第七章 数字信号处理中的有限字长效应
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故
a2 z2 z2 / a2 0.5% z2 3.3333 1.295 103
7.2.2
IIR数字滤波器的有限字长效应
若考虑系数采用b位量化长度和舍入方式进行量化，系数 ak , bk 的量化误差分别为 k , k ，且误差变化范围为 ( / 2, / 2) ， 均值为0，方差为 2 /12 。设量化后系统函数的误差为：
，一种简单的处理方法就是除超过字长b的所有尾数值，这种处理方法称 为截尾，由截尾处理带来的误差称为截尾误差。
(3)舍入及舍入误差
对定点乘法运算尾数处理的另一个方法是舍入，它相当于十进制中的 四舍五入近似法处理，在舍去超过字长的位数时，若舍掉部分的值大于或
等于保留部分最低位的权值的一半，则给留下的部分的最低位加1，由舍
对 H ( z ) 分母的第k个系数 a k 变化的灵敏度。 大小可以推导得：
zi ak ziN k
(z
l 1 l i
N
i
zl )
zi
k 1
N
ziN k
(z
l 1 l i
N
i
zl )
ak , i 1, 2,..., N
结论：由于级联型结构和并联型结构是由一阶或二阶滤波器级联或 并联而成，因此它们的极点位置偏移量对系数量化误差要小得多。
若采用截尾处理，试分别求出原码负数1.1001、反码负数1.1100
和补码负数1.1010引起的误差。 解: (1)原码负数x=1.1001表示-0.5625, QT[x]=1.10表示-0.5
所以截尾处理引起的误差为:
ET 0.5 (0.5625) 0.0625
(2)反码负数x=1.1100表示-0.1875, QT[x]=1.11表示0,所以截尾 处理引起的误差为:
ak Q[ak ] k a k ˆ ˆ bk Q[bk ] bk k
ˆ 令量化后系统函数的偏差为： H E ( z) H ( z) H ( z)
因此实际系统函数
H E ( z ) 可以表示为理想系统函数
ˆ H ( z )与系统
函数的偏差的并联，可得系统量化造成的频响偏差：
ET 0 (0.1875) 0.1875 0
(3)补码负数x=1.1010表示-0.375, QT[x]=1.10表示-0.5所以截 尾处理引起的误差为:
ET 0.375 (0.5) 0.125 0
2.定点误入误差
所谓舍入，是指类似于十进制中的四舍五入规则，逢1进1，逢 0舍去。 例7-2 当有限字长b=2时，用逢1进1，逢0舍去的原则，试求给下 列数带来的舍入误差。 (1)x=0.1001 (2)x=0.1011 (3)x=0.1010 解：若x=0.1001, QR [ x] 0.10 舍去0.0001，
i 1 i 1
b
b1
i b 1
b1
ai 2 i
故截尾误差满足：
0 ET (2b 2b1 ), x 0
即
0 ET , x 0
②对于反码负数
b
x 1 2 b1 ai 2 i
i 1
b1
ET QT [ x] x 1 2 ai 2 (1 2
入处理带来的误差称为舍入误差。
7.1.2 定点表示的量化误差
假定运算前定点数字长度为b，运算后增加的为b1 ，需要对 尾数进行量化处理使字长从b1减小为b。 1.定点制截尾误差 (1)正数的误差
设x是b1位的正数， x ai 2 i ，截尾后为b字长，对x截尾
i 1
b 后的量化值 QT [ x] 表示为: Q [ x] a 2i i T i 1
i 1
b
(2)反码
反码定义：
x反
x (2-2-b )- x
0 x 1 1 x 0
所代表的十进制数值为：
x a0 (1 2b ) ai 2i
i 1
b
(3)补码
补码定义：
x反
x 2- x
0 x 1 1 x 0
7.2.1 系数量化对滤波器零点、极点位置的影响
ak , bk 是系统直接型结构的无限精度系数，若实际系统的量 化为：a , b ˆ ˆ
k k
ak ak ak ˆ ˆ bk bk bk
其中 ak , bk 表示系统量化造成的误差。 M 实际滤波器的系统函数为： bk z k ˆ ˆ H ( z ) k 0N ˆ 1 ak z k
ER QR [ x] x 0.0001 24 若x=0.1011, QR [ x ] 0.11 舍去0.0001， 4 ER QR [ x] x 0.0001 2
