2.2.1条件概率练习题
2020_2021学年高中数学第二章随机变量及其分布2.2.1条件概率学案含解析新人教A版选修2_3
2.2 二项分布及其应用2．2.1 条件概率内容 标 准学 科 素 养 1.理解条件概率的定义． 2.掌握条件概率的计算方法．3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.利用数学抽象 发展数学建模 提升数学运算授课提示：对应学生用书第32页[基础认识]知识点 条件概率预习教材P 51－53，思考并完成以下问题(1)三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小？提示：如果三张奖券分别用X 1，X 2，Y 表示，其中Y 表示那张中奖奖券，那么三名同学的抽奖结果共有六种可能：X 1X 2Y ，X 1YX 2，X 2X 1Y ，X 2YX 1，YX 1X 2，YX 2X 1.用B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”，则B 仅包含两个基本事件：X 1X 2Y ，X 2X 1Y .由古典概型计算概率的公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为P (B )＝26＝13.(2)如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？提示：因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有X 1X 2Y ，X 1YX 2，X 2X 1Y 和X 2YX 1.而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是X 1X 2Y 和X 2X 1Y .由古典概型计算概率的公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为24，即12.知识梳理 1.条件概率 (1)事件个数法：P (B |A )＝n AB n A(2)定义法：P (B |A )＝P AB P A(1)0≤P (B |A )≤1.(2)如果B 和C 是两个互斥的事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．[自我检测]1．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为( )A.8225B.12C.38D.34 答案：C2．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上或周五晚上值班的概率为________．答案：13授课提示：对应学生用书第32页探究一 求条件概率[阅读教材P 53例1]在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率． 题型：求事件的概率及条件概率方法步骤：(1)先计算出不放回地依次抽2次的试验结果总数； (2)分别计算出第1次抽到理科题和两次都抽到的试验结果总数； (3)由概率的计算公式得出所求概率．[例1] 盒内装有除型号和颜色外完全相同的16个球，其中6个是E 型玻璃球，10个是F 型玻璃球．E 型玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；F 型玻璃球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是E 型玻璃球的概率是多少？[解析] 由题意得球的分布如下：E 型玻璃球F 型玻璃球总计 红 2 3 5 蓝 4 7 11 总计61016设A ＝{取得蓝球法一：∵P (A )＝1116，P (AB )＝416＝14，∴P (B |A )＝P AB P A ＝141116＝411. 法二：∵n (A )＝11，n (AB )＝4， ∴P (B |A )＝n AB n A＝411. 方法技巧 求条件概率P (B |A )的关键就是抓住事件A 为条件和A 与B 同时发生这两点，公式P (B |A )＝n AB n A＝P AB P A既是条件概率的定义，也是求条件概率的公式，应熟练掌握．跟踪探究 1.集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A 中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下．(1)求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率； (2)求乙抽到偶数的概率；(3)集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，甲乙两人各从A 中任取一球．若甲先取(放回)，乙后取，若事件A ：“甲抽到的数大于4”；事件B ：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P (B |A )．解析：(1)设“甲抽到奇数”为事件C ， “乙抽到的数比甲抽到的数大”为事件D ，则事件C 包含的基本事件总数为C 13·C 15＝15个，事件CD 同时发生包含的基本事件总数为5＋3＋1＝9个， 故P (D |C )＝915＝35.(2)在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所以所求概率P ＝915＝35.(3)甲抽到的数大于4的情形有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：(5,2)，(6,1)，共2个．所以P (B |A )＝212＝16.探究二 条件概率的性质及应用[阅读教材P 53例2]一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率． 题型：互斥事件的条件概率方法步骤：(1)不超过2次就按对包含“第1次按对”和“第1次没按对，第2次按对”两事件的和事件；(2)分别求出“第1次按对”和“第1次没按对，第2次按对”的概率； (3)由互斥事件概率的计算公式得出所求概率．[例2] 在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．[解析] 记事件A 为“该考生6道题全答对”，事件B 为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C 为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D 为“该考生在这次考试中通过”，事件E 为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A ，B ，C 两两互斥，且D ＝A ∪B ∪C ，E ＝A ∪B ，可知P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝C 610C 620＋C 510C 110C 620＋C 410C 210C 620＝12 180C 620， P (AD )＝P (A )，P (BD )＝P (B )， P (E |D )＝P (A |D )＋P (B |D )＝P A P D＋P BPD ＝210C 62012 180C 620＋2 520C 62012 180C 620＝1358. 