数值计算微积分
数值计算中的微积分算法
数值计算中的微积分算法在数值计算领域中，微积分算法是非常重要的一部分。
微积分是一个研究函数、极限、连续性、导数和积分等的数学分支。
它在数学、物理学、工程学等领域中都有着广泛的应用。
而在数值计算中，微积分算法的应用更是不可避免。
本文将介绍几种常见的微积分算法及其应用。
一、极限和连续性极限是微积分中最基本的概念之一。
在数值计算中，选择逼近某个固定点的函数值序列来计算极限，是一种常用的求解极限的方法。
例如，要求解 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x}$，可以选取一系列 $x$ 的值，让它们逐渐靠近 0，然后计算相应的函数值，最后观察函数值的变化趋势来得到极限的值。
连续性是另一个微积分中重要的概念。
在数值计算中，要保证函数的连续性，可以采用数值微分的方法，例如数值逼近法和差商逼近法。
此外，如果要计算微分方程的解，也必须保证函数的连续性。
在微积分中，连续性和微分方程可以紧密结合，例如欧拉法、龙格-库塔法和梯形法等。
二、导数和积分导数和积分是微积分中最核心的内容之一。
在数值计算中，要计算函数的导数和积分，可以采用微积分的数值逼近方法，例如差商逼近法、辛普森法和梯形法等。
差商逼近法是微积分中一种常用的导数计算方法。
该方法的思路是：将函数的导数近似为两个函数值之比的差。
例如，对函数$f(x)$ 的导数可以表示为：$$f'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$当 $h$ 很小时，上式可以近似为 $f'(x)$ 的值。
在计算过程中，需要注意使用合适的 $h$ 值，以便得到精度较高的结果。
梯形法和辛普森法是微积分中常用的积分计算方法。
在梯形法中，通过将积分区间划分为若干小块，然后分别计算每一块的积分值，最后将它们相加即可得到总积分的值。
在辛普森法中，则是将积分区间划分为若干个小块，并在每个小块上采用二次多项式来逼近积分函数，最后将所有积分区间上的多项式积分相加得到整个积分区间的积分值。
计算方法 第5章 数值积分与数值微分
第五章 数值积分与数值微分在高等数学中我们学过定积分⎰badx x f )(的计算方法，若找到被积函数)(x f 在],[b a 区间上的一个原函数)(x F ，利用Newton-Leibniz 公式⎰-=baa Fb F dx x f )()()(可以轻易得计算出积分值，但在实际问题中，往往会遇到一些困难。
1) 有些函数虽然能找到原函数, 但表达式过于复杂，例如411)(x x f +=的原函数为 )]12arctan()12[arctan(2211212ln 241)(22-++++-++=x x x x x x x F2) 有些函数找不到初等函数形式的原函数，例如积分⎰⎰-1102,sin dx edx x x x3) 有些情况下，函数值是用表格形式给出的，例如：6.1178.876.651.496.364.275.203.1587654321y x对于以上这些积分问题，解决的方法就是使用数值积分方法。
其实数值积分方法不仅可以解决上述问题，最为重要的优点是对任意被积函数任意积分区间的积分问题都可以采用统一的数值积分公式，非常便于计算机编程实现。
对于微分问题，虽然对每一个初等函数都可以求出其导数，但是不同函数其求导方法依赖于各自不同的求导公式，没有简单、统一的处理方法，而数值微分法却可以对不同的函数使用统一的数值微分公式或数值微分算法。
本章首先介绍一些数值积分公式，最后再简单的介绍数值微分问题。
5.1 数值积分公式1. 数值积分的基本思想我们知道定积分⎰badx x f )(的几何意义就是{})(,0,,x f y y b x a x ====所围成的曲边形面积，而数值积分的基本思想是利用函数)(x f y =在区间],[b a 上某些点处函数值的线性组合来计算其定积分的近似值，把计算定积分这一复杂问题转换为仅仅涉及到函数值的计算问题，而无需考虑函数本身的结构以及函数值的真实来源，这样就很便于计算机编程实现。
计算机数值计算
计算机数值计算数值计算是计算机应用的重要领域之一，它通过数学模型和算法来解决实际问题。
下面列举了数值计算中一些常见的算法和应用。
一、插值算法插值算法是数值计算中重要的一种算法，它用于在已有数据点的基础上预测插值点的值。
常用的插值算法有拉格朗日插值、牛顿插值等。
插值算法在各个领域都有广泛的应用，比如地图绘制、图像处理等。
二、微积分算法微积分算法是数值计算中不可或缺的算法，它主要用于对函数进行求导、积分等数学运算。
常用的微积分算法有梯形法、辛普森法等。
微积分算法在金融、工程等领域都有广泛的应用。
三、线性方程组求解算法线性方程组求解算法是数值计算中涉及到线性方程组的求解方法，通常采用高斯-约旦消元法、LU分解法等方法。
这些算法在电力、交通等领域都有应用。
四、最小二乘法最小二乘法是一种常用的数值计算算法，它用于拟合一些离散数据点，求出最佳拟合曲线。
最小二乘法在数据分析、统计等领域有广泛的应用。
五、常微分方程数值解法常微分方程数值解法用于计算函数的导数值，在电路、天体力学等领域都有应用。
常用的数值解法有欧拉公式、龙格-库塔法等。
六、随机数生成算法随机数生成算法用于产生随机数，包括真随机数和伪随机数。
随机数生成在密码学、模拟实验等领域都有应用。
常用的随机数生成算法有线性同余法、巴比伦尼亚法等。
七、大数计算算法大数计算算法用于计算大整数、大小数等，常用于密码学、数字签名等领域。
