含参数分式方程问题详解
探究含参的分式方程(教学设计)
探究含参的分式方程（教学设计）成都铁中何怿熹教学目标：1、利用增根解决分式方程的参数问题2、解题过程中数学的转化思想和分类讨论思想的应用3、充分感受并学会对于复杂问题联立求解，避免漏解的重要性3、感受分式方程含参问题知识的横向联系，与不等式、概率等知识有机结合教学重点：分式方程化成整式方程时，未知数系数有参和无参的区别；有解和无解情况的具体考虑教学难点：分式方程化成整式方程时，未知数系数有参时，有解和无解情况的考虑教学信息技术的使用：爱学派平台、微课、mindmaster软件的使用、平板电脑、电子白板、Internet的使用一、课前准备工作1.通过爱学派平台给学生推送与分式方程增根问题的微课，预习相关内容，并完成一些对应习题，通过平台的数据统计反馈，了解学生对预设问题的掌握情况，便于在课堂教学中就学生的易错问题做详细剖析。
2.完成本章的知识体系的梳理，通过爱学派平台推送任务，学生以思维导图的形式呈现其总结归纳过程，并用于课堂展示，也给学生提供相互学习的机会。
二、复习回顾先做课前展示，思维导图的完成分享教学过程：（一）含参的整式方程ax=b的解的情况：①当a≠0时，方程的解x___________②当a=0时,{若此时b≠0时,等式两边___________________，此时方程___________________若此时b=0时，等式两边___________________，此时方程___________________，设计意图：以学生较为容易理解的整式方程引入，让学生感受在解决含参问题时分类讨论思想的重要性，为后面分式方程的含参问题中化成整式方程时，系数含参且无解类型的探讨埋下伏笔（二）分式方程的基本解法1、解分式方程的基本思想2、解分式方程的步骤①去分母:_________ ②解整式方程③验根：________________________________验根过程中算得使原分式方程的分母或最简公分母为零的根,我们称它为原方程的______，也叫原方程_______设计意图：对分式方程求解过程的复习也是贯穿整堂课求解含参分式方程的基础，强化学生对分式方程转化至整式方程求解通法。
复习课含参的分式方程教学设计
含参的分式方程（一）教学设计
教学任务分析
教学过程设计
板书设计
教学反思：
1.整节课以流畅、开放、合作、引导为基本特征，教师对学生的思维较少干预，教学过程呈现一种比较流畅的特征。
整节课学生与学生，学生与教师之间以对话、讨论为出发点，采用独立思考，以互助合作，讲台展示，屏幕讲解，等手段以解决问题为目的，让学生在一个比较宽松的环境中自主选择获得成功的方向，判断发现的价值。
2.本堂课通过暴露学生的问题，引导学生发现问题，提出问题，解决问题，并归纳解决同类型问题的方法，来突破重难点。
让学生经历不断暴露，不断辩证，不断补充，不断总结的过程，将解决问题的方法归功于学生。
3.学生的点评还需多样化。
期间有学生提出了优化增根问题的解题方法，应加以表扬，鼓励更多的学生除了要做到会做题以外，还要思考如何计算简单。
但由于词汇匮乏，点评不到位，没有起到更好的鼓舞作用。
4.因时间有限，小试牛刀的练习题学生未训练到，虽仍是无解问题，但是又比之前的无解问题多出增根不成立的情况，随即布置成了课后的练习题。
以后教学中要对时间还有好好把握，及时调整，收放自如。
中考数学 精讲篇 专题突破四 含参数的方程(组)、不等式(组)的综合问题
问题
(必考)
x－m
1．如果关于 x 的不等式组
2
≥2，
的解集为 x≥1，且关于 x 的
x－4≤3（x－2）
方程m－（13－x）＝x－2 有非负整数解，则所有符合条件的整数 3 个 C．4 个 D．5 个
x≥4＋m， 【解析】不等式组整理得x≥1， 由不等式组的解集为 x≥1，得到 m ＋4≤1，即 m≤－3，方程去分母得 m－1＋x＝3x－6，解得 x＝m＋2 5，由 方程有非负整数解，得到 m＝－5 或－3，则符合条件的整数 m 的值有 2 个．故选：A.
解分式方程yy＋－2a＝3，得 y＝－a＋2 6，∵分式方程的解为负数，∴－a＋2 6＜
a＋6 0，且－ 2 ≠－2，∴－6＜a＜－1，且 a≠－2，则整数 a 的值为－5，
－4，－3，共 3 个．故选：B.
x－a>2， 3．(2021·合川区模拟)若整数 a 使关于 x 的不等式组x－3a＜－2无解， 且使关于 x 的分式方程xa－x5－5－5 x＝－3 有正整数解，则满足条件的 a 的
y＞－2， ≠2，即 a≤7 且 a≠3，不等式组整理得：y≤a， 即－2＜y≤a，∵不 等式组至少有 3 个整数解，∴a≥1，综上，a 的范围为 1≤a≤7 且 a≠3， 即 a＝1，2，4，5，6，7，则满足条件的 a 之和为 1＋2＋4＋5＋6＋7＝ 25.故选：B.
