数值计算微积分

quad和quad8函数的调用
MATLAB的函数quad和quad8是基于数学上的正方形概念来 计算函数的面积。为获得更准确的结果，两个函数在所需 的区间都要计算被积函数。 与简单的梯形比较，这两个函数进行更高阶的近似，而且 quad8比quad更精确。这两个函数的调用方法与fzero相 同，即 >>area=quad(‘humps‘,-1,2) % find area between -1 and 2 area =
trapz 函数的应用
对如上所示的两个曲线，用trapz在区间-1<x<2上计算 y=humps(x)下面的面积：
>>x=-1: 0.17: 2;
% rough approximation
>>y=humps(x);
>>area=trapz(x, y) plot command
% call trapz just like the
求积分上下限都为常数的二重积分，被积函数为 y*sin(x)+s*cos(y)，其中x的取值范围是π到2π，y的 取值范围是0到π。 （1）建立名为integrnd的M文件
fimction out=integrnd(x,y) out=y*sin(x)+x*cos(y) （2）用函数dblquad命令来求integrnd的二重积分 result=dblquad('integrnd',pi,2*pi,0,pi) result= -9.8698
三、多重数值积分
一元函数积分中存在的问题，同样存在于多重积分中。
1、积分限为常数的二重积分
多重积分使用函数dblquad，其完整的调用格式为：
result=dblquad('fun',inmin, inmax, outmin, outmax, tol, method)
其中：输入参数fun是被积函数，可以直接用字符串内联 函数或M函数文件表达，但不论什么形式，该被积函数应 有两个变量，即内变量和外变量。内变量接受向量输入， 外变量接受标量输入。被积函数的输出是与内变量同长的 向量。
26.3450
quad和quad8函数的调用
>>area=quad8(‘humps‘,-1,2) area =
26.3450 注意： 这两个函数返回完全相同的估计面积，而且这个估计值在 两个trapz面积的估计值之间。
[例13-1] example13_1.m
（1）建立函数funq function y=funq(x) y=x.^3+x.^2+2;
area =
25.9174
trapz 函数的应用
>>x=-1: 0.07: 2; >>y=humps(x); >>area=trapz(x , y) area =
26.6243
% better approximation
上述两个结果不同是基于对图形的观察，粗略近似可能低 估了实际面积。除非特别精确，没有准则说明哪种近似效 果更好。
quad函数和quad8函数
MATLAB提供的求积函数命令quad和quad8在使用时，
其递推的层次限制在十层以内，达到这个限制则会
提示警告信息，并且这两个函数命令都不能解决可
积的奇异值问题，例如，求解
1
0
Байду номын сангаас
1 dx 。
x
quad和quad8函数调用格式
函数quad和quad8完整的调用格式为： （ 1 ） q=quad('fun',a,b,tol,trace,pl,p2,…) 采 用 Simpson法计算积分； （2）q=quad8('fun',a,b,tol,trace,p1,p2,…) 采用 八样条Newton-Cotes公式求数值积分。 其中：fun是被积函数，可以是表达式字符串、内联函数、 M函数文件名，被积函数的自变量，一般采用字母x； a、b分别是积分的上、下限，都是确定的值；
第13讲 数值计算 —微积分
张建瓴
§13.1 数值积分
一、数值积分方法
在工程教学和应用中，除了进行数据逼近外，还要求逼近 曲线下面的面积，这就是积分问题。
典型的数值积分方法有：用常数(0阶多项式)近似函 数矩形法；用直线(一阶多项式)近似函数曲线的梯形 法；用抛物线(二阶多项式)近似函数曲线的Simpson 法，以及用一般多项式近似函数的Romberg法等。
dblquad函数的参数
输入参数inmin，inmax是内变量的下限和上限； outmin、outmax是外变量的下限和上限； tol的含义与命令quad中的情况相同； method是积分方法选项，如“quad”和“quad8”等。 注意： 该命令不适用于内积分区间上、下限为函数的情况。
〖例13-6〗 example13_6.m
y=sin(x^3)*sqrt(x)
x求y,
表13-1列出了函数数值积分的一些命令。
常见的一元数值积分命令
表13-1 函数数值积分的命令
二、一（元）维数值积分
MATLAT提供了在有限区间内，数值计算某函数下的面积 （积分）的三种函数：trapz，quad和quad8。
1、trapz函数 函 数 trapz 通 过 计 算 若 干 梯 形面积的和来近似某函数的 积分，这些梯形如图13-1所 示 ， 是 通 过 使 用 函 数 humps 的数据点形成。
trapz 函数
图13-2 较好的梯形逼近曲线下的面积示意图 从图中可明显地看出，单个梯形的面积在某一段欠估计了 函数真正的面积，而在其它段又过估计了函数的真正面积。 如同线性插值，当梯形数目越多时，函数的近似面积越准 确。例如，在图13-1中，如果我们大致增加一倍数目的梯 形，我们得到如下（如图13-2）所示的更好的近似结果。
quad和quad8的参数
tol是一个二元向量，它的第一个元素用来控制相对误差， 第二个元素用来控制绝对误差，缺省时积分的相对精度为 0.001； trace如果取非零值时，将以动态图形的形式展现积分的 整个过程，若取零值，则不画图，其缺省值是0； pl和p2是向被积函数传递的参数。 在上面的调用格式中，前三个输入参数是调用时必须的， 而后面的输入参数可缺省。
求函数的数值积分
（2）对被积函数funq进行数值积分 q=quad('funq',-1,1,le-4) ％使用quad命令求数值积分 q=
4.6667
[例13-1]
q8=quad8('funq',-1,1,le-4,1) 值积分
％ 用 quad8 命 令 求 数
q8=
4.6667
程序的运行结果显示出积分的过程如图13-3所示。