常用的大数计算算法有Karatsuba算法、快速傅里叶变换等。
综上所述，数值计算在现代科学中有着广泛的应用，它为科学研究提供了重要的计算手段。
以上列举的算法只是其中一部分，还有很多其他的算法和应用等待着我们去研究和发现。
第七章数值微积分
Ck(n)
3 1/8 3/8 3/8 1/8
4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90 5 19/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/288
误差估计 （一）求积公式的代数精确度 若当f(x)为任意次数不高于m的多项式时，求积公 n b 式 ∫ f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk )
f ′′( x − θ 2 h) f ( x ) − f ( x − h) f ′( x) − =− h = O ( h) h 2
f ( x + h) − f ( x − h) f ′( x) − 2h f ′′′( x + θ 1 h) + f ′′′( x − θ 2 h) 2 =− h = O(h 2 ) 12
a k =0
均成立，而对某个m+1次多项式，公式不精确成立， 则称该求积公式具有m次代数精确度. 可以验证：梯形公式具有1次代数精确度。 事实上，由f(x)为1次多项式， f ′′(ξ ) R1 ( x ) = f ( x) − L1 ( x ) = ( x − a )( x − b) = 0 2
⇒∫
求导得且分别 代入三点有:
截断误差
h2 ′ f ′′′(ξ 0 ) R2 ( x 0 ) = − 3 h2 ′ f ′′′(ξ1 ) ξ 0 , ξ1 , ξ 2 ∈ (a, b) R2 ( x1 ) = − 6 h2 ′ f ′′′(ξ 2 ) R2 ( x1 ) = 3
b
a
b−a f ( x)dx = ∫ L1 ( x)dx = [ f (a ) + f (b)] a 2
b
b
若取f(x)=x2 ⇒ ∫a
实验09 数值微积分与方程数值解(第6章)
实验09 数值微积分与方程数值求解（第6章 MATLAB 数值计算）一、实验目的二、实验内容1. 求函数在指定点的数值导数232()123,1,2,3026x x x f x x xx x==2. 用数值方法求定积分(1) 210I π=⎰的近似值。
程序及运行结果：《数学软件》课内实验王平(2) 2221I dx x π=+⎰程序及运行结果：3. 分别用3种不同的数值方法解线性方程组6525494133422139211x y z u x y z u x y z u x y u +-+=-⎧⎪-+-=⎪⎨++-=⎪⎪-+=⎩ 程序及运行结果：4. 求非齐次线性方程组的通解1234123412342736352249472x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩5. 求代数方程的数值解(1) 3x +sin x -e x =0在x 0=1.5附近的根。
程序及运行结果（提示：要用教材中的函数程序line_solution ）：(2) 在给定的初值x 0=1，y 0=1，z 0=1下，求方程组的数值解。
23sin ln 70321050y x y z x z x y z ⎧++-=⎪+-+=⎨⎪++-=⎩6. 求函数在指定区间的极值(1) 3cos log ()xx x x xf x e ++=在(0,1)内的最小值。
(2) 33212112122(,)2410f x x x x x x x x =+-+在[0,0]附近的最小值点和最小值。
7. 求微分方程的数值解，并绘制解的曲线2250(0)0'(0)0xd y dyy dx dx y y ⎧-+=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩程序及运行结果（注意：参数中不能取0，用足够小的正数代替）：令y 2=y,y 1=y '，将二阶方程转化为一阶方程组：'112'211251(0)0,(0)0y y y x x y y y y ⎧=-⎪⎪=⎨⎪==⎪⎩8. 求微分方程组的数值解，并绘制解的曲线123213312123'''0.51(0)0,(0)1,(0)1y y y y y y y y y y y y =⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪===⎩程序及运行结果：三、实验提示四、教程：第6章 MATLAB 数值计算（2/2）6.2 数值微积分 p155 6.2.1 数值微分1. 数值差分与差商对任意函数f(x)，假设h>0。
数值计算方法数值积分与微分方程数值解
数值计算方法数值积分与微分方程数值解数值计算是计算数值结果的一种方法，广泛应用于科学、工程和金融等领域。
数值计算方法涉及到估算数学问题的解，其中包括数值积分和微分方程数值解。
本文将分别介绍数值积分和微分方程数值解的基本原理和常用方法。
一、数值积分数值积分是通过数值计算方法来估计函数的积分值。
积分是数学中的重要概念，广泛应用于物理、经济等领域的问题求解中。
传统的积分计算方法，如牛顿-柯特斯公式和高斯求积法，需要解析求解被积函数，但是对于大多数函数来说，解析求解并不容易或者不可能。
数值计算方法通过离散化被积函数，将积分问题转化为求和问题，从而得到近似的积分结果。