故获得优秀成绩的概率为1358.方法技巧 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )便可求得较复杂事件的概率．跟踪探究 2.在一个袋子中装有除颜色外其他都相同的10个球，其中有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次不放回地摸2个球，求在摸出的第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．解析：法一：设“摸出的第一个球为红球”为事件A ，“摸出的第二个球为黄球”为事件B ，“摸出的第二个球为黑球”为事件C ，则P (A )＝110，P (AB )＝1×210×9＝145，P (AC )＝1×310×9＝130.∴P (B |A )＝P AB P A ＝145110＝1045＝29， P (C |A )＝P AC P A ＝130110＝13. ∴P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )＝29＋13＝59.故所求的条件概率为59.法二：∵n (A )＝1×C 19＝9，n [(B ∪C )∩A ]＝C 12＋C 13＝5，∴P (B ∪C |A )＝59.故所求的条件概率为59.授课提示：对应学生用书第33页[课后小结](1)条件概率：P (B |A )＝P AB P A＝n AB n A.(2)概率P (B |A )与P (AB )的区别与联系：P (AB )表示在样本空间Ω中，计算AB 发生的概率，而P (B |A )表示在缩小的样本空间ΩA 中，计算B 发生的概率．用古典概型公式，则P (B |A )＝AB 中样本点数ΩA 中样本点数，P (AB )＝AB 中样本点数Ω中样本点数.[素养培优]1.因把基本事件空间找错而致错一个家庭中有两名小孩，假定生男、生女是等可能的．已知这个家庭有一名小孩是女孩，问另一名小孩是男孩的概率是多少？易错分析：解决条件概率的方法有两种，第一种是利用公式P (B |A )＝P AB P A.第二种为P (B |A )＝n AB n A，其中找对基本事件空间是关键．考查数学建模的学科素养．自我纠正：法一：一个家庭的两名小孩只有4种可能：{两名都是男孩}，{第一名是男孩，第二名是女孩}，{第一名是女孩，第二名是男孩}，{两名都是女孩}．由题意知这4个事件是等可能的，设基本事件空间为Ω，“其中一名是女孩”为事件A ，“其中一名是男孩”为事件B ，则Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB ＝{(男，女)，(女，男)}．∴P (AB )＝24＝12，P (A )＝34.∴P (B |A )＝P AB P A ＝1234＝23. 法二：由方法一可知n (A )＝3，n (AB )＝2. ∴P (B |A )＝n AB n A ＝23. 2．“条件概率P (B |A )”与“积事件的概率P (A ·B )”混同袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．易错分析：本题错误在于P (AB )与P (B |A )的含义没有弄清，P (AB )表示在样本空间S 中，A 与B 同时发生的概率；而P (B |A )表示在缩减的样本空间S A 中，作为条件的A 已经发生的条件下事件B 发生的概率．考查数学建模的学科素养．自我纠正：P (C )＝P (AB )＝P (A )·P (B |A )＝410×69＝415.。
条件概率练习题
2.2.1条件概率练习题(总2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--条件概率练习题1．已知P(B|A)=103,P(A)=51,则P(AB)=( ) A ．21 B.23 C ．32 D.503 2．由“0”、“1” 组成的三位数码组中，若用A 表示“第二位数字为0”的事件，用B 表示“第一位数字为0”的事件，则P(A|B)=（ ） A.21 B.31 C.41 D.813．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是154，刮三级以上风的概率为152，既刮风又 下雨的概率为101，则在下雨天里，刮风的概率为（ ） A.2258 B.21 C.83 D.43 4．袋中有5个球，3个白球，2个黑球，现每次取一个，无放回地抽取两次，第二次 抽到白球的概率为（ ） A.53 B.43 C.21 D. 1035．6位同学参加百米短跑初赛，赛场有6条跑道，则已知甲同学排在第一跑道，乙同 学排在第二跑道的概率（ ） A.52 B.51 C.92 D. 736．一个袋中有9张标有1,2,3，…，9的票，从中依次取两张，则在第一张是奇数的 条件下第二张也是奇数的概率（ ） A.52 B.51 C.21 D. 737.福娃是2008年北京第二十九届奥运会的吉祥物，每组福娃都由“贝贝”“晶晶” “欢欢”“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成，甲、乙两人随机地从一组五个福娃中选 取一个留作纪念。
按甲先选乙再选的顺序不放回的选择，则在他俩选择的福娃中“贝贝” 和“晶晶”一只也没有被选中的概率是（ ） A.101 B.53 C.103 D.528．任意向（0,1）区间上投掷一个点，用x 表示该点的坐标，则 ={x|0<x<1}，事件 A={x|0<x<}，B={x|<x<1}，P （B|A ）=___________________________9．设n 件产品中含有m 件废品，今从中任取两件，在已知其中一件是废品的前提下， 另一件也是废品的概率为________________________10．根据历年气象资料统计，某地四月份刮东风的概率是308，既刮东风又下雨的概率 是307。
高中数学选修2-3-条件概率
0.56 0.7
BA
P( A) P( A)
5
2.抛掷一颗骰子,观察出现的点数
B={出现的点数是奇数}＝｛１，３，５｝
A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝
若已知出现的点数不超发生，求事件 B 的概率
也就是求：Ｐ（B｜A）
A B 都发生，但样本空
一般地，在已知另一事件A发生的前提下，事件 B发生的可能性大小不一定再是P(B).
条件的附加意味着对样本空间进行压缩.
引例:
掷红、蓝两颗骰子。
设事件A=“蓝色骰子的点数为3或6” 事件B=“两颗骰子点数之和大于8” 求(1)P(A)，P(B)，P(AB)
(2)在“事件A已发生”的附加条件下事件Ｂ发 生 的概率？
例 7一个箱子中装有2n 个白球和（2n-1）个黑球，
一次摸出个n球.
