大学数学2018-2019微分几何期末考试 含答案
高等数学微积分期末试卷及答案
选择题（6×２）
1.设f (x) 2cosx , g(x) ( 1)sin x 在区间（0， ）内（ ）。
2
2
Ａf (x)是增函数，g(x)是减函数
Bf (x)是减函数，g(x)是增函数
C二者都是增函数
D二者都是减函数
2、x 0时，e2x cos x与sin x相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小
2
五、应用题 1、 2、 描绘下列函数的图形
y x2 1 x
解：1.Dy=(-,0) (0,+)
1 2.y'=2x- x2
2x3 1 x2
令y ' 0得x 3 1 2
y
''
2
2 x3
令y '' 0,得x 1
3.
4.补充点 (2, 7).( 1 , 7).(1, 2).(2, 9)
2 22
且f (x1) f (x2 ) 0 至少 （x2, x2），stf ( ) 0 而f '( ) 3 2 1 1与假设相矛盾 方程x3 x 1 0有且只有一个正实根
2、 证明arcsin x arccos x （1 x 1） 2
证明：设f (x) arcsin x arccos x
f '(x) 0令A f（' 0），B f '(1),C f (1) f (0),则必有A>B>C( )
1~5 FFFFT
三、计算题
1
1 用洛必达法则求极限 lim x2e x2 x0
1
1
解：原式=
lim
x0
e x2 1
lim
2018-2019《大学数学微积分B1》试卷及答案
保密★启用前2018-2019学年第一学期期末考试《高等数学BⅠ》考生注意事项1．答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生教学号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写考试科目、考生姓名和考生教学号，并涂写考生教学号信息点。
2．选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。
超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。
3．填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。
4．考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。
(以下信息考生必须认真填写)考生教学号考生姓名《高等数学B Ⅰ》试题答案 第 1 页 （共 5 页）一、选择题：1～6小题，每小题3分，共18分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将答案写在答题卡上，写在试题册上无效． 1. 1lim(1)nn n →∞+=（ B ）.（A ）0 （B ）1 （C ）e （D ）1e2. 设()f x 为可导函数，且满足条件0(1)(1)lim12x f f x x→−−=−，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率等于（ C ）.（A ）2 （B ）1− （C ）2− （D ）123. 设0()()()d xF x x t f t t =−⎰ ()f x 为连续函数，且(0)=0()0f f x '>，，则()y F x =在0+∞（，）内（ A ）.（A ）单调增加且为下凸 （B ）单调增加且为上凸 （C ）单调减少且为下凸 （D ）单调减少且为上凸 4. 曲线221e 1e−−+=−x x y （ D ）.（A ）没有渐近线 （B ）仅有水平渐近线（C ）仅有铅直渐近线 （D ）既有水平渐近线又有铅直渐近线 5. 若ln ()sin f t t =，则()d ()tf t t f t '=⎰（ A ）. （A ）sin cos ++t t t C （B ）sin cos −+t t t C （C ）sin cos ++t t t t C （D ）sin +t t C6. 使不等式1sin d ln xtt x t>⎰成立的x 的范围是（ C ）. （A ）π(1,)2（B ）π(,π)2 （C ）(0,1) （D ）(π,+)∞《高等数学B Ⅰ》试题答案 第 2 页 （共 5 页）二、填空题：7～12小题，每小题3分，共18分．7. 设当0x →时，2(1cos )ln(1)x x −+是比sin n x 高阶的无穷小，而sin n x 是比2e 1x −高阶的无穷小，则正整数n 等于 3 .8．设函数()y y x =由方程2e cos()e 1x y xy +−=−所确定，求d d x yx== 2− .9. 函数()ln 12=−y x 在0=x 处的(2)n n >阶导数()(0)n f = 2(1)!n n −⋅− . 10. 221d x x x −−=⎰116． 11. 121e d x x x−∞=⎰ 1 ． 12. Oxy 平面上的椭圆22149x y +=绕x 轴旋转一周而形成的旋转曲面的方程是 222149x y z ++= . 三、解答题：13～19小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13.（本题满分10分）求函数3sin ()xf x x xπ=−的间断点，并判断间断点的类型. 【解】因为3sin sin ()(1)(1)x xf x x x x x x ππ==−−+，显然0,1,1x =−为间断点. 2分 于是lim ()lim(1)(1)x x xf x x x x →→π==π−+， 4分1111sin 1cos lim ()limlim 21212x x x x x f x x →−→−→−ππππ=−=−=+ 6分 1111sin 1cos lim ()limlim 21212x x x x x f x x →→→ππππ===−−， 8分 所以0,1,1x =−是第一类中的可去间断点. 10分《高等数学B Ⅰ》试题答案 第 3 页 （共 5 页）14.（本题满分10分）设cos sin ,sin cos x t t t y t t t =+⎧⎨=−⎩，求224d d t y x π=.【解】由题意，得4d (sin cos )cos cos sin d tan , 1.d (cos sin )sin sin cos d t y t t t t t t t yt x t t t t t t t x π='−−+===='+−++ 5分222324d d tan d 1d ,d d d cos d t y t t yx t x t t x π==⋅==π10分15.（本题满分10分）求x ． 【解】设tan ,,22x t x ππ=−<<，则2d sec d x t t =，于是 3分 原式2= 5分 2cos d sin tt t=⎰2sin dsin csc t t t C −==−+⎰ 9分C =+. 10分16．（本题满分10分）求函数3226187y x x x =−−−的极值.【解】2612186(3)(1),y x x x x '=−−=−+ 2分 令0,y '=得驻点123, 1.x x ==− 5分 又1212,(3)240,(1)240,y x y y ''''''=−=>−=−< 8分《高等数学B Ⅰ》试题答案 第 4 页 （共 5 页）所以极大值(1)3y −=，极小值(3)61y =−. 10分17.（本题满分10分）求由曲线y =1,4,0x x y ===所围成的平面图形的面积及该图形绕y 轴旋转一周所形成的立体的体积.【解】（1） 1S x =⎰2分432121433x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 5分 （2） 解法1： 412y V x =π⎰ 7分4521412455x ⎡⎤π==π⎢⎥⎣⎦ 10分解法2： 24132d y V y y =π−π−π⎰ 7分1245=π 10分18.（本题满分8分）求过直线50:40x y z L x z ++=⎧⎨−+=⎩，且与平面48120x y z −−+=交成π4角的平面方程．【解1】过已知直线L 的平面束方程为(4)(5)0x z x y z λ−++++=，即(1)5(1)40x y z λλλ+++−+=. 2分 已知平面的法向量为(1,4,8)−−. 由题设条件，有πcos4=， 即2=，由此解得0λ=或43λ=−. 6分《高等数学B Ⅰ》试题答案 第 5 页 （共 5 页）将0λ=或43λ=−分别代入平面束方程，得所求平面方程为40207120x z x y z −+=++−=，. 8分 【解2】过已知直线L 的平面束方程为(4)(5)0x z x y z λ−++++=，即(1)5(1)40x y z λλλ+++−+=. 2分 已知平面的法向量为(1,4,8)−−. 由题设条件，有πcos4=即2=，由此解得34λ=−. 6分 将34λ=−分别代入平面束方程，得所求平面方程为207120x y z ++−=. 7分另外，40x z −+=也是所求平面方程. 8分19.（本题满分6分）设函数()f x 在[]0,2π上连续，在(0,2π)内可导，且(0)1,(π)3,f f ==(2π)2f =. 试证明在(0,2π)内至少存在一点ξ，使()()cos 0f f ξξξ'+=.【证】 构造函数sin ()()e x F x f x =. 2分 因为()F x 在[]0,2π上连续，在(0,2π)内可导，且(0)1,(π)3,(2π)2F F F ===. 3分因为2是介于(0)1F =与(π)3F =之间的，故由闭区间上连续函数的介值定理知，在(0,π)内存在一点c 使得()2(2π)F c F ==． 5分于是在[],2πc 上函数()F x 满足罗尔定理的条件，所以[]sin ()()()cos e 0,(,2π)(0,2π)F f f c ξξξξξξ''=+=∈⊂.则原结论成立． 6分。
2018年秋季学期微积分期末试卷解答
一． 填空题 1. 答案： 解析：
. 当 时，
所以 若
.综上， .
2. 答案：1
解析：
，
，则必有
1
3. 答案：
解析：
，
4. 答案： 解析：由泰勒定理得，
，其中
.于是，
.
2
5. 答案： 解析：
6. 答案： 解析：
7. 答案：
解析：
.
8. 解析：设
或 ，
，得
.
或
，
，
，
.代入
，得
3
.代入 .因此，
. 或者
， ， .因此，
，
，
，
.代入
，
，得
.
，
.代入
，得
，
.
二． 解析：由
时，
，可知
三． 解析： ，
.
，代入点
得
.
，代入点 得
，
.
，
4
四． 解析：
，整理得
，两边求得得， .
当 时， (
).因此，
，
，故
，得 .
五． 解析：由柯西中值定理得，存在 ，即
.
使得 ，
六． 解析：双纽线的极坐标方程为
，则
பைடு நூலகம்
.
，则由
得
，与
矛盾.
，解得
综上，
.
或者
得，
，
，所以数列 单调递减，且
，
由单调有界准则可知，极限
存在，且
.若
，则
.由
得
，得
矛盾.因此，
.
