大学工科数学分析期末考试_(试题)A
工科数学分析期末试卷部分参考答案
六（17）．（本题满分 8 分）解 dy (t) ， d2 y (1 t)(t) (t) 3 ，
dx 2(1 t) dx2
4(1 t)3
4(1 t)
(1 t)(t) (t) 3(1 t)2 ，解得(t) C1(1 t) 3t(1 t) ，由(1) 6 ，得
C1
0
，于是 (t )
3t (1
2
四（15）．（本题满分 8 分） 解 A
2
x(1
sin
x)dx
2
1，
0
8
V
2
(
x2
x2
sin
2
x)dxΒιβλιοθήκη 2x2 (1cos 2x)dx
4
2
0
20
48 8
五（16）．（本题满分 7 分）解 y C1ex C2e2x x(x 2)ex ，由 y(0) 0 ，
y(0) 0 ，得 C1 2 ， C2 2 ， y 2ex 2e2x x(x 2)ex .
一点 [a,b]，使得 F ( )
b
f (x)dx ，此即
b f (x)dx M ( a) m(b ) .
a
a
共2页
第2页
10-11-2 高数 AB 期末（ A）卷 参考答案及评分标准
一。填空题(本题共 9 小题，每小题 4 分，满分 36 分)
1． eab ；2． y x 1；3． y 2x ；4． 6 ；5． 2n (n 1)!；6． 1；7． 4 ； 8． 2 ；9． xy 1.
3
二．(本题共 4 小题，每小题 7 分,满分 28 分)
t)
， (t )
t3
3 2
t2
C2
学秋季学期工科数学分析答案
哈尔滨工业大学2004 /2005 学年 秋 季学期工科数学分析期末考试试卷 （答案）试卷卷（A ）考试形式（开、闭卷）：闭答题时间：150（分钟） 本卷面成绩占课程成绩70%一．选择题（每题2分，共10分）1．下列叙述中不正确者为（D ）（A ）如果数列}{n x 收敛，那么数列}{n x 一定有界。
（B ）如果a unn lim =∞→，则一定有a u n n lim =∞→。
（C ）f(x)在点0x 处可导的充要条件是f(x)在点0x 处可微。
（D ）如果函数 f(x)=y 在点0x 处导数为0，则必在该点处取得极值。
2．设在[0，1]上0)x (f ''>则下列不等式正确者为（ B ）（A ）)0(f )1(f )0(f )1(f ''->>（B ）)0(f )0(f )1(f )1(f ''>-> （C ）)0(f )1(f )0(f )1(f ''>>-（D ）)0(f )1(f )0(f )1(f ''>-> 3．若f(x)在[]b a,上可积，则下列叙述中错误者为（D ） （A ）dt )t (f xa⎰连续（B ）)x (f 在[]b a,上可积（C ）f(x)在[]b a,上由界（D ）f(x)在[]b a,上连续姓名: 班级： 学号：4．若sinF(x)=dy ])tdt sin sin[(xay03⎰⎰，则=)x (F '（D ）（A ）dy ])tdt sin sin[(cos xay 03⎰⎰（B ）cosx x 3sin )tdt sin sin(dy ])tdt sin sin[(cos 2y3xa y 03⋅⋅⋅⎰⎰⎰（C ）⎰⎰⎰⋅y3xa y 03)x dx sin sin(dy ])tdt sin sin[(cos（D ）⎰⎰⎰⋅y3xay3)tdt sin sin(dy ])tdt sin sin[(cos5．=+∞→)x1e (x 1n lim （D ） （A ）e （B ）2e （C ）3e （D ）4e二．填空题（每题2分，共10分） 1．)0x (x11y n n lim ≥+=∞→的间断点为：1x =，其类型为：第一类间断点。
工科数学分析期末试卷
工科数学分析期末试卷1.(10分) 设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数，且f(a)=f(b)=0。
证明：存在 $\\xi \\in (a,b)$，使得 $f''(\\xi)= -\\frac{4}{(b-a)^2}f(\\xi)$。
2.(15分) 求解微分方程初值问题：$$ \\begin{cases} y'' + 2y' + 5y = 0 \\\\ y(0) = 2 \\\\ y'(0) = -2\\end{cases} $$3.(15分) 计算 $\\int_{-\\infty}^{\\infty} \\frac{e^{-x^2}}{1+x^2} dx$。
4.(20分) 设 $\\{a_n\\}$，$\\{b_n\\}$ 均为正数数列，$\\lim_{n\\to \\infty} \\frac{a_{n+1}}{a_n} = a$，$\\lim_{n \\to \\infty}\\frac{b_{n+1}}{b_n} = b$，证明：$$ \\lim_{n \\to \\infty}\\frac{(a_1b_1)(a_2b_2)\\cdots(a_nb_n)}{(ab)^n} = 1 $$5.(20分) 设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数，f(a)=f(b)=0，且f″(x)+k2f(x)=0，其中k>0。
