【智博教育原创专题】恒成立问题练习题

1.对任意的实数x ，不等式12x x a +-->恒成立，则实数a 的取值范围为 (3)-∞-，

2.函数()f x 是奇函数，且在[1,1]-上单调递增，又(1)1f -=-，若2()21f x t at ≤-+ 对所有的

[1,1]a ∈-都成立，则实数t 的取值范围为 (,2]{0}[2,)t ∈-∞-⋃⋃+∞

3.已知三个不等式①2430x x -+<，②2680x x -+<，③2290x x m -+<，要使同时满足①②的所有x 的值满足③，则m 的取值范围为 9m ≤

4.若当(,)P m n 为圆22(1)1x y +-=上任意一点时，不等式0m n c ++≥恒成立，则c 的取值范围是（ ）

.11A c -

11c ≤≤

.1C c ≤

.1D c

【解析】由0m n c ++≥，可以看作是点(,)P m n 在直线0x y c ++=的右侧，而点(,)P m n 在圆

22(1)1x y +-=上，实质相当于是22(1)1x y +-=

在直线的右侧并与它相离或相切。

01011c c ++>⎧⎪∴∴≥≥，故选D 。

5.（2010天津）设函数2()1f x x =-，对任意22,,()4()(1)4()3x x f m f x f x f m m ⎡⎫∈+∞-≤-+⎪⎢⎣⎭

，恒成立，则实数m 的取值范围是 。 【解析】依据题意得22222214(1)(1)14(1)x m x x m m ---≤--+-在3[,)2

x ∈+∞上恒定成立，即22213241m m x x -≤--+在3[,)2x ∈+∞上恒成立。当32

x =时函数2321y

x =--+取得最小值53-，

所以22154m m -≤-，即22(31)(43)0m m +-≥，解得m ≤或m ≥ 6.若函数()f x =R ，求实数a 的取值范围为 [1,9]a ∈ 7.★已知二次函数2()22f x ax x a =--，若()0f x >的解集为{},|13,A B x x A B =<<⋂≠∅，则实数a 的取值范围 6

(,2)(,)7

-∞-⋃+∞【提示】在区间[]1,3x ∈上，max ()0f x >。 8.★已知函数21

()ln ,()2,02

f x x

g x ax x a ==+≠，且()()()

h x f x g x =-存在单调递减区间，则a 的取值范围 (1,0)(0,)-⋃+∞ 9.设不等式210mx x -+>在区间(1,3)上对一切x 恒成立，则实数m 的取值范围为 。

【解析】不等式210mx x -+>在区间(1,3)上恒成立，即21x m x

->

在(1,3)x ∈时恒成立。设221111()

),(1,3)24x g x x x x -==--+∈（，当112x =，即2x =时，min 11(),44g x m =∴>。 10.⑴已知函数y (,1)-∞,则实数m 的取值范围 。 【解析】本题应属于不等式恒成立问题，即当(,1)x ∈-∞时，1240x x m ++⋅≥恒成立，即不等式

214x x m +≥-当(,1)x ∈-∞时恒成立。设2

2111111(),(,1),1,()42

2422x x x x g x x x +⎡⎤=-=-++∈-∞<>⎢⎥⎣⎦ , 21113()()2244g x ∴<-++=-,又3(),4

m g x m ≥∴≥-。 ⑵ ★（恰成立）已知22()x x a f x x ++=，当[)1,,()x f x ∈+∞的值域是[)0,+∞,则实数____a =3-

【解析】一个恰成立问题,这相当于22()0x x a f x x

++=≥的解集是[)1,x ∈+∞。 ①当0a ≥时,由于1x ≥时, 22()23x x a a f x x x x

++==++≥,与其值域是[)0,+∞矛盾, ②当0a <时, 22()2x x a a f x x x x

++==++是[)1,+∞上的增函数,所以,()f x 的最小值为(1)f , 令(1)0f =,即120,3a a ++==-。

11.已知不等式22622

kx kx x x ++>++对任意的x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围为 12.设函数329()62

f x x x x a =-+-，对于任意实数,()x f x m '≥恒成立，则m 的最大值为 【解析】2'()396,f x x x =-+ 对',()x R f x m ∀∈≥,即239(6)0x x m -+-≥在x R ∈上恒成立,

8112(6)0m ∴∆=--≤, 得34m ≤-，即m 的最大值为34

-。 13.若不等式10ax -<对[]1,2x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为

14.已知2()3f x x ax a =++-，若[2,2],()2x f x ∈-≥恒成立，求a 的取值范围。

【解析】本题可以化归为求函数()f x 在闭区间上的最值问题,只要对于任意min [2,2],()2x f x ∈-≥。若[2,2],()2x f x ∈-≥恒成立min min 2[2,2],()22()(2)732

a x f x f x f a ⎧-≤-⎪⇔∀∈-≥⇔⎨⎪=-=-≥⎩或

2min 222()()32

a a a f x f a ⎧-≤-≤⎪⎪⎨⎪=-=--≥⎪或min 22()(2)72a f x f a ⎧->⎪⎨⎪==+≥⎩，即a

的取值范围为[5,2--+。 15.若对任意实数x 和任意0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

，恒有22(32sin cos )(sin cos )8x x a a θθθθ+++++≥，则实数a 的取值范围

【解析】由均值不等式得原不等式21(32sin cos sin cos )4a a a θθθθ⇔+--≥⇒72

a ≥。 16.若对所有的[),x e ∈+∞都有ln x x ax a ≥-成立，则实数a 的取值范围为

【解析】由题意有ln 1x x a x ≤

-在[),x e ∈+∞上恒成立，令ln ()1

x x f x x =-，于是只需要满足[][)2

min 1ln ()(,),()(1)x x a f x x e f x x --'≤∈+∞=-，此时既不好找()f x '的零点，也不好判断它的正负，[)11()1ln ,()1,,,10,()0,()g x x x g x x e g x g x x x

''=--=-∈+∞∴->> 令在[),x e ∈+∞是增函数，()()2,()0,()g x g x e f x f x '≥=-∴>∴在[),x e ∈+∞上为增函数，[]min ()(),1

e f x f e a e ∴==∴-的范围为1

e a e ≤-。 17.函数44()12ln 3

f x x x x c =--对任意的0x >不等式2()f x c ≥-恒成立，则实数c 的取值范围为