若x=0.1010, 既可作舍去处理，也可作上入处理。 若舍去0.001， ER QR [ x] x 0.001 23 3 若上入，则上入0.001，ER QR [ x] x 0.001 2 但是按照十进制中的四舍五入规则上入0.001，则 ER 0.001 23
i b 1
a
所以有
(2b 2b1 ) ET 0
x0
令 2b , 者量化步阶。
表示截尾后最小码位的值，称为量化宽度或
(2) 负数的截尾误差
①对于原码负数
x ai 2 i
i 1
b1
ET QT [ x] x ai 2 i ( ai 2 i )
b z
k 0 N k k 1
M
k
1 ak z
k
b z
k 0 k N r 1
M
k
(1 p z
r
1
)
因此字长有限，滤波器系数 ak , bk 量化后产生误差。
1. 系统的实际频响与所要求的频响出现偏差。
2. 系统函数零极点的实际位置也与设计位置不同。
严重时，使系统失去稳定。
所代表的十进制数值为：
x a0 ai 2i
i 1
b
2. 误差的基本概念
(1)溢出
对定点二进制，无论采用原码表示还是采用补码或反码表示，这些表 示在整个运算过程中所有运算结果的绝对值都不能超过1，否则就会产生 运算错误，称为溢出。
(2)截尾及截尾误差
定点数每次乘法运算后需要进行尾数处理，使计算结果保持b位字长
第7章 数字信号处理中的有限字 长效应
学时：3
学习目标:
1.有限精度对信号和系统的影响;
2.有限字长效应对信号量化的影响;
3.有限字长效应对系统参数表示的影响
4.有限字长效应在运算过程中的影响
7.1
数字信号处理中的有限长效应
有限字长效应:
在实际的处理过程中，数字信号和系统都不是无限精度的，而是有 限精度，精度的大小则有字长的大小决定，正是由于有限精度，从而给 原有的数字信号处理系统带来了影响，这种影响称为数字信号处理中的 有限字长效应。
k 0
若 H ( z ) 的极点为 z zi (i 1, 2,..., N ) ，ˆ ( z ) 的极点为 z zi zi H zi 为极点的偏移量，由各系数 a 的量化引起的，因此
k
zi z i ak , i 1, 2,..., N k 1 ak
N
式中 zi / ak 的值决定着系数量化误差 ak 对极点偏差zi 的影 响程度，因此 zi / ak 被称为系统函数 H ( z ) 的第i个极点 z i
i 1
b b1 b1 i 1 i 1 i b 1
ET QT [ x] x 1 ai 2 i (1 ai 2 i ) ai 2 i
截尾误差满足：
(2b 2b1 ) ET 0, x 0
例7-1 若有限字长为b=2，当经过某种运算处理后字长增为b1=4，
ˆ H E (e j ) H (e j ) H (e j )
7.2.3
FIR滤波器的有限字长效应
N 1 ) 2
线性相位FIR滤波器第一种情况的频率响应为：
H (e j ) H ( )e
其中
j(
H ( )
( N 3) / 2
n 0
N 1 N 1 2h(n) cos[(n ) ] h( ) 2 2
例7-3 设数字滤波器的系统函数为
b0 H ( z) 1 a1 z 1 a2 z 2
其系数 a1 1.7, a2 0.745, b0 0.0373, 利用 a 2 变化造成 的极点位置灵敏度，试确定系数量化所需的最小字长。要求保 证极点位置误差小于0.5%。
解：设H(z)分母为零，求得两个极点
有限字长效应主要在以下三个方面进行影响
(1)将模拟信号量化为数字信号过程中的A/D量化效应。 (2)将系统参数表示为有限位二进制时产生的系统量化效应。 (3)在运算过程中由于字长限制而进行尾数处理。
7.1.1
二进制的表示及误差基本概念
定点二进制数：小数点在数码中的位置固定不变，小数点左边 为整数部分，右边为小数部分。
b1
截尾量化误差为： ET QT [ x ] x ai 2 i
i b 1
b1
由于x为正数，截尾后 QT [ x] x 故 ET 0 ，当被截尾均为1 b1 时，截尾误差达到最大： ET max ai 2 i (2 b 2 b1 )
设系数采用b位量化长度和舍入方式进行量化，系数量化误