证明：对任意$\\epsilon > 0$，存在 $0<\\delta \\leq \\frac{1}{2}(b-a)$，使得当$\\left|\\frac{h}{\\delta}\\right|<1$ 时，有$$ \\left|\\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2} - k^2f(x)\\right| <\\epsilon $$6.(20分) 计算 $\\int_{0}^{1} \\frac{\\ln(1+x)}{x} dx$。
《工科数学分析》期末考试试题(A卷)参考评分标准
北京邮电大学2006——2007学年第二学期《工科数学分析》期末考试试题(A 卷)参考评分标准一、填空（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.若∑∞=-1)1(n n n x a 在2-=x 处收敛，则此级数在1-=x 处 (填发散，条件收敛，绝对收敛或收敛性不确定)。
解答：绝对收敛2.级数=+++∑∞=1)1()1(1n n n n n 。
解答：13.设4||,3||==→→b a ，且→→⊥b a ，则=-⨯+→→→→|)()(|b a b a 。
解答：244.设曲线32,,t z t y t x =-==在某点P 处的切线与平面42=++z y x 平行，则点P 的坐标为 。
解答：)1,1,1(-或)271,91,31(-5.设),(y x f z =是由方程1cos cos cos 222=++z y x 所确定的隐函数，则全微分=z d 。
解答：y zyx z x d 2sin 2sin d 2sin 2sin --6.交换二次积分的次序=+⎰⎰⎰⎰-122102202d ),(d d ),(d y y x y x f y x y x f y。
解答：⎰⎰-22012d ),(x xy y x f dx7. 设L 为沿上半圆周0,222≥=+y a y x ，从点)0,(a 到点)0,(a -的一段曲线，则=+++++⎰y x a x y x x x a y Ld )]ln(2[2d 22222 。
解答：22a π8. 设 x xxyy F yb ya d sin )(⎰++=，则=)('y F 。
解答：)(sin 11)(sin 11y a y y a y yb y y b y+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++ 9.向量场z y x 333++=在点)1,0,1(P 处的散度=div 。
解答：610. 设)(C 是122=+y x 在第一象限内的一段，则⎰+)(d )1(C S y = 。
北京理工大学2010-2011学年第一学期工科数学分析期末试题(A卷)答案
代入方程得 解得
6 A 1 ， 2 A 3 B 1
………………..(9 分) ………………..(10 分)
A
1 4 ， B 6 9 x2 4 x )e x 6 9 x2 4 x )e x 6 9
y* (
通解为
y C1e x C 2 e 2 x (
……………..(11 分)
四.
1
………………….(3 分) …………………..(4 分)
dy 1 dx 1 sin y
dy d y dx dx 2 (1 sin y ) 2
2
cos y
……………(6 分)
cos y
1 cos y 1 sin y 2 (1 sin y ) (1 sin y ) 3
0 x
……(6 分)
…………………….(7 分)
令 t u ，得
F ( x) ( x 2t ) f (t )dt
0
x
…………………….(8 分)
( x 2t ) f (t )dt
0
x
( x 2u ) f (u )du F ( x)
v x 0 2 vdv sin xdx
1 2 v cos x C 2
由初值得
C 1
信息与电子学部学生会 学习部整理
v 2 2(cos x 1)
…………………….(8 分)
十．
设
f ( x) ln x f ( x) 1 1 x e
x 1 x2 e dx e 0
…………………….(1 分) …………………….(2 分)
令
f ( x) 0 ， 得
北京理工大学2015学年第二学期《工科数学分析》期末考试卷及参考答案
4
九. (9 分) 把 f (x) = x ln(2 + x) 展成 x + 1的幂级数, 并指出收敛域. 十. (9 分) 证明 (2x cos y − y2 sin x)dx + (2 y cos x − x2 sin y)dy = 0 是全微分方程, 并求其通解.