8．若关于 x 的二次函数 y＝－x2＋(a－3)x－3，当 x≥0 时，y 随 x 的增
x＋1 2x＋5
方程有增根，∴y＝1 或－1，∴a－3＝0，∴a＝3.由
2
≤
6
， 可得
x＋1＞a＋b，
x≤2，b＋2<x≤2，∴b<0.∵不等式组有不超过 3 个整数解，∴－1≤b＋
参数方程考点解析
高考数学2021年6月■甘肃省秦安县第二中学杨志云刘晓艳一、参数方程的槪念侧!已知曲线c的参数方程是(h=1+2/,,&为参数，aWR),点M(—3,4) \y=at在曲线C上。
(1)求常数a的值；(2)判断点P(1,O),Q(3,-1)是否在曲线C上。
解析:(1)将点M(—3,4)的坐标代入曲线匕=1+2±,f—3=1+2e,C的参数方程？得9消去\y=at2,[4=a*,参数£，得a=l o(2)由(1)可知，曲线C的参数方程是严=1+2左,\y=t2o把点p的坐标(1,0)代入方程组，解得£=0,因此点P在曲线C上。
把点Q的坐标(3=l-\~2t,(3,-1)代入方程组，得到,这个方1-1=£2,程组无解，因此点Q不在曲线C上。
点评：满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种，点、在曲线上和点不在曲线上。
①对于曲线C的普通方程若点M(g，3/i)在曲线C上，则点M(rci，夕J的坐标是方程/(rr9夕)=0的解，即有(5,刃)=0;若点N(x2»%)不在曲线C上，则点NS，夕2)的坐标不是方程/*(",，)=0的解，即有于(匚2，夕2)工0。
②对于曲线C的参数方程Ctb=g(E)为参数〉，著点M(,必)在曲线上，则m=/*(£),对应的参数左有解，否则参数z bl=g&)不存在。
二、求曲线的参数方程侧2已知边长为a的等边三角形ABC的顶点A在y轴的非负半轴上移动，顶点B在北轴的非负半轴上移动，求顶点C在第一象限内的轨迹的参数方程。
解析：如图1,设顶点C的坐标为(工，y),NABO=e,过点C作工轴的垂线段即为所求。
点评：该题的解题思路是先画出图形，选取角为参数，建立动点的坐标的三角函数即可。
求曲线的参数方程的步骤：①建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标；②写出适合条件的点M的集合；③用坐标表示集合，列出方程；④将方程化为最简形式；⑤证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(此步骤可以省略，但一定要注意所求的方程中所表示的点是否挪表示曲线上的点，要注意那些特殊■的点)。
专题09 分式方程中的参数问题(解析版)
八下数学思维解法技巧培优小专题专题9 分式方程中的参数问题题型一由分式方程解的情况求参数的值或取值范围【典例1】（2019•淅川县期末）若关于x的方程2m−3x−1−xx−1=0无解，则m的值是（）A．3B．2C．1D．﹣1【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x﹣1＝0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【解析】解：去分母得：2m﹣3﹣x＝0，由分式方程无解，得到x﹣1＝0，即x＝1，把x＝1代入整式方程得：2m﹣4＝0，解得：m＝2，故选：B．【典例2】（2019•吉安县期末）若mx−3−1−x3−x=0无解，则m的值是（）A．3B．﹣3C．﹣2D．2【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到m的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】解：去分母得：m﹣x+1＝0，由分式方程无解，得到x﹣3＝0，即x＝3，把x＝3代入整式方程得：m＝2，故选：D．【典例3】（2019•齐齐哈尔）关于x的分式方程2x−ax−1−11−x=3的解为非负数，则a的取值范围为a≤4且a≠3．【点拨】根据解分式方程的方法和方程2x−ax−1−11−x=3的解为非负数，可以求得a的取值范围．【解析】解：2x−ax−1−11−x=3，方程两边同乘以x﹣1，得2x ﹣a +1＝3（x ﹣1）， 去括号，得 2x ﹣a +1＝3x ﹣3， 移项及合并同类项，得 x ＝4﹣a ，∵关于x 的分式方程2x−a x−1−11−x=3的解为非负数，x ﹣1≠0，∴{4−a ≥0(4−a)−1≠0， 解得，a ≤4且a ≠3， 故答案为：a ≤4且a ≠3．【典例4】（2019•江阴市期中）若分式方程x−2x−3−2=mx−3有增根，则m 的值为 1 ． 【点拨】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m 的值．【解析】解：方程的两边都乘以（x ﹣3），得 x ﹣2﹣2（x ﹣3）＝m ， 化简，得 m ＝﹣x +4，原方程的增根为x ＝3， 把x ＝3代入m ＝﹣x +4， 得m ＝1， 故答案为：1．【典例5】（2019•江都区四模）若关于x 的分式方程1x−2−m 2−x=1的解是正数，求m 的取值范围．【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数确定出m 的范围即可．【解析】解：去分母得：1+m ＝x ﹣2， 解得：x ＝m +3，由分式方程的解为正数，得到m +3＞0，且m +3≠2，解得：m ＞﹣3且m ≠﹣1．