(2)因为
微分几何试题及答案
微分几何试题及答案导言：微分几何是现代数学的一个重要分支，研究曲线和曲面的性质以及它们在空间中的几何关系。
本文将给出一些微分几何的试题，并提供对应的答案和解析，以帮助读者更好地理解微分几何的概念和方法。
1. 曲线的参数方程试题：给定二维曲线C的参数方程为 x = t^2, y = t^3, 求C在t=1处的切向量和法向量。
解析：曲线C的切向量和法向量可以通过求导得到。
对参数方程关于t求导，得到 x' = 2t, y' = 3t^2。
将t=1代入求得 x'(1) = 2，y'(1) = 3。
因此，在t=1处，曲线C的切向量为 (2, 3)，法向量为 (-3, 2)。
2. 曲线的切线方程试题：已知二维曲线C的参数方程为 x = cos t, y = sin t，求C在t=π/4处的切线方程。
解析：曲线C在t=π/4处的切向量可以通过求导得到。
对参数方程关于t求导，得到 x' = -sin t, y' = cos t。
将t=π/4代入求得x'(π/4) = -1/√2，y'(π/4) = 1/√2。
因此，在t=π/4处，曲线C的切向量为 (-1/√2, 1/√2)。
切向量与点的乘积即切线方程的标准形式。
对于曲线C在t=π/4处的切线方程，带入坐标点(cos(π/4), sin(π/4)) = (√2/2, √2/2)，切向量 (-1/√2, 1/√2)，得到切线方程 -x + y = 0。
3. 曲线的曲率和法曲率试题：已知三维曲线C的参数方程为 x = 2t, y = t^2, z = 3t^3，求C在t=1处的曲率和法曲率。
解析：曲线C的曲率和法曲率可以通过求导得到。
对参数方程关于t求导，得到 x' = 2, y' = 2t, z' = 9t^2。
将t=1代入求得 x'(1) = 2，y'(1) = 2，z'(1) = 9。
微分几何期末试题及答案
微分几何期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪一项不是微分几何的研究对象？A. 流形B. 曲线C. 曲面D. 代数方程2. 在微分几何中，下列哪个概念是用来描述曲线的弯曲程度？A. 切线B. 曲率C. 法向量D. 微分3. 给定一个曲面上的点，其邻域内的所有点都可以通过该点的哪种向量场来到达？A. 切向量B. 法向量C. 零向量D. 任意向量4. 以下哪个是微分几何中研究曲面局部性质的重要概念？A. 拓扑B. 度量C. 群论D. 线性代数5. 在曲面上，高斯曲率的计算公式是什么？A. K = R/(2π)B. K = R^2/(2π)C. K = det(II - e^(-2u) * I)D. K = det(I - e^(-2u) * II)6. 以下哪个是微分几何中研究曲面全局性质的重要概念？A. 曲率B. 度量C. 测地线D. 向量场7. 给定一个流形，其上的每一个点都有一组局部坐标，这组坐标被称为该点的什么？A. 切向量B. 法向量C. 坐标图D. 邻域8. 在微分几何中，哪种类型的曲面可以通过一个平面曲线的旋转来生成？A. 圆柱面B. 抛物面C. 双曲面D. 椭球面9. 以下哪个是微分几何中研究曲面上最短路径的概念？A. 测地线B. 切线C. 法线D. 曲率10. 微分几何中的“黎曼几何”主要研究的是什么类型的几何结构？A. 欧几里得空间B. 黎曼流形C. 仿射空间D. 射影空间二、简答题（每题10分，共40分）11. 请简述什么是流形，并给出一个具体的例子。
12. 解释什么是度量张量，并说明它在微分几何中的作用。
13. 描述一下什么是测地线，并说明它在曲面上的性质。
14. 阐述高斯绝妙定理（Gauss's Theorema Egregium）的意义及其在微分几何中的重要性。
三、解答题（每题15分，共30分）15. 给定一个曲面上的两点A和B，证明通过A点的任意一条测地线都可以延伸到B点。
2019年微积分期末考试题及答案
…（6分）
A.可分离变量 B.齐次 C.一阶线性 D.伯努利
三、解答题
11.（本题满分10分）求曲线L： 在其上点M（1，－1，2）处的切线方程与法平面方程.
解：由L，视x为自变量，有
以 代入并解出 ，得
，
所以切线方程为
，
法平面方程为
，即 .
12.求直线 绕x轴旋转一周所得的旋转曲面方程.
解．直线：
曲面上点 直线上点
则旋转曲面方程：
13、 由 确定，求 .
解：设 ，则
， ，
， (3分)
(6分)
14、求函数 的极值。
解： ，则
， ，
， ，
求驻点，解方程组 得 和 .…（2分）
对 有 ， ， ，
于是 ，所以 是函数的极大值点，且 …（4分）
对 有 பைடு நூலகம் ， ，
于是 ， 不是函数的极值点。
15、计算二重积分 ,其中 是由 及 所围成的闭区域；
2019年微积分期末考试题及答案
一 、填空题
1.点M（1,－1, 2）到平面 的距离d=.
2.数量场 在 点的梯度为
函数 在P点沿 的方向导数为.
3.函数 在 点取得极值.
.
4、微分方程 具有形式的特解.（ ）
5、级数 的和为。（ ）
二、选择题
6知 与 均收敛,
则常数 的取值范围是(C).
(A) (B) (C) (D)
7、 和 存在是函数 在点 可微的（ A ）。
A.必要非充分的条件； B.充分非必要的条件；
C.充分且必要的条件； D.即非充分又非必要的条件。
8、由曲面 和 及柱面 所围的体积是（B）
18-19高数(A-2)期末A卷参考答案(6.04)
课程名称:高等数学（A-2）期末A 卷参考答案第1 页 （共 6 页）学 院: 班级: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――提示：请将答案写在答题纸上，写在试卷页或草稿纸上的无效。
交卷时请将答题纸（5-6页）和试卷页分开上交。
写在背面或写错位置的一定要在原题位置注明写到了答题纸何处。
一、 填空题（3分×5=15分）1.设L 为任意一条逆时针方向的简单闭曲线，则曲线积分d 2d Lx y +=⎰0 ；2. 设∑为柱面221x y +=在01z ≤≤之间的部分，则曲面积分d S ∑=⎰⎰ 2π ；3.已知级数1n n u ∞=∑的部分和为212n n n S -=，则级数1n n u ∞=∑的和s = 1 ； 4.如果幂级数1nn n a x∞=∑与1nn n b x∞=∑的收敛半径分别是2和3，且n n a b ≠，则幂级数()1n nn n ab x ∞=-∑的收敛半径为 2 ；5.微分方程()31y y '''+=是 2 阶微分方程.二、 单项选择题（3分×8=24分）1. 若空间区域Ω由抛物面22y x z +=及平面1z =围成，则Ω的体积不可以．．．表示为（ A ）．（A ）22(1)d d d x y x y z Ω--⎰⎰⎰； （B ）222211111d d d x xx y x y z ----+⎰⎰⎰；（C ）22110d d d rr r z πθ⎰⎰⎰； （D ）221d d d x y zzx y +≤⎰⎰⎰.2.设L 为直线12+=x y 上从点(0,1)到点(1,3)的一段，则对弧长的曲线积分d Lx s =⎰（ B ）．（A ）10d x x ⎰； （B ）105d x x ⎰； （C ）102d x x ⎰； （D ）()3111d 2y y -⎰.3.设L 为曲线ln y x =上从点(1,0)到点(e,1)的一段，则对坐标的曲线积分d Lx y =⎰（ C ）．（A ）e ； （B ）1； （C ）e 1-； （D ）2e 12-.4. 设∑为柱面222x y R +=在01z ≤≤之间的部分的外侧，则下列积分为零的是（A ）d d x y z ∑⎰⎰； （B ）d d y x z ∑⎰⎰； （C ）d d z x y ∑⎰⎰； （D ）d S ∑⎰⎰.5.下列级数收敛的是（ B ）． （A）11n ∞=； （B ）211tan n n ∞=∑； （C ）21115n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑； （D ）1ln n n ∞=∑.6.若幂级数1nn n a x∞=∑在2x =-发散，则当2x >时，幂级数1nn n a x∞=∑（ C ）．（A ）条件收敛； （B ）绝对收敛； （C ）发散； （D ）敛散性不能确定.7.若11lim 3n n na a +→∞=，则幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛区间为（ D ）． （A ）11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭； （B ）()3,3-； （C ）24,33⎛⎫⎪⎝⎭； （D ）()2,4-.8. 若()1y x 是线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的解，()2y x 是对应的齐次微分方程()0y p x y '+=的解，则（ A ）也是()()y p x y q x '+=的解（C 为任意常数）.（A ）21()()y Cy x y x =+； （B ）12()()y Cy x y x =+； （C ）[]21()()y C y x y x =+； （D ）21()()y Cy x y x =-.三、三重积分解答题（6分× 2=12分）1. 利用直角坐标计算三重积分6d d d z x y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由平面1x =，0y =， 1y =，0z =及x z =所围成的区域（如图）. 解：116d d d d d 6d xz x y z x y z z Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（3分，每个积分上下限1分）1120d 3d x x y =⎰⎰（4分）1203d x x =⎰（5分）1=.（6分）2. 若空间区域Ω是由圆柱面221x y +=与平面0,1z z ==围成，计算三重积分(d d z x y z Ω⎰⎰⎰.解：()211000(d d d d d d z x y z z z πθρρρΩ=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （4分，每个积分上下限各1分，被积函数1分）221002d d πρθρρ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰ （5分）6π=-（6分） 四、曲线和曲面积分解答题（6分× 2=12分）课程名称:高等数学（A-2）期末A 卷参考答案第1 页 （共 6 页）学 院: 班级: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――1. 利用格林公式计算曲线积分22(2)d (2)d Ly xy x x x y y ++++⎰，其中L 是圆周24y x x =-上从点(4,0)A 到点(0,0)O 的一段有向圆弧．解：令:0, (04)OA y x =≤≤（2分）22(2)d (2)d d d 2DL OAy xy x x x y y x y π+++++==⎰⎰⎰ （4分）22(2)d (2)d 0OAy xy x xx y y ++++=⎰ （5分）22(2)d (2)d 2Ly xy x x x y y π++++=⎰. （6分） 注：若直接变为定积分，如下，则给2分:0222242(2)d (2)d 4(12)6d 4Lx y xy x x x y y x x x x x x x ⎡⎤-++++=-++⎢⎥-⎣⎦⎰⎰. 2.若∑是上半球面221z x y=--上侧，利用高斯公式计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ．解一：令221:0, (1)z x y ∑=+≤，取下侧（2分）1d d d d d d 3d d d 2x y z y z x z x y x y z π∑+∑Ω++==⎰⎰⎰⎰⎰（4分）1d d d d d d 0x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰（5分）d d d d d d 2x y z y z x z x y π∑++=⎰⎰（6分）解二：221d d d d d d d d 1Dx y z y z x z x y x y x y∑++=--⎰⎰⎰⎰（3分）21200d d 1r r rπθ=-⎰⎰（5分）2π=（6分）五、无穷级数解答题（6分× 2=12分）1. 