(1)求摸到的都是白球的概率；
(2)在已知它们的颜色相同的情况下，求该颜色是白色 的概率。
例 8 如图所示的正方形被平均分成9个部分，向大
正方形区域随机的投掷一个点（每次都能投中）， 设投中最左侧3个小正方形的事件记为A，投中最上 面3个小正方形或中间的1个小正方形的事件记为B， 求 P(A|B)。
间缩小到只包含A的样本点 P(B | A) n( AB) 2 n( A) 3
B5
1 3
A
2
4,6
3. 设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，
规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取得 一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等 品的概率．
解 设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则
⑵几何解释:
⑶可加性： 如果 B和C 互斥，
条件概率
（2） n( AB) A 6
2 3
n( AB ) 6 3 P ( AB ) n( ) 20 10
例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回 地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率； （3）在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题 的概率。 （3）解法一：由（1）（2）可得，在第一次抽到理科题 的条件下，第二次抽到理科题的概率为
4.事件A的发生对事件B是否发生不产生影
响，则称A、B为相互独立事件。
当A、B为相互独立事件，则
P( A B) P( A) P( B)
引例:
掷红、蓝两颗骰子各一次。 设事件A=“蓝色骰子的点数为3或6” 事件B=“两颗骰子点数之和大于8” 求(1)P(A)，P(B)，P(AB) (2)在“事件A已发生”的附加条件下事件B发 生的概率？ (3)比较(2)中结果与P(B)的大小及三者概率之 间关系
（1）因为事件Ai 与事件 A1 A2互斥，由概率的加法公式得
1 91 1 P ( A) P ( A1 ) P ( A1 A2 ) 10 10 9 5
例3、一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可 从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时， 忘记了密码的最后一位数字，求 （1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次 就按对的概率。
概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系 联系：事件A，B都发生了
区别：
样本空间不同： 在P(B|A)中，事件A成为样本空间；
在P(AB)中，样本空间仍为。
总结
1.条件概率
对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的 条件下事件B发生的条件概率”，叫做条件概率。 记作P(B |A).
2.2.1条件概率课后练习题
( )一、选择题条件概率课后练习题1. 小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为 0.4，在第二个路口遇到红灯的概率为 0.5，在两个路口连续遇到红灯的概率是 0.2. 某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是（ ）A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.52. 甲乙两人从 1,2,3, ……15 这 15 个数中，依次任取一个数（不放回），则在已知甲取到的数是 5 的倍数的情况下，甲所取的数大于乙所取的数的概率是（ ）A.1 2B.15C.14 D.153. 小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A =“4 个人去的景P A B =点不相同”，事件 B = “小赵独自去一个景点”，则 （ ）A.29B.13 C.4 9 2D.5 94. 已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有 3 的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概 率 （ ） A. 1320B.9 20C. 1 5D.1 205. 将三枚骰子各掷一次，设事件 A 为“三个点数都不相同”，事件 B 为“至少出现一个 6 点”，则概率 P (A | B) 的值为（ ） A. 6091二、填空题B. 1 2C.5 18D.2166. 一个家庭中有两个小孩.假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，则这时另一个小孩是男孩的概率是 ．7. 某校高三年级要从 5 名男生和 2 名女生中任选 3 名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是 ． 8.篮子里装有 2 个红球，3 个白球和 4 个黑球。
某人从篮子中随机取出两个球，记事件A =“取 出的两个球颜色不同”，事件B =“取出一个红球，一个白球”， P (B A )= ．三、解答题9.高考数学考试中有 12 道选择题，每道选择题有 4 个选项，其中有且仅有一个是正确的．评分标准规定：“在每小题中给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答对得 5 分，不答或答错得 0 分”．某考生每道选择题都选出一个答案，能确定其中有 8 道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的，有一道题能判断出一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜．试求出该考生的选择题：（Ⅰ）得 60 分的概率；（Ⅱ）得多少分的概率最大？10.在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10 个，其中红球5 个，白球3 个，蓝球2 个。
高中数学同步练习 条件概率
