8非线性系统理论

N (A ) 4 K a (a A 2A ) 2 K 2 s i1A n A 2 a A A 2 a1 A A 2 a 2 2
(8-25)
a(aA)
1
tg1
4 A2
sin1A2aA2a
1A2a2
2
A A
A
(8-26)
4. 继电特性
jtg 1 A
N(A) 4b e
1 a 2 A
e(t)
A
-b 图8－16 具滞环继电特性
(8-34)
8.3.3 多重非线性的描述函数
1. 串联非线性
如图8－17所示串联非线性。串联非线性 特性的描述函数绝不等于两个非线性描述 函数的乘积。
x
y
NL1
NL2
z
图8－17 串联非线性
假定图8－17中NL1为死区非线性，NL2为 饱和非线性，它们串联后复合非线性如图8 －18所示
-e0 -me0
0 me0 e0
e
图8-8(d) 具磁滞回环和死区的继电特性
8.3 描述函数法
8.3.1 描述函数的概念 8.3.2 典型非线性的描述函数 8.3.3 多重非线性的描述函数 8.3.4 用描述函数法分析非线性系统
8.3.1 描述函数的概念
描述函数适用于具有以下特点的非线性 系统。
1. 系统线性部分和非线性环节可以分离。 如图8－9所示，图中NL为非线性环节，G为线性 部分的传递函数。
r
y
-
NL
G
图8－9 非线性系统典型结构
2. 非线性特性具奇对称特性，且输入输出关系 为静特性。
3. 线性部分应具良好的低通滤波特性。
若满足以上条件，描述函数可定义为 非线性环节输出基波分量与输入正弦量 的复数比。
A
e(t)
图8－14 理想继电特性
当m＝1，a≠0 时，可求如图8－15所示具死 区的继电特性的描述函数为
X(t) b
-a
a
e(t)
N(A) 4b
A
1
a2
A
-b (8-33)
图8－15 具死区继电特性
当m＝－1时，可求得如图8－16所示具滞环 的继电特性的描述函数为
X(t)
b -a
a
a
x(t)
Ka
KA sin t
0 t t t
(8-15)
式中， sin1 a
A 由于输出波形为奇函数，
A1＝0 ,
1
tg1
A1 B1
0
B120x(t)si ntd(t)
2KA sin1
aa AA
1a2 A
饱和特性描述函数求得如下：
N ( A)
B1 A
2Ksin1 aa
描述可知，间隙输出x(t) 为
X(t)=
K(Asint a)
K(Aa)
K(Asint a)
0t
2
t (8-21)
2
t
式中 sin1 A2a
A
A 1 20 2K (A sin ta)co tsd (t)
22 K(Aa)cotsd(t)
2 K (A sin ta)co tsd (t)
理想继电特性
x
M x(t) M
e0 e0
（8-5）
M
0
e
图8-8(a) 理想的继电特性
具死区的继电特性
M
x(t)
0
M
e(t) e0 e0 e(t) e0 e(t) e0
x
-e0
0 e0
e
图8-8(b) 具死区的继电特性
（8-6）
具磁滞回环的继电特性
x(t)
M M
.
.