讨论级数1(1)1sin n n n n ∞=-∑的收敛性，收敛时，说明是条件收敛，还是绝对收敛. 解：11(1)111sin sin n n n n n n n ∞∞==-=∑∑（本步骤写不写都行）32lim 1n n→∞=， （3分，其中分母找对了2分，极限对了1分） 又因为3121n n∞=∑收敛，（4分）所以11n n ∞=∑收敛，（5分）故1(1)n n n ∞=-∑. （6分） 2. 将1()21f x x =+展开成1x -的幂级数，并指出收敛区间.解：()1111()22132(1)3113f x x x x ===⨯++-+- （2分） ()012133nnn x ∞=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑, （4分） 10(1)2(1)3n n n n n x ∞+=-=-∑ （5分）()21113x --<<，即收敛区间是15(,)22-.（6分）六、常微分方程解答题（6分×3=18分）1. 求微分方程2(1)2x y xy '+=的通解； 解：分离变量得2d 2d 1y xx y x=+， （2分） 两端同时积分得 2ln ln1+ln y x C =+（） （5分，两个原函数各1分，任意常数1分）方程通解为 ()21+y C x = （6分）2.求微分方程xy y '-=(1)1y =的特解；解：y y x '=+（1分） 设y u x =，（2分）则方程变为d d ux x=（3分）分离变量得2d x x=，则ln x C =+ （4分）ln x C =+（5分） (1)1y =，得1C =，方程特解为 ()21+ln y x x = （6分）课程名称:高等数学（A-2）期末A 卷参考答案第1 页 （共 6 页）学 院: 班级: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――3. 已知曲线()y y x =过点(1,2)，且在点(,)x y 处的法线．．斜率为2xy x-，求该曲线方程. 解：12x y y x -='- （1分）， 即12y y x'+= （2分） ()d ()d e ()e d P x xP x x y Q x x C -⎰⎡⎤⎰=⋅+⎢⎥⎣⎦⎰ （3分，本步骤可省略） 11d d e 2e d xx x x x C -⎰⎡⎤⎰=⋅+⎢⎥⎣⎦⎰ （4分）()12d x x C x =+⎰ ()21x C x=+ （5分） 带入(1,2)，得1C =，因此1y x x=+. （6分） 七、综合题（7分）已知011,0a a ==，且111(), 1,2,1n n n a na a n n +-=+=+，设()s x 是幂级数nn n a x∞=∑的和函数，其中(1,1)x ∈-，（1）证明(1)()()0x s x xs x '--=；（2）求()s x 的表达式. （1）证：111()(1)n n nn n n s x na xn a x ∞∞-+=='==+∑∑（1分）111100(1)()()(1)(1)nn n n n n n n n x s x xs x n a x n a xa x ∞∞∞++++==='--=+-+-∑∑∑（2分）111111(1)nnn n n n n n n a n a x na x a x ∞∞∞+-====++--∑∑∑[]1111(1)n n n n n a n a na a x ∞+-==++--∑0=（4分）（2）解：d d 1s xx s x =-，ln ln(1)ln s x x C =---+，()1e xC s x =-（5分）， 0(0)1s a ==，（6分）1C =，()1()1exs x x =-（7分）。
微分几何练习题库及参考答案(已修改)
《微分几何》复习题与参考答案一、填空题1．极限232lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+．2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0lim(()())t f t g t →⋅=0．3．已知{}42r()d =1,2,3t t -⎰，{}64r()d =2,1,2t t -⎰，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则46()()a r t dt+b a r t dt=⨯⋅⋅{}3,9,5-.4526.贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___切线___7.曲率恒等于零的曲线是_________________.8.9.切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线3αβ=，则曲线在0≠，则(,u v 12．()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则 曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 曲线{()cosh r t a =曲线{()cos r t a =设曲线:C x e =17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18.曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_______________.19.u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是_____E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20.在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是方向(d)与u －曲线的夹角.21.曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I =. 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则drd t={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．23．已知{}r(,)cos cos ,cos sin ,sin a a a ϕθϕθϕθϕ=，其中t =ϕ，2t =θ，则dr(,)d tϕθ={}sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos a at a at a ϕθϕθϕθϕθϕ---+．24．设(,)r r u v =为曲面的参数表示，如果0u v r r ⨯≠，则称参数曲面是正则的；如果:()r G r G →是一一对应的，则称曲面是简单曲面．25．如果u -曲线族和v -曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网． 26．平面{}r(,),,0u v u v =的第一基本形式为22d d u v +，面积微元为d d u v ．27．悬链面{}r(,)cosh cos ,cosh sin ,u v u v u v u =第一基本量是22cosh 0,cosh E u F G u ===，． 2829224)d b v u +31{cos ,u v =32(d)d :d u v =和34.是主曲率的充要条件是35. 根据罗德里格斯定理，如果方向n n dn k dr k =-，其中是沿方向37旋转曲面中的极小曲面是平面或悬链面．38．测地曲率的几何意义是曲面S 上的曲线在P 点的测地曲率的绝对值等于(C )在P 点的切平面?上的正投影曲线(C*)的曲率． 39．,,g n k k k 之间的关系是222g n k k k =+．40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为0． 41．正交网时测地线的方程为d ds du ds dv dsθθθ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩． 42．曲线是曲面的测地线，曲线(C )上任一点在其切平面的正投影曲线是直线. 二、单项选择题12其中a 为常向量．3.是一般螺线，以下命题不正确的是（．切线与固定方向成固定角；4.5．曲率线；C ．法截线； 6.(1,2)dr 为（C.{d -d ,d x y x d ,d ,2d x y x +7圆柱螺线{cos ,sin r t =8C ）．A.α为单位向量；B.αα⊥；C.k αβ=-；D.k βατγ=-+. 9．直线的曲率为（B ）．A.-1；B.0；C.1；D.2.10．关于平面曲线的曲率:()C r r s =不正确的是（D ）．A.()()k s s α=；B.()()k s s ϕ=，ϕ为()s α的旋转角；C.()k s αβ=-⋅；D.()|()|k s r s =.11．对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（D ）．A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件；D.充要条件. 12．下列论述不正确的是（D ）．A.,αβγ,均为单位向量；B.αβ⊥；C.βγ⊥；D.αβ. 13．对于空间曲线C ，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B ）．A.充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件；D. 充要条件. 56x y z +--球面{(,)r u v R =2(d sinh d u u v +正圆柱面{(,)r u v R =在第一基本形式为的曲线段的弧长为（B ）．A ．21cosh cosh v v -；B ．21sinh sinh v v -；C ．12cosh cosh v v -；D ．12sinh sinh v v -．20．设M 为正则曲面，则M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（B ）．A ．0E =；B ．0F =；C ．0G =；D ．0M =． 21．高斯曲率为零的的曲面称为（A ）．A ．极小曲面；B ．球面；C ．常高斯曲率曲面；D ．平面．22．曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（A）．A．0；B．1；C．2；D．3．23．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（B）．；B．AC．A．直线；B．平面曲线；C．抛物线；D．圆柱螺线．1.2.()r t.√r t'.×3.()r t关于t的旋转速度等于其微商的模()4.的曲率、挠率都为常数，则曲线Γ是圆柱螺线5.的曲率、挠率都为非零常数，则曲线是圆柱螺线6.7.8.两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例9.16.19.坐标曲线网是正交网的充要条件是0F=，这里F是第一基本量.√20.高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面.√21.连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.×22.球面上的圆一定是测地线.×23.球面上经线一定是测地线.√24.测地曲率是曲面的内蕴量.√四、计算题1．求旋轮线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的π20≤≤t 一段的弧长．