题型二 分式方程与不等式的综合【典例6】（2019•九龙坡区校级月考）已知关于x 的分式方程2−ax 1−x−1x−1+1＝0有整数解，且关于x 的不等式组{3x ≤2(x −12)2x −x−13＜a的解集为x ≤﹣1，则符合条件的所有整数a 的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【点拨】解分式方程得x =4a+1且x ≠1，则整数a 为0，1，﹣2，﹣3，﹣5时分式方程的解为整数解，再解不等式组得到a ＞−43，从而得到满足条件的整数a 的值． 【解析】解：去分母得2﹣ax +1+1﹣x ＝0， 解得x =4a+1且x ≠1，当整数a 为0，1，﹣2，﹣3，﹣5时，分式方程的解为整数解， 解不等式组为{x ≤−1x ＜3a−15，而不等式组的解集为x ≤﹣1， 所以3a−15＞−1，解得a ＞−43，∴满足条件的整数a 的值为0，1． 故选：A ．【典例7】（2019•巴南区期中）若关于x 的分式方程m 2−x−1＝1−xx−2的解为正数，且关于y 的不等式组{2y−53≤−3y −m −1＞−1无解，那么符合条件的所有整数m 的和为（ ）A ．5B ．3C ．1D ．0【点拨】根据题意可以求得m 的取值范围，从而可以得到符合条件的m 的整数值，从而可以解答本题． 【解析】解：由方程m2−x−1＝1−xx−2，解得，x ＝4﹣m ，则{4−m ＞04−m ≠2， 解得，m ＜4且m ≠2，∵关于y 的不等式组{2y−53≤−3y −m −1＞−1无解，解得，m ≥﹣2，由上可得，m 的取值范围是：﹣2≤m ＜4，且m ≠2， ∴符合条件的所有整数m 的和为：﹣2+（﹣1）+0+1+3＝1， 故选：C ．【典例8】（2019•沙坪坝区校级月考）若实数a 使关于x 的不等式组{13x −1≤x−1212a −3x ＞0有且只有4个整数解，且使关于x 的方程2x−1+5−a 1−x=−2的解为正数，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．7B ．10C ．12D ．1【点拨】解不等式组求得其解集，根据不等式组只有4个整数解得出a 的取值范围，解分式方程得出x =5−a2，由方程的解为正数且分式有意义得出a 的取值范围，综合两者所求最终确定a 的范围，据此可得答案．【解析】解：解不等式组{13x −1≤x−1212a −3x ＞0得，−3≤x ＜a 6， ∵不等式组只有4个整数解， ∴0＜a6≤1， ∴0＜a ≤6， 解分式方程2x−1+5−a1−x=−2得：x =5−a2， ∵分式方程的解为正数， ∴5−a 2＞0，且5−a 2≠1，解得：a ＜5且a ≠3，综上可得，a 的取值范围为0＜a ＜5，且a ≠3， 则符合条件的所有整数a 的和为：1+2+4＝7． 故选：A ．【典例9】（2019•沙坪坝区校级一模）如果关于x 的不等式组{5x+36≤x +115a −x ≥0至少有3个整数解，且关于x的分式方程axx−5=1−a 5−x−3xx−5的解为整数，则符合条件的所有整数a 的取值之和为（ ）A ．﹣10B ．﹣9C ．﹣7D ．﹣3【点拨】先分别解不等式组里的两个不等式，因为不等式组有解，写出其解集为﹣3≤x ≤15a ，根据不等式组至少有3个整数解，可得a 的取值，再解分式方程得x =a−1a+3，根据解为整数即得到a 的范围．得到两个a 的范围必须同时满足，即求得可得到的整数a 的值．【解析】解：解不等式组{5x+36≤x +115a −x ≥0，得：﹣3≤x ≤15a ， ∵至少有3个整数解， ∴15a ≥﹣1，∴a ≥﹣5， 解方程：ax x−5=1−a 5−x−3x x−5，ax ＝a ﹣1﹣3x ， x =a−1a+3，∵分式方程有解且解为整数，a−1a+3≠5，∴a ≠﹣4，a +3是a ﹣1的约数， ∵a ≥﹣5，∴a ＝﹣5，﹣2，﹣1，1，∴符合条件的所有整数a 的和为﹣7， 故选：C ．【典例10】（2019•长寿区模拟）若关于x 的方程k 1−x=3x−1−2有非负实数解，关于x 的一次不等式组{x−12−2x ≤1x +k ≤2有解，则满足这两个条件的所有整数k 的值的和是 ﹣6 ．【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，由分式方程有非负实数解确定出k 的范围，由不等式有解确定出k 的范围，进而确定出k 的具体范围，求出整数解，进而求出之和即可． 【解析】解：分式方程去分母得：﹣k ＝3﹣2x +2， 解得：x =k+52，由分式方程有非负实数解，得到k+52≥0，且k+52≠1，解得：k ≥﹣5且k ≠﹣3， 不等式组整理得：{x ≥−1x ≤2−k，由不等式组有解，得到2﹣k ≥﹣1，即k ≤3，综上，k 的范围为﹣5≤k ≤3，且k ≠﹣3，即整数k ＝﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，3， 则所有满足题意整数k 的值的和为﹣6， 故答案为：﹣6巩固练习1．（2019•九龙坡区期末）关于x 的分式方程ax−24−x+6x−4=−3的解为正数，且关于x 的不等式组{x ＞1a+x 2≥x −72有解，则满足上述要求的所有整数a 的绝对值之和为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18【点拨】根据分式方程的解为正数即可得出a ＜2且a ≠1，根据不等式组有解，即可得出a ＞﹣5，找出﹣5＜a ＜2且a ≠1中所有的整数，将其相加即可得出结论． 【解析】解：解分式方程得x =43−a ， 因为分式方程的解为正数， 所以43−a＞0且43−a≠4，解得：a ＜3且a ≠2， 解不等式a+x 2≥x −72，得：x ≤a +7，∵不等式组有解， ∴a +7＞1， 解得：a ＞﹣6，综上，﹣6＜a ＜3，且a ≠2，则满足上述要求的所有整数a 绝对值之和为5+4+3+2+1+0+1＝16， 故选：C ．