差为e(n)，其变化范围 ( / 2, / 2) ，均值为0，方差为 2 /12
则实际系数为：
ˆ h(n) h(n) e(n)
0 n ( N 1) / 2
ˆ 且量化后 h(n) 也一定满足偶对称，即
ˆ ˆ h(n) h( N 1 n)
b i i 1
b1
ai 2 ) ai 2 i 2 b 2 b
i i 1 i b 1
b1
b1
截尾误差满足：
0 ET (2b 2b1 ), x 0
0 ET , x 0 ③对于补码负数 b
即
1
x 1 ai 2 i
因此有：
ˆ H ( z) H ( z) E( z) ˆ H () H () E()
实际滤波器的频率响应偏差
ˆ E ( ) H ( ) H ( )
( N 3) / 2
n0
N 1 N 1 2e(n) cos[( n) ] e( ) 2 2
E ( )e
7.1.3
A/D转换的量化效应
模拟信号经过A/D转换为b位数字信号，即
ˆ x[k ] x[k ] e[k ]
精确抽样值 量化误差
分析A/D转换器的量化效应目的在于选择合适的字长， 以满足信噪比指标。
ห้องสมุดไป่ตู้
7.2 数字滤波器的系数量化效应
设系统只有单极点，理想低通的系统函数可表示为：
H ( z) B( z ) A( z )
j N 1 2
因此，FIR数字滤波器的系数h(n)最后量化后，得到的实际 滤波器可以表示为无限精度滤波器和一个频响为
的滤波器的并联。
7.3
7.3.1
FFT算法的有限字长效应
定点FFT计算中有限字长效应
若x(n)序列的长度为N=2L，原位运算的基-2DIT-FFT算法
1. 定点二进制数的编码方式
(1)原码
a 原码也称“符号—幅度码”，最高符号位 0 0
a0 1 表示负数，尾数值
原码定义: 表示正数，
a1a2 ...ab
表示绝对值大小。
x原
x 1 x
0 x 1 1 x 0
所代表的十进制数值为：
x (1)a0 ai 2i
z1 0.85 j 0.15
求得a2对z1和z2的影响
z2 0.85 j 0.15
z1 1 j 900 3.3333e a2 z1 z2
z2 1 j 900 3.3333e a2 z2 z1
可见， a2对z1和z2的影响是相同的。因而
z2 z2 a2 a2
a2 z2 z2 / a2 0.5% z2 3.3333 1.295 103
7.2.2
IIR数字滤波器的有限字长效应
若考虑系数采用b位量化长度和舍入方式进行量化，系数 ak , bk 的量化误差分别为 k , k ，且误差变化范围为 ( / 2, / 2) ， 均值为0，方差为 2 /12 。设量化后系统函数的误差为：
，一种简单的处理方法就是除超过字长b的所有尾数值，这种处理方法称 为截尾，由截尾处理带来的误差称为截尾误差。
(3)舍入及舍入误差
对定点乘法运算尾数处理的另一个方法是舍入，它相当于十进制中的 四舍五入近似法处理，在舍去超过字长的位数时，若舍掉部分的值大于或
等于保留部分最低位的权值的一半，则给留下的部分的最低位加1，由舍
对 H ( z ) 分母的第k个系数 a k 变化的灵敏度。 大小可以推导得：
zi ak ziN k
(z
l 1 l i
N
i
zl )
zi
k 1
N
ziN k
(z
l 1 l i
N
i
zl )
ak , i 1, 2,..., N
结论：由于级联型结构和并联型结构是由一阶或二阶滤波器级联或 并联而成，因此它们的极点位置偏移量对系数量化误差要小得多。
若采用截尾处理，试分别求出原码负数1.1001、反码负数1.1100
和补码负数1.1010引起的误差。 解: (1)原码负数x=1.1001表示-0.5625, QT[x]=1.10表示-0.5
所以截尾处理引起的误差为:
ET 0.5 (0.5625) 0.0625
(2)反码负数x=1.1100表示-0.1875, QT[x]=1.11表示0,所以截尾 处理引起的误差为:
ak Q[ak ] k a k ˆ ˆ bk Q[bk ] bk k
ˆ 令量化后系统函数的偏差为： H E ( z) H ( z) H ( z)
因此实际系统函数
H E ( z ) 可以表示为理想系统函数
ˆ H ( z )与系统
函数的偏差的并联，可得系统量化造成的频响偏差：
ET 0 (0.1875) 0.1875 0