第二章 2.2 2.2.1A 级 基础巩固一、选择题1．抛掷红、黄两枚质地均匀的骰子,当红色骰子的点数为4或6时,两枚骰子的点数之积大于20的概率是( B )A ．14 B ．13 C ．12D ．35[解析] 抛掷红、黄两枚骰子共有6×6＝36个基本事件,其中红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件,此时两枚骰子点数之积大于20包含4×6,6×4,6×5,6×6,共4个基本事件．所求概率为13．2．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”,事件B ＝“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)＝( B )A ．18B ．14C ．25D ．12[解析] ∵P(A)＝C 23＋C 22C 25＝25,P(AB)＝C 22C 25＝110,∴P(B|A)＝P (AB )P (A )＝14．3．抛掷一枚质地均匀的骰子所得点数的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6},令事件A ＝{2,3,5},B ＝{1,2,4,5,6},则P(A|B)等于( A )A ．25B ．12C ．35D ．45[解析] ∵A∩B＝{2,5},∴n(AB)＝2.又∵n(B)＝5,∴P(A|B)＝n (AB )n (B )＝25．4．在区间(0,1)内随机投掷一个点M(其坐标为x),若A ＝{x|0<x<12},B ＝{x|14<x<34},则P(B|A)等于( A )A ．12B ．14C ．13D ．34[解析] P(A)＝121＝12.因为A∩B＝{x|14<x<12},所以P(AB)＝141＝14,P(B|A)＝P (AB )P (A )＝1412＝12．5．已知某产品的次品率为4%,其合格品中75%为一级品,则任选一件为一级品的概率为( C ) A ．75% B ．96% C ．72%D ．78.125%[解析] 记“任选一件产品是合格品”为事件A, 则P(A)＝1－P(A )＝1－4%＝96%．记“任选一件产品是一级品”为事件B ．由于一级品必是合格品,所以事件A 包含事件B,故P(AB)＝P(B)．由合格品中75%为一级品知P(B|A)＝75%； 故P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝96%×75%＝72%．6．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10000次后还能继续使用的概率是0.80,开关了15000次后还能继续使用的概率是0.60,则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是( A )A ．0.75B ．0.60C ．0.48D ．0.20[解析] 记“开关了10000次后还能继续使用”为事件A,记“开关了15000次后还能继续使用”为事件B,根据题意,易得P(A)＝0.80,P(B)＝0.60,则P(A∩B)＝0.60,由条件概率的计算方法,可得P ＝P (A∩B )P (A )＝0.600.80＝0.75． 二、填空题7．(2018·淄博二模)从标有1,2,3,4,5的五张卡片中,依次抽出2张,则在第一次抽到偶数的条件下,第二次抽到奇数的概率为__34__．[解析] 在第一次抽到偶数时,还剩下1个偶数,3个奇数, ∴在第一次抽到偶数的条件下, 第二次抽到奇数的概率为34．故答案为34．8．100件产品中有5件次品,不放回地抽取两次,每次抽1件,已知第一次抽出的是次品,则第2次抽出正品的概率为__9599__．[解析] 设“第一次抽到次品”为事件A,“第二次抽到正品”为事件B,则P(A)＝5100＝120,P(AB)＝C 15C 195A 2100＝19396,所以P(B|A)＝P (AB )P (A )＝9599． 9．设P(A|B)＝P(B|A)＝12,P(A)＝13,则P(B)等于__13__．[解析] ∵P(B|A)＝P (A∩B )P (A ),∴P(A∩B)＝P(B|A)·P(A)＝12×13＝16,∴P(B)＝P (A∩B )P (A|B )＝1612＝13．三、解答题10．一个盒子中有6只好晶体管,4只坏晶体管,任取两次,每次取一只,每一次取后不放回．若已知第一只是好的,求第二只也是好的概率．[解析] 令A i ＝{第i 只是好的},i ＝1,2． 解法一：n(A 1)＝C 16C 19,n(A 1A 2)＝C 16C 15, 故P(A 2|A 1)＝n (A 1A 2)n (A 1)＝C 16C 15C 16C 19＝59．解法二：因事件A 1已发生(已知),故我们只研究事件A 2发生便可,在A 1发生的条件下,盒中仅剩9只晶体管,其中5只好的,所以P(A 2|A 1)＝C 15C 19＝59．B 级 素养提升一、选择题1．(2019·深圳一模)夏秋两季,生活在长江口外浅海域的中华鲟洄游到长江,历经三千多公里的溯流搏击,回到金沙江一带产卵繁殖,产后待幼鱼长大到15厘米左右,又携带它们旅居外海．一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼苗,该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15,雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05,若该批鱼苗中的一个诞性个体在长江口外浅海域已长成熟,则其能成功溯流产卵繁殖的概率为( C )A ．0.05B ．0.0075C ．13D ．16[解析] 设事件A 为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟, 事件B 为雌性个体成功溯流产卵繁殖,由题意可知P(A)＝0.15,P(AB)＝0.05, ∴P(B|A)＝P (AB )P (A )＝0.050.15＝13．故选C ．2．(2019·山西一模)甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军,若比赛为“三局两胜”制,甲在每局比赛中获胜的概率均为23,且各局比赛结果相互独立,则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了三局的概率为( B )A ．13B ．25C ．23D ．45[解析] 由题意,甲获得冠军的概率为23×23＋23×13×23＋13×23×23＝2027,其中比赛进行了3局的概率为23×13×23＋13×23×23＝827,∴所求概率为827÷2027＝25,故选B ． 二、填空题3．从1～100这100个整数中,任取一数,已知取出的一数是不大于50的数,则它是2或3的倍数的概率为__3350__．[解析] 解法一：根据题意可知取出的一个数是不大于50的数,则这样的数共有50个,其中是2或3的倍数的数共有33个,故所求概率为3350．