2．（2019•南岸区模拟）若数k 使关于x 的不等式组{3x +k ≤0x3−x−12≤1只有4个整数解，且使关于y 的分式方程k y−1+1=y+ky+1的解为正数，则符合条件的所有整数k 的积为（ ） A ．2 B ．0 C ．﹣3 D ．﹣6【点拨】解不等式组求得其解集，根据不等式组只有4个整数解得出k 的取值范围，解分式方程得出y ＝﹣2k +1，由方程的解为整数且分式有意义得出k 的取值范围，综合两者所求最终确定k 的范围，据此可得答案．【解析】解：解不等式组{3x +k ≤0x3−x−12≤1得：﹣3≤x ≤−k3， ∵不等式组只有4个整数解， ∴0≤−k3＜1， 解得：﹣3＜k ≤0， 解分式方程k y−1+1=y+ky+1得：y ＝﹣2k +1，∵分式方程的解为正数， ∴﹣2k +1＞0且﹣2k +1≠1， 解得：k ＜12且k ≠0，综上，k 的取值范围为﹣3＜k ＜0，则符合条件的所有整数k 的积为﹣2×（﹣1）＝2， 故选：A ．3．（2019•嘉祥县模拟）若关于x 的方程3x−1=1−k1−x无解，则k 的值为（ ） A ．3B ．1C ．0D ．﹣1【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x 的值，代入整式方程计算即可求出k 的值．【解析】解：去分母得：3＝x ﹣1+k ， 由分式方程无解，得到x ＝1， 把x ＝1代入整式方程得：k ＝3， 故选：A ．4．（2019•碑林区校级期末）若关于x 的分式方程x+a x−2+a 2=12x−4无解，则a 的值为（ ）A ．−32B ．2C ．−32或2D ．−32或﹣2【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出a 的值即可． 【解析】解：去分母得：2x +2a +ax ﹣2a ＝1， 整理得：（a +2）x ＝1，由分式方程无解，得到a +2＝0或x =1a+2=2， 解得：a ＝﹣2或a =−32， 故选：D ．5．（2019•渝中区校级期中）关于y 的分式方程3−a y−2=y−62−y 有正整数解，且关于x 的不等式{3x +32＜3a 2x−36≥23无解，则满足条件的所有整数a 的和为（ ） A ．﹣4B ．0C ．﹣8D ．﹣12【点拨】依据不等式组无解，即可得到a ≤4；依据分式方程有正整数解，即可得到a ＞﹣12且a ≠﹣4，进而得出﹣12＜a ≤4且a ≠﹣4，根据y =a+124是正整数，可得a ＝﹣8，0，4，计算和可得结论． 【解析】解：解不等式3x +32＜3a 得，x ＜2a−12， 解不等式2x−36≥23得，x ≥72，∵不等式组无解， ∴72≥2a−12，解得a ≤4；由分式方程3−ay−2=y−62−y ， 可得y =a+124， ∵分式方程有正整数解， ∴y ＞0且y ≠2， 即a+124＞0且a+124≠2，解得a ＞﹣12且a ≠﹣4， ∴﹣12＜a ≤4且a ≠﹣4，∵a+124是正整数，∴a ＝﹣8，0，4，∴满足条件的所有整数a 的和＝﹣8+0+4＝﹣4， 故选：A ．6．（2019•渝中区二模）若数a 使关于x 的不等式组{x−22≤−12x +27x +4＞−a有且只有4个整数解，且使关于y 的分式方程2y−1+a 1−y=3的解为正数，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．﹣2B ．0C ．3D ．6【点拨】先分别解不等式组里的两个不等式，因为不等式组有解，写出其解集为−4−a 7＜x ≤3，得到在此范围内的整数解为x ＝0，1，2，3，进而得到−4−a 7的范围，求得此时满足的a 的范围；再解分式方程得y =5−a3，解为正数即得到a 的范围．得到两个a 的范围必须同时满足，即求得可得到的整数a 的值． 【解析】解：解不等式x−22≤−12x +2，得：x ≤3解不等式7x +4＞﹣a ，得：x ＞−4−a7∵不等式组有且只有4个整数解 ∴在−4−a 7＜x ≤3的范围内只有4个整数解∴整数解为x ＝0，1，2，3 ∴−1≤−4−a7＜0 解得：﹣4＜a ≤3① 解方程：2y−1+a 1−y=3解得：y =5−a 3∵分式方程有解且解为正数∴{5−a3≠15−a3＞0 解得：a ＜5且a ≠2② ∴所有满足①②的整数a 的值有：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3 ∴符合条件的所有整数a 的和为﹣2故选：A ．7．（2019•江油市一模）若数a 使关于x 的不等式组{x−22≤−12x +22x +4＞−a有且仅有四个整数解，且使关于y 的分式方程ay−2+22−y=2有非负数解，则满足条件的整数a 的值是 ﹣2 ．【点拨】先解不等式组，根据不等式组有且仅有四个整数解，得出﹣4＜a ≤﹣2，再解分式方程a y−2+22−y=2，根据分式方程有非负数解，得到a ≥﹣2且a ≠2，进而得到满足条件的整数a 的值．【解析】解：解不等式组{x−22≤−12x +22x +4＞−a ，可得{x ≤3x ＞−a+42，∵不等式组有且仅有四个整数解， ∴﹣1≤−a+42＜0， ∴﹣4＜a ≤﹣2， 解分式方程a y−2+22−y=2，可得y =12（a +2），又∵分式方程有非负数解， ∴y ≥0，且y ≠2，即12（a +2）≥0，12（a +2）≠2，解得a ≥﹣2且a ≠2，∴满足条件的整数a 的值为﹣2， 故答案为：﹣2．8．