解旋轮线{}()(sin ),(1cos )r t a t t a t =--的切向量为{}()cos ,sin r t a a t a t '=-，则在π20≤≤t 一段的弧长为：220()d 8s r t t t a ππ'===⎰⎰．2．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的切向量、主法向量、副法向量． 解由题意知 {}()sin cos ,cos sin ,t t r t t t t t t t e te '=+-+，{}()2cos sin ,2sin cos ,2t t r t t t t t tt e te ''=---+，, r r r r β='''''⋅⨯，r r γ='''⨯， 所以有22666333(0,,),(,,),(,,)223663αβγ==-=-. 3圆柱螺线为{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =，}sin ,cos ,t a t b {}()cos ,sin ,0r t a t a t =--()(), ,r r r r r r r r r r r r r r r αβγ''''''''''''⋅-⋅⨯===''''''''⋅⨯⨯ ②由一般参数的曲率公式3()r r k t r '''⨯='及挠率公式2(,,)()r r r t r r τ''''''='''⨯ b +4求正螺面{(,)r u v u =解{cos ,sin u r v =，{sin v r u =-cos v 法线方程为cos sin sin cos x u v y u v z bvb v b v u---==-． 5．求球面{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r a a a ϕθϕθϕθϕ=上任一点处的切平面与法线方程． 解{}sin cos ,sin sin ,cos r a a a ϕϕθϕθϕ=--，{}cos sin ,cos cos ,0r a a θϕθϕθ=-，∴球面上任意点的切平面方程为即cos cos cos sin sin 0x y z a θϕϕθϕ⋅+⋅+⋅-=， 法线方程为即cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin x a y a z a ϕθϕθϕϕθϕθϕ---==．6．求圆柱螺线cos ,sin ,x a t y a t z t ===在点(,0,0)a 处的密切平面. 解(){sin ,cos ,1},r t a t a t '=-(){cos ,sin ,0},r t a t a t ''=--所以曲线在原点的密切平面的方程为 即sin )(cos )sin 0t x t y az a t -+-=(.7．求旋转抛物面22()z a x y =+的第一基本形式．228求正螺面}(,,sin ,r u v u v bv 的第一基本形式． 1u r =，F 2v v r r u b ⋅=+．9．计算正螺面{cos ,u v u =}cos ,sin ,0v v ，{}sin ,cos ,u v u v b =-，}0,0,0，{}uv r =，{cos vv r u =-}cos sin cos ,sin cos u v i j k r r v v b v u v u v b⨯=-{sin u v u v b r r n r r b u⨯==⨯+1u u E r r =⋅=，0u v F r r ⋅=，G 0uu r n ⋅=，2uv M uN r =．计算抛物面z x =的高斯曲率和平均曲率． 解设抛物面的参数表示为{}22(,),,r x y x y x y =+，则{}1,0,2x r x =，{}0,1,2y r y =，{}0,0,2xx r =，{}0,0,0xy yx r r ==，{}002yy r =，，，{}1022,2,1012x y i j kr r x x y y⨯==--，22,2,1||4x y x y r r x y n r r x ⨯--==⨯214xx E r r x =⋅=+，4x y F r r xy =⋅=，214y y G r r y =⋅=+，xx L r n =⋅=，0xy M r n =⋅=，yy N r n =⋅=，2222222222404441(14)(14)(4)(441)LN M x y K EG F x y xy x y --++===-++-++， 220=，G =x 求螺旋面{cos r u v =解u v r {cos ,sin v,0},r {u sin v,u cos v,b}v ==-{}{}{}uu uv vv r =0,0,0,r =sin v,cos v,0,r ucos v,usin v,0-=--，L 0,M N 0===曲率线的微分方程为:2222dv dudv du 10u b =00-+或du bu dv 221+±=积分得两族曲率线方程:14.求马鞍面22{,,}r u v u v =-在原点处沿任意方向的法曲率. 解{1,0,2},{0,1,2}==-u v r u r v ，u v 2u v n r r 4u =⨯1=+Ⅱ，{0,0,2},{0,0,0},{0,0,2}===xx xy yy r a r r a ，代入主曲率公式，N2a 002a k=-，所以两主曲率分别为求曲面2{,,r u v u =解{u r =,u 1,02,{}v r ,v =01,2(1,1)(1,1)N =解由23{,,},r u v u v =+得{}u r =,u 1,02,{}2,v r ,v =01,3①v >0时，是椭圆点；②v <0时，是双曲点；③v =0时，是抛物点. 18.求曲面32(,){,,}r u v v u u v =+上的抛物点的轨迹方程． 解由32(,){,,},r u v v u u v =+得{}u r =u,0,21,{}2,v r v ,=30,1令320LN M .-=得u =0或v =0所以抛物点的轨迹方程为{}r=v ,,v 30或{}0r=,u ,u 2. 19.求圆柱螺线(){cos ,sin ,}r t a t a t bt =自然参数表示.解由(){cos ,sin ,},r t a t a t bt =得{sin ,cos ,}r a t a t b '=-，2()r t a '=弧长(),s t =⎰t =曲线的自然参数表示为(){sin r s a a =20.求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.,=a=αb ==-k βατγ'+b =k,''-b '所以腰曲线是222b kr=a s s =a s s k bββτ'''()-()()+()+ 求位于正螺面cos ,sin ,x u v y u v z av ===上的圆柱螺线0x u av ==（0u =0u =，由2πθ=设曲线：(s),r r =证明：2()k -;r ,r ,r =k .ταγτ=⋅⑵ =k =-,αβγτβ，两式作点积，得=-k =-k,αγτββτ⋅⋅⑵r=r==k ,ααβ，2()r=k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγ 设曲线：(s),r r =证明：3()()r ,r ,r =k k -k .ττ 由伏雷内公式，得??()r r s =是一般螺线，证明:r Γ． 证明1r R ds αβ=-⎰，两边关于s 微商，得1αα∴，由于Γ是一般螺线，所以Γ也是一般螺线.4.证明曲线(){sin (),s (),}(r t a t dt a co t dt bt a,b ϕϕ=⎰⎰是常数）是一般螺线． 证明(){sin (),cos (),},r t a t a t b ϕϕ'=k abτ∴=-.5．曲面S 上一条曲线(C),P 是曲线(C)上的正常点，n g k ,k ,k 分别是曲线(C)在点P 的曲率、法曲率与测地曲率，证明222n g k =k +k ．证明测地曲率()g k k k n βεβα=⋅=⋅⨯(,,)k n k n αβγ==⋅sin k .θ=±(θ是主法向量β与法向量n 的夹角)法曲率cos n k k n k βθ=⋅=，6.证明曲线{}cos ,sin ,0t t r e t e t =的切向量与曲线的位置向量成定角．证明对曲线上任意一点，曲线的位置向量为{}cos ,sin ,0t t r e t e t =，该点切线的切向量为：{t r e '=2t r r e ='由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角．7证明：若r '和r ''()()()r t g t r t '''+=则 ,()t r t r '''∀⨯3r r r '''⨯'，故t ∀有()k t =8．证明圆柱螺线t a x =,cos 证明由题意有{}{()sin ,cos ,,()cos ,sin r t a t a t b r t a t a '''=-=--()()r r r r r r r r r β''''''''⋅-⋅=''''⋅⨯知{cos ,t β=-另一方面z 轴的方向向量为{}0,0,1a =9证明曲线y t a x ,sin 2==}2,cos2sin t a t t ，则任意点的法平面为0)cos (sin )cos sin (2cos )sin (2sin 00000020=---+-t a z t a t t a y t a t a x t a 将点（0,0,0）代入上述方程有左边)cos 0(sin )cos sin 0(2cos )sin 0(2sin 00000020t a t a t t a t a t a t a ---+-===0右边， 故结论成立．10．证明曲线222132225,1x t+t ,y t t z t =+=-+=-为平面曲线，并求出它所在的平面方程. 证明{}222132225,1r t+t ,t t t =+-+-，{}34210,2r +t,t t '=-+-，{}410,2r ,''=-，{}00,0r ,'''=(,,)0r r r ,''''''=0τ=，所以曲线是平面曲线.它所在的平面就是密切平面{}(0)32,0r ,'=-，{}(0)410,2r ,''=- 密切平面方程为12132004102x y z -=-－－－， 化简得其所在的平面方程是2x +3y +19z –27＝0.11.证明如果曲线的所有切线都经过一个定点，那么它是直线.证明设曲线方程()r r s =，定点的向径为0R ，则())s λαλ-0λ＝ 曲线是直线.证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么它是平面曲线取定点为坐标原点，曲线的方程为()r r t =，(),(),())0r t r t r t '''-=,即((),(),())0r t r t r t '''=所以平行于固定平面，所以()r r t =是平面曲线13.若一条曲线的所有法平面包含非零常向量e ，证明曲线是直线或平面曲线根据已知条件，得0.............e α⋅=①，0e α⋅=，由伏雷内公式得0k =，则曲线是直线；ⅱ)0e β⋅=又有①可知γ‖e因e 是常向量，所以γ是常向量，|||0,τγ==所以0，所以曲线为平面曲线设在两条挠曲线的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应的点的副法线互相平行，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行证明γγ±１２＝,21ds ds γγ±１２＝ 由伏雷内公式得211ds ds τβτβ±１２２＝12ββ∴±=进而12αα=± 15.证明挠曲线（0τ≠）的主法线曲面是不可展曲面.证明设挠曲线为()r r s =，则挠率0τ≠，其主法线曲面的方程是：()()r s t s ρβ=+取(),()a r s b s β==，则(),()k a s b s αβατγ''===-＋所以,(,,)((),(),k )((),(),k )((),(),)0a b b s s s s s s αβατγαβααβτγτ''=-=-≠＋＋＝ 所以挠曲线的主法线曲面不是可展曲面.16.