5
∫∫ 十一. (9 分) 计算积分 I = S
……………….(7 分)
∑ = −(x + 1) + ∞ (−1)n ( 1 + 1 )(x + 1)n
n=2
n n −1
………….(8 分)
收敛域为 − 2 < x ≤ 0
……………….(9 分)
十.
∂Y = −2 y sin x − 2xsin y = ∂X
∂x
∂y
故所给方程是全微分方程
……………….(2 分)
= 1 − sin1
……………….(8 分)
三.
fx′ = 2x(2 + y2 )
f y′ = 2x2 y + ln y + 1
令 fx′ = 0
f y′ = 0
得x=0 y=1 e
……………….(2 分) ……………….(3 分)
fx′′2 = 2(2 + y2 )
fx′′y = 4xy
f y′′2
dy − dx xz dy
dz = dx + xy
1 dz
z dx dz =
0
dx dx
将点 P 代入得
1 + 3 +
dy
dx dy
− +
dz = dx 3 dz
dz dx =0
10-11-2《高等数学A(工科数学分析)》第二学期期末考试试卷(精简版)及参考答案
河南理工大学 2010-2011 学年第 2 学期《工科数学分析》(下)试卷（A 卷）一、填空题（共28分，每小题4分）１．函数xyz z xy u -+=32在点()2,1,1处沿方向l （其方向角分别是00060,45,60）的方向导数 是 9/2 ．２．设0 < p < 1，计算级数()∑∞=--1121k k p p k =)20(,22<<-p pp3. 函数())sin(,22y x y x f +=在点)0,0(的泰勒公式（到二阶为止）为()()()2222,y x y x y x f +=++=ρρο４．函数()xx f 3=的幂级数展开式为∑∞=0!3ln n nn x n ．5.设()⎰-=22x xxy dy ex F ,则=')(x F ()⎰----+-223522x xxy x x dy ey ex e６．()⎰C ds x =()15532-，其中（C ）为抛物线x y =从点()0,0到点()1,1的一段弧。
7．微分方程()02='+''y y ，满足初始条件1,000='===x x y y 的特解为1ln y +=x 。
二、解答题（共50分，每小题10分）1、 设()v u ,Φ具有连续偏导数，函数()y x z ,由隐方程()bz cy az cx --Φ,=0确定，求yz b x z a∂∂+∂∂。
解：将隐方程两边全微分可得：()()()()()0,2121=-⋅Φ'+-⋅Φ'=-⋅Φ'+-⋅Φ'=--Φbdz cdy adz cdx bz cy d az cx d bz cy az cx d ………………………………………………3分 整理得：dy b a c dx b a c dz 212211Φ'+Φ'Φ'+Φ'+Φ'Φ'=……………………………………6分所以，212211,Φ'+Φ'Φ'=∂∂Φ'+Φ'Φ'=∂∂b a c y zb ac x z …………………………………………8分 y zb x z a ∂∂+∂∂=c b a c b b a c a =Φ'+Φ'Φ'+Φ'+Φ'Φ'212211,………………………………………10分2、 判定正项级数∑⎰∞=+1141n n dx x x的敛散性。
北京理工大学2009-2010学年第二学期工科数学分析期末试题(A卷)答案
2009-2010第二学期工科数学分析期末试题解答(A 卷)一.1.11,65arccos(2分,2分)2.(1,2,7),4(2分,2分)3.25-,}52,51{-(2分,2分)4.∑∞=+--01)1(4)1(n nn n x ,∑∞=---+11)1(4)1(4ln n nn n x n (2分,2分)5.dy dx 2-,}2,1{-(2分,2分)6.x x y ln ,34ln(2分,2分)7.0，ππ324+，0，12+π(1分，1分，1分，1分)二.⎰=Ly dlx I μ2…………………….(2分)⎰+=15322)1(1dxx x μ……………………(6分)μμ35611532=+=⎰dx x x ……………………(9分)三.设V 在第一卦限部分为1V ⎰⎰⎰⎰⎰⎰==122486V VdVx dV x I ……………(3分)⎰⎰⎰---=yx xdzdy dx x 101010248……………..(6分)⎰⎰---=xdyy x dx x 10102)1(48………………..(7分)⎰-=1022)1(24dx x x …………………(8分)54=…………………(9分)四.令02==∂∂x xz，014=-=∂∂y yz………………(2分)解得0=x ,41=y ,得驻点)41,0(,………………..