湖南理工学院数学分析期末考试试题

数学分析期末考试试题

一、叙述题：（每小题6分，共18分）

1、 牛顿-莱不尼兹公式

2、 ∑∞=1n n a

收敛的cauchy 收敛原理

3、 全微分

二、计算题：（每小题8分，共32分）

1、40202sin lim x dt

t x x ⎰→

2、求由曲线2x y =和2y x =围成的图形的面积和该图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积。

3、求∑∞

=+1)1(n n

n n x 的收敛半径和收敛域，并求和 4、已知z y x u = ，求y

x u ∂∂∂2 三、（每小题10分，共30分）

1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数

∑∞

=1!n n n n 2、讨论反常积分⎰+∞

--01dx e x x p 的敛散性

3、讨论函数列),(1

)(22+∞-∞∈+=

x n x x S n 的一致收敛性 四、证明题（每小题10分，共20分）

1、设)2,1(11,01 =->>+n n x x x n n n ，证明∑∞=1

n n x 发散 2、证明函数⎪⎩

⎪⎨⎧=+≠++=000),(22222

2y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微。，

参考答案

一、1、设)(x f 在],[b a 连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则成立)()()(a F b F dx x f b

a -=⎰

2、,0.0>∃>∀N ε使得N n m >>∀，成立ε<+++++m n n a a a 21

3、设2R D ⊂为开集，D y x y x f z ∈=),(),,(是定义在D 上的二元函数，),(000y x P 为D 中的一定点，若存在只与点有关而与y x ∆∆,无关的常数A 和B ，使得)(22y x o y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆则称函数f 在点),(000y x P 处是可微的，并称y B x A ∆+∆为在点),(000y x P 处的全微分

二、1、分子和分母同时求导

316sin 2lim sin lim 5

4060202==→→⎰x x x x dt t x x x （8分） 2、 、两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2分） 所求的面积为：

3

1)(102=-⎰dx x x （3分） 所求的体积为：103)(105ππ=-⎰dx x x （3分） 3、 解：设∑∞=+=1)

1()(n n n n x x f ，1)

1(1)2)(1(1

lim =+++∞→n n n n n ，收敛半径为1，收敛域 [-1，1]（2分）

),10(),1ln(11)1()(121'<<---=+=∑∞

=-x x x x n x x f n n )10(),1ln(11)()(0

'<<--+==⎰x x x x dt t f x f x (3分） x =0级数为0，x =1，级数为1，x =-1，级数为1-2ln2（3分） 4、解： y

u ∂∂=z x x z y ln （3分）=∂∂∂y x u 2zx x x x z y z y 1ln 1+-(5分） 三、1、解、有比较判别法，Cauchy,D’Alembert,Raabe 判别法等（应写出具体的内容4分）

11

)1

11(lim !)1()!

1(lim -∞→+∞→=+-=++e n n n n n n n n

n n （4分）由D’Alembert 判别法知级数收敛（1分） 2、解：⎰⎰⎰+∞----+∞

--+=1110101dx e x dx e x dx e x x p x p x p （2分），对⎰--101dx e x x p ，由于)0(111+→→---x e x x x p p 故p >0时⎰--101dx e x x p 收敛（4分）；⎰+∞--1

1dx e x x p ，由于)(012+∞→→--x e x x x p （4分）故对一切的p ⎰+∞--1

1dx e x x p 收敛，综上所述p >0，积分收敛

3、解：221)(n x x S n +=收敛于x （4分）0)(sup lim ),(=-+∞-∞∈∞→x x S n x n 所以函数列一致收敛性（6分）

四、证明题（每小题10分，共20分）

1、证明：11123221213423-=-->=-n n n x x x x x x x x n n n )2(,112>->n x n x n （6分） ∑∞=-211

n n 发散，由比较判别法知级数发散（4分）

2、证明：||||022xy y x xy

≤+≤（4分）22)0,0(),(lim y x xy y x +→=0所以函数在（0，0）点

连续，（3分）又00lim 0=∆→∆x

x ，)0,0(),0,0(y x f f 存在切等于0，（4分）但22)0,0(),(lim y x y x y x ∆+∆∆∆→∆∆不存在，故函数在（0，0）点不可微（3分）