常见的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则和复化求积法。
1. 梯形法则梯形法则是最简单的数值积分方法之一。
它将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上用梯形的面积来近似原函数的面积，最后将所有小区间的梯形面积相加得到近似积分值。
2. 辛普森法则辛普森法则是一种比梯形法则更精确的数值积分方法。
它将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上用一个二次多项式来近似原函数，最后将所有小区间的二次多项式积分值相加得到近似积分值。
3. 复化求积法复化求积法是一种将积分区间进一步细分的数值积分方法。
通过将积分区间划分为更多的小区间，并在每个小区间上应用辛普森法则或者其他数值积分方法，可以得到更精确的积分结果。
二、微分方程数值解微分方程是描述自然现象中变化的数学模型。
求解微分方程的解析方法并不适用于所有的情况，因此需要利用数值计算方法来估计微分方程的解。
常见的微分方程数值解方法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
1. 欧拉法欧拉法是最简单的微分方程数值解方法之一。
它通过将微分方程离散化，将微分运算近似为差分运算，从而得到微分方程的近似解。
2. 改进的欧拉法改进的欧拉法是对欧拉法的改进。
它通过使用两个不同的点来估计微分方程的解，从而得到更精确的近似解。
数值计算的方法与应用
数值计算的方法与应用数值计算是一种通过数值方法来解决数学问题的技术。
它广泛应用于物理学、工程学、计算机科学以及金融等领域。
随着计算机技术的不断发展，数值计算的方法也在不断创新和优化，进一步提升了计算精度和效率。
本文将介绍数值计算的几种常见方法及其应用。
1.插值法插值法是通过已知数据点的函数值，在给定区间内求解函数值的一种方法。
它可以用于曲线拟合、图像处理、信号处理等领域。
插值法有多种方法，例如拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值等。
其中，拉格朗日插值适用于低维数据的插值，而分段线性插值则适用于高维数据的插值。
2.微积分法微积分是数学中的一门重要分支，它在工程学、物理学、计算机科学等领域中也有广泛应用。
微积分方法可以用于解决函数最值、方程求根、优化等问题。
其中，求解极值（最大值或最小值）是一个较为常见的问题。
求解极值的方法有多种，例如牛顿迭代法、割线法、黄金分割法等。
3.数值积分法数值积分法是通过数值方法来近似计算积分值的一种方法。
它的应用范围十分广泛，包括求解概率密度函数、计算期望和方差等。
数值积分法有多种方法，例如梯形法、辛普森法、龙格-库塔法等。
其中，辛普森法适用于求解高精度积分值，龙格-库塔法则适用于求解高维函数的积分值。
4.矩阵分解法矩阵分解法是将一个大矩阵分解为几个小矩阵的方法。
它的应用领域包括图像处理、信号处理、数据挖掘等。
矩阵分解法有多种方法，例如QR分解、奇异值分解、LU分解等。
其中，QR分解可以用于求解最小二乘问题，奇异值分解可以用于压缩矩阵和降维处理，LU分解则适用于求解线性方程组。
5.最优化方法最优化问题是在一定限制条件下，求解使目标函数值最小或最大的一组自变量值的问题。
它的应用领域包括金融、计算机视觉、自然语言处理等。
最优化方法有多种方法，例如线性规划、非线性规划、动态规划等。
其中，线性规划适用于求解线性函数的最优解，非线性规划则适用于求解非线性函数的最优解，动态规划可以用于求解最优的决策序列。
微积分的数值计算方法
第七章 微积分的数值计算方法7.1 微积分计算存在的问题/数值积分的基本概念 1. 微分计算问题求函数的导数(微分)，原则上没有问题。
当然，这是指所求函数为连续形式且导数存在的情形。
但如果函数一表格形式给出，要求函数在某点的导数值；或者是希望某点的导数值只用其附近离散点上的函数值近似地表示，这就是新问题了，它称为微分的数值计算，或称为数值微分。
2．定积分计算问题计算函数f 在],[b a 上的定积分 dx x f I ba⎰=)(当被积函数f 的原函数能用有限形式)(x F 给出时，可用积分基本公式来计算：)()()(a F b F dx x f I ba -==⎰然而，问题在于：① f 的原函数或者很难找到，或者根本不存在；②f 可能给出一个函数表；③仅仅知道f 是某个无穷级数的和或某个微分方程的解等等。
这就迫使人们不得不寻求定积分的近似计算，也称数值积分。
3．数值积分的基本形式数值积分的基本做法是构造形式如下的近似公式∑⎰=≈nk kkbax f A dx x f 0)()( (7.1.1)或记成∑⎰=+=nk nkkbaf R x f A dx x f 0][)()( (7.1.2)∑==nk k k x f A I 0*)( 和 ][f R n 分别成为],[b a 上的f 的数值求积公式及其余项(截断误差)，k x 和k A ),,1,0(n k =分别称为求积节点和求积系数(求积系数与被积函数无关)。
这种求积公式的特点是把求积过(极限过程)程转化为乘法与加法的代数运算。
构造这种求积公式需要做的工作是：确定节点k x 及系数k A ),,1,0(n k =，估计余项][f R n 以及讨论*I 的算法设计及其数值稳定性。