(3分)由122=+y x ，得221y x -=，代入目标函数得62+-=y y z )11(≤≤-y ………………..(4分)令012=-=y dydz，得21=y ，此时23±=x ，得两点)21,23(±………..(6分)当1±=y 时，0=x ，得两点)1,0(±………………..(7分)83941,0(=z ，42321,23(=±z ，8)1,0(=-z ，6)1,0(=z 8max =z ，839min =z ……………..(9分)五．由题意,有yXx Y ∂∂=∂∂……………………….(1分)λλλλλλλλ2121)()()33()(3)()()3()(3y x y x y y x y x y x x y y x ++--+=++--+---…….(3分)即033=--+y x y x λλ，3=λ…………………….(4分)1),()1,1(33)(3)(3),(C dy y x xy dx y x x y y x u y x ++-++-=⎰…………………….(6分)11313)(3)(3C dy y x x y dx y x xy x++-++-=⎰⎰……………………(8分)C y x yx ++-=2)(……………………(10分)注：没有加C 不扣分。
工科数学分析第2学期期末考试试题A
南京航空航天大学6.锥面z =被圆柱面222x y x +=截下的曲面的面积为 .二、选择题：（每题3分）1．设曲线:C x t =，22t y =，33t z =（01t ≤≤）上物质的线密度为(,,)x y z ρm =（ ）(A) 1⎰；(B) 1t ⎰；(C) ⎰；(D) 0⎰.2. C 为任意一条包含原点的正向光滑简单闭曲线，则224Cxdy ydxx y -=+⎰（ ）(A) 4π； (B) 0； (C) 2π； (D) π．3．若1()x t 和2()x t 是二阶齐次线性方程2122()()0d x dxa t a t x dt dt++=的两个特解,则1122()()()x t C x t C x t =+ (其中12,C C 为任意常数)( )(A)是该方程的通解； (B) 是该方程的特解；(C) 是该方程的解； (D) 不一定是该方程的解.4．下列结论中不正确的是（ ）(A) 三元方程ln 1xz xy z y e -+=在点(0,1,1)的一个邻域中可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =； (B) 设S 为球面2221x y z ++=的外侧 ,则0Szdx dy Λ=⎰⎰；(C) 设)(t X 和*()X t 是齐次线性方程组d ()d xx A t t=在(,)a b 内的二个基解矩阵，其中()()(),()(,)ij ij n n A t a t a t C a b ⨯=∈，则存在n 阶非奇异常数矩阵B ，使得*()X t ()(,)X t B t a b =∈；(D) 若(,)f x y 在区域G 内对变量x 连续，对变量y 满足Lipschitz 条件，即对G 内任意两点1(,)x y ，2(,)x y ，有1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-（L 为常数），则(,)f x y 在G 内连续.三、计算题（第1题7分，其余每题9分）1．设(,)z z x y =是由方程z e x y z =++确定的隐函数, 求z x ∂∂，z y ∂∂，2zx y∂∂∂ .2．计算曲线积分(s i n2())(c o s )x x CI e y x y dx e y x dy =-++-⎰，其中C 为曲线y =上从(2,0)A 到(0,0)O 的一段弧.3．计算2d d d d d d SI y y z x z x z x y =Λ-Λ+Λ⎰⎰，其中S为曲面z =被平面1z =，2z =所截部分的外侧．四、求曲面20x z e y --=在点P （1，1，2）处的法线方程，并求函数223161218x y z u =+++在点P （1，1，2）处沿该法线与z 轴正向夹角为钝角的方向的方向导数.五、求线性微分方程组112212,23dx x x dtdx x xdt⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 满足初始条件1(0)0x =，2(0)1x =-的特解．六、设函数()f r 具有二阶连续导数，而z f =满足方程2222221,z z z z x y x y x x∂∂∂+-+=+∂∂∂ 求函数f 的表达式．七、若C 是平面cos cos cos 1x y z αβγ++=上的闭曲线，它所围成区域的面积为S ，证明：1cos cos cos 2Cdxdy dz S xyzαβγ=⎰, 其中C 的方向与平面法向量符合右手螺旋法则．。
南京航空航天大学工科数学分析期末考试_2012_06_26(答案)A
.