e(t)>0,e>e0; e(t)<0,e>-e0
2. 研究非线性系统的方法
2. 研究非线性系统的方法
1）相平面法是用图解的方法分析一阶，二阶非线 性系统的方法。通过绘制控制系统相轨迹，达到分 析非线性系统特性的方法。
2）描述函数法是受线性系统频率法启发，而发 展出的一种分析非线性系统的方法。它是一种谐波 线性化的分析方法，是频率法在非线性系统分析中 的推广。
假定输入e(t)Asi nt，继电特性输出为
0
x (t )
b
0
0 t 1 1 t 2 2 t
式中
1 sin1
a A
,
2
sin1
ma A
A1 2ab(m1)
(8-27)
A
B1
2b
1ma2 A
1a2 A
(8-28)
具死区和磁滞回环继电特性的描述函数N（A） 为
N(A )N(A )ej1 A 1 2 B 1 2ejt1 gB A 1 1 (8-29) A A
求N1（A）：
B120 h3si ntd(t)4h3
∴
N1(A)
B1 A
4h3
A
求N2（A）：输入输出为线性关系
N2（A）＝ 3h2
求N3（A）：
B120 3h2 Asi3ntd(t)
8 hA
2
N3
(A)
8hA
求N4（A）：
B120A3si4ntd(t)
3 4
A3
N4(A)
3 4
A2
因此，多重非线性的描述函数为
由式（8－14）可知，描述函数是输入振幅 A的函数，是一个可变增益的放大系数。
8.3.2 典型非线性的描述函数
来自百度文库
1. 饱和特性
如图8－10所示。该饱和特性输入e(t)Asi nt
X(t) k
X(t)
e(t)
t
e(t)
t
图8－10 饱和特性及输入输出波形
当A>a时，饱和特性输出x(t)为
KA sin t
x(t) K(Asint a) t (8-18)
0
t
输出为奇函数，A1＝0 ，1 0
B120x(t)si ntd(t)
2KA2si n1a Aa A
1a2 A
(8-19)
死区描述函数求得为
N
(
A)
2K2si n1 a Aa A
1a2 A
(8-20)
3. 间隙
当输入e(t)Asi nt时，由间隙的数学
N(A)4 h A 33h28 hA 4 3A2
8.3.4 用描述函数法分析非线 性系统
一非线性系统结构如图8－21所示，假
定输入为零，图中N（A）为非线性环节的描
述函数，若 X2A2si nt,则
G1
X1’ X1 N(A) X2’ X2 G2
Y
H 图8－21 非线性系统
X 1 ' G 1 (j)G 2 (j)H (j)A 2 sitn )(
N (A ) 2 A b2 1m a A 21m 2 a A 4(m 21 ) a A 2 (8-30)
1 tg1
(m1) a A
1m2
a
2
1
a
2
A
A
(8-31)
当a ＝ 0 时，可求如图8－14所示继电特性 的描述函数为
X(t) b -b
4b
N(A)
(8-32)
X(t) k
-e0
e0
e(t)
图8－6 死区特性
8.2.3 间隙
如图8-7所示，它的数学描述如下：
ke(t) e0 x(t) ke(t) e0
bsigne(t)
.
X(t)>0
.
X(t)<0
.
X(t)=0
x (8-4)
b k
k
-e0
e0
e
-b
图8－7 间隙
8.2.4 继电特性
在使用继电特性时，有四种可供选择 的形态，如图8－8所示
x
性的数学描述如下：
b
k
ke(t) x(t) ke0signe(t)
e(t) e0 e(t) e0
(8-1)
-e0
e0
e
图8－5 饱和特性
8.2.2 死区特性
死区特性也称为不灵敏区，如图8-6所示。 其数学描述如下：
0
x(t)ke(t)e0sign(t)e
e(t) e0 e ( t ) e 0 (8-3)
X
y k1
Y
z k2
Z
a1 x
b1 y
(a) 串联非线性
X
z k1k2
x
Z
a1 a1+ b 1
k1
（b） 复合非线性
2. 并联非线性 并联非线性特性如图8－19所示。
x
NL1
y1
+
+
y
NL2
y2
图8－19 并联非线性
N(A) = N1(A) + N2(A)
例 求如图8－20所示非线性特性的描述函数。
式中: G 1 ( j) G 2 ( j) H ( j)
假定: N(A)N(A)ej
则：
X 2 ( t ) N ( A ) G 1 ( j) G 2 ( j) H ( j) A 2 si t n ) (
如果
X
2
(t
)
等于X2(t)，则意味着产生了自激振荡，
8.1.2 研究非线性系统的意义 与方法
1. 研究非线性系统的意义
1）实际的控制系统，存在着大量的非线性因素。 这些非线性因素的存在，使得我们用线性系统理论 进行分析时所得出的结论，与实际系统的控制效果 不一致。线性系统理论无法解释非线性因素所产生 的影响。
2）非线性特性的存在，并不总是对系统产生不良 影响。
.
.
