正弦函数和和余弦函数的定义与诱导公式题目与答案

正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式

正弦函数和余弦函数的定义

【要点链接】

1．单位圆的定义：

注意两点：以原点为圆心，以单位长为半径． 2．任意角的正弦函数和余弦函数的定义：

对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合： ①终边与单位圆交于点),(v u P ，过P 作PM 与x 轴垂直，垂足为M ，

那么v =αsin ，u =αcos ；线段MP 为角α的正弦线，线段OM 为角α的余弦线． ②可设终边上不同于原点的任意一点为),(y x P ，r OP =， 那么r y =

αsin ，r

x =αcos ． 注意②是正弦函数和余弦函数的定义的推广，可直接应用．

3．周期与最小正周期：

记住正弦函数和余弦函数的最小正周期都为π2，可直接用． 会判断一个数是否是一个函数的周期． 【随堂练习】 一、选择题

1．单位圆是指（ ）

A ．半径为1的圆

B ．圆心为坐标原点且半径为1的圆

C ．半径为整数的圆

D ．圆心为坐标原点且半径为整数的圆 2．若sin cos 0αα>且cos 0α<，则α的终边所在象限是（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 3．已知角α的终边过点(1,2)P -，则cos α的值为（ ）

A ．25

B ．

C ．552

D ．5

-4．设0a <，角α的终边经过点(3,4)P a a -，那么sin 2cos αα+的值等于（ ）

A ．52

B ．－52

C ．51

D ．－5

1

二、填空题

5．0

sin(60)-=_______．

6．若角α的终边在直线2y x =上，且sin 0α<，那么cos α=_______． 7．角α的终边上有一点(,5)P m ，且)0(,13

cos ≠=m m

α，则m =______．

三、解答题

8．已知单位圆上一点()P a ，设以射线OP 为终边的角(02)θθπ<<，求角θ 的正弦值，并作出角θ的正弦线．

9．已知角α终边上一点P 与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为3∶4（且均不为零）， 求2sin cos αα+的值．

答案

1．B 由单位圆的定义可知．

2．C 知cos 0α<且sin 0α>，那么α在第三象限．

3．D

知OP =，设角α的终边与单位圆的交点为(,)x y ，由相似比知

1cos x OP α-===． 4．A 知射线OP 方程为4(0)3y x x =-≥，它与单位圆的交点为34

(,)55

-，

则4sin 5α=-，3cos 5α=，所以2

sin 2cos 5

αα+=．

5

．-画出0

60-

角的终边，它与单位圆的交点为1(,2

，则0sin(60)-=．

6

．5-直线2y x =

与单位圆的交点为

或(，而sin 0α<，

则cos 5

α=-

． 7．12±

由相似比知cos 13m α==12m =±．

8．解：因为点P

在单位圆上，则22(1a +=，解得1

2a =±

当12a =时，点P 坐标为1()22-，则1sin 2

θ=； 当12a =-时，点P 坐标为1()2-，则1sin 2

θ=-． 角θ的正弦线即为图中的MP 与MP '．

9．解：设0a >，点P 的情况有四种：(4,3)a a 、(4,3)a a -、(4,3)a a --、(4,3)a a -．

若角α终边过点(4,3)P a a ，则25

4

532cos sin 2=+⋅=+αα；

若角α终边过点(4,3)P a a -，则52

54532cos sin 2=-+⋅=+αα；

若角α终边过点(4,3)P a a --，则254

532cos sin 2-=-+-⋅=+αα；

若角α终边过点(4,3)P a a -，则5

2

54532cos sin 2-=+-⋅=+αα．

备选题

1．若(sin )sin 2f x x =，则0

(sin 30)f 的值等于（ ）

A ．

2

1 B ．－

2

1 C ．－

2

3 D ．

2

3 1．D 0

(sin 30)sin(230)sin 602

f =⨯==．

2．已知角θ

的终边在直线3

y x =上，则sin θ= ． 2．12±

直线3y x =

与单位圆的交点为1,)22

、1(,)22--，则1sin 2

θ=±．

正弦函数和余弦函数的诱导公式

【要点链接】

1．会通过单位圆中的正弦线和余弦线得出角α与角α-，角α与角πα±， 角α与角απ-，角α与角

απ

+2

的正弦值与余弦值之间的关系；

2．会记住以上公式并灵活运用；

3．诱导公式的一个统一的记法：奇变偶不变，符号看象限．

介绍如下：比如对))(2

sin(Z k k

∈±απ，首先把α看作第一象限的角，当k 为奇数时， 名称sin 要变成cos ，当k 为偶数时，名称sin 不变；正负号要由

απ±2

k

的象限而确定．

要熟练掌握上述方法，可以不必再去记忆那么多公式，而且可以很快很准确去做出． 【随堂练习】 一、选择题

1．化简5cos()2

πα+为（ ） A ．cos α B ．cos α- C ．sin α D ．sin α-

2．已知1cos 2α=，且3

22παπ<<，则sin(2)πα-等于（ ）

A

．- B

C ．1

2

D

．3．下列各式不正确的是（ ）

A ．0

sin(180)sin αα+=- B ．cos()cos()αβαβ-+=-- C ．0sin(360)sin αα--=- D ．cos()cos()αβαβ--=+ 4．2

2

2

sin 150sin 1352sin 210sin 225+++的值是（ ）

A ．

4

1 B ．

4

3 C ．

4

11 D ．

4

9

二、填空题

5．若3cos()5απ+=，则7

sin()2

απ--=_______． 6．已知sin y x =的最小正周期为2π，请写出()sin 2f x x =的比2π小的一个周期

为_______．

7．设角356

απ=-，则2

23

2sin()sin()cos()

21sin sin()cos ()παπαπααπαπα+--+=++--+_______．

三、解答题