;……….…(7分)
,……….…(9分)
所以 。……….…(10分)
六、解：……….…(3分)
……….…(6分)
……….…(8分)
……….…(10分)、
七、证明： ……….…(2分)
由格林公式有
……….…(4分)
……….…(5分)
切平面方程为 。……….…(9分)
四、解：求导得
。……….…(4分)
因为特征方程为 ，所以特征根为 。
齐次微分方程的通解为 。……….…(6分)
因为 不是特征根，非齐次方程特解的形式为 .
代入非齐次方程，则有 。
所以非齐次方程的通解为 。……….…(10分)
一、 填空题
1. ；2． -；3． ；
4． ；5． ；6．
二、1解： ，………………(2分)
……………(5分)
………(8分)
2解：曲线参数化 ……….…(2分)
将曲线的参数方程代入则有
….………….…(6分)
=
= …………………………(8分)
3解： 的球面坐标为 ，
其中 。….………….…(3分)
= ….………….…(6分)
….………….…(8分)
4 解：由于 ，则有 ，……….…(2分)
因此 ；……….…(4分)
所求锥面在xoy面上投影为 ，……….…(6分)
因此所求锥面的面积为 。………(8分)
三、解：设 处的法向量为 ，则 =（ ）.……….…(2分)
由条件对 求导可知 ，……….…(6分)
则有
。
因此有
。
则 =（ ），……….…(8分)
北京交通大学工科数学分析期末考试(A)卷答案
∂ z ∂ z + 2 = ze 2 x 2 ∂y ∂x
2 2
∂z ∂z = f ′(u )e x sin y ， = f ′(u )e x cos y ∂y ∂x ∂2 z = f ′′(u )e 2 x sin 2 y + f ′(u )e x sin y ， ∂x 2
(
)
2 2 2 st′ = ( x′)t + ( y′)t + (z ′)t = 9 sin 2 t cos 4 t + 9 cos 2 t sin 2 t + 4 sin 2 2t = 5 sin t cos t ， G 1 所以， T = (− 3 cos t， 3 sin t， − 4 ) ， 5
Ω Σ1 Σ1
(
)
……5
(
)
= ∫∫∫ dxdydz + 16
Ω
x 2 + z 2 ≤2
∫∫ dzdx
=π∫
1
3
(
y − 1 dy + 32π
……8
)
2
= 34π
九． （本题满分 8 分） 设直线
P (1， − 2， 5) ，试求常数 a ， b ．
解：
⎧x + y + b = 0 2 2 在平面 π 上，而平面 π 与曲面 z = x + y 相切于点 ⎨ ⎩ x + ay − z − 3 = 0
工科数学分析（A）卷答案-1
3 ⎧ ⎪ f x ( x， y ) = 4 x − 2 x − 2 y = 0 ⎨ 3 ⎪ ⎩ f y (x， y ) = 4 y − 2 x − 2 y = 0 解得其驻点为 M 0 ( 0， 0 ) 、 M 1 ( 1， 1 ) 、 M 2 ( − 1， 1 ) ，则______________ ．
大学工科数学分析答案A
20XX年复习资料大学复习资料专业：班级：科目老师：日期：一、 填空题1. 0"'()6f x ； 2．2()b a xf x dx π⎰； 3．22ln(1)x x +；4．1, -3, -24 , 20XXXX ； 5．0， 1 (,1)p <--∞-； 6．2211, .11(9)x x ++- 二、 单项选择题 1. D 2. A 3. B ，4. A三、 计算题1.解：原式2cos ln 331limx x x ex +⎛⎫ ⎪⎝⎭→-=202cos ln 3lim x x x→+⎛⎫ ⎪⎝⎭= 20ln 2cos ln 3limx x x→+-=（） 01sin 2cos lim 2x x x x →⋅-+=（）011sin 1lim 22cos 6x x x x →=-⋅=-+……… (7分)2解：(2211111211x x x x dx dx x x dx x x +-+-==-++-⎰⎰…………(2分)其中21x dx - 22222211111x x dx x x x dx dx x x =-=----- 于是21x dx -22111221x dx x =--22111ln(1)22x x x x C =-+-+ ………………………… (6分)可得22211111ln(1)22211x x x dx x x x x C x x +-=---+++-……… (7分)3解：2222cos cos 1()1()x xdx dx f x f x ππππ--=-++-⎰⎰……………………………………… (2分)2222cos ()cos 11()1()x f x xdx dx f x f x ππππ--==++⎰⎰…………………………… (4分)故2222cos 11cos 1()22x dx xdx f x ππππ--==+⎰⎰…………………………………… (7分)4解：令'y p =，则''dp dp dy dpy p dx dy dx dy===…………………………… (2分) 原方程变为：20dp ypp dy +=，可得1, ln ln C dp dy p p y y=-= 故'2112,yy C y C x C ==+………………………………………………… (5分) 代入条件'211(0)11,(0)22y C y C =⇒==⇒=， 故特解为21y x =+ …………………………………………… (7分)五、1解：2332),V x h h x =-⋅=，故21()(12)4V x x x =-………………… (3分)211'()(12)(12)(12)(16)44V x x x x x x =---=--，''()26V x x =-+………… (5分) 1111'0,,''()0,''()02626V x V V =⇒=><，故当16x =时，容积最大。
