx
csc2 x csc x cot x dx cot x csc x c .
另解
:
1
dx cos
x
dx 2cos2
x 2
sec2
x 2
d
x 2
...
例20 .
4
1 x2 arcsin
x 2
dx
1 arcsin
x 2
1 dx 4 x2