证明挠曲线（0τ≠）的副法线曲面是不可展曲面.证明设挠曲线为()r r s =，则挠率0τ≠，其副法线曲面的方程是：()()r s t s ργ=+取(),()a r s b s γ==，则(),()a s b s αγτβ''===-.s v s v =r r vk ⨯（1-）n=γ， 所以主法向量与曲面的法向量夹角θcos 0,θ=沿每一条直母线只有一个切平面0()ϕθ+u 为直纹面(0,ϕ所以，曲面可展，即沿每一条直母线只有一个切平面. 19.cos γθ0ｎ＝0γγｎ＋ｎ＝是曲率线，所以αｎ，进而0γｎ＝，由伏雷内公式得 是一平面曲线⑵n 0β＝，即n β⊥，n kcos =0k θ=，又因为Γ是曲率线，所以0n dn k dr =-=即n 是常向量，所以Γ是平面曲线.20．求证正螺面上的坐标曲线（即u -曲线族v -曲线族）互相垂直．证明设正螺面的参数表示是{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =，则{}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-，{}{}cos ,sin ,0sin ,cos ,0u v r r v v u v u v b ⇒⋅=⋅-=，故正螺面上的坐标曲线互相垂直．21.证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.证明由欧拉公式2212cos sin θθ=+n k k k所以*n n 12k k k k +=+＝常数.22.如果曲面上非直线的测地线Γ均为平面曲线，则Γ必是曲率线.证明因为曲线Γ是非直线的测地线，所以沿此曲线有,β=±n从而(),κατγ=±-+n 又因为曲线是平面曲线，所以0,τ=进一步n κα=±.由罗德里格斯定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线.23.证明在曲面()()z f x f y =+上曲线族x =常数，y =常数构成共轭网.因为20xy M r EG F =⋅=-常数,y =常数构成共轭网．证明马鞍面z xy =上所有点都是双曲点．}，{0,0,0xx r =，{}0,0,1xy r ={},1x y r r x ⨯=-，{2|1x yx y r r y n r r x ⨯-==⨯++0xx r n =⋅=，2211xy M r n x y =⋅=++221001M y x -=⨯-=-++， {}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R v u R v u R v =，则{}cos sin ,cos cos ,0u r R v u R v u =-，{}sin cos ,sin sin ,cos v r R v u R v u R v =--， {}cos cos ,cos sin ,0uu r R v u R v u =--，{}sin sin ,sin cos ,0uv vu r r R v u R v u ==-， {}cos cos ,cos sin ,sin vv r R v u R v u R v =---，22cos u u E r r R v =⋅=，0u v F r r =⋅=，2v v G r r R =⋅=，2cosL R v==-，0M==，N R==-，1(,,)(,,)L M N E F GR∴=-，故球面是全脐的．26．证明平面是全脐的．证明设平面的参数表示为{}(,),,0r x y x y=，则{}1,0,0xr =，{}0,1,0yr =，{}0,0,0xxr =，{}0,0,0xyr =，{}0,0,0yyr =，1x xE r r=⋅=，0x yF r r=⋅=，1y yG r r=⋅=，}，{}0,0,r=，{0,0,yyr =-}),1x y+|x yx yr rnr r⨯=⨯，{}5/3290,0,()xxr n x y n-=⋅=-+⋅，{}5/3290,0,()xyM r n x y n-=⋅=-+⋅，{}5/3290,0,()yyr n x y n-=⋅=-+⋅20LN M⇒-=，曲面3x y z+=的所有点为抛物点．．求证正螺面{}(,)cos,sin,r u v u v u v av=是极小曲面．证明{}cos,sinur v=，{sinvr u=-{0,0,0uur=，{sinuvr v=-}cos sin cos,sin cosu vi j kr r v v a v uv u v a⨯=-sin,cos,||u vu va v a v ur rnr r-⨯==⨯1u uE r r=⋅=，0u vF r r=⋅=，22v vG r r a u=⋅=+，uuL r n=⋅=，uvM r n=⋅=0vvN r n=⋅=，21210,22EN FM GLHEG F-+∴=⋅==-故正螺面是极小曲面．29.圆柱面{cos ,sin ,}r a u a u v =上的纬线是测地线． 证明由{cos ,sin ,},r a u a u v =2,0, 1.E a F G ===g d k ds θθθ=+，纬线是u -线，此时0θπ=或， 0.g k ∴=所以，纬线是测地线．30．证明极小曲面上的点都是双曲点或平点． 证明1202k k H +==，12k k ∴=-，21220K k k k ∴=⋅=-≤ 当0K =时，31.因曲线是测地线，所以沿此曲线有βn ，所以βdn ， 又曲线是曲率线，所以αdn dr ，k )ατγα+，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线. 因所给曲线既是测地线又为曲率线，所以沿此曲线有,,n βα γαβ=⨯，所以,n γα=±⨯从而()(0)0n n k n γααβ=±⨯+⨯=±-⨯+=，γτβ=-，所以τ。
《几何与多元微积分》东华大学2018-2019 学年考试试题
2
d
0
2 12
2dz
=
2
2
2 3(2 − 1 2)d
0
2
= 16 3
此题解法不唯一.
( ) 4、计算积分
x2 + y2 + z2 dV ，其中 : a2 x2 + y2 + z2 2az
解: 采用球面坐标计算, 则
原式=
2
d
3 d
(x, y)dxdy .
( x,y) a
解: D = D1 D2 , 其中
D1 = (x, y) (2 − a)2 x2 + y2 4 , D2 = (x, y) 4 x2 + y2 (2 + a)2
(x, y)dxdy
a
( ) ( ) = − 2 − x2 + y2 dxdy + x2 + y2 − 2 dxdy
2、设 f (x, y) 连续，则二次积分
4 d
1
f ( cos, sin)d =
0
0
【C 】
2
1− x2
A. 2 dx
f (x, y)dy
0
x
2
1− x2
B. 2 dx
f (x, y)dy
0
0
2
1− y2
C. 2 dy
f (x, y)dx
0
y
2
1− y2
东华大学 2018----2019 学年第 二 学期 月考试卷
踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。
课程名称 教师
（完整版）大一期末考试微积分试题带答案
（完整版）⼤⼀期末考试微积分试题带答案第⼀学期期末考试试卷⼀、填空题(将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每⼩题3分，共15分.）1. =→xx x 1sin lim 0___0_____.2. 设1)1(lim )(2+-=∞→nx xn x f n ，则)(x f 的间断点是___x=0_____.3. 已知(1)2f =，41)1('-=f ,则12()x df x dx -== _______.4. ()ax x '=_______.5. 函数434)(x x x f -=的极⼤值点为________.⼆、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出⼀个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每⼩题3分，共15分.） 1. 设)(x f 的定义域为)2,1(, 则)(lg x f 的定义域为________. A.)2lg ,0( B. ]2lg ,0[ C. )100,10( D.)2,1(.2. 设对任意的x ，总有)()()(x g x f x ≤≤?，使lim[()()]0x g x x ?→∞-=，则lim ()x f x →∞______.A.存在且⼀定等于零B. 存在但不⼀定等于零C.不⼀定存在D. ⼀定存在. 3. 极限=-→xx x xe 21lim0________.A. 2eB. 2-eC. eD.不存在.4. 设0)0(=f ，1)0(='f ，则=-+→xx f x f x tan )2()3(lim0________.A.0B. 1C. 2D. 5.5. 曲线221xy x=-渐近线的条数为________. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3. 三、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求20sin 1lim sin x x e x x →--. 四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求21lim(cos )x x x +→. 五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）确定常数,a b , 使函数2(sec )0()0x x x x f x ax b x -?>=?+≤?处处可导.六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）设21()arctan ln(1)2f x x x x =-+,求dy .dy=arctanxdx七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）已知2326x xy y -+=确定y 是x 的函数,求y ''. ⼋、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）列表求曲线523333152y x x =-+的凹向区间及拐点.九、证明题（请写出推理步骤及结果，共6+6=12分.）1. 设)(x f 在[,]a b 上连续，且(),(),f a a f b b <>证明在开区间(,)a b 内⾄少存在⼀点ξ，使()f ξξ=.2. 设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导, 且0)1(=f ,求证:⾄少存在⼀点)1,0(∈ξ,使得3'()()0f f ξξξ+=.第⼀学期期末考试参考答案与评分标准⼀、填空题（3×5=15）2、 0x = 3 、4- 4、()1ln 1ax a x x a x -?+ 5、3x = ⼆、单项选择题（3×5=15）1、C2、C3、A4、B5、D三、（8×1=8）220000sin 1sin 1lim lim 2sin cos lim 62sin 1lim 822x x x x x x x x e x e x x x e x xe x →→→→----=-=+==分分分四、（8×1=8）()200ln cos 1lim1sin cos lim 112lim (cos )268x x x x x x x xx e e e+→++→→---===分分分五、（8×1=8）因为()f x 在(),-∞+∞处处可导，所以()f x 在0x =处连续可导。
2018-2019微积分上参考解答(1)
一、计算题（每小题 5 分, 共 25 分）
∑n
1. 计算极限 lim
1.
n→∞ k=1 2n + k
∑ ∫ n
解 lim
1
1
=
1
dx.
n→∞ k =1 2n + k 0 2 + x
= ln 3 . 2
2. 计算极限 lim n 1+ en + π n , 其中 e 与π 分别为自然对数的底数和圆周率. n→∞
因此, 若将这 n 个式子相加便可获证.