（2019•保康县模拟）若关于x 的方程x+m x−3+3m 3−x=2的解为正数，则m 的取值范围是 m ＜3且m ≠32．【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为正数，确定出m 的范围即可． 【解析】解：去分母得：x +m ﹣3m ＝2x ﹣6， 解得：x ＝6﹣2m ，由分式方程的解为正数，得到6﹣2m ＞0，且6﹣2m ≠3， 解得：m ＜3且m ≠32， 故答案为：m ＜3且m ≠32，9．（2019•沙坪坝区校级期中）关于x的分式方程2x−1+kxx2−1=3x+1会产生增根，则k＝﹣4或6．【点拨】根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值．【解析】解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得2（x+1）+kx＝3（x﹣1），即（k﹣1）x＝﹣5，∵最简公分母为（x+1）（x﹣1），∴原方程增根为x＝±1，∴把x＝1代入整式方程，得k＝﹣4．把x＝﹣1代入整式方程，得k＝6．综上可知k＝﹣4或6．故答案为：﹣4或6。
专题04 分式方程中的参数问题(解析版)
专题04 分式方程中的参数问题考纲要求:1. 了解分式方程的概念2.会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个），会对分式方程的解进行检验.3.会用分式方程解决简单的事件问题.基础知识回顾:1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般步骤：()1去分母化分式方程为整式方程.()2解这个整式方程，求出整式方程的根.()3检验，得出结论.一般代入原方程的最简公分母进行检验.3.增根是分式方程化为整式方程的根，但它使得原分式方程的分母为零.应用举例:招数一、分式方程增根问题：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母0，确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【例1】若关于x的分式方程+＝2m有增根，则m的值为______．【答案】1【解析】方程两边都乘x﹣2，得x﹣2m＝2m（x﹣2）∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣2＝0，解得x＝2，当x＝2时，m＝1故m的值是1，故答案为1招数二、分式方程无解问题：分式方程无解分为以下两种情况：①原方程解不出数来，也就是整式方程无解；②整式方程能解出来，但是解出来的数使得原分式方程的分母为零，也就是所谓的增根，所以切记一定要讨论。
【例2】取5张看上去无差别的卡片，分别在正面写上数字1，2，3，4，5，现把它们洗匀正面朝下，随机摆放在桌面上．从中任意抽出1张，记卡片上的数字为m，则数字m使分式方程﹣1＝无解的概率为________．【答案】．【解答】解：由分式方程，得m＝x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）x＝1或﹣2时，分式方程无解，x＝1时，m＝2，x＝﹣2时，m＝0，所以在1，2，3，4，5取一个数字m使分式方程无解的概率为．招数三、已知分式方程解的范围求参数范围问题：明确告诉了解的范围，首先还是要按正常步骤解出方程，解中肯定带有参数，再根据解的范围求参数的范围，注意：最后一定要讨论增根的问题.【例3】已知关于x的分式方程＝1的解是非正数，则m的取值范围是（）A．m≤3B．m＜3 C．m＞﹣3 D．m≥﹣3【答案】A【解析】方程两边同乘以x﹣3，得2x﹣m＝x﹣3，移项及合并同类项，得x＝m﹣3，∵分式方程＝1的解是非正数，x﹣3≠0，∴，解得，m≤3，故选：A．【例4】若关于x的分式方程=1的解是负数,求m的取值范围.【答案】m<2且m≠0.【解析】解:由=1,得(x+1)2-m=x2-1,解得x=-1+.由已知可得-1+<0,-1+≠1且-1+≠-1,解得m<2且m≠0.招数四、与其它方程或不等式结合求参数问题：【例5】关于x的两个方程260x x--=与213x m x=+-有一个解相同，则m= ．【答案】﹣8．【解析】【例6】若数a使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程﹣＝﹣3的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1【答案】A【解析】由关于x的不等式组得∵有且仅有三个整数解，∴＜x≤3，x＝1，2，或3．∴，∴﹣＜a＜3；由关于y的分式方程﹣＝﹣3得1﹣2y+a＝﹣3（y﹣1），∴y＝2﹣a，∵解为正数，且y＝1为增根，∴a＜2，且a≠1，∴﹣＜a＜2，且a≠1，∴所有满足条件的整数a的值为：﹣2，﹣1，0，其和为﹣3．故选：A ．方法、规律归纳:1.按照基本步骤解分式方程时，关键是确定各分式的最简公分母，若分母为多项式时，应首先进行因式分解，将分式方程转化为整式方程，给分式方程乘最简公分母时，应对分式方程的每一项都乘以最简公分母，不能漏乘常数项；2．检验分式方程的根是否为增根，即分式方程的增根是去分母后整式方程的某个根，如果它使分式方程的最简公分母为0.则为增根． 增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母0，确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．3. 