06工科数分第一学期期末试题解答
1 1 ln x lim x . …………….………….(6 分) lim x 1 x 1 x1 1 1 2 ln x x x x2
4. 解 1 令 t arcsin x , 原式 2 6 t sin tdt
0
………………………...(2 分)
6 2 6 td cos t 2(t cos t 0 6 cos tdt ) …………………..(5 分)
u cos u
2
2 0
2 cos 2 udu
0
4
, …………………….(7 分)
3
C
4
.
六. 对 t 求导得
t 1
f 2 ( x)dx [t 2 f 2 (t ) f 2 (1)] , ………………..………..(3 分)
f 2 (t ) 2tf 2 (t ) 2t 2 f (t ) f (t ) ,
2 x sin x cos x 2 x cos x sin x 0 ,
…………………….(3 分) ……………………..(4 分)
故 又
F ( x) C ,
F (0) a r c c ocos t u) ….……………...(5 分)
2 2 ud c o s u 0
1 2t f (t ) , 2t 2
…………………………(5 分)
f (t )
df (t ) 1 1 ( 2 )dt , ………………………..(8 分) f (t ) t 2t
ln f (t )
f ( x) Ce
1 ln t C1 , 2t
华南理工大学期末考试《工科数学分析》上-试卷(A)(附解答) (1)(word文档良心出品)
《工科数学分析》2014—2015学年第一学期期末考试试卷诚信应考，考试作弊将带来严重后果！华南理工大学本科生期末考试 《工科数学分析》2014—2015学年第一学期期末考试试卷（A ）卷注意事项：1. 开考前请将密封线内各项信息填写清楚；2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；3．考试形式：闭卷； 4. 本试卷共 5个 大题，满分100分， 考试时间120分钟。
《工科数学分析》2014—2015学年第一学期期末考试试卷一、填空题（每小题3分，共15分） １. 函数()1212x xe ef x e e+=-的间断点及其类型为0x =是跳跃间断点，12x =是无穷间断点；２. 已知函数()y y x =由方程yxx y =所确定，则曲线()y y x =在点()1,1处的切《工科数学分析》2014—2015学年第一学期期末考试试卷线方程为0x y -= ；３. 设xy xe =，则()n d y =()xnx n e dx + ；４. 220x t d e dt dx -⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰42x xe - ；５. 反常积分()22ln dx x x +∞=⎰1ln 2．二、计算下列各题（每小题8分，共16分） 1. 求极限()11limxx x ex→+-《工科数学分析》2014—2015学年第一学期期末考试试卷解：()()()()()()()11ln 101ln 12001limlim1ln 1lim 41ln 1lim 6282x xxx x x x x x x eeexxx x x e x x x e x e +→→+→→+--=-++=⋅+-+==-分分分或()()()1ln 1110020011lim lim ln 1lim 4111lim 6282x x x x x x x e e x e x xx x e x x e x e +-→→→→⎡⎤-⎢⎥+-⎣⎦=+-=-+==-分分分2.计算定积分21dxx ⎰ 解：2321434tan,sec,cos4sin16sin t83x t dx tdttdttππππ===⎰⎰令则分＝－分分三、解答下列各题（每小题10分，共40分）1.设()1110,1,2,,nx x n+===试证明数列{}n x收敛，并求lim.nnx→∞证明：（1）()1110343,3,1,2,nx x x n=≥=≥≥=，用归纳法可证，即数列{}nx有下界；3分（2）1320,n n nx xx x x+-+-==<即，数列{}n x 单调减少。
