高等代数(第三版)4-习题课

第四章 矩阵习题课
6
可逆矩阵
AB＝BA＝E
定义 设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得
则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵.
1 A . 注： ① 可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作
1 A ② 可逆矩阵A的逆矩阵 也是可逆矩阵，且
A
1
1
A.
1
③ 单位矩阵 E 可逆，且 E E .
一、主要内容 二、典型例题
第四章 矩阵习题课
第四章 矩阵习题课
一、主要内容
1 矩阵的定义
由m n个数 aij ( i 1,2,, m; j 1,2,, n)
称为m行n列矩阵.
简称m n矩阵.
a11 a12 a21 a22 记作 A a a m1 m 2
第四章 矩阵习题课
A1t A2 t , 则 Ast
A11 A12 A t A1
第四章 矩阵习题课
A21 A22 t A2
1 As 2 As . Ast
8 初等矩阵
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的
矩阵，称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵:
1 0 0
0 1 0 0 0 0 0
用同样的分法分块:
A11 A A s1 A1r B11 , B B Asr s1 B1r Bsr
其中子块 Aij 与 Bij 为同型矩阵，则 A11 B11 A1r B1r A B . A B A B s1 s1 sr sr
C11 AB C s1 C1r C sr
其 中C ij Aik Bkj
k 1
t
i 1,, s; j 1,, r .
第四章 矩阵习题课
4、转置
A11 A21 设分块矩阵 A As1
A12 A22 As 2
第四章 矩阵习题课
伴随矩阵A的重要性质：
(1) AA A A | A | E
* *
(2)
(3)
| A || A|
*
n1
n * R( A ) 1 0
n1
R(A)=n时 R(A)=n-1时 R(A) n-2时
(4)
( kA) k
*
A
*
(5)
* ( A ) ( A ) *
性质
(1) ( A) A ; (2) (3) ( A B ) A B ; ( AB ) BA ; ( A B ) A B ;
(4) ( kA) kA ;
(5)
若 A为方阵，则 A A ;
(6) R( A) R( A) .
第四章 矩阵习题课
第四章 矩阵习题课
逆矩阵的运算规律
1 若A可逆, 则A 亦可逆, 且A
1 1 1

A.
2 若A可逆, 数 0, 则A可逆, 且
A A1 .
1
1

3 若A, B为同阶方阵且均可逆 , 则AB亦可逆, 且
A B 1 B 1 A 1
1 1 1 1 推广 A1 A2 Am Am A2 A1 .
第四章 矩阵习题课
a1n a2 n ; ann
对角矩阵 diag(1 ,
1 , n ) 0
0 ; 1 0 ; k
0 ; n
1 单位矩阵 E 0 k 数量矩阵 kE 0
第四章 矩阵习题课
对称矩阵 反对称矩阵 定义 设 n 级方阵 A aij ,
性质
(1) A B B A
(2)
交换律
结合律
A ( B C ) ( A B) C
(3) A 0 A (4) A ( A) 0
第四章 矩阵习题课
（2）乘法
定义
设 A (aij )sn , B (bij )nm , 则 s n 矩阵
第四章 矩阵习题课
b1 an
a1b1 bn
anbn
（3）数量乘法
定义
设 A aij
ij sn
ka
sn
, k P , 则矩阵
称为矩阵 A 与数 k 的数量乘积．记作：kA.
即
ka11 ka12 ka21 ka22 kA ka ka s2 s1
(1) 若 A 满足 A A, 即
a11 a12 a12 a22 a a 1n 2 n a 1 n a 2 n ann
a ji aij , i , j 1,2, , n
则称 A 为对称矩阵； (2) 若 A 满足 A A, 即
a ji aij , i , j 1,2, , n
C (cij ) sm , 其中
cij ai 1b1 j
i 1,2, , s,
ainbnj aik bkj
k 1
n
j 1,2,
,m
称为 A 与 B 的积，记为 C AB ．
第四章 矩阵习题课
注意 ① 乘积 AB 有意义要求 A 的列数＝B 的行数. ② 乘积 AB 中第 i 行第 j 列的元素由 A 的第 i 行 乘 B 的第 j 列相应元素相加得到．
第四章 矩阵习题课
2、数量乘法
A11 A 设分块矩阵 A s1 A1r , P , 则 Asr
A11 A1r A . A A s1 sr
第四章 矩阵习题课
3、乘法 把矩阵 A (aik )mn , B (bkj )n p 分块成
称为矩阵A与B的和,记作 C=A+B, 即
a11 b11 a12 b12 a21 b21 a22 b22 A B a b a b s2 s1 s1 s 2
第四章 矩阵习题课
a1n b1n a2 n b2 n a sn bsn
4 矩阵乘积的行列式
定理1 设 A, B为数域 P 上的 n 级矩阵，则
AB A B .
推广
A1 , A2 , | A1 A2
, At 为数域 P 上的 n 级方阵，则 At || A1 || A2 | | At | .
第四章 矩阵习题课
5 矩阵乘积的秩
定理2 设 Anm , Bms 为数域 P上的矩阵，则
ka1n ka2 n . ka sn
第四章 矩阵习题课
性质
(1) ( ) A ( A) ; (2) (3) ( ) A A A ;
( A B) A B ;
(4) 1 A A ; (5) k ( AB ) ( kA) B A( kB ) ;
a1n a2 n aij amn