分式方程的增根和无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解；分式方程的增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．实战演练:1.若关于x 的分式方程﹣1＝有增根，则m 的值为______．【答案】3【解析】方程两边都乘（x ﹣2），得3x ﹣x+2＝m+3∵原方程有增根，∴最简公分母（x ﹣2）＝0，解得x ＝2，当x ＝2时，m ＝3．故答案为3．2.若关于x 的分式方程1322m x x x -=---有增根，则实数m 的值是 ． 【答案】1．【解析】试题分析:去分母，得：13(2),m x x =---由分式方程有增根，得到20,x -= 即 2.x =把2x =代入整式方程可得： 1.m =故答案为：1.3. 若关于x 的分式方程=2a 无解，则a 的值为_____．【答案】1或【解析】解：去分母得：x-3a=2a（x-3），整理得：（1-2a）x=-3a，当1-2a=0时，方程无解，故a=；当1-2a≠0时，x==3时，分式方程无解，则a=1，故关于x的分式方程=2a无解，则a的值为：1或．故答案为：1或．4.已知关于x的分式方程﹣2＝的解为正数，则k的取值范围为（）A．﹣2＜k＜0 B．k＞﹣2且k≠﹣1 C．k＞﹣2 D．k＜2且k≠1【答案】B【解析】∵＝2，∴＝2，∴x＝2+k，∵该分式方程有解，∴2+k≠1，∴k≠﹣1，∵x＞0，∴2+k＞0，∴k＞﹣2，∴k＞﹣2且k≠﹣1，故选：B．5.已知关于x的方程无解，则a的值为_____________．【答案】-4或6或1【解析】由原方程得：2（x+2）+ax=3（x-2），整理得：（a-1）x=-10，（i）当a-1=0，即a=1时，原方程无解；（ii）当a-1≠0，原方程有增根x=±2，当x=2时，2（a-1）=-10，即a=-4；当x=-2时，-2（a-1）=-10，即a=6，即当a=1，-4或6时原方程无解．故答案为-4或6或16．关于x的方程﹣1＝的解为正数，则k的取值范围是（）A．k＞﹣4 B．k＜4 C．k＞﹣4且k≠4D．k＜4且k≠﹣4 【答案】C．【解析】分式方程去分母得：k﹣（2x﹣4）＝2x，解得：x＝，根据题意得：＞0，且≠2，解得：k＞﹣4，且k≠4．故选：C．7 . 若关于x的方程2230x x+-=与213x x a=+-有一个解相同，则a的值为（）A．1 B．1或﹣3 C．﹣1 D．﹣1或3 【答案】C．【解析】解方程2230x x+-=，得：x1=1，x2=﹣3，∵x=﹣3是方程213x x a=+-的增根，∴当x=1时，代入方程213x x a=+-，得：21131a=+-，解得a=﹣1．故选C．8．若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤a，且关于y的分式方程﹣＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．0 B．1 C．4 D．6【答案】B【解析】由不等式组得：∵解集是x≤a，∴a＜5；由关于y的分式方程﹣＝1得2y﹣a+y﹣4＝y﹣1∴y＝，∵有非负整数解，∴≥0，∴a≥﹣3，且a＝﹣3，a＝﹣1（舍，此时分式方程为增根），a＝1，a＝3它们的和为-3+1+3=1．故选：B．9．已知关于x的不等式组有且只有四个整数解，又关于x的分式方程﹣2=有正数解，则满足条件的整数k的和为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】解不等式-(4x+)＜0，得：x＞，解不等式﹣(x+2)+2≥0，得：x≤2，则不等式组的解集为＜x≤2，∵不等式组有且只有四个整数解，∴﹣2≤＜﹣1，解得:﹣3≤k＜5；解分式方程-2=得：x=，∵分式方程有正数解，∴＞0，且≠1，解得：k＞﹣3且k≠﹣1，所以满足条件的整数k的值为﹣2、0、1、2、3、4，则满足条件的整数k的和为﹣2+0+1+2+3+4=8，故选：D.10.阅读下列材料：在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程的解为正数，求a的取值范围？经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见：小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x=a﹣2．由题意可得a﹣2＞0，所以a＞2，问题解决．小强说：你考虑的不全面．还必须保证a≠3才行．老师说：小强所说完全正确．请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明：．完成下列问题：（1）已知关于x的方程=1的解为负数，求m的取值范围；（2）若关于x的分式方程=﹣1无解．直接写出n的取值范围．【答案】（1）：m＜且m≠﹣；（2）n=1或n=．【解析】请回答：小明没有考虑分式的分母不为0（或分式必须有意义）这个条件；（1）解关于x的分式方程得，x=，∵方程有解，且解为负数，∴，解得：m＜且m≠-；（2）分式方程去分母得：3-2x+nx-2=-x+3，即（n-1）x=2，由分式方程无解，得到x-3=0，即x=3，代入整式方程得：n=；当n-1=0时，整式方程无解，此时n=1，综上，n=1或n=．。
分式方程中参数问题的四种考法(解析版)(人教版)
1】．关于
x
的方程
3x x3
2
3
m
x
的解不小于1，则
m
的取值范围为
．
【答案】 m 7 且 m ¹ - 9
【分析】先解分式方程可得 x 6 m ，由题意得 6 m 1，再由 x 3，得 6 m 3 ，求
出 m 的取值范围即可．
【详解】解：
3x x3