解法二：设A ＝“取出的数不大于50”,B ＝“取出的数是2或3的倍数”,则P(A)＝50100＝12,P(AB)＝33100, ∴P(B|A)＝P (AB )P (A )＝3350．4．投掷两颗均匀骰子,已知点数不同,设两颗骰子点数之和为ξ,则ξ≤6的概率为__1130__．[解析] 解法一：投掷两颗骰子,其点数不同的所有可能结果共30种,其中点数之和ξ≤6的有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),共11种,∴所求概率P ＝1130．解法二：设A ＝“投掷两颗骰子,其点数不同”,B ＝“ξ≤6”,则P(A)＝3036＝56,P(AB)＝1136,∴P(B|A)＝P (AB )P (A )＝1130．三、解答题5．某校高三(1)班有学生40人,其中共青团员15人．全班平均分成4个小组,其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人作学生代表．(1)求选到的是第一组的学生的概率；(2)已知选到的是共青团员,求他是第一组学生的概率． [解析] 设事件A 表示“选到第一组学生”, 事件B 表示“选到共青团员”． (1)由题意,P(A)＝1040＝14．(2)解法一：要求的是在事件B 发生的条件下,事件A 发生的条件概率P(A|B)．不难理解,在事件B 发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提),有15种不同的选择,其中属于第一组的有4种选择．因此,P(A|B)＝415．解法二：P(B)＝1540＝38,P(AB)＝440＝110,∴P(A|B)＝P (AB )P (B )＝415．6．设b 和c 分别是抛掷一枚骰子先后得到的点数,用随机变量X 表示方程x 2＋bx ＋c ＝0实根的个数(重根按一个计)．(1)求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率； (2)求X 的分布列；(3)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率．[解析] (1)由题意知,设基本事件空间为Ω,记“方程x 2＋bx ＋c ＝0没有实根”为事件A,“方程x2＋bx ＋c ＝0有且仅有一个实根”为事件B,“方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根”为事件C,则Ω＝{(b,c)|b,c ＝1,2,…,6},A ＝{(b,c)|b 2－4c<0,b,c ＝1,2,...,6} B ＝{(b,c)|b 2－4c ＝0,b,c ＝1,2,...,6} C ＝{(b,c)|b 2－4c>0,b,c ＝1,2, (6)∴Ω中的基本事件总数为36个,A 中的基本事件总数为17个,B 中的基本事件总数为2个,C 中的基本事件总数为17个．又∵B 、C 是互斥事件,故所求概率P ＝P(B)＋P(C)＝236＋1736＝1936．(2)由题意,X 的可能取值为0,1,2,则P(X ＝0)＝1736,P(X ＝1)＝118,P(X ＝2)＝1736,故X 的概率分布列为：(3)记“先后两次出现的点数中有5”为事件D,“方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根”为事件E,由上面分析得 P(D)＝1136,P(DE)＝736,∴P(E|D)＝P (DE )P (D )＝711．。
概率论2-2
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例1 为安全起见，工厂同时装有两套报警系统1，2。已 知每套系统单独使用时能正确报警的概率为0.92和0.93, 又已知第一套系统失灵时第二套系统仍能正常工作的概率 为0.85。试求该工厂在同时启用两套报警系统时，能正确 报警的概率是多少？
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例1 为安全起见，工厂同时装有两套报警系统1，2。已 知每套系统单独使用时能正确报警的概率为0.92和0.93, 又已知第一套系统失灵时第二套系统仍能正常工作的概率 为0.85。试求该工厂在同时启用两套报警系统时，能正确 报警的概率是多少？
解:
设 A “工厂同时启用两套报警系统时,能正确报警”，
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P ( AB ) P ( A) P ( B | A) P ( B ) P ( A | B )
乘法定理的推广: (1) 若P(AB)>0,则有
P ( ABC ) P ( A) P ( B | A) P (C | AB )
证明: 由乘法定理,有
P ( ABC ) P ( AB) P (C | AB) P( A) P( B | A) P(C | AB)
P ( A) P ( A1 ) P ( A1 A2 ) P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 )
又 P ( A2 | A1 ) 1 P ( A2 | A1 ) 1 0.2 0.8 代入上式，得
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2.2.1条件概率
游戏规则
车羊羊
1.玩家指定一扇门；
2.主持人打开另一扇没有汽车的门；
3.玩家改变决策？
条件概率
思考1：三张奖券中只有一张能中奖，现分别由
三名同学无放回地抽取.
1.最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名 同学小？
记“最后一名同学抽到中奖奖券”为事件B
2.如果已经知道第一名同学抽到中奖奖券，那么最后一 名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？
示该点的坐标，则 {x | 0 x 2}，考虑事件
A {x | 0 x 4} ，B {x | 2 x 2} ，则P(B|A)=___
3
3
条件概率问题可以看成“缩减样本空间”
下的古典概型或几何概型问题
例题3:一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数
字都可从0~9中任选一个.某人在银行自助提款机 上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
思考1：三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名
同学无放回地抽取.
