含参数分式方程问题详解

含参数分式方程问题详解

分式方程参数问题

求分式方程中参数（字母系数）的取值范围的问题是一类非常重要的题目，在各类试题中出现频率较高，和解分式方程的题目相比，它更能考差学生思维的全面性和敏捷程度。在此类题目中往往首先给出分式方程解的情况，让解题者作出逆向判断，从而确定参数的取值范围。由于分式方程是先化成整式方程求解的，并且在去分母化简的过程中容易扩大未知数的范围，所以求出的参数的取值范围也就不准确了。例1.已知关于x的分式方程乙竺1无解，求m的

值。

x 3 3 x

正解：将原方程化为整式方程，得：1 m x 2，

因为原分式方程无解，所以1 m 0或® 3

1 m

所以m=1或m= 5.

3

辨析：产生错误的原因是只从字面意思来理解“无解”，认为“无解”就单单是解不出数来。

实际上，导致分式方程无解的原因有两个：①解不出数来，也就是整式方程无解；②解出的数不符合原方程，也就是整式方程虽然有解，但这个解能使最简公分母为零.

例2.已知关于x的分式方程亠 2 —有一个正解，求m的取值范围。

x 3 x 3

正解：将原方程化为整式方程，得：x 2x 3 m

x 6 m，丁原方程有解且是一个正解 6 m 0且6 m 3

m的取值范围是：m v 6且m z 3

辨析：产生错误的原因是忽视了分式方程的解必须满足的条件：最简公分母不等于零。误认为分式方程有一个正解就是整式方程有一个正解，从而简单处理了事。实际上，题目隐含着一个重要的条件：x z 3,有一个正解并不表示所有的正数都是它的解，而表示它有一个解并且这个解是一个正数两层含义。

例3：已知关于x的分式方程1亠輕的解也是不等式组 A x 2的一个解，求m的

2 x x2 4 2

取值范围。

正解：解不等式组焊>一2得：x<-2

2

2（x-3）Wx-8

将分式方程 1 + _^_ = _2m_化为整式方程，得：x 1 -4-x （x + 2） = 2m

2-x X 2-4

解这个整式方程得：x = -m-2

・••分式方程1 + —= -^-的解为："-加-2 （其中mHO 和-4）

2-兀 x -4

由题意得：一加一2<—2,解得：m>0

「•m 的取值范围是：m>0.

辨析：产生错误的原因是忽视了分式方程的解必须满足的条件：最简公分母不等 于零。实际上，题目隐含着一个重要的条件：x^±2,首先保证分式方程有解然后 才能利用解的取值范围去限制参数的取值范围。

谈求分式方程中字母参数的值

按给定条件，求分式方程中字母参数的值，在中考和竞赛试题中经常出现。这类 题涉及到分式方程的增根和分式方程转化为整式方程后根的讨论问题。

例4、（1997年湖北省孝感市中考题）当m 为何值时，宁竺=1 +丄无实数根？

X x -X 1 • • • •

分析：去分母并整理得X 2-X + 2-,H = 0 ①，原分式方程无实数解，可能有两种 情况：（1）原分式方程产生增根 厂0或 尸1；（2） 一元二次方程①无实数解，即△<（）・

解：原方程可化为x 2-x + 2-m = O ・ ①

（1） 把分式方程可能产生的增根厂0代入①，得m=2;把可能产生的增根 代入①，得血二2・

（2） 由方程①的判别式△ = （一1）2一4（2-加）<0,解得加

4

综上所述，当或”二2时，原分式方程无实数解.

4

例5、若关于x的方程兰-亠. = 41只有一个解，试求出&的值与方程的解.（第

x-1 X -x X ...............

15届江苏省初中数学竞赛试题）

3，得 a |.

2

所以，当a 0且a 9时,

2

恰有三个互不相等的实数根？并求出这三个实数根

2x y，则原方程可化为y2 2my m2 1 0，解得m 1 , y? m 1.

从而△ 1=4m+8，△ 2=4m.

';.,由题意，△ 1与△ 2中应有一个等于零，一个大于零.

解：化简原方程，得kx2 3kx 2x 1 0①

当k=0时，原方程有唯一解x 1，符合题意.

2

当20时，方程①的根的判别式^ =3k 2 2 4k 3k善罟.因为3k 2

0,所

以厶>0 ,故方程①总有两个不同的实数解.按题意其中必有一根是原方程的增根.原方程可能产生的增根只能是0或1.

把x=0代入①，方程不成立，不合题意.故增根只能是x=1 ；把x=1代入①，得k 此时方程为x2 x 2 0，两个根为X1 2, X2

1 .

所以，当k=0时，分式方程的解为x 1；当k z 0时，分式方程的解为x

x有两个实数根，求a的取值范围. 2 .

例6、已知关于x的方程汙

解：原方程可化为x2 2a 0 , 即x2 2a.

由题意方程①必须有解，故得 a 0，由于x 3可能是原方程的增根，应该排

例7、已知关于x的方程X2m2 1

2x —2—

x 2x 2m o,其中m为实数.当实数m为何值时，方

原方程有两个实数根.

解：令x2

所以 2

x 2x m 1 0

或X22x m 1 0

当厶1=0即m= —2时，△产0,不合题意；当厶2=0即m=0时，△ 1>0，此时方程

所以当m =0，原方程有三个互不相等的实数根：X 1=0 , X 2 1 2 , X 3 1 2 .

妙用分式方程的增根求参数值

解分式方程时，常通过适当变形化去分母，转化为整式方程来解，若整式方程的根使 分式方程中的至少一个分母为零，则是增根，应舍去，由此定义可知：增根有两个性 质：（1）增根是去分母后所得整式方程的根；（2）增根是使原分式方程分母为零的未 知数的值，灵活运用这两个性质，可简捷地确定分式方程中的参数（字母数）值，请

看下面例示： 分式方程有增根，求参数值

2 /

例8 a 为何值时，关于x 的方程—严=0有增根？

解：原方程两边同乘以（x-3）去分母整理，得

x 2

-4x+a=0 （探）

因为分式方程有增根，增根为 x=3，把x=3代入（※丿得，9-12+a=0 a=3

1 rm

例9 m 为何值时，关于x 的方程芦+「2二

hm 土有增根 解：原方程两边同乘以（x-1） （x-2）去分母整理，得

（1+m ） x=3m+4 （探） 因为分式方程有增根，据性质（2）知：增根为x=1或x=2。把x=1代入（※丿，解得

m=- 2 ；把x=2代入（探）得 m=-2

所以m=-j 或-2时，原分式方程有增根

k 2

点评：分式方程有增根，不一定分式方程无解（无实根），如方程芦+1= （x 1）（x 2）有

2 8

增根，可求得k=-3，但分式方程这时有一实根x= 3

②有两个相等的实数根x

1，方程①有两个不相等的实数根 1 •、. 2

所以a=3 时, 2 x 4x a =0有增根