4．插值型求积公式如何构造求积公式呢？基本的技术是用被积函数f 的Lagrange 插值多项式)(x L n 近似代替f ，也即对],[b a 上指定的1+n 个节点bx n ≤<⋯⋯<<≤10x x a 及相应的函数值)(,),(),(10n x f x f x f ，作)()()!1(1)()()()()()1()1(0x fn x f x l x R x L x f n n k nk k n n ++=++=+=∑ωξ代入(7.1.2)式等号左边有⎰⎰⎰+=banb anb adx x R dx x L dx x f )()()(⎰∑⎰++=++=ba n n k nk ba k dx x x fn x f dx x l )())(()!1(1)(])([)1()1(0ωξ或写成形如(7.1.2)式的一般形式： ∑⎰=+=nk nkkbaf R x f A dx x f 0][)()( (7.1.4)其中 ⎰=bakk dx x l A )( ),,1,0(n k = (7.1.5)⎰+++=ba n n n dx x x fn f R )())(()!1(1][)1()1(ωξ (7.1.6)称(7.1.4)为插值型求积公式。
02-10-06 分数阶微积分数值计算
Oustaloup滤波算法
➢如果函数 的表达式不是事先已知
➢连续滤波器传递函数模型：
算法
➢ 感兴趣区间
Oustaloup 滤波器设计
➢数学表示
➢构造
函数，设计连续滤波器
➢函数调用格式
例10-51 由滤波器计算微分
➢函数
➢感兴趣频率区间
➢分数阶阶次 ， 阶滤波器
➢
求解语句：
➢绘制分数阶微分曲线：
非零初值Caputo微积分的 Oustaloup滤波器逼近
➢标准
滤波器可以用于 微积分逼近
➢直接方法构造
微分器较麻烦，不宜采用
➢非零初值信号的
➢ 定理 积分器
微积分逼近可以根据两个定理
➢ 定理 微分器
分数阶微分数值计算
➢数学描述
➢构造一个
函数
➢函数调用格式
高精度分数阶微积分数值计算
➢高精度
微积分的数值计算
➢ 算法精度
➢
函数
➢
微积分的高精度数值计算
➢代码下载
➢
工具箱
例10-47 常数的微积分
➢阶跃函数的导数和积分是什么？ ➢整数阶的积分与微分 ➢对不同的阶次
例10-50 正弦信号的分数阶微分
➢已知函数为
➢阶
➢其
阶
➢
求解语句：ຫໍສະໝຸດ 导数计算 导数计算Caputo 微积分定义的数值计算 的精度评价
➢计算指数函数
的阶
导数（
）
➢ 解析解
➢
函数
➢
直接求解
数值微分计算的精度演示
➢选择步长
➢大步长
大步长的计算
事先未知函数的分数阶导数
数值分析中的微积分与矩阵分析
数值分析中的微积分与矩阵分析数值分析是数学中的一门重要学科，主要研究数值计算的方法和技术。
微积分和矩阵分析是数值分析的两个基础，它们在数值计算中扮演着重要的角色。
一、微积分微积分是数学中的一个分支，是研究变化量以及变化率的学科。
微积分的两个基本概念是导数和积分。
在数值计算中，微积分常常用于求函数的导数和积分。
在微积分中，求导数和积分是两个相对应的过程。
求导数的过程可以理解为对于一个函数f(x)求x的一个微小变化量dx，函数值的变化量df可表示为：df=f'(x)dx其中f'(x)是f(x)的导数。
求导数的过程在数值计算中的应用很广泛，比如在求解微分方程问题时，需要用到函数的导数。
另一方面，积分的过程可以理解为将一个曲线下的面积分成无数个微小的矩形，然后将各个小矩形的面积加起来，就可以得到整个曲线下的面积。
在数值计算中，积分常用于求解一些重要的物理和工程问题。
二、矩阵分析矩阵分析是数学中的一个分支，是研究矩阵性质和性质变换的学科。
在数值计算中，矩阵分析的应用也非常广泛，比如在线性代数中，矩阵乘法是基本的运算之一。
矩阵乘法是指将一个m行n列的矩阵A乘以一个n行k列的矩阵B，得到一个m行k列的矩阵C。
在实际应用中，矩阵乘法广泛应用于矩阵计算、工程计算和物理计算等领域。
除了矩阵乘法之外，矩阵分析还包括矩阵的特征值和特征向量、矩阵的逆和行列式、线性方程组和向量空间等概念。
三、微积分与矩阵分析在数值计算中的应用微积分和矩阵分析在数值计算中的应用非常广泛。
在数值计算中，微积分和矩阵分析往往被用来解决很多实际问题。
比如在求解微分方程问题时，需要用到函数的导数。
此时，可以通过微积分中的求导数方法求出函数导数，并用微分方程的数值方法来计算函数在各个点上的值。
另一方面，矩阵分析在工程计算中有着广泛应用。
比如在控制系统设计中，需要用到矩阵分析来计算系统的反馈和稳定性。
此时，可以通过矩阵分析中的特征值和特征向量来计算系统的特征和稳定性。
三类时滞微积分方程的数值解法
三类时滞微积分方程的数值解法时滞微积分方程是一类具有时滞项的微分方程，在很多科学和工程领域中都有广泛的应用。
由于时滞的存在，这类方程不仅需要求解微分方程，还要考虑时滞对系统动力学行为的影响，因此其数值解法相对复杂。
本文将介绍三类常用的时滞微积分方程数值解法，包括离散化方法、迭代方法和延迟微分方程的数值解法。
首先，我们来介绍离散化方法。
离散化方法是将时滞微积分方程转化为带有离散时滞项的常微分方程，然后利用常规的常微分方程数值解法进行求解。
常用的离散化方法包括Taylor展开法和Laplace变换法。
以Taylor展开法为例，将时滞项展开为泰勒级数，然后将其离散化为差分近似，从而得到离散时滞项。
接下来，可以使用欧拉法、龙格-库塔法等常规常微分方程数值解法求解得到离散化后的方程。
离散化方法简单直观，特别适合处理较简单的时滞微积分方程。