(8-7)
e>0,e<e0; e<0,e<-e0
x
M
-e0
e0
0
e
图8-8（c) 具滞环的继电特性
具磁滞回环和死区的继电特性
e.>0, e>e0
M
e.<0, e>me0
x (t)
0
.
e>0, -me<e<e0
.
e<0, -e0<e<me0
(8-8) x M
M
e.>0, e<-me e.<0, e<-e0
A A
1a2 A
(8-17)
2. 死区特性
当输入 e(t)Asi nt时，非线性特性输入输
出波形如图8－11所示。
X(t)
X(t)
k a
.
-a
e(t)
t
e(t)
t
图8－11 死区特性及输入输出波形
由图所示，当 e(t)Asi nt时，且A>a，
式中 sin1 a ,死区输出为
A
0
0 t
3）计算机求解法是利用计算机运算能力和高速 度对非线性微分方程的一种数值解法。
8.2 典型非线性特性的数学描 述及其对系统性能的影响
8.2.1 饱和特性 8.2.2 死区特性 8.2.3 间隙 8.2.4 继电特性
8.2.1 饱和特性
在电子放大器中常见的一种非线性，如 图8－5所示，
饱和装置的输入特
dx dt x(1 x)
设t＝0时，系统的初态为x0。积分上式可得
x(t) x0et
(8-2)
1x0 x0et
x(t)
1
ln x 0
t
0
x0 1
图8－2 一阶非线性系统
3. 非线性系统2 可能存在自激振荡现象
4. 非线性系统在正弦信号作用下，其输出 存在极其复杂的情况：
（1）跳跃谐振和多值响应
如图8－3所示的非线性弹簧输出的幅频特性。
A() 1. 2 2
3
4
4 .5
图8－3 跳跃谐振与多值响应
(2)分频振荡和倍频振荡
非线性系统在正弦信号作用下，其稳态 分量除产生同频率振荡外，还可能产生倍 频振荡和分频振荡。如图8－4所示波形。
输入信号
t
倍频信号
t
分频信号
t
图8－4 倍频振荡与分频振荡
(8-10)
取基波分量，有
A1102x(t)cotsd(t)
B1102x(t)si ntd(t) (8-11)
则基波分量为
x 1 (t) A 1co t s B 1sitn
x1si nt (1)
(8-12)
式中
x1 A12 B12
则描述函数
N(A) x1 ej1 A
(8-13) (8-14)
4KA
a 2
A
a
A
(8-22)
B1 K A 2si 1n A A 2a A A 2a1 A A 2a 2 (8-23) 于是，可求得间隙的描述函数N（A）为
N ( A) K 2 s i1 n A A 2 a A A 2 a1 A A 2 a 2 j4 K a (a A 2A ) N(A)ej1
假定，给非线性环节的输入为正弦量
e(t)Asi nt (8-9)
一般情况下，其输出为周期函数，可展开成 傅立叶级数
x(t)A 2 0n 1A nco ns tB nsin n t
式中，由于非线性为奇对称特性，所以A0＝
0。而 An102x(t)con std(t)
Bn102x(t)sin ntd(t)
X1
h
X0 + X2 Y=X23
-h
Y
+
图8－20 多重非线性
解： Y X 2 3 X 0 X 1 3 X 0 3 3 X 0 2 X 1 3 X 0 X 1 2 X 1 3
显然，N ( A ) N 1 ( A ) N 2 ( A ) N 3 ( A ) N 4 ( A )
X1+X2
滤波器 I 滤波器 II
非线性器件 I 非线性器件 II
Y1＋Y2
图8－1 带滤波器的非线性系统
2. 非线性系统的稳定性不仅取决于控制系 统的固有结构和参数，而且与系统的初 始条件以及外加输入有关系。
例：对于一由非线性微分方程
.
X = - x( 1 – x )
(8-1)
描述的非线性系统，显然有两个平衡点， 即x1=0和x2=1。将上式改写为
8 非线性系统理论
8.1 引言 8.2 典型非线性特性的数学描述及其对系
统性能的影响 8.3 描述函数法 8.4 相平面法
8.1 引言
8.1.1 非线性系统特点 8.1.2 研究非线性系统的意义与方法
8.1.1 非线性系统特点
非线性系统与线性控制系统相比，具有一 系列新的特点
1. 线性系统满足叠加原理，而非线性控制 系统不满足叠加原理。