m n
,
2 一些特殊矩阵
0 零矩阵 0 0
行阵 (a1 , a2 ,
0 ; 0
, an );
a1 a2 列阵 ; a n
a11 a12 方阵 a21 a22 a a n1 n 2
1
1 l 1
1 1
1 1 1 Pl 1 Pl P E A , 1 1
1 1 1 1 1 Pl1 Pl P A P P P 1 1 l l 1 1 E
E
A
1

即对 n 2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1 .
第四章 矩阵习题课
（1）待定系数法 （2） 公式法
定理：矩阵A可逆当且仅当 A 0,（即A
非退化的），且
* A A 1 . A
第四章 矩阵习题课
（3）初等变换法
原理: 当 A 0时，由 A P1 P2 Pl，有
Pl P P A E , 及
1 1 Pl 1 Pl P 1 1 A E
第四章 矩阵习题课
4 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 A
T
T 1
A .
1 T
(5) 若 A 可逆，则有 A

1
1 1 A . A
(6) 若A可逆，则 A 亦 可逆，且 A


1
A . A
(7) 若A可逆，则 A 亦 可逆，且 A
k

k
1
A

1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一 行（列）上去．
第四章 矩阵习题课
初等矩阵的性质
初等矩阵皆可逆，且 其逆仍为初等矩阵.
P (i , j ) P (i , j ),
1 P ( i ( k )) P ( i ( )), k
(6)
( AB ) B A
*
* *
第四章 矩阵习题课
7 分块矩阵的概念
定义 设A是一个矩阵，在A的行或列之间加上
一些线，把这个矩阵分成若干小块．用这种 方法被分成若干小块的矩阵叫做一个分块矩阵. 每一个分块的方法叫做A一种分法.
第四章 矩阵习题课
分块矩阵的运算
1、加法 设 A, B 是两个 m n 矩阵，对它们
R( AB ) min R( A), R( B ) .
推广 如果 A A1 A2
At ，则 , R( At )}.
R( A) min{ R( A1 ), R( A2 ),
定理4 Asn , 若 Pss , Qnn 可逆，则
R( A) R( PA) R( AQ ) R( PAQ )
1
k
.
第四章 矩阵习题课
n阶方阵A可逆的充要条件有：
(1) 行列式 | A| 0
(2) R(A)=n(A是满秩，非退化或非奇异 (3) 矩阵A的行（列）向量组线性无关 (4) 齐次线性方程组AX=0只有零解 (5) 矩阵A可经过初等行（列）变换化为单位矩阵 (6) 矩阵A可表成有限个初等矩阵乘积
A11 A A s1 A1t , Ast B11 B B t1 B1r , Btr
其中Ai 1 , Ai 2 ,, Ait的列数分别等于 B1 j , B2 j ,, Bij 的行数 , 那末
则称 A 为反对称矩阵.
第四章 矩阵习题课
a12 0 a12 0 a a 2n 1n
a1 n a2 n 0
3 矩阵的运算
（1）加法
定义 设Βιβλιοθήκη Baidu
A (aij )sn , B (bij )sn , 则矩阵 C (cij )sn (aij bij )sn
1
1
P (i , j(k ))1 P (i , j( k )).
第四章 矩阵习题课
9 等价矩阵
定义 若矩阵B可由A经过一系列初等变换得到，
则称A与B等价的． 注： ① 矩阵的等价关系具有： 反射性、对称性、传递性. ② 等价矩阵的秩相等．
第四章 矩阵习题课
矩阵等价的有关结论
1) 定理5 任一 s n 矩阵 A 都与一形式为
第四章 矩阵习题课
矩阵乘法的运算规律
(1) (2) ( AB )C A( BC ) A( B C ) AB AC ( B C ) A BA CA
(结合律) （分配律)
(3)
(4)
Asn En Es Asn Asn
A0 0, 0 A 0
a1 (5)
注: 矩阵的加法与数量乘法合起来,统称为矩阵的
线性运算.
第四章 矩阵习题课
（4）转置
定义
设 A aij

sn
, A 的转置矩阵是指矩阵
a s1 as 2 a sn
a11 a21 a12 a22 a a 1n 2 n
T A A 记作 或 ．
第四章 矩阵习题课