(3)补码负数x=1.1010表示-0.375, QT[x]=1.10表示-0.5所以截 尾处理引起的误差为:
ET 0.375 (0.5) 0.125 0
2.定点误入误差
所谓舍入，是指类似于十进制中的四舍五入规则，逢1进1，逢 0舍去。 例7-2 当有限字长b=2时，用逢1进1，逢0舍去的原则，试求给下 列数带来的舍入误差。 (1)x=0.1001 (2)x=0.1011 (3)x=0.1010 解：若x=0.1001, QR [ x] 0.10 舍去0.0001，
i 1 i 1
b
b1
i b 1
b1
ai 2 i
故截尾误差满足：
0 ET (2b 2b1 ), x 0
即
0 ET , x 0
②对于反码负数
b
x 1 2 b1 ai 2 i
i 1
b1
ET QT [ x] x 1 2 ai 2 (1 2
入处理带来的误差称为舍入误差。
7.1.2 定点表示的量化误差
假定运算前定点数字长度为b，运算后增加的为b1 ，需要对 尾数进行量化处理使字长从b1减小为b。 1.定点制截尾误差 (1)正数的误差
设x是b1位的正数， x ai 2 i ，截尾后为b字长，对x截尾
i 1
b 后的量化值 QT [ x] 表示为: Q [ x] a 2i i T i 1
i 1
b
(2)反码
反码定义：
x反
x (2-2-b )- x
0 x 1 1 x 0
所代表的十进制数值为：
x a0 (1 2b ) ai 2i
i 1
b
(3)补码
补码定义：
x反
x 2- x
0 x 1 1 x 0
7.2.1 系数量化对滤波器零点、极点位置的影响
ak , bk 是系统直接型结构的无限精度系数，若实际系统的量 化为：a , b ˆ ˆ
k k
ak ak ak ˆ ˆ bk bk bk
其中 ak , bk 表示系统量化造成的误差。 M 实际滤波器的系统函数为： bk z k ˆ ˆ H ( z ) k 0N ˆ 1 ak z k
ER QR [ x] x 0.0001 24 若x=0.1011, QR [ x ] 0.11 舍去0.0001， 4 ER QR [ x] x 0.0001 2
若x=0.1010, 既可作舍去处理，也可作上入处理。 若舍去0.001， ER QR [ x] x 0.001 23 3 若上入，则上入0.001，ER QR [ x] x 0.001 2 但是按照十进制中的四舍五入规则上入0.001，则 ER 0.001 23
i b 1
a
所以有
(2b 2b1 ) ET 0
x0
令 2b , 者量化步阶。
表示截尾后最小码位的值，称为量化宽度或
(2) 负数的截尾误差
①对于原码负数
x ai 2 i
i 1
b1
ET QT [ x] x ai 2 i ( ai 2 i )
b z
k 0 N k k 1
M
k
1 ak z
k
b z
k 0 k N r 1
M
k
(1 p z
r
1
)
因此字长有限，滤波器系数 ak , bk 量化后产生误差。
1. 系统的实际频响与所要求的频响出现偏差。
2. 系统函数零极点的实际位置也与设计位置不同。
严重时，使系统失去稳定。
所代表的十进制数值为：
x a0 ai 2i
i 1
b
2. 误差的基本概念
(1)溢出
对定点二进制，无论采用原码表示还是采用补码或反码表示，这些表 示在整个运算过程中所有运算结果的绝对值都不能超过1，否则就会产生 运算错误，称为溢出。
(2)截尾及截尾误差
定点数每次乘法运算后需要进行尾数处理，使计算结果保持b位字长
第7章 数字信号处理中的有限字 长效应
学时：3
学习目标:
1.有限精度对信号和系统的影响;
2.有限字长效应对信号量化的影响;
3.有限字长效应对系统参数表示的影响
4.有限字长效应在运算过程中的影响
7.1
数字信号处理中的有限长效应
有限字长效应:
在实际的处理过程中，数字信号和系统都不是无限精度的，而是有 限精度，精度的大小则有字长的大小决定，正是由于有限精度，从而给 原有的数字信号处理系统带来了影响，这种影响称为数字信号处理中的 有限字长效应。
k 0
若 H ( z ) 的极点为 z zi (i 1, 2,..., N ) ，ˆ ( z ) 的极点为 z zi zi H zi 为极点的偏移量，由各系数 a 的量化引起的，因此
k
