湖南省益阳市2021届高三9月调研考试数学试题含答案

湖南省益阳市2021届高三9月调研考试

数学试题

2020．9

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1．已知集合A ＝{}260x x x --<，B ＝{}

2x x >，则A B ＝A ．(﹣2，+∞)

B ．(﹣2，3)

C ．(2，3)

D ．(2，+∞)2．已知复数i 2i a z +=

+为纯虚数（其中i 为虚数单位，a ∈R ），则a ＝A ．﹣2B ．12-C ．12

D ．23．已知半径为1的球被截去一部分后几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为

A ．76π

B ．

43

π

C ．π

D ．3π4．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，2σ)，若P(ξ＜4)

＝0.9，则P(﹣2＜ξ＜4)＝

A ．0.2

B ．0.4

C ．0.6

D ．0.8第3题

5．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域．现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为

A ．49

B ．427

C ．

1927D ．481256．在△ABC 中，CA CB 0⋅= ，AC ＝BC ＝2，BP 2PA = ，则CP CA CP CB ⋅+⋅ ＝A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．47．过抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，且3FA BF =，O 为坐标原点，则AF OF ＝

A ．4

3B ．3

4C ．4D ．5

4

8．已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，若()f x ax ≥，则a 的取值范围是

A ．[﹣2，0]

B ．(-∞，2]

C ．[﹣2，2]

D ．(-∞，﹣2] [2，+∞)

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

9．已知双曲线C ：22

13x y m

-=过点(3)，则下列结论正确的是

A ．C 的焦距为4

B ．C

C ．C 的渐近线方程为3y x =±

D ．直线2x y ﹣1＝0与C 有两个公共点

10．已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0，1]上单调递增，且(1)(1)f x f x -=+，则下列

结论正确的是

A ．直线x ＝3是()f x 的一条对称轴

B ．()f x 是周期为2的周期函数

C ．()f x 在(1，2)上单调递减

D ．x ＝2是函数()f x 的一个零点11．下面的结论中，正确的是

A ．若a ∈R ，则3a a +≥

B ．若a ＞0，b ＞0，11a b a b +=+，则a ＋b ≥2

C ．若b ＞a ＞0，m ＞0，则a m a b m b

+>+D ．若a ＞b ＞0且ln ln a b =，则ab ＝1

12．函数()sin()f x x ωϕ=+的部分图像如图中实线所示，图中的M 、N 是圆C 与()f x 图

像的两个交点，其中M 在y 轴上，C 是()f x 图像与x 轴的交点，则下列说法中正确的

是

A ．函数()y f x =的一个周期为

56

B ．函数()f x 的图像关于点(

43，0)成中心对称C ．函数()f x 在(12-，16-)上单调递增D ．圆C 的面积为3136π第12题

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．若1sin()63πα+=，则cos()3πα-＝．

14

．51x +的展开式中x 的系数是

．（用数字填写答案）15．已知函数2ln 0

()20x x f x x x x >⎧=⎨+≤⎩，，，则()()1g x f x =+的零点个数为．

16．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为4，P 是AA 1中点，

过点D 1作平面α，满足CP ⊥平面α，则平面α与正方体

ABCD —A 1B 1C 1D 1的截面周长为．

第16题

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

在①n n b na =，②2, log , n n n a n b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数

，③21221(log )(log )n n n b a a ++=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答．

问题：已知数列{}n a 是等比数列，且11a =，其中1a ，21a +，31a +成等差数列．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）记，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18．（本小题满分12分）

已知△ABC 的角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，a ＋a cosC

c sinA ，c

（1）求∠C ；

（2）求△ABC 面积的最大值．

19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P —ABCD 的底面为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ＝PD ．

（1）求证：PD ⊥AB ；

（2）若直线PA 与BC 所成角为4

π，求平面PAD 与平面PBC

所成锐二面角的余弦值．