５
6. 设函数 f 在点 x = 1处可导, 且 f (1) = f ′(1) = 2 , 求极限 lim f 3(1+ x) − f 3(1) .
x→0
x
[ ] 解 lim f 3(1 + x) − f 3(1) = lim f (1 + x) − f (1) f 2 (1 + x) + f (1 + x) f (1) + f 2 (1)
a
4
４
证明
令 x0
=
a+b , 2
由分部积分公式可得
∫ ∫ ∫ b a
f (x)dx
=
(
x
−
x0
)
f
(
x)
b a
−
b a
f ′(x)(x − x0 )dx
=−
b a
f ′(x)(x − x0 )dx
∫ ∫ ∫ 因此,
b
f (x)dx ≤
a
b a
f ′(x) ⋅ x − x0 dx ≤ M
b a
x
−
x
2018级微积分(上)试题(A卷)及其参考答案
2018—2019学年度第一学期《微积分（上）》期末考试试卷（A 卷）考试时间：2小时 考试方式：闭卷复查总分 总复查人一、求下列极限（每小题8分，共56分）1．⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→x x x x x x x 2sin 211sin 1arctan lim 32. 【解】原式x x x x arctan 1lim 2+=∞→212101cos 11sin lim 3=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→x x x x . 其中0arctan 1lim2=+∞→x x x x （因01lim 2=+∞→x x x ，且2arctan π≤x ）； ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→x x x x 1cos 11sin lim 3【等价】21121.1.lim 23=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→x x x x .2.()322021sin limx x x dt t ex tx ⎰+---→.【解】原式220031sin lim x x x e xx +--=-→200031lim x x e x x +-=-→6131613sin lim 220-=-=-→x x x . 其中2031limx x e xx +--→x e xx 61lim 00+-=-→616lim 000==-→x x e . 3.设()⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=,0,1,0,sin 2x x x x xx f 讨论()x f 在0=x 点的连续性与可导性.【解】因()()11lim lim 20=+=--→→x x f x x ；()1sin lim lim 0==++→→xxx f x x ，故 ()=-→x f x 0lim ()()01lim 0f x f x ==+→，所以()x f 在0=x 点处连续.又()()()0lim 00lim 000==--='--→→-x x f x f f x x ； ()()()xx x x f x f f x x 1sin lim 00lim 000-=--='++→→+20sin lim x x x x -=+→021cos lim 000=-=→x x x ， 故()x f 在0=x 点处不可导. 4.设()xx x y sin 2tan 22++=，求|=x dy .【解】因()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++='22sin 22tan 22.sin 2ln cos 2sec .2ln 2x x x x x x x y xx ，故 ()dx dx y dy x 2ln 20|='==.5. 求dx xx⎰24cos sin . 【解法一】()dx xx ⎰-222cos cos 1dx x x )cos 2(sec 22+-=⎰dx x x )2cos 2123(sec 2+-=⎰ C x x x ++-=2sin 4123tan .【解法二】dx x x ⎰24cos sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰x xd cos 1sin 3【分部】()⎰-=x d x x x 33sin cos 1cos sin ⎰-=xdx x x 23sin 3cos sin ()⎰--=dx x x x 2cos 123cos sin 3 C x x x x ++-=2sin 4323cos sin 3. x x x 2sin 42cos sin 3+x x x x cos sin cos sin 3+=()x xxx x tan cos cos sin sin 22=+=，故x x x x 2sin 4323cos sin 3+-x x x x x 2sin 41232sin 42cos sin 3+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x 2sin 4123tan +-=. 【解法三】dx xx⎰24cos sin ()xdx x xdx x ⎰⎰-==2222sin 1sec sin tan ()xdx x d x ⎰⎰-=22sin tan sin ⎰-=xdx x x 22sin 3tan .sin()⎰--=dx x x x 2cos 123tan .sin 2C x x x x ++-=2sin 4323tan .sin 2. 【注意】因x x x x 2sin 4323tan .sin 2+-x x x x 2sin 4323cos sin 3+-=、=x x x 2sin 4123tan +-=.表明三解法的原函数是一样的.【解法四】dx x x ⎰24cos sin dx xxdx x x x ⎰⎰-+=24244cos cos cos cos sin ()dx x dx xx x x x ⎰⎰--+=2222222cos cos cos sin 2cos sin()dx x dx x x ⎰⎰--=222cos sin 2sec ()⎰⎰--=dx dx x x 22sin sec x dx x x ---=⎰22cos 1tan C x x x x +-+-=2sin 412tan C x x x ++-=2sin 4123tan .【解法五】dx x x ⎰24cos sin ()dx x x ⎰+-=24cos 11sin ()()⎰⎰+-+-=dx x dx xx x 2222cos 1sin 11sin 1sin ()⎰⎰++-=xdx dx x 22sec 1sin x dx x tan 122cos 1+⎪⎭⎫⎝⎛+--=⎰ C x x x +++-=tan 2sin 4123.6.求()xdx x x arctan 11⎰-+.【解】原式xdx x arctan 11⎰-=xdx x arctan 11⎰-+【对称性】0arctan 21+=⎰xdx x()210tan x xd rc a ⎰=dx x x x x ⎰+-=10221021arctan |12arctan 14|10-=+-=ππx . 7.将函数()3212---=x x x x f 展开为x 的幂级数.【解】()⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=113121x x x f ()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--=x x 11311.3121 ()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--=∑∑∞=∞=003312111311.3121n n n n x x x x ()11,3112101<<-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑∞=+x x n n n n. 二、（共12分）全面讨论函数xey x=的性态，并作出它的图形. 【解】（一）函数的定义域为()()+∞⋃∞-=,00,D ；（二）因0lim=-∞→x e x x ，+∞==+∞→+∞→1lim lim x x x x e x e ，故0=y 是曲线x e y x=的一条水平渐近线；因∞=→x e x x 0lim ，故0=y 是曲线x e y x=的一条铅直渐近线；又因 =+→x x e xx 0lim ∞=→20lim x e x x ,故曲线x e y x =无斜渐近线.（三）令()21x x e y x -='，()3222x x x e y x +-=''.（四）令()012=-='x x e y x ，得1=x ；令()02232=+-=''xx x e y x ，无解； （五）列表如下：三、求下列积分（共12分）设D 由上半圆22x x y -=与直线x y =所围成.（1）求D的面积；（2）求D 绕x 轴旋转所生成旋转体的体积. 【解法一】()()()21411211212-=---=--=⎰⎰⎰πxdx dx x dx x x x D S ；()()3332212212πππππ=-=--=⎰⎰dx x dx x x D V .【解法二】显见D 的面积为四分之一圆的面积减去一个直角三角形的面积，即()21411211412-=⨯⨯-⨯⨯=ππD S ；显见D 绕x 轴旋转所生成旋转体的体积为四分之一球体的体积减去一个圆锥体的体积，即()333211311342123πππππ=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=D V . 四、 （共10分）证明：（1）方程01=-+nx x n 在⎪⎭⎫⎝⎛+n n 1,11内有唯一实根(),...3,2=n x n ；（2）级数()12>∑∞=ααn nx 收敛； （3）级数()n n nx ∑∞=-21收敛.【证明】（1）令()1-+=nx x x f n .则()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n n 1,11上连续.又因 0111111<+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n f n ；011>⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n f ，故由根值定理知方程()0=x f 在⎪⎭⎫⎝⎛+n n 1,11内至少有一实根；又因()()+∞∈>+='-,0,01x n nx x f n ，故方程()0=x f 在⎪⎭⎫⎝⎛+n n 1,11内至多有一实根. 综上所述，方程()0=x f 在⎪⎭⎫⎝⎛+n n 1,11内有且仅有唯一实根n x .（2）因n x n 10<<，故ααn x n 1<，又已知∑∞=21n n α收敛，所以级数∑∞=2n n x α收敛；（3）因{}n x 单减，且0lim =∞→n n x ，故由莱布尼兹判别法知()n n nx ∑∞=-21收敛.五、（共10分）已知函数()x f 在[)+∞,a 上有二阶导数，()()()0,0,0>''>'=x f x f a f ，设a b >，曲线()x f y =在()()b f b ,处的切线与x 轴的交点是()0,0x .证明：b x a <<0.【证明】（一）曲线()x f y =在()()b f b ,处的切线方程为：()()()b x b f b f y -'=-. 令0=y ，可得()()b f b f b x '-=0.因()()0,0=>'a f x f ，故()()0=>a f b f ，所以()()b b f b f b x <'-=0；（二）又()()()()()b f ab a b a f b f b b f b f b x '----='-=.0【由拉格朗日定理】 ()()()a b b f f b -''-=ξ,()b a ,∈ξ. 注意到已知()0>''x f ，故()(),b f f '<'ξ所以()()()a a b b f b f b x =-''->0. 综合（一）、（二）知b x a <<0.。
大学高等数学(微积分)下期末考试卷(含答案)