其次，我们来介绍迭代方法。
迭代方法是通过将时滞微积分方程转化为一系列常微分方程，然后利用迭代算法求解。
其中，常用的迭代方法包括Euler迭代法、Adams迭代法和修正Euler迭代法。
以Euler迭代法为例，将时滞项离散化为一系列未知的函数值，然后利用Euler迭代算法依次逼近这些未知函数值，直至收敛为止。
迭代方法相对复杂，但具有更高的数值精度，适用于处理较复杂的时滞微积分方程。
最后，我们来介绍延迟微分方程的数值解法。
延迟微分方程是一种特殊的时滞微积分方程，其时滞项为系统输出在过去某一时刻的值。
常用的延迟微分方程的数值解法包括差分逼近法和双边Laplace变换法。
差分逼近法是将延迟项离散化为差分形式，从而得到一系列未知的函数值，然后使用常规的常微分方程数值解法求解得到延迟微分方程的数值解。
双边Laplace变换法则是通过对延迟微分方程进行Laplace变换，得到一系列代数方程，然后利用数值代数求解方法求解这些方程。
延迟微分方程的数值解法相对复杂，但能够更准确地描述系统的动力学行为。
微积分的数值计算方法数值微分
将节点处的增长率作 三次样条插值
年份 增长率 1900 0.0283 1901 0.0255 1902 0.0230 1935 0.0082 1936 0.0081 1937 0.0083 1953 0.0172 1954 0.0172 1979 0.0100 1980 0.0100 1981 0.0109 1989 0.0111 1990 0.0113
f ( x 0 ) 21h(3f04f1f2) f ( x n ) 21h(fn24fn13fn)
--------(11)
称(11)式为分段三点公式
实际中下面的公式很有用
f
(
xk
xk1 2
)
1( h
f k 1
fk
)
例: 回到实例(美国人口)
1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4
E 2(x0)f(3 3 )!()(x0x1)x (0x2)
ห้องสมุดไป่ตู้h2 3
f (3)( )
E 2(x1)f(3 3 )!()(x1x0)x (1x2)
h2 6
f (3)()
E 2(x2)f(3 3 )!()(x2x0)x (2x1)
h2 3
f (3)( )
f ( x0 )
21h(3f04f1f2)
1( h
f1
f0 )
h f (2)( )
数值分析数值微积分实验
实验报告
一、实验目的
复化求积公式计算定积分。
二、实验题目
1.用复化梯形公式、复化辛普森公式求下列定积分，要求绝对误差为3
10-=ε，并将计算结果与精确解进行比较： dx e x e x 232
143
2⎰= 三、实验原理
复化求积公式程序，复化辛普森公式程序。
四、实验内容及结果
五、实验结果分析
实验1中复化梯形公式和复化辛普森公式的比较：
运行复化梯形公式的时候，因为要去找区分精度，所以花的时间比较长，需要将区间分为365份时才能达到规定的误差范围。
而复化辛普森公式则只需要将区间分为12份即可。
说明复化辛普森比较好。
数值微积分第二讲(复化及龙格贝塔积分)
3 3
n2 >
10 0 .5 × = 394520 7.92101 4 n > 629
这说明使用复化梯形公式计算量比复化辛普森公式大得多
例3
使用复化辛普森公式和 复化梯形公式
计算积分 I =
解
∫
1
0
sin x dx x
η ∈ [a , b ]
f ( x) ∈C [a, b]时, 可以证明
2
limTn = ∫ f ( x)dx,
n→∞ a
b
事实上
h n 1 Tn = ∑ [ f ( x k ) + f ( x k +1 )] 2 k =0
1 b a n 1 ba n = ∑ f ( x k ) + n ∑ f ( x k ) . 2 n k =0 k =1
这说明使用复化梯形公式比复化辛普森公式误差大得多
第四章
第三节
龙贝格（Romberg）求积公 （Romberg） 式
龙贝格算法： 龙贝格算法：
在求积公式的推倒中 , 如果采用序列 { hn }
h0 = b a ; h0 h1 = ; 2 h0 h2 h1 h3 = = = ;....... 2 4 8
n 1 n 1 h = [ f (a ) + 4∑ f ( x k +1 2 ) + 2∑ f ( x k ) + f (b )] 6 k =0 k =1
复化辛普森公式
f ( x) ∈C[a, b]时, 可以证明
lim Sn = ∫ f ( x)dx,
n→∞ a
b
数值计算06-数值积分与数值微分
用 inline 函数定义被积函数： >> f=inline('2/sqrt(pi)*exp(-x.^2)','x'); >> y=quad(f,0,1.5)
y= 0.9661
• 矩形区域上的二重积分的数值计算
I yM xM f (x, y)dxdy ym xm
格式： 矩形区域的双重积分： y=dblquad(Fun,xm,xM,ym,yM)
数值计算
第六章 数值积分与数值微分
1
§6.1 引 言
一、数值积分的必要性
讨论如下形式的一元函数积分
b
I ( f ) f (x)dx
a
在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分
b
I ( f ) a f (x)dx F (b) F (a)
要求被积函数 F x
☞ 有解析表达式；
☞ f x的原函数 F x 为初等函数．
k 0
称为求积公式 余项(误差).