zi z i ak , i 1, 2,..., N k 1 ak
N
式中 zi / ak 的值决定着系数量化误差 ak 对极点偏差zi 的影 响程度，因此 zi / ak 被称为系统函数 H ( z ) 的第i个极点 z i
i 1
b b1 b1 i 1 i 1 i b 1
ET QT [ x] x 1 ai 2 i (1 ai 2 i ) ai 2 i
截尾误差满足：
(2b 2b1 ) ET 0, x 0
例7-1 若有限字长为b=2，当经过某种运算处理后字长增为b1=4，
ˆ H E (e j ) H (e j ) H (e j )
7.2.3
FIR滤波器的有限字长效应
N 1 ) 2
线性相位FIR滤波器第一种情况的频率响应为：
H (e j ) H ( )e
其中
j(
H ( )
( N 3) / 2
n 0
N 1 N 1 2h(n) cos[(n ) ] h( ) 2 2
例7-3 设数字滤波器的系统函数为
b0 H ( z) 1 a1 z 1 a2 z 2
其系数 a1 1.7, a2 0.745, b0 0.0373, 利用 a 2 变化造成 的极点位置灵敏度，试确定系数量化所需的最小字长。要求保 证极点位置误差小于0.5%。
解：设H(z)分母为零，求得两个极点
有限字长效应主要在以下三个方面进行影响
(1)将模拟信号量化为数字信号过程中的A/D量化效应。 (2)将系统参数表示为有限位二进制时产生的系统量化效应。 (3)在运算过程中由于字长限制而进行尾数处理。
7.1.1
二进制的表示及误差基本概念
定点二进制数：小数点在数码中的位置固定不变，小数点左边 为整数部分，右边为小数部分。
b1
截尾量化误差为： ET QT [ x ] x ai 2 i
i b 1
b1
由于x为正数，截尾后 QT [ x] x 故 ET 0 ，当被截尾均为1 b1 时，截尾误差达到最大： ET max ai 2 i (2 b 2 b1 )
设系数采用b位量化长度和舍入方式进行量化，系数量化误
差为e(n)，其变化范围 ( / 2, / 2) ，均值为0，方差为 2 /12
则实际系数为：
ˆ h(n) h(n) e(n)
0 n ( N 1) / 2
ˆ 且量化后 h(n) 也一定满足偶对称，即
ˆ ˆ h(n) h( N 1 n)
b i i 1
b1
ai 2 ) ai 2 i 2 b 2 b
i i 1 i b 1
b1
b1
截尾误差满足：
0 ET (2b 2b1 ), x 0
0 ET , x 0 ③对于补码负数 b
即
1
x 1 ai 2 i
因此有：
ˆ H ( z) H ( z) E( z) ˆ H () H () E()
实际滤波器的频率响应偏差
ˆ E ( ) H ( ) H ( )
( N 3) / 2
n0
N 1 N 1 2e(n) cos[( n) ] e( ) 2 2
E ( )e
7.1.3
A/D转换的量化效应
模拟信号经过A/D转换为b位数字信号，即
ˆ x[k ] x[k ] e[k ]
精确抽样值 量化误差
分析A/D转换器的量化效应目的在于选择合适的字长， 以满足信噪比指标。
ห้องสมุดไป่ตู้
7.2 数字滤波器的系数量化效应
设系统只有单极点，理想低通的系统函数可表示为：
H ( z) B( z ) A( z )
j N 1 2
因此，FIR数字滤波器的系数h(n)最后量化后，得到的实际 滤波器可以表示为无限精度滤波器和一个频响为
的滤波器的并联。
7.3
7.3.1
FFT算法的有限字长效应
定点FFT计算中有限字长效应
若x(n)序列的长度为N=2L，原位运算的基-2DIT-FFT算法
1. 定点二进制数的编码方式
(1)原码
a 原码也称“符号—幅度码”，最高符号位 0 0
a0 1 表示负数，尾数值
原码定义: 表示正数，
a1a2 ...ab
表示绝对值大小。
x原
x 1 x
0 x 1 1 x 0
所代表的十进制数值为：
x (1)a0 ai 2i
z1 0.85 j 0.15
求得a2对z1和z2的影响
z2 0.85 j 0.15
z1 1 j 900 3.3333e a2 z1 z2
z2 1 j 900 3.3333e a2 z2 z1
可见， a2对z1和z2的影响是相同的。因而
z2 z2 a2 a2