大学高等数学（微积分）<下>期末考试卷学院： 专业： 行政班： 姓名： 学号： 座位号：----------------------------密封--------------------------一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、设lim 0n n a →∞=，则级数1nn a∞=∑（ ）；A.一定收敛，其和为零B. 一定收敛，但和不一定为零C. 一定发散D. 可能收敛，也可能发散 2、已知两点(2,4,7),(4,6,4)A B -----，与AB 方向相同的单位向量是（ ）；A. 623(, , )777B. 623(, , )777-C. 623( ,, )777--D. 623(, , )777--3、设32()x x y f t dt =⎰，则dy dx=（ ）；A. ()f xB. 32()()f x f x +C. 32()()f x f x -D.2323()2()x f x xf x -4、若函数()f x 在(,)a b 内连续，则其原函数()F x （ ） A. 在(,)a b 内可导 B. 在(,)a b 内存在C. 必为初等函数D. 不一定存在二、填空题（将正确答案填在横线上, 本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、级数11n n n ∞=+∑必定____________（填收敛或者发散）。
2、设平面20x By z -+-=通过点(0,1,0)P ，则B =___________ 。
3、定积分121sin x xdx -=⎰__________ _。
4、若当x a →时，()f x 和()g x 是等价无穷小，则2()lim ()x a f x g x →=__________。
三、解答题(本大题共4小题，每小题7分，共28分 )1、( 本小题7分 ) 求不定积分sin x xdx ⎰2、( 本小题7分 )若()0)f x x x =>，求2'()f x dx ⎰。
微分几何期末试题及答案
微分几何期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 曲线在点处的切线方程为，若，则该点处的曲率是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 若函数在点处可微，则在该点处的切平面方程为（）。
A.B.C.D.答案：D3. 曲面在点处的法向量为，若，则该点处的高斯曲率是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C4. 给定曲线的参数方程为，则曲线在点处的曲率是（）。
A.B.C.D.答案：A5. 若函数在点处的梯度为，则在该点处的方向导数是（）。
A.B.C.D.答案：B6. 曲面在点处的主曲率分别为，则该点处的平均曲率是（）。
A.B.C.D.答案：A7. 给定曲线的参数方程为，则曲线在点处的挠率是（）。
A.B.C.D.答案：B8. 若函数在点处的Hessian矩阵为，则在该点处的二阶偏导数是（）。
A.B.C.D.答案：D9. 曲面在点处的切平面方程为，则该点处的法向量是（）。
A.B.C.D.答案：C10. 若函数在点处的Jacobi矩阵为，则在该点处的偏导数是（）。
A.B.C.D.答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 曲线在点处的挠率定义为______。
答案：曲线在点处的挠率定义为。
2. 若函数在点处的偏导数为0，则称该点为函数的______。
答案：临界点。
3. 曲面在点处的高斯曲率定义为______。
答案：曲面在点处的高斯曲率定义为。
4. 给定曲线的参数方程为，则曲线在点处的切向量为______。
答案：曲线在点处的切向量为。
5. 若函数在点处的梯度为，则在该点处的方向导数为______。
答案：函数在点处的方向导数为。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 已知曲线的参数方程为，求曲线在点处的切线方程。
答案：首先求出曲线的导数，然后利用点斜式方程求得切线方程。
2. 已知函数在点处的梯度为，求在该点处沿向量方向的方向导数。
答案：首先求出向量的单位向量，然后利用方向导数的定义求得结果。
微分几何试题及答案
微分几何试题及答案一、选择题1. 曲线在某点的曲率是该点处曲线的：A. 切线斜率B. 切线方向C. 法线方向D. 切线与法线夹角的正弦值答案：D2. 曲面在某点的第一基本形式是：A. 曲面的高斯曲率B. 曲面的平均曲率C. 曲面的法向量D. 曲面在该点的切平面答案：D二、填空题1. 给定曲线 \( y = x^2 \) ，求其在点 \( x = 1 \) 处的曲率。
答案：\( \kappa = 4 \) （在 \( x = 1 \) 处）2. 曲面 \( z = x^2 + y^2 \) 在点 \( (1, 1, 2) \) 处的高斯曲率\( K \) 是：答案：\( K = 4 \) （在点 \( (1, 1, 2) \) 处）三、简答题1. 简述微分几何中“切空间”的概念。
答案：切空间是微分几何中描述曲面或流形上某一点处所有可能的切向量的集合，它是一个线性空间，可以看作是曲面或流形在某一点的局部线性近似。
2. 解释什么是高斯映射，并说明其几何意义。
答案：高斯映射是曲面上每一点处法向量的映射，它将曲面的每一点映射到其对应的法线方向。
几何意义上，高斯映射描述了曲面在某一点处的局部弯曲程度。
四、计算题1. 给定曲线 \( \vec{r}(t) = (t, t^2, t^3) \) ，求其在 \( t =1 \) 处的曲率。
答案：首先求导得到速度向量 \( \vec{r'}(t) = (1, 2t, 3t^2) \)和加速度向量 \( \vec{r''}(t) = (0, 2, 6t) \) 。
在 \( t = 1 \) 处，速度向量为 \( (1, 2, 3) \) ，加速度向量为 \( (0, 2, 6)\) 。
曲率 \( \kappa \) 由公式 \( \kappa = \frac{||\vec{r'}\times \vec{r''}||}{||\vec{r'}||^3} \) 计算得到，代入数值得到\( \kappa = \frac{12}{27} = \frac{4}{9} \) 。
(完整word版)《微分几何》考试试卷与参考答案
《微分几何》结业考试试卷一、判断题：（正确打√，错误打×。
每题2分，共10分））1、等距变换一定是保角变换. （ ）2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. （ ）3、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. （ ） 4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. （ ）5、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量. （ ）二、填空题：（每空3分，共33分）1、 已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π<<，则α= ，β= ，γ= ，κ= ，τ= .2、已知曲面{c o s ,s i n ,6}r u v u v v =，0u >，02v π≤<，则它的第一基本形式为 ，第二基本形式为 ，高斯曲率K = ，平均曲率 H = ，点(1,0,0)处沿方向:2du dv =的法曲率 ，点(1,0,0)处的两个主曲率分别为 。
三、计算题（每小题12分，共24分） 1、求曲面33z x y =-的渐近曲线.2、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地曲率.密线封层次报读学校专业姓名四、综合题：（每小题11分，共33分）1、设空间两条曲线Γ和C的曲率处处不为零，若曲线Γ和C可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C在对应点的切线夹固定角.2、给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.3、问曲面上曲线Γ的切向量沿曲线Γ本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线Γ是测地线吗？为什么？《微分几何》参考答案一、判断题：1. √ 2. √ 3. ⨯ 4. ⨯ 5. √ 二、填空题：① 1{3cos ,3sin ,4}5x x -- ②{sin ,cos ,0}x x③1{4cos ,4sin ,3}5x x -- ④625sin 2x⑤825sin 2x⑥ 222(36)du u dv ++⑦du dv⑧2236(36)u -+ ⑨ 0⑩○11 66,3737- 三、计算题：1、求曲面33z x y =-的渐近曲线.解 设33{,,}r u v u v =-则 2{1,0,3}u r u =，2{0,1,3}v r v =-，2243,3,1}||9u v u v r r n u v r r u ⨯==-⨯{0,0,6}uu r u =，0uv r =，{0,0,6}vv r v =-uu L n r =⋅=0uv M n r =⋅=，vv N n r =⋅=（6分）因渐近曲线的微分方程为2220Ldu Mdu dv Ndv ++=即22udu vdv =0=∴ 渐近曲线为33221u v C =+或33222()u v C -=+ （12分）2、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地 曲率.解 E G v ==，0F =，0u G =，1v E =（4分）u-线的测地曲率ug κ==（8分）v-线的测地曲率0vg κ== （12分）四、综合题：1. 设空间两条曲线Γ和C 的曲率处处不为零，若曲线Γ和C 可以建立一一 对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角.证 设 :()r r s Γ=，:()r r s **Γ=，则由//ββ*知ββ*=±，从而0αβ*⋅=，0αβ*⋅=，()0d ds ds dsαακβακαβ*****⋅=⋅+⋅= ∴ constant αα*⋅=，即 cos ,C α*=这表明曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角. （11分）2. 给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的 法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.证 设 :(,)r r u v ∑=，:(),()u u s v v s Γ==，其中s 是Γ的自然参数，记,r n θ=，则cos r n θ⋅=，两边求导，得d 0d nn rsτβ-⋅+=， （4分） 由Γ为曲率线知d //d n r ，即d d //d d n r s s α=， 因此d d 0d d n n rn r r s sτβκ⋅=⋅=-⋅= 。
《微分几何》考试试卷与参考答案
《微分几何》结业考试试卷一、判断题：（正确打√，错误打×。
每题2分，共10分））1、等距变换一定是保角变换. （ ）2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. （ ）3、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. （ ）4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. （ ）5、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量. （ ）二、填空题：（每空3分，共33分）1、 已知33{cos ,sin ,cos2}r x x x =，02x π<<，则α= ，β= ，γ= ，κ= ，τ= .2、已知曲面{c o s ,s i n ,6}r u v u v v =，0u >，02v π≤<，则它的第一基本形式为 ，第二基本形式为 ，高斯曲率K = ，平均曲率 H = ，点(1,0,0)处沿方向:2du dv =的法曲率 ，点(1,0,0)处的两个主曲率分别为 。