构造或确定一个求积公式，要解决的问题包括:
(i) 确定求积系数 Ak 和求积节点 xk；
(ii) 确定衡量求积公式好坏的标准； (iii) 求积公式的误差估计和收敛性分析.
数值积分的基本问题
针对某类函数，选择合适的求积结点和求积系数，使得求积 公式(1) 具有尽可能小的截断误差或尽可能高的代数精度。
2
若f ( x)在区间[a,b]上有四阶连续导数。则Simpson
公式的截断误差
R2
(b a)5
2880
f (4)( ) (a,b)
(6.3.8)
且具有三次代数精度。
Simpson3/8公式：
【MATLAB】实验五：数值微积分与方程数值求解
实验五 数值微积分与方程数值求解一、实验目的1. 掌握求数值导数和数值积分的方法。
2. 掌握代数方程数值求解的方法。
3. 掌握常微分方程数值求解的方法。
二、实验内容要求：命令手工 ( )输入1. 求函数在指定点的数值导数。
232()123,1,2,3026x x x f x x x x x==2. 用数值方法求定积分。
(1) 210I π=⎰的近似值。
(2) 2220ln(1)1x I dt xπ+=+⎰3. 分别用三种不同的数值方法解线性方程组。
6525494133422139211x y z u x y z u x y z u x y u +-+=-⎧⎪-+-=⎪⎨++-=⎪⎪-+=⎩4. 求非齐次线性方程组的通解。
1234123412342736352249472x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解：先建立M 函数文件,然后命令窗口中写命令。
121/119/112/115/111/1110/11100010X k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中12,k k 为任意常数。
5. 求代数方程的数值解。
(1) 3x +sin x -e x =0在x 0=1.5附近的根。
(2) 在给定的初值x 0=1，y 0=1，z 0=1下，求方程组的数值解。
23sin ln 70321050y x y z x z x y z ⎧++-=⎪+-+=⎨⎪++-=⎩ans =1289/6826. 求函数在指定区间的极值。
(1) 3cos log ()xx x x x f x e ++=在(0,1)内的最小值。
(2) 33212112122(,)2410f x x x x x x x x =+-+在[0,0]附近的最小值点和最小值。
（以下选作题，是微分方程的数值解）7. 求微分方程的数值解。
x 在[1.0e-9,20]2250(0)0'(0)0xd y dy y dx dx y y ⎧-+=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩解：M 文件：运行结果：8. 求微分方程组的数值解，并绘制解的曲线。
第四章 数值微积分_Zu2
(4) 0
7 90
, C
(4) 1
, C
(4) 2
,C
(4) 3
32 7 (4) 柯特斯(Cotes)公式 ,C 90
4
90
a
b
f ( x ) dx C
ba 90
[ 7 f ( x 0 ) 32 f ( x 1 ) 12 f ( x 2 ) 32 f ( x 3 ) 7 f ( x 4 )]
j0 j k
得求积公式
In
k 0
n
Ak f ( x k ) (b a ) C k
k 0
n
(n)
f ( xk )
( Cotes系数 C k n )
上式称为n阶Newton-Cotes(牛顿-柯特斯)公式. 注：（1）Cotes 系数仅取决于 n 和 k , 与 f (x) 及 区间[a, b]均无关 . (n) （2） C k( n ) C n k ( 对 称 性 ). （3）
积分的精确值 I
1 0 .6
1 1 x
2
d x＝ arctgx
1 0 .6
0 .2 4 4 9 7 8 6 6 .
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例2
分别用梯形公式、辛普生公式计算 I
T b a 2
π 4
sin x d x .
0
解：由梯形公式
I T
π 4
f
( a ) f ( b ) 得
由柯特斯公式
I C
C
ba 90
7
f ( x 0 ) 32 f ( x 1 ) 12 f ( x 2 ) 32 f ( x 3 ) 7 f ( x 4 ) 得
数值计算方法 数值积分基本公式 - 数值积分基本公式
求
积 公 式
? 存在的问题
1.插值型求积公式的求积系数当节点不等 距时很难求得；
2.误差表达式中的不确定点的处理有难度
4
设 将 积 分 区 间a , b n等 分 , 记 步 长h b a ,
n
牛
选 取 等 距 节 点xk a kh
顿 － 柯 特 斯
将xk
a
kh, h
b
a n
,
x
a
th代 入 求 积 公 式 得 ：
当 n 2时 , 这 时 柯 特 斯 系 数 为
C
2
0
1 4
2 t 1t 2dt 1 ,
0
6
C
1
2
1 2
2 tt 2dt 4 ,
0
6
C
2
2
1 4
2 tt 1dt 1 .