2
3
m
x
，
3x 2 x 3 m ，
专题 09 分式方程中参数问题的四种考法
类型一、整数解问题求参数
x m 1
例．若关于
x
的不Hale Waihona Puke 式组x21
x 4
1
有解且至多有
5
个整数解，且关于
y
的方程
y
1
1
3
my 1 y
的解为整数，则符合条件的整数
m
的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
x m 1
【分析】先解出不等式组的解集，然后根据不等式组
解不等式 y 3 2 y a 得： y<2a 3，
∴10 y 2a 3
∵不等式组至多有 3 个整数解，
∴ 2a 3 13 ，
∴a 8．
方程
x
1
3
x 3
a x
1
，
1 x a x 3 ，解得： x a 4 2
∵分式方程有非负整数解，
∴ x 0 （x 为非负整数）且 x 3，
情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即 x=2 或 x=6， ①当 x=2 时，代入 (m 1)x 6 0 ，得： 2m 8 0
(完整版)含有参数的分式方程
含有参数的分式方程【问题一】解含有参数的分式方程例如：解关于x 的方程11(1)1a a x +=≠- 分析：解分式方程的一般是方法将分式方程转化为整式方程，通过在等式两边乘以最简公分母达到去分母的效果。
在解决含有参数的分式方程时，将参数看作一个常数进行运算，用含有参数的代数式表示方程的解。
解：去分母，方程两边同时乘以1x -得：1(1)1a x x +-=-整理方程得：(1)2a x a -=-∵1a ≠，∴10a -≠， ∴21a x a -=- 检验，当21a x a -=-时，10x -≠ ∴原分式方程的解为21a x a -=- 小结：将等式中的参数看作常数，用含有参数的代数式表示一个未知数的值，是解决含参问题的基本方法。
练习：解关于x 的方程10(0,1)1m m m x x -=≠≠+且 （1m x m=-） 【问题二】已知含有参数的分式方程有特殊解，求参数的值例如：当a 为何值时，关于x 的方程12325x a x a +-=-+的解为0. 分析：将方程的解代入原方程建立关于参数的方程。
解：当x =0是方程的解时有0123025a a +-=-+，解得 15a = 当15a =时，50a +≠ 所以15a =是方程23152a a -=-+的解. 所以当15a =时，原方程的解为0 . 小结：方程的解是指使得等式两边相等的未知数的值，所以将方程的解代入原式，等式依然成立。
练习：当a 为何值时，关于x 的方程2334ax a x +=-的解为1. （3a =）【问题三】已知含有参数的分式方程解的范围，求参数的值例如：已知关于x 的方程233x m x x -=--的解为正数，试求m 的取值范围. 分析：将m 看作常数，表示出方程的解，根据方程的解的范围建立关于m 的关系式，注意方程有意义这个前提条件.解：去分母得：2(3)x x m --=解得6x m =-∵原方程的解为正数，∴0x >，即60m ->……………①又∵原方程要有意义 ∴30x -≠，即63m -≠……………②由①②可得6m <且3m ≠所以，当6m <且3m ≠时，方程的解为正数.小结：用含有参数的代数式将方程的解表示出来，进而根据原方程解的范围，建立与参数有关的关系式子。
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含参数分式方程问题详解
分式方程参数问题
求分式方程中参数（字母系数）的取值范围的问题是一类非常重要的题目，在各类试题中出现频率较高，和解分式方程的题目相比，它更能考差学生思维的全面性和敏捷程度。
在此类题目中往往首先给出分式方程解的情况，让解题者作出逆向判断，从而确定参数的取值范围。
由于分式方程是先化成整式方程求解的，并且在去分母化简的过程中容易扩大未知数的范围，所以求出的参数的取值范围也就不准确了。
例1.已知关于x的分式方程乙竺1无解，求m的
值。
x 3 3 x
正解：将原方程化为整式方程，得：1 m x 2，
因为原分式方程无解，所以1 m 0或® 3
1 m
所以m=1或m= 5.
3
辨析：产生错误的原因是只从字面意思来理解“无解”，认为“无解”就单单是解不出数来。
实际上，导致分式方程无解的原因有两个：①解不出数来，也就是整式方程无解；②解出的数不符合原方程，也就是整式方程虽然有解，但这个解能使最简公分母为零.
例2.已知关于x的分式方程亠 2 —有一个正解，求m的取值范围。
x 3 x 3
正解：将原方程化为整式方程，得：x 2x 3 m
x 6 m，丁原方程有解且是一个正解 6 m 0且6 m 3
m的取值范围是：m v 6且m z 3
辨析：产生错误的原因是忽视了分式方程的解必须满足的条件：最简公分母不等于零。
误认为分式方程有一个正解就是整式方程有一个正解，从而简单处理了事。
实际上，题目隐含着一个重要的条件：x z 3,有一个正解并不表示所有的正数都是它的解，而表示它有一个解并且这个解是一个正数两层含义。
例3：已知关于x的分式方程1亠輕的解也是不等式组 A x 2的一个解，求m的
2 x x2 4 2
取值范围。
正解：解不等式组焊>一2得：x<-2
2
2（x-3）Wx-8
将分式方程 1 + _^_ = _2m_化为整式方程，得：x 1 -4-x （x + 2） = 2m
2-x X 2-4
解这个整式方程得：x = -m-2
・••分式方程1 + —= -^-的解为："-加-2 （其中mHO 和-4）
2-兀 x -4
由题意得：一加一2<—2,解得：m>0
「•m 的取值范围是：m>0.