1.最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名 同学小？ 记“最后一名同学抽到中奖奖券”为事件B
2.如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那 么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？
“记第一名同学没有抽到中奖奖券”为事件A
思考2：P(B) P(B | A)？
2.求条件概率：
P(B | A) n(AB) P( AB) n( A) P( A)
1.思考：一个家庭中有两个小孩，假定生男生 女是等可能的，已知这个家庭有一个女孩，问 这时另一个孩子是男孩的概率是多少？
2.校本39
(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； 设“第i次按对密码”为事件Ai(i=1，2) 记“不超过2次就按对密码”为事件A
§2.2.1条件概率(习题课)
学案47 §2.2.1条件概率（习题课）一、基础知识 1、事件的交 2、条件概率： 3、条件概率公式4、概率)|(A B p 和)(AB P 的区别与联系 联系：事件A 和B 都发生了区别：（1）在)|(A B P 中，事件A 和B 发生有时间差异，A 先B 后；在)(AB P 中，事件A 、B 同时发生。
(2)样本空间不同，在)|(A B p 中，样本空间为A,事件)(AB P 中，样本空间仍为Ω 5、P （B|A ）的性质：（1）非负性：对任意的A ∈f. 0(|)1P B A ≤≤；（2）规范性：P （Ω|A ）=1；（3）可列可加性：如果是两个互斥事件,则(|)(|)(|)P B C A P B A P C A =+ . 二、习题讲解1．已知P(B|A)=103,P(A)=51,则P(AB)=( ) A ．21 B.23 C ．32 D.5032．由“0”、“1” 组成的三位数码组中，若用A 表示“第二位数字为0”的事件，用B表示“第一位数字为0”的事件，则P(A|B)=（ ） A.21 B.31 C.41 D.813．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是154，刮三级以上风的概率为152，既刮风又下雨的概率为101，则在下雨天里，刮风的概率为（ ）A.2258B.21 C.83D.434．袋中有5个球，3个白球，2个黑球，现每次取一个，无放回地抽取两次，第二次抽到白球的概率为（ ）A.53 B.43 C.21 D. 1035．6位同学参加百米短跑初赛，赛场有6条跑道，则已知甲同学排在第一跑道，乙同学排在第二跑道的概率（ ）A.52 B.51 C.92 D. 736．一个袋中有9张标有1,2,3，…，9的票，从中依次取两张，则在第一张是奇数的 条件下第二张也是奇数的概率（ ）A.52 B.51 C.21 D. 737．任意向（0,1）区间上投掷一个点，用x 表示该点的坐标，则Ω={x|0<x<1}，事件 A={x|0<x<0.5}，B={x|0.25<x<1}，P （B|A ）=___________________________ 8．根据历年气象资料统计，某地四月份刮东风的概率是308，既刮东风又下雨的概率是307。
条件概率
解：设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2次抽 到理科题”为事件B，则“第1次和第2次都抽到理 科题”就是事件AB.Ω为“从5道题中不放回地依 次抽取2道题的基本事件的全体”．
(1)因为n(W) = A52 = 20，n( A) = A31? A41 12，
所以P(A) = n(A) = 12 = 3. n(W) 20 5
解法1：在第1次抽到A的条件下，扑克牌中仅剩下51张
牌，其中有3张A，所以在“第1次抽到A的条件下第2次
也抽到A”的概率为
缩小基本事件范围
P(C B) 3 1 . 51 17
3.从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2 次,每次抽1张,已知第一次抽到A,求第2次也抽到A的 概率. 解:设“第1次抽到A”的事件为B，“第2次抽到A事件” 为C，则“第1次和第2次都抽到A”的事件为BC .
思考
如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券,那么最后 一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少?
解：
设A表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”，
B表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”，
则 A = {X1YX 2 ，X1X 2Y , X 2 X1Y，X 2YX1}，
B = {X1X 2Y , X 2 X1Y }，
针对练习:
3.从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回 地抽取2次,每次抽1张,已知第一次抽到A, 求第2次也抽到A的概率.
3.从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2
次,每次抽1张,已知第一次抽到A,求第2次也抽到A的
概率.
解:设“第1次抽到A”的事件为B，“第2次抽到A事件”
为C，则“第1次和第2次都抽到A”的事件为BC .
2.2.1条件概率(一)
表示在事件A已经发生的条件 下，事件B发生的概率
公式推导
基本事件总数为n(A) B包含的事件总数为n(AB)
(只适用于古典改型)
(一般公式)
条件概率 Conditional Probability
定义 设Ａ，Ｂ为同一个随机试验中的两个随机事件 , 且Ｐ（A）＞０， 则称
1. 条件概率的定义. 2. ) P ( B A) P ( A)
习题2.2－－A组－－第4题
P ( AB ) P ( B A) P ( A)
为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． 一般把 P（B︱A）读作 A 发生的条件下 B 的概率。
条件概率的性质：
某班有20名男生，25名女生。依次从全班同 学中任选两名同学代表班级参加比赛，求： （1）第一名同学是女生，第2名同学也是女 生的概率 （2）已知第一名同学是女生，则第2名同学 也是女生的概率
2.2.1二项分布-条件概率
【解】 法一：记“第一次取到白球”为事 件 A，“第二次取到黑球”为事件 B. 显然，事件“第一次取到白球，第二次取到 黑球”的概率为 P(AB)＝160××49＝145. 由条件概率的计算公式，得
4 P(B|A)＝PPAAB＝165＝49.
10
练练习习32 一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么
则P(A)=20%，P(B)=18%，P(AB)=12%，
（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是
P( A B) P( AB) 12% 2 P(B) 18% 3
（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是
P(B A) P( AB) 12% 3 P( A) 20% 5
练习2 一个盒子中有6个白球、4个黑球，每 次从中不放回地任取1个，连取两次，求第 一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的
识与技能
学习目标
掌握一些简单的条件概率的计算.
与方法
过对具体情景的分析，了解条件概率的定义
学习重难点
重 点 条件概率定义的理解 难 点 概率计算公式的应用
探究：一3般张地奖，券我中们只用有1张来能中奖，现分别由3名同学
无放回地表抽示取所，有问基最本后事一件名的同学抽到中奖奖券的概率是
否比其他集同合学，小叫？做基本事件
（1）因为事件Ai与事件 A1 A2互斥，由概率的加法公式得
P(
A)
P( A1)
P( A1 A2
)
1 10
91 10 9
1 5
例2、一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可 从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时， 忘记了密码的最后一位数字，求 （1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次
2.2.1条件概率
为事件B，则“第1次和第2次都抽到理科题”就是事件AB.