0
6
这时的求积公式为：
S
ba 6
f
a
4
f
a
2
b
f
b
辛普森公式的误差
取 H 3(a) f (a), H 3(b) f (b),
H
3
(
a
2
b
)
f
(
a
2
b
),
H
3
(
a
2
b
)
f ( a b ) 2
误差估计
根 据H ermite 插 值 余 项 ：
b
b
nb
a f ( x )dx a Ln ( x )dx a lk ( x)dx f ( xk )
k0
求 积 公
注意到：Ak
b
a lk ( x)dx
数值计算方法复习要点
数值计算方法复习要点数值计算方法是计算机科学中常用的一类方法，主要用于在计算机上对数值进行精确的计算和近似的计算。
数值计算方法的核心是数值计算技术，它包括离散化方法、插值方法、数值微积分和数值代数等。
本文将复习数值计算方法的要点，总结为以下几个方面。
一、离散化方法离散化是指将连续问题转化为离散问题的方法，在数值计算中广泛应用。
其基本思想是将连续问题的数学模型用离散点来逼近。
常用的离散化方法有有限差分法和有限元法。
1.有限差分法：将微分方程转化为差分方程，通过计算差分方程的数值解来近似原微分方程的解。
-常见的差分格式有向前差分、向后差分和中心差分。
-一阶导数的差分近似公式有一阶向前差分公式和一阶中心差分公式。
-二阶导数的差分近似公式有二阶中心差分公式。
2.有限元法：将连续问题的域划分为有限个子域，构建一个适当的函数空间，在每个子域上选择一个适当的试函数进行逼近。
-有限元法的基本步骤包括离散化、建立有限元方程、计算有限元解和后处理。
二、插值方法插值方法是一种用已知数据构造出逼近其中一种连续函数的近似函数的方法，它可以用于求解函数值，也可以用于构造近似函数。
1.拉格朗日插值多项式：给定n+1个互不相同的节点，可以构造出一个n次多项式，该多项式在这n+1个节点上取得实际值。
2.牛顿插值多项式：给定n+1个节点和与这些节点对应的函数值，可以通过差商构造一个n次多项式。
3.线性插值：在相邻的两个节点之间，用线性函数来逼近目标函数。
三、数值微积分数值微积分主要包括数值求导和数值积分两个方面。
1.数值求导：通过差分方法，计算函数在其中一点的导数近似值。
-前向差分法和后向差分法是一阶求导的差分方法。
-中心差分法是一阶求导的更精确的方法。
2.数值积分：通过数值方法计算函数的定积分或不定积分的近似值。
-区间分割方法是一种常见的数值积分方法，如梯形法则、辛普森法则和复化求积公式等。
-变换方法是另一种常见的数值积分方法，如换元积分法和对称性积分法等。
科学计算中的数值计算方法
科学计算中的数值计算方法数值计算方法是计算机科学中的一个重要分支，主要研究如何使用计算机进行科学计算。
在很多科学研究和工程问题中，求解精确的解析解是非常困难甚至不可能的，因此我们需要借助于数值计算方法来近似求解。
本文将介绍一些常见的数值计算方法，包括微积分、线性代数、优化、常微分方程等方面。
一、微积分微积分是数学中一个非常基础的概念，其可以用来描述变化率和极值问题。
然而，在实际应用中，由于函数较为复杂，或者函数并不具有解析解等原因，我们需要使用数值方法来求解微积分的结果。
常见的数值方法有数值微积分、数值积分等。
例如，在求解一元函数的导数时，可以使用数值微分，即通过计算函数在某个点的差分来近似求解导数。
常见的数值微分方法有前向差分、后向差分、中央差分等方法，其中中央差分方法的精度更高。
类似地，对于定积分求解，可以采用数值积分方法，包括梯形公式、辛普森公式等。
二、线性代数线性代数是一个非常重要的分支，它包括矩阵运算、行列式求解、特征值与特征向量、线性方程组求解等内容。
再实际应用中，我们经常需要对大量的线性方程组进行求解，例如在计算机图形学、求解物理问题等方面。
常见的数值方法包括高斯-约旦消元法、雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法、逆迭代法等。
这些方法都可以在较短的时间内求解出大规模的线性方程组，但对于特殊类型的矩阵，可能需要使用更加优化的方法。
三、优化优化是一种数学问题求解方法，目的是找到一个使目标函数最小或最大的最优解。
优化在科学计算领域有很多应用场景，例如在机器学习中，我们需要最小化损失函数以提高预测准确率；在数值方法中，我们需要优化参数以提高求解精度等。
常见的数值优化方法包括最小二乘法、梯度下降法、共轭梯度法、拟牛顿法等。
这些方法都有自己的局限性和适用场景，需要根据具体问题进行选择。
四、常微分方程常微分方程是科学计算中另一个重要的研究领域，它研究的是描述自然界中变化的方程。
常微分方程可以用来预测未来的变化趋势，例如天文学家可以根据行星轨道的常微分方程预测未来的星座位置。
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张建瓴
§13.1 数值积分
一、数值积分方法
在工程教学和应用中，除了进行数据逼近外，还要求逼近 曲线下面的面积，这就是积分问题。
典型的数值积分方法有：用常数(0阶多项式)近似函 数矩形法；用直线(一阶多项式)近似函数曲线的梯形 法；用抛物线(二阶多项式)近似函数曲线的Simpson 法，以及用一般多项式近似函数的Romberg法等。
dblquad函数的参数
输入参数inmin，inmax是内变量的下限和上限； outmin、outmax是外变量的下限和上限； tol的含义与命令quad中的情况相同； method是积分方法选项，如“quad”和“quad8”等。 注意： 该命令不适用于内积分区间上、下限为函数的情况。