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20XX年复习资料大学复习资料专业：班级：科目老师：日期：一、填空题（每题4分，共20XX 分）1. 设ABCL 是从(1,0)A 到(0,1)B -再到(1,0)C -连成的折线，则曲线积分d d ||||ABC Lx yx y +=+⎰ .2. 设向量场222(1)(1)(1)A x x z i y x z j z x z k =++-+-，则向量场在点0121M -（，，）处的旋度A =rot .3. 若x y xe -=和sin y x =为某四阶常系数齐次线性微分方程的两个解，则该方程是.4. 函数(),(),(,)x x f x y ϕψ皆可微，设()(),()z f x y xy ϕψ=+，则z zx y∂∂-=∂∂ . 5. 锥面22z x y +被圆柱面222,(0)x y ax a +=>截下的曲面的面积为 .二、单项选择题（每题4分，共20XXXX 分）本题分数 20XX得 分本题分数 20XXXX 得 分（多选不得分）6．若()()0000,,,x y x y ff xy∂∂∂∂都存在，则(,)f x y 在()00,x y （ ）（A ）极限存在但不一定连续 （B ）极限存在且连续（C ）沿任意方向的方向导数存在 （D ）极限不一定存在，也不一定连续7. 12,L L 是含原点的两条同向封闭曲线，若已知122d d L y x x yK x y -+=+⎰(常数)，则222d d L y x x yI x y -+=+⎰的值（ ）（A ）一定等于 K （B ）一定等于K -（C ） 与2L 的形状有关 （D ）因为Q Px y∂∂=∂∂，所以0I =8．∑为球面2222x y z a ++=外侧，Ω为球体2222x y z a ++≤，则有 （ ）（A ）222254()3d d x y z v a v a πΩΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰（B ）2d x S ∑⎰⎰=22224114()33d d 3x y z S a S a π∑∑++==⎰⎰⎰⎰ （C ）由于∑关于yOz 平面对称，所以d d 0x y z ∑Λ=⎰⎰ （D ）20d d x y z ∑Λ=⎰⎰.三、解答题（第20XXXX 题8分，其余每题20XXXX 分，共68分）9. 求曲面积分d d d d x y z xz z x ∑Λ+Λ⎰⎰，其中222: 1 (0)x y z z ∑++=≥，取上侧.20XXXX. 已知()F x 在[]0,1上具有连续的二阶导数，()()()01, '11F F F ==，计算()22d d DI xyF x y x y ''=+⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥.本题分数 68得 分20XXXX. 设函数()f t 具有二阶连续导数，函数22()u f x y =+满足2222221u u u u x y x y x x∂∂∂+-+=+∂∂∂，求函数u 的表达式.12．计算()2d d d d z x y z z x y ∑+-⎰⎰,其中∑是旋转抛物面()2212z x y =+介于平面0z =及2z =之间的部分的下侧.13. 求线性微分方程组1221233123ddd442dd2dxxtxx x xtxx x xt⎧=⎪⎪⎪=-++⎨⎪⎪=--⎪⎩满足123(0)(0)(0)1x x x===的特解．14. 设函数(,)x y θ在xoy 面上具有一阶连续偏导数，曲线积分2d (,)d Lxy x x y yθ+⎰与路径无关，且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2d (,)d 2d (,)d ,t t xy x x y y xy x x y y θθ+=+⎰⎰求(,)x y θ.20XXXX. 设S 为椭球面的上半部分，点(),,P x y z S ∈,π为S 在点P 处的切平面，ρ为原点到平面π的距离，求()d ,,SzS x y z ρ⎰⎰.一、 填空题1.2-； 2．234（，，）； 3．(4)2220y y y y y ''''''++++=； 4．()'2()(),()'()y x f x y xy xy ϕψψ-+⋅； 5．3π二、 选择题6. (D) 7．(A) 8．（D ） 三、9 解：设220:0 (1)z x y ∑=+≤，取下侧，则d d d d d d d d d d d d x y z xz z x x y z xz z x x y z xz z x ∑∑+∑∑+=+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.……… (3分)设222: 1 (0)x y z z Ω++≤≥，可得02d d d d 1d d d ()3x y z xz z x x y z V π∑+∑Ω+=⋅=Ω=⎰⎰⎰⎰⎰.…………… (6分)同时，0d d d d 0x y z xz z x ∑+=⎰⎰，…………………………………………………… (8分)所以原式23π=.…………………………………………………………………… (20XXXX 分)20XXXX. 