Ω为“从5道题中不放回地依次抽取2道题的样本空间。”
(1)
n()
A52
20, n(A)
A31
A41
12, P(A)
n( A) n()
12 20
3. 5
(2)n(AB )
A32
6, P(AB) 3
n(AB) n()
6 20
3 10
.
(3)法1
例2、一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可 从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时， 忘记了密码的最后一位数字，求 （1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次
就按对的概率。
解：设第i次按对密码为事件Ai (i 1，2)
则A A1 ( A1 A2 )表示不超过2次就按对密码。 （1）因为事件Ai与事件 A1 A2互斥，由概率的加法公式得
P( B
|
A)
P( AB) P( A)
10 3
1. 2
法2
P(B | A) n(AB) 6 1 n(A) 12 2
5
反思
求解条件概率的一般步骤：
求解条件概率的一般步骤： （1）用字母表示有关事件
（2）求P(AB），P(A)或n(AB),n(A)
( 3 )利用条件概率公式求 P B A P(AB) n(AB) P(A) n(A)
100 100
0.7368
5
95A
课堂练习
1.甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象 记录，知道甲乙两地一年中雨天所占的比例分别为20％ 和18％，两地同时下雨的比例为12％，问： （1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？ （2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？ 解：设A={甲地为雨天}， B={乙地为雨天}，
2.2.1条件概率
(2)条件概率公式揭示了条件概率P(B|A)与事件概率
P(A),P(AB)之间的关系.三者之中知其二可求第三
者.特别P(AB)=P(A)P(B|A)称为概率的乘法公式.
课后作业
1:一个盒子中有6支好灯管,4支坏灯管,任取两次,每次取一支, 第一次取后不放回,求若已知第一支是好的,第二支也是好 的概率.
上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的
概率； （2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超 过2次就按对的概率.
例3:甲､乙两地都位于长江下游,根据一百多年来的气象记录
知道,甲､乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%,两
地同时下雨的比例为12%,问: (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少? (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少? 解:设A=“甲地为雨天”,B=“乙地为雨天”,则根据题意有 P(A)=0.20,P(B)=0.18,P(A∩B)=0.12. (1)乙地为雨天甲地也为雨天的概率是P(A|B)=
条件概率公式的应用
(1）求条件概率有两种方法: P( AB) ①P(B|A)= P( A) ; ②P(B|A)= n( AB ) (基本事件发生是等可能的).
n( A)
(2)条件概率公式揭示了条件概率P(B|A)与事件概率
P(A),P(AB)之间的关系.三者之中知其二可求第三
者.特别P(AB)=P(A)P(B|A)称为概率的乘法公式.
复习
④交事件：若某事件发生当且仅当事件A发生且事 件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件 （或积事件），记为A∩B（或A· B）。 ⑤事件A与事件B互斥：事件A与事件B在任何一次 实验中不会同时发生，即A∩B=∅。 两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式为： P(A+B)=P(A)+P(B) ⑥对立事件：若A∩B为不可能事件， A∪B为
【高中同步测控 优化设计】高中数学选修2-3训练：2.2.1条件概率 Word版含答案[ 高考]
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2.2.1条件概率A组1.已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)等于()A. B. C. D.解析:由条件概率公式变形得到乘法公式P(AB)=P(B|A)·P(A)=.答案:C2.抛掷红、黄两枚质地均匀的骰子,当红色骰子的点数为4或6时,两枚骰子的点数之积大于20的概率是()A. B. C. D.解析:抛掷红、黄两枚骰子共有6×6=36个基本事件,其中红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件,此时两枚骰子点数之积大于20包含4×6,6×4,6×5,6×6,共4个基本事件.所求概率为.答案:B3.根据历年气象统计资料,某地四月份吹东风的概率为,下雨的概率为,既吹东风又下雨的概率为,则在吹东风的条件下下雨的概率为()A. B. C. D.解析:设事件A表示“该地区四月份下雨”,B表示“四月份吹东风”,则P(A)=,P(B)=,P(AB)=,从而在吹东风的条件下下雨的概率为P(A|B)=.答案:D4.在某班学生考试成绩中,数学不及格的占15%,语文不及格的占5%,两门都不及格的占3%.已知一名学生数学不及格,则他语文也不及格的概率是()A.0.2B.0.33C.0.5D.0.6解析:A=“数学不及格”,B=“语文不及格”,P(B|A)==0.2.所以数学不及格时,该学生语文也不及格的概率为0.2.答案:A5.在10个球中有6个红球和4个白球(各不相同),不放回地依次摸出2个球,在第1次摸出红球的条件下,第2次也摸出红球的概率为()A. B. C. D.解析:不放回地依次摸出2个球,“第1次摸出红球”记为事件A,“第2次摸出红球”记为事件B,则n(A)=6×9=54,n(AB)=6×5=30,故P(B|A)=.答案:D6.从1~100这100个整数中,任取1个数,已知取出的1个数是不大于50的数,则它是2或3的倍数的概率为.