〖例13-6〗 example13_6.m
quad和quad8的参数
tol是一个二元向量，它的第一个元素用来控制相对误差， 第二个元素用来控制绝对误差，缺省时积分的相对精度为 0.001； trace如果取非零值时，将以动态图形的形式展现积分的 整个过程，若取零值，则不画图，其缺省值是0； pl和p2是向被积函数传递的参数。 在上面的调用格式中，前三个输入参数是调用时必须的， 而后面的输入参数可缺省。
求积分上下限都为常数的二重积分，被积函数为 y*sin(x)+s*cos(y)，其中x的取值范围是π到2π，y的 取值范围是0到π。 （1）建立名为integrnd的M文件
fimction out=integrnd(x,y) out=y*sin(x)+x*cos(y) （2）用函数dblquad命令来求integrnd的二重积分 result=dblquad('integrnd',pi,2*pi,0,pi)3-2 较好的梯形逼近曲线下的面积示意图 从图中可明显地看出，单个梯形的面积在某一段欠估计了 函数真正的面积，而在其它段又过估计了函数的真正面积。 如同线性插值，当梯形数目越多时，函数的近似面积越准 确。例如，在图13-1中，如果我们大致增加一倍数目的梯 形，我们得到如下（如图13-2）所示的更好的近似结果。
trapz 函数的应用
对如上所示的两个曲线，用trapz在区间-1<x<2上计算 y=humps(x)下面的面积：
>>x=-1: 0.17: 2;
% rough approximation
>>y=humps(x);
>>area=trapz(x, y) plot command
% call trapz just like the
area =
25.9174
trapz 函数的应用
>>x=-1: 0.07: 2; >>y=humps(x); >>area=trapz(x , y) area =
26.6243
% better approximation
上述两个结果不同是基于对图形的观察，粗略近似可能低 估了实际面积。除非特别精确，没有准则说明哪种近似效 果更好。
三、多重数值积分
一元函数积分中存在的问题，同样存在于多重积分中。
1、积分限为常数的二重积分
多重积分使用函数dblquad，其完整的调用格式为：
result=dblquad('fun',inmin, inmax, outmin, outmax, tol, method)
其中：输入参数fun是被积函数，可以直接用字符串内联 函数或M函数文件表达，但不论什么形式，该被积函数应 有两个变量，即内变量和外变量。内变量接受向量输入， 外变量接受标量输入。被积函数的输出是与内变量同长的 向量。
26.3450
quad和quad8函数的调用
>>area=quad8(‘humps‘,-1,2) area =
26.3450 注意： 这两个函数返回完全相同的估计面积，而且这个估计值在 两个trapz面积的估计值之间。
[例13-1] example13_1.m
（1）建立函数funq function y=funq(x) y=x.^3+x.^2+2;
y=sin(x^3)*sqrt(x)
x求y,
表13-1列出了函数数值积分的一些命令。
常见的一元数值积分命令
表13-1 函数数值积分的命令
二、一（元）维数值积分
MATLAT提供了在有限区间内，数值计算某函数下的面积 （积分）的三种函数：trapz，quad和quad8。
1、trapz函数 函 数 trapz 通 过 计 算 若 干 梯 形面积的和来近似某函数的 积分，这些梯形如图13-1所 示 ， 是 通 过 使 用 函 数 humps 的数据点形成。
quad函数和quad8函数
MATLAB提供的求积函数命令quad和quad8在使用时，
其递推的层次限制在十层以内，达到这个限制则会
提示警告信息，并且这两个函数命令都不能解决可
积的奇异值问题，例如，求解
1
0
1 dx 。
x
quad和quad8函数调用格式
函数quad和quad8完整的调用格式为： （ 1 ） q=quad('fun',a,b,tol,trace,pl,p2,…) 采 用 Simpson法计算积分； （2）q=quad8('fun',a,b,tol,trace,p1,p2,…) 采用 八样条Newton-Cotes公式求数值积分。 其中：fun是被积函数，可以是表达式字符串、内联函数、 M函数文件名，被积函数的自变量，一般采用字母x； a、b分别是积分的上、下限，都是确定的值；
quad和quad8函数的调用
MATLAB的函数quad和quad8是基于数学上的正方形概念来 计算函数的面积。为获得更准确的结果，两个函数在所需 的区间都要计算被积函数。 与简单的梯形比较，这两个函数进行更高阶的近似，而且 quad8比quad更精确。这两个函数的调用方法与fzero相 同，即 >>area=quad(‘humps‘,-1,2) % find area between -1 and 2 area =
求函数的数值积分
（2）对被积函数funq进行数值积分 q=quad('funq',-1,1,le-4) ％使用quad命令求数值积分 q=
4.6667
[例13-1]
q8=quad8('funq',-1,1,le-4,1) 值积分
％ 用 quad8 命 令 求 数
q8=
4.6667
程序的运行结果显示出积分的过程如图13-3所示。