解：利用极坐标变换()()()111223''2322201d cos sin "d cos sin d d "d 2I r F r r r r F r r r F r r ππθθθθθθ===⎰⎰⎰⎰⎰，………… (5分)令2t r =，则()()()()()()()11100011111"d d ''1'd '11044444I tF t t t F t F F t t F F F ⎡⎤===-=⎡-+⎤=⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰.…………(20XXXX 分)20XXXX. 解：设22t x y +，原方程化为2''()()u t u t t += (4)解之得212cos sin 2u C t C t t =++-……………………………… (9分) 故222222122u C x y C x y x y =+++-…………………………… (20XXXX分)20XXXX 解：在曲面∑上，有22cos 1x y α=++，22cos 1x y γ++，因此 ……(2分)()()(2222222d d d d cos cos d d 11z x y z z x y z x z S z xSx y x y αγ∑∑∑⎡⎤⎡⎤⎢+-=+-=+⎣⎦⎢++++⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰……(5分)()()()2222211d d .42xy D x y x x x y x y ⎧⎫⎡⎤=-++⋅--+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎰⎰ ……(7分)()222222220011d d d cos d 822xy D x x y x y r r r r πθθπ⎡⎤⎛⎫=++=+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰⎰ ……(20XXXX分)20XXXX. 解 解得特征根为210321===λλλ，， ……………… (2分)对应的特征向量是,021,122,201321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=r r r ……………… (5分)所以通解为：()X t =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛022202122t ttt t e e e e e ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321c c c ． ………………… (7分) 代入初值条件得1231/201/2c c c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，特解为：21223()1/2/2()()1t t x t e x t e x t ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩．……… (20XXXX分)20XXXX.因为积分与路径无关，所以2,x xθ∂=∂即2(,)()x y x c y θ=+. …………………………(3分)又 (,1)1122(0,0)002d (,)d [()]d ()d t xy x x y y t c y y t c y y θ+=+=+⎰⎰⎰(1,)(0,0)2d (,)d [1()]d ()d t t txy x x y y c y y t c y y θ+=+=+⎰⎰⎰则 1200()d ()d tt c y y t c y y +=+⎰⎰， …………………………(7分)两边同时求导可得21()()21t c t c y y =+⇒=-.因此 2(,)21x y x y θ=+- .…………………………(20XXXX 分)20XXXX.解: 设(),,x y z 为π上任意一点，则π的方程122xXyYzZ ++=， 于是()12222222,,44Ax By Cz D x y x y z z A B C ρ-+++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭.……………………………………………(3分)由曲面方程知22122x y z ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭222122zxx y ∂∂⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，222122z y x y ∂=∂⎛⎫-+ ⎪⎝⎭2222224d 1d 2122x y z z S x y x y σσ--⎛⎫∂∂⎛⎫=++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎛⎫⎝⎭-+ ⎪⎝⎭，………………………………………(5分)故()())2222222200113d d 4d d 4d ,,44442SSD z x y S z S x y r r r x y z πσθπρ=++=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰………(8分)。