辨析：产生错误的原因是忽视了分式方程的解必须满足的条件：最简公分母不等 于零。
实际上，题目隐含着一个重要的条件：x^±2,首先保证分式方程有解然后 才能利用解的取值范围去限制参数的取值范围。
谈求分式方程中字母参数的值
按给定条件，求分式方程中字母参数的值，在中考和竞赛试题中经常出现。
这类 题涉及到分式方程的增根和分式方程转化为整式方程后根的讨论问题。
例4、（1997年湖北省孝感市中考题）当m 为何值时，宁竺=1 +丄无实数根？
X x -X 1 • • • •
分析：去分母并整理得X 2-X + 2-,H = 0 ①，原分式方程无实数解，可能有两种 情况：（1）原分式方程产生增根 厂0或 尸1；（2） 一元二次方程①无实数解，即△<（）・
解：原方程可化为x 2-x + 2-m = O ・ ①
（1） 把分式方程可能产生的增根厂0代入①，得m=2;把可能产生的增根 代入①，得血二2・
（2） 由方程①的判别式△ = （一1）2一4（2-加）<0,解得加<?・
4
综上所述，当或”二2时，原分式方程无实数解.
4
例5、若关于x的方程兰-亠. = 41只有一个解，试求出&的值与方程的解.（第
x-1 X -x X ...............
15届江苏省初中数学竞赛试题）
3，得 a |.
2
所以，当a 0且a 9时,
2
恰有三个互不相等的实数根？并求出这三个实数根
2x y，则原方程可化为y2 2my m2 1 0，解得m 1 , y? m 1.
从而△ 1=4m+8，△ 2=4m.
';.,由题意，△ 1与△ 2中应有一个等于零，一个大于零.
解：化简原方程，得kx2 3kx 2x 1 0①
当k=0时，原方程有唯一解x 1，符合题意.
2
当20时，方程①的根的判别式^ =3k 2 2 4k 3k善罟.因为3k 2
0,所
以厶>0 ,故方程①总有两个不同的实数解.按题意其中必有一根是原方程的增根.原方程可能产生的增根只能是0或1.
把x=0代入①，方程不成立，不合题意.故增根只能是x=1 ；把x=1代入①，得k 此时方程为x2 x 2 0，两个根为X1 2, X2
1 .
所以，当k=0时，分式方程的解为x 1；当k z 0时，分式方程的解为x
x有两个实数根，求a的取值范围. 2 .
例6、已知关于x的方程汙
解：原方程可化为x2 2a 0 , 即x2 2a.
由题意方程①必须有解，故得 a 0，由于x 3可能是原方程的增根，应该排
例7、已知关于x的方程X2m2 1
2x —2—
x 2x 2m o,其中m为实数.当实数m为何值时，方
原方程有两个实数根.
解：令x2
所以 2
x 2x m 1 0
或X22x m 1 0
当厶1=0即m= —2时，△产0,不合题意；当厶2=0即m=0时，△ 1>0，此时方程
所以当m =0，原方程有三个互不相等的实数根：X 1=0 , X 2 1 2 , X 3 1 2 .
妙用分式方程的增根求参数值
解分式方程时，常通过适当变形化去分母，转化为整式方程来解，若整式方程的根使 分式方程中的至少一个分母为零，则是增根，应舍去，由此定义可知：增根有两个性 质：（1）增根是去分母后所得整式方程的根；（2）增根是使原分式方程分母为零的未 知数的值，灵活运用这两个性质，可简捷地确定分式方程中的参数（字母数）值，请
看下面例示： 分式方程有增根，求参数值
2 /
例8 a 为何值时，关于x 的方程—严=0有增根？
解：原方程两边同乘以（x-3）去分母整理，得
x 2
-4x+a=0 （探）
因为分式方程有增根，增根为 x=3，把x=3代入（※丿得，9-12+a=0 a=3
1 rm
例9 m 为何值时，关于x 的方程芦+「2二
hm 土有增根 解：原方程两边同乘以（x-1） （x-2）去分母整理，得
（1+m ） x=3m+4 （探） 因为分式方程有增根，据性质（2）知：增根为x=1或x=2。
把x=1代入（※丿，解得
m=- 2 ；把x=2代入（探）得 m=-2
所以m=-j 或-2时，原分式方程有增根
k 2
点评：分式方程有增根，不一定分式方程无解（无实根），如方程芦+1= （x 1）（x 2）有
2 8
增根，可求得k=-3，但分式方程这时有一实根x= 3
②有两个相等的实数根x
1，方程①有两个不相等的实数根 1 •、. 2
所以a=3 时, 2 x 4x a =0有增根
分式方程是无实数解，求参数值
x 2 m
例10若关于x的方程范二口+2无实数，求m的值解:
因为原方己解，所以x=-m+8为原方程的增根。
x=5，所以-m+8=5
又由于原
所以m
二:。