三、计算题（每小题12分，共24分） 1、求曲面33z x y =-的渐近曲线.2、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地曲率.密线封层次报读学校专业姓名四、综合题：（每小题11分，共33分）1、设空间两条曲线Γ和C的曲率处处不为零，若曲线Γ和C可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C在对应点的切线夹固定角.2、给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.3、问曲面上曲线Γ的切向量沿曲线Γ本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线Γ是测地线吗？为什么？《微分几何》参考答案一、判断题：1. √ 2. √ 3. ⨯ 4. ⨯ 5. √ 二、填空题：① 1{3cos ,3sin ,4}5x x -- ②{sin ,cos ,0}x x③1{4cos ,4sin ,3}5x x -- ④625sin 2x⑤825sin 2x⑥ 222(36)du u dv ++⑦dv⑧2236(36)u -+ ⑨ 0⑩○11 66,3737- 三、计算题：1、求曲面33z x y =-的渐近曲线.解 设33{,,}r u v u v =-则 2{1,0,3}u r u =，2{0,1,3}v r v =-，2243,3,1}||9u v u v r r n u v r r u ⨯==-⨯{0,0,6}uu r u =，0uv r =，{0,0,6}vv r v =-uu L n r =⋅=0uv M n r =⋅=，vv N n r =⋅=（6分）因渐近曲线的微分方程为2220Ldu Mdu dv Ndv ++=即22udu vdv =0=∴ 渐近曲线为331u v C =+或332()u v C -=+ （12分）2、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地 曲率.解 E G v ==，0F =，0u G =，1v E=（4分）u-线的测地曲率ug κ==（8分） v-线的测地曲率0vg κ== （12分）四、综合题：1. 设空间两条曲线Γ和C 的曲率处处不为零，若曲线Γ和C 可以建立一一 对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角.证 设 :()r r s Γ=，:()r r s **Γ=，则由//ββ*知ββ*=±，从而0αβ*⋅=，0αβ*⋅=，()0d ds ds dsαακβακαβ*****⋅=⋅+⋅= ∴ constant αα*⋅=，即 cos ,C αα*=这表明曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角. （11分）2. 给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的 法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.证 设 :(,)r r u v ∑=，:(),()u u s v v s Γ==，其中s 是Γ的自然参数，记,r n θ=，则cos r n θ⋅=，两边求导，得d 0d nn rsτβ-⋅+=， （4分） 由Γ为曲率线知d //d n r ，即d d //d d n r s s α=， 因此d d 0d d n n r n r r s sτβκ⋅=⋅=-⋅= 。
大学数学微分几何期末试卷含参考答案
大学数学微分几何期末试卷含参考答案求曲线的曲率与挠率。
(10分)解：，，， ,,(4分)，(6分) .(10分)二、证明：若曲线的所有切线通过定点，则此曲线是直线。
(10分)证明：切线方程为：，不妨设定点为原点，则存在函数使得（4分）求导得：所以，（8分）因此即该曲线是直线。
（10分）三、证明曲线是平面曲线。
(10分)解：设，，，，，(6分)，即平面曲线。
(10分)或，，（这是一次方程，即平面方程，说明曲线22()(sin cos ,cos )r t t t t t =22(2sin cos sin ),2cos sin )(sin 22,sin 2)r t t t t t t t t t '=--=-2(cos 2,2,cos 2)r t t t ''=-4(sin 2,2,sin 2)r t t t '''=-22(1,0,1)r r '''⨯=--||2r '=3||2||r r k r '''⨯=='2(,,)0||r r r r r τ''''''=='''⨯)()(s T s rλρ+=)(s λ)()()(0s T s s rλ+=)()()()()()(0s N s k s s T s s Tλλ+'+=0)()(,0)(1=='+s k s s λλ0)(,)(0=⇒-=s k s s s λ22,4x z y z⎧=⎨=⎩2(,2,)r t t t =±(1,2,2)r t '=±(0,0,2)r ''=)0,0,0(='''r 0),,(=''''''r r r2(,,)0||r r r r r τ''''''=='''⨯224x y =2y x =±是平面曲线）曲面是否是可展曲面？说明理由。
高等数学微积分期末试卷及答案
大一高等数学微积分期末试卷 选择题（6×２）1~6 DDBDBD一、填空题 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2log ,(0,1),1xy R x =-; 4(0,0)5解：原式=11(1)()1mlim lim 2(1)(3)3477,6x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 二、判断题1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ）2、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ）3、 设函数ｆ(x)在[]0,1上二阶可导且'()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有1~5 FFFFT三、计算题1用洛必达法则求极限2120lim x x x e →解：原式=222111330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞-2 若34()(10),''(0)f x x f =+求解：33223333232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+⋅=+=⋅++⋅⋅+⋅=⋅+++∴= 3 240lim(cos )x x x →求极限4 (3y x =-求5 3tan xdx ⎰6arctan x xdx ⎰求四、证明题。
1、 证明方程310x x +-=有且仅有一正实根。
证明：设3()1f x x x =+-2、arcsin arccos 1x 12x x π+=-≤≤证明（） 五、应用题1、 描绘下列函数的图形3.4.补充点7179(2,).(,).(1,2).(2,)2222---50lim (),()0x f x f x x →=∞∴=有铅直渐近线 6如图所示：2.讨论函数22()f x x Inx =-的单调区间并求极值 由上表可知f(x)的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-和单调递增区间为(1,0)1-+∞和（，）且f(x)的极小值为f(-1)=f(1)=1。
微分几何期末试题及答案
微分几何期末试题及答案微分几何是数学中的一个重要分支，研究了曲线、曲面的性质和它们之间的关系。
下面是微分几何期末试题及答案，帮助你进行复习和巩固知识。
试题一：1. 什么是曲线的切向量？2. 什么是曲线的弧长？3. 什么是曲面的法向量？4. 什么是曲面的面积？答案一：1. 曲线的切向量是曲线上每一点的切线方向所确定的向量。
2. 曲线的弧长是曲线上两点之间的路径长度。
3. 曲面的法向量是曲面上每一点的法线方向所确定的向量。
4. 曲面的面积是曲面所包围的区域的表面积。
试题二：1. 什么是曲率？2. 利用曲率如何计算曲线的弧长？3. 什么是高斯曲率？4. 高斯-贝克曲率公式是什么？答案二：1. 曲率是描述曲线弯曲程度的一个量。
2. 利用曲率，可以通过积分计算曲线上两点之间的弧长。
3. 高斯曲率是描述曲面弯曲性质的一个量。
4. 高斯-贝克曲率公式是将曲率和高斯曲率联系起来的一个重要公式，表达了曲面的整体几何性质。
试题三：1. 什么是切平面？2. 什么是主曲率？3. 平均曲率和高斯曲率有何关系？4. 平均曲率和主曲率如何影响曲面的性质？答案三：1. 切平面是曲线或曲面上某一点的切线或切平面所确定的平面。
2. 主曲率是曲面上某一点的切平面上曲线的两个主曲率。
3. 平均曲率和高斯曲率有着密切的联系，平均曲率可以通过高斯曲率和主曲率计算得到。
4. 平均曲率和主曲率可以描述曲面在某一点的凹凸性、曲率变化和曲面形状等性质。
试题四：1. 什么是等曲率线？2. 什么是最小曲面？3. 最小曲面的性质有哪些？4. 最小曲面的例子有哪些？答案四：1. 等曲率线是曲面上曲率相等的曲线。
2. 最小曲面是曲面上平均曲率取得最小值的曲面。
3. 最小曲面的性质包括表面张力最小、能够包围最大体积和具有自相似性等。
4. 最小曲面的例子有求解平均曲率为零的旋转曲面、油膜平衡表面等。
通过以上试题及答案，我们对微分几何的基本概念、理论和性质有了初步了解。
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nr
|
rrrrxx
rrrr yy
|
{2x, 2x,1} 8x2 1
所以有
E rrx2 1 4x2, F rrxrry 4xy,G rry2 1 4y2
L rrxxnr
2 1 4x2
4y2
，M
rrxy nr
0，N
rryynr
2 1 4x2 4y2
I (1 4x2 )dx2 8xydxdy (1 4 y2 )dy2
解：Q k1 k2 0 K k1k2 0 由于在测地线上kg 0
由高斯-波涅公式有
Kd 2 0 。
矛盾
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切线：
X 1 0
Y
1
0
Z
1
0
，即 YX1 Z源自0 0法平面：(X 1) 0 (Y 0) 1 (Z 0) 1 0 ，即Y Z 0
X 1 Y 密切平面： 0 1
1 0
Z 1 0 ，即Y Z 0 0
rr (t) {cost,sin t,t}, rr(t) {sin t,cost,1}
& k & k &
2．设曲面的参数表示为 rr
rr (u,v)
，则|
r ru
r rv
| 用第一基本量表示为
EG F2
3．曲面的高斯方程为 Rmijk Lmk Lij Lmj Lik
4．曲面的科达齐方程为
Lij Lik uk u j
l
(lik Llj
l ij
Llk
)
5．第二类克氏符号lij
l
1 2
g
kl
(
gil u j
g jl ui
gij u i
)
得分 评阅人
二、计算题：（共 3 题， 70 分）
专业：
院（系）：
1．圆柱螺线的参数表示为rr (cos t,sin t,t) 。计算它在(1, 0, 0) 点的切线、密切平面、法平面方程以及在
任意点处的曲率和挠率。（35 分）
解：rr (0) {1,0,0}, rr(0) {0,1,1}, rr(0) {1,0,0} ，所以
XX 师范大学 2018 –2019 学年第二学期 期末考试试卷（A 卷）答案
课程名称 微分几何 课程编号 XXXX 任课教师 XX
题型 填空 计算 证明 应用 总分 分值 10 70 10 10 100 得分
学号：
学生姓名：
年级：
得分 评阅人
一、填空题：（共 5 题，每题 2 分，共 10 分）
1．曲线的伏雷内公式为
2．计算抛物面 z x2 y2 的第一基本形式、第二基本形式、高斯曲率、平均曲率、脐点。（35 分）
解：
rr
{x,
y, x2
y
2}
，
r rx
r {1, 0, 2x}, ry
{0,1, 2 y}，
r
r
r
rxx {0, 0, 2}, rxy {0, 0, 0}, ryy {0, 0, 2}
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
II
2
dx2
2
dy2
1 4x2 4y2
1 4x2 4y2
K LN M 2
4
EG F 2 (1 4x2 4 y2 )2
H
LG 2MF NE 2(EG F 2 )
2 4x2 4y2 (1 4x2 4 y2 )3/ 2
在脐点有 II I ，由此得 x y 0 ，即唯一的脐点是原点。
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
rr(t) {cost, sin t,0}, rr(t) {sin t, cost,0}。
| rr | 2, rr rr {sin t, cos t,1},| rr rr | 2 ，
k
|
rr rr | rr |3
|
1 2
(rr, rr, rr) (rr rr)2
1 2
第 1 页(共 2 页)
得分 评阅人 三、证明题：（共 1 题， 10 分）若曲面的两族渐近线交于一 定角，则主曲率之比为常数。
证明：取渐进网为曲纹坐标网，
则v 曲线与u 曲线的夹角为常数 ，
且v 曲线方向的法曲率为零。 根据欧拉公式有k1 cos2 k2 sin2 0
k1 sin2 k2 cos2
得分 评阅人 四、应用题：（共 1 题， 10 分）用高斯-波涅定理证明极小曲 面上不存在简单闭测地线。