第一章 1.4.3含有一个量词的命题的否定

填一填·知识要点、记下疑难点
1.4.3
1.全称命题的否定：
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全称命题 p：∀x∈M，p(x)， 它的否定綈 p：∃x0∈M，綈 p(x0). 2.特称命题的否定： 特称命题 p：∃x0∈M，p(x0)， 它的否定綈 p： ∀x∈M，綈 p(x). 3.全称命题的否定是 特称 命题. 特定命题的否定是 全称 命题.
p≥1或p≤－1， 2 即 p≥3或p≤－3. 2
3 ∴p≥ 或 p≤－3. 2
3 故 p 的取值范围是－3<p< . 2
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小结
1.4.3
通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维
的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集 合的补集，可避免繁杂的运算. 跟踪训练 3 已知下列三个方程：(1)x2＋4ax－4a＋3＝0；
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(2)p：若 an＝－2n＋10，则∃N，使 Sn<0.
解 (1)綈 p：∀x>1，x2－2x－3≠0.(假)
(2)綈 p：若 an＝－2n＋10，则∀n∈N，Sn≥0.(假)
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探究点三 例3 特称命题、全称命题的综合应用
1.4.3
已知函数 f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1 在区间[－1,1]
对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：
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(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题. (2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词 改为恰当的全称量词. (3)否定结论： 原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等 改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等. (4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.
其否定为特称命题，即綈 p：存在 x0∈R，x3－x2＋1>0. 0 0
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2.对下列命题的否定说法错误的是 的数不是偶数
1.4.3
( C ) A.p：能被 2 整除的数是偶数；綈 p：存在一个能被 2 整除 B.p：有些矩形是正方形；綈 p：所有的矩形都不是正方形
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跟踪训练 1 写出下列命题的否定： (1)三个给定产品都是次品； (2)数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数； (3)∀a，b∈R，方程 ax＝b 都有惟一解；
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1.4.3
(4)可以被 5 整除的整数，末位是 0.
解 (1)是全称命题，其否定：三个给定产品中至少有一个是 正品. (2)是全称命题，其否定：数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是
偶数. (3)是全称命题，其否定：∃a，b∈R，使方程 ax＝b 的解不
惟一.
(4)是全称命题，其否定：存在被 5 整除的整数，末位不是 0.
研一研·问题探究、课堂更高效 探究点二 特称命题的否定
问题 1 你能写出下列特称命题的否定吗？ (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形；
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1.4.3
解
(1)綈 p：存在一个能被 3 整除的整数不是奇数.
(2)綈 p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆. (3)綈 p：∃x0∈Z，x2的个位数字等于 3. 0
小结 全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称 命题可补上量词后进行否定.
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(3)綈 p：每一个素数都不含三个正因数.
小结
特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别
改变其中的量词和判断词.即 p：∃x0∈M，p(x0)成立⇒綈 p： ∀x∈M，綈 p(x)成立.
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1.4.3
跟踪训练 2 写出下列特称命题的否定，并判断其真假. (1)p：∃x0>1，使 x2－2x0－3＝0； 0
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4. 命 题 “ 零 向 量 与 任 意 向 量 共 线 ” 的 否 定 为 有的向量与零向量不共线 _________________________.
解析
命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零
向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题：“有的向量 与零向量不共线”.
1.4.3
上至少存在一个实数 c，使得 f(c)>0.求实数 p 的取值范围.
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解 在区间[－1,1]中至少存在一个实数 c， 使得 f(c)>0 的否定是在[－1,1]上的所有实数 x，都有 f(x)≤0 恒成立.又由二次函数的图象特征可知，
f－1≤0， f1≤0， 4＋2p－2－2p2－p＋1≤0， 即 4－2p－2－2p2－p＋1≤0，
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1.4.3
1.命题：对任意 x∈R，x3－x2＋1≤0 的否定是 A.不存在 x0∈R，x3－x2＋1≤0 0 0
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( C )
B.存在 x0∈R，x3－x2＋1≥0 0 0 C.存在 x0∈R，x3－x2＋1>0 0 0 D.对任意 x∈R，x3－x2＋1>0 解析 命题 p： 对任意 x∈R， 3－x2＋1≤0 是一个全称命题， x
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1.4.3
探究点一 全称命题的否定 问题 1
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我们在上一节中学习过逻辑联结词“非”.对给定
的命题 p，如何得到命题 p 的否定(或綈 p)，它们的真假性 之间有何联系？
答案 对命题 p 全盘否定，可得到命题綈 p，命题 p 和綈 p 的真假性相反.
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1.4.3
1.4.3
【学习要求】
含有一个量词的命题的否定
1.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
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2.理解全称命题与特称命题之间的关系. 【学法指导】 要正确地对含有一个量词的全称命题或特称命题进行否 定，我们一方面要充分理解量词的含义，另一方面应充分 利用原先的命题与它的否定在形式上的联系. 通过探究观察，总结规律，容易得到全称命题的否定是特 称命题，以及特称命题的否定是全称命题的结论.
问题 2
1.4.3
你能尝试写出下面含有一个量词的命题的否定吗？
(1)所有矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.
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这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
答案 (1)存在一个矩形不是平行四边形； (2)存在一个素数不是奇数；
(3)∃x0∈R，x2－2x0＋1<0. 0
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例 2 写出下列特称命题的否定： (1)p：∃x0∈R，x2＋2x0＋2≤0； 0 (2)p：有的三角形是等边三角形； (3)p：有一个素数含三个正因数.
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1.4.3
解
(1)綈 p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0.
(2)綈 p：所有的三角形都不是等边三角形.
原来的三个命题都是全称命题，它们的否定是特称命题.
结论 全称命题 p：∀x∈M，p(x)， 它的否定綈 p：∃x0∈M，綈 p(x0)， 全称命题的否定是特称命题.
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例 1 写出下列全称命题的否定： (1)p：所有能被 3 整除的整数都是奇数； (2)p：每一个四边形的四个顶点共圆； (3)p：对任意 x∈Z，x2 的个位数字不等于 3.
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1.4.3
(3)∃x0∈R，x2＋1<0. 0 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？ 答案 (1)所有实数的绝对值都不是正数； (2)所有平行四边形都不是菱形；
(3)∀x∈R，x2＋1≥0. 已知的三个命题是特称命题，它们的否定是全称命题.
结论 特称命题 p：∃x0∈M，p(x0)， 它的否定綈 p：∀x∈M，綈 p(x). 特称命题的否定是全称命题.
C.p：有的三角形为正三角形；綈 p：所有的三角形不都是 正三角形 D.p：∃x∈R，x2＋x＋2≤0；綈 p：∀x∈R，x2＋x＋2>0
解析
“有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全
称命题： “所有的三角形都不是正三角形”， 故选项 C 错误.
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1.4.3
3. 命 题 “ 对 任 何 x∈R ， |x － 2| ＋ |x － 4|>3” 的 否 定 是 存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3 _________________________________.
(2)x2＋(a－1)x＋a2＝0；(3)x2＋2ax－2a＝0.若至少有一个
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方程有实数解，求实数 a 的取值范围. 解 当三个方程都没有实数解时，a 应该满足： 1 3 －2<a<2， Δ1＝16a2＋44a－3<0， 2 2 1 Δ2＝a－1 －4a <0， 解得 Δ ＝4a2＋8a<0， a<－1或a>3， 3 3 －2<a<0， 即－ <a<－1. 2 3 故满足题意的 a 的取值范围是{a|a≤－ 或 a≥－1}. 2