线性系统的频域分析总结

五．线性系统的频域分析法

5-1 频率特性

1． 频率特性的基本概念

理论依据

定理：设稳定线性定常系统)(s G 的输入信号是正弦信号t X t x ωsin )(=，在过度过程结束后，系统的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，其幅值和相角都是频率ω的函数，表示为

)](sin[)()(ωφωω+=t Y t c 。

幅频特性：|)(|ωj G ，输出信号与输入信号幅度的比值。描述幅度增益与频率的关系； 相频特性：)(ωj G ∠，输出信号的相角与输入信号相角的差值。描述相移角与频率的关

系； 频率特性：)(ωj G ，幅频特性和相频特性的统称。

传递函数)(s G ⇔ 频率特性)(ωj G ⎩⎨

⎧∠)

(|)(|ωωj G j G 。 1. 幅频特性 A(ω) G(j ω) 相频特性 ψ(ω) G(j ω)

指数表达式G(j ω)= A(ω)e j φ(ω)

频率特性的物理意义是：

当一频率为ω的正弦信号加到电路的输入端后，在稳态时，电路的输出与输入之比； 或者说输出与输入的幅值之比和相位之差。

2.频率特性的几何表示法(图形表示方法)

图形表示的优点是，直观，易于了解整体情况。

a) 幅相频率特性曲线

幅相频率特性曲线简称为幅相曲线或极坐标图、奈氏曲线等。横轴为实轴，纵轴为

虚轴，当频率ω从零变到无穷大时，)(ωj G 点在复平面上留下频率曲线。曲线上的箭头表示频率增大的方向；

极坐标形式：

直角坐标：

实轴正方向为相角零度线，逆时针方向为角度的正角度，顺时针为负角

度。

幅相频率特性曲线的缺点：不易观察频率与幅值和相角的对应关系。

b) 对数频率特性曲线

对数频率特性曲线又称伯德)(Bode 图。伯德图将幅频特性和相频特性分别绘制在上

下对应的两幅图中；横轴为频率轴，单位是弧度，对数刻度；幅频特性的纵轴为对数幅度增益轴，|)(|log 20 j G ，

单位是分贝db ，均匀刻度；相频特性的纵坐标为相移轴，单位是度(也可以用弧

度)，均匀刻度。

对数幅频特性图

对数相频特性图

采用对数分度优越性：1把串联环节的幅值由相乘变为和的形式。

2。可以展宽低频率段，压缩高频率段。

对数幅相曲线

对数幅相曲线又称尼科尔斯图。将幅频特性和相频特性绘制在同一幅图中，纵轴为对数幅度增益轴，单位是分贝db ，均匀刻度；横轴为相移轴，单位是度，均匀刻度。

5-3 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线绘制

反馈控制系统的开环传递函数通常易于分解成若干典型环节串联，了解典型环节的频率特性，有助于掌握系统的开环频率特性。

1 典型环节：

典型环节的频率特性及幅相曲线：0>K ，0>T ，10<<ζ；

1.1 放大环节K s G =)(和对应的非最小相位环节K s G F -=)(；

K j G j G F ==|)(||)(|ωω，ο0)(=∠ωj G ，ο180)(-=∠ωj G F ；

1.2 积分环节s s G /1)(=和微分环节s s G =)(；

ωω/1|)(|=j G ，ο90)(-=∠ωj G ；和ωω=|)(|j G ，ο90)(=∠ωj G ；

1.3 惯性环节)1/(1)(+=Ts s G 和对应的非最小相位环节)1/(1)(-=Ts s G F ；

ωωjT j G +=11)(，ωωjT j G F +-=11)(； 2/122)1(|)(||)(|-+==ωωωT j G j G F ，ωωT j G arctan )(-=∠，

ωωT j G F arctan 180)(+-=∠ο；

2

比例环节K )0(>K ；

2.1 积分环节s /1；

1.3惯性环节)1/(1+Ts )0(>T ；

1.4振荡环节)12/(122++Ts s T ζ )10,0(<≤>ζT

低频时的对数幅频曲线是一条0分贝的直线。

高频时对数幅频特性曲线：是一条斜率为-40分贝/十倍频程的直线。

1.5一阶微分环节1+Ts )0(>T ；

低频时的对数幅频曲线是一条0分贝的直线。

高频时对数幅频特性曲线：是一条斜率为+20分贝/十倍频程的直线。

1.6二阶微分环节1222++Ts s T ζ )10,0(<≤>ζT ；

同振荡环节

1.7微分环节s

非最小相位环节，环节的零点或极点在S 平面的右半部。

非最小相位环节的相角绝对值大于最小相位环节

最小相位环节和非最小相位环节的区别。

最小相位环节:在右半S平面既无极点，也无零点的环节。

非最小相位环节：在右半S平面有极点和零点的环节。

最小相位环节:只具有最小相位环节的系统。

非最小相位环节：至少有一个非最小相位环节的系统。

对于最小相位环节，其传递函数有单一的幅值曲线唯一确定。而非最小相位环节不是这样。

最小相位环节，其幅值特性和相角特性唯一对应。这意味着，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的频率范围上给定，则，相角曲线被唯一确定。（这个结论对非最小相位系统不成立。）

绘制bode图的步骤：

放大倍数K 的求法：

奈氏稳定判据：

(1) 幅角原理(保角原理)

设)(s F 是复变量S 的单值有理函数， Γ是S 平面上的一条不经过)(s F 的极点和零点的闭合曲线。S 平面上的点s 沿曲线Γ顺时针运动一周，它(Γ曲线)在)(s F 平面上的象轨迹是一条闭合曲线ΓF ，曲线ΓF 包围)(s F 平面原点的圈数为