解析:根据题意可知取出的1个数是不大于50的数,则这样的数共有50个,其中是2或3的倍数共有33个,故所求概率为.答案:7.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=.解析:P(A)=,P(A∩B)=.由条件概率计算公式,得P(B|A)=.答案:8.如图,一个正方形被平均分成9部分,向大正方形区域随机地投掷一点(每一次都能投中).设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A,投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B,求P(A|B),P(AB).解:用μ(B)表示事件B所包含区域的面积,μ(Ω)表示大正方形区域的面积,由题意可知, P(AB)=,P(B)=,P(A|B)=.9.1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一个球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一个球,问:(1)在从1号箱中取出的是红球的条件下,从2号箱取出红球的概率是多少?(2)从2号箱取出红球的概率是多少?解:记事件A为“最后从2号箱中取出的是红球”;事件B为“从1号箱中取出的是红球”.P(B)=,P()=1-P(B)=.(1)P(A|B)=.(2)∵P(A|)=,∴P(A)=P(AB)+P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|)P()=.B组1.某班有6名班干部,其中4名男生,2名女生,从中选出3人参加学校组织的社会实践活动,在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为()A. B. C. D.解析:记“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B.P(A)=,P(AB)=,故P(B|A)=.答案:B2.抛掷两枚质地均匀的骰子,在已知它们点数不同的情况下,至少有一枚出现6点的概率是()A. B. C. D.解析:设“至少有一枚出现6点”为事件A,设“两枚骰子的点数不同”为事件B,则n(B)=6×5=30,n(AB)=10,所以P(A|B)=.答案:A3.设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.4,现有一个20岁的这种动物,则它活到25岁的概率是.解析:“该动物由出生算起活到20岁”记为事件A,“活到25岁”记为事件B.P(A)=0.8,P(AB)=0.4,∴P(B|A)==0.5.答案:0.54.从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个,在选出4号球的条件下,选出球的最大号码为6的概率为.解析:记“选出4号球”为事件A,“选出球的最大号码为6”为事件B,则P(A)=,P(AB)=,所以P(B|A)=.答案:5.任意向x轴上(0,1)这一区间内投掷一个点,问:(1)该点落在区间内的概率是多少?(2)在(1)的条件下,求该点落在内的概率.解:由题意可知,任意向(0,1)这一区间内投掷一个点,该点落在(0,1)内各个位置是等可能的, 令A=,由几何概型的概率计算公式可知(1)P(A)=.(2)令B=,则AB=,∴P(AB)=,故在A的条件下B发生的概率为P(B|A)=.6.在一次口试中,共有10道题可供考生选择,已知某考生会答其中的6道题,现随机从中抽5道题供考生回答,答对3道题及格,求该考生在第一道题不会答的情况下及格的概率.解:设事件A为“从10道题中依次抽5道题,第一道题不会答”;设事件B为“从10道题中依次抽5道题,第一道题不会答,其余4道题中有3道题或4道题会答”.n(A)=,n(B)=).则P=.所以该考生在第一道题不会答的情况下及格的概率为.7.一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.若从袋中任意摸出2个球,至少有1个白球的概率为.(1)求白球的个数;(2)现从中不放回地取球,每次取1个球,取2次,已知第2次取得白球,求第1次取得黑球的概率.解:(1)记“从袋中任意摸出2个球,至少有1个白球”为事件A,记袋中白球个数为x.则P(A)=1-,解得x=5,即白球的个数为5.(2)记“第2次取得白球”为事件B,“第1次取得黑球”为事件C,则P(BC)=,P(B)=.故P(C|B)=.。
2019-2020学年数学人教A版选修2-3检测：2.2.1条件概率
判一判
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．若事件 A 与 B 互斥，则 P(B|A)＝0.(√)
2．若事件 A 等于事件 B，则 P(B|A)＝1.(√)
3．P(B|A)与 P(A|B)相同．(×)
3
3
1
4．已知 P(AB)＝10，P(A)＝5，则 P(B|A)为2.(√) 5．由“0”“1”组成的三位数组中，若用事件 A 表示“第二位数字为 0”，用事件 B 表示
nAB 6 1
所以(1)P(B|A)＝ nA ＝12＝2. nAB 6 3
(2)P(A|B)＝ nB ＝10＝5.
知识点二
条件概率性质应用
3.在一个袋子中装有除颜色外完全相同的 10 个球，其中有 1 个红球，2 个黄球，3 个黑
球，4 个白球，从中依次不放回地摸 2 个球，求在第一个球是红球的事件下，第二个球是黄
PAB
提示：(1)在原样本空间中，先计算 P(AB)，P(A)，再利用公式 P(B|A)＝ PA 计算求得 P(B|A)；
nAB
(2)若事件为古典概型，可利用公式 P(B|A)＝ nA ，即在缩小后的样本空间中计算事件 B 发生的概率．
3．一个盒子中有 6 只好晶体管，4 只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不 放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的概率．
＝3，
PAB 2
∴P(B|A)＝ PA ＝5. 2
答案：5
4
1
4．某气象台统计，该地区下雨的概率为15，既刮四级以上的风又下雨的概率为10.设事 件 A 为该地区下雨，事件 B 为该地区刮四级以上的风，则 P(B|A)＝________.
1
4
1
10 PAB 4 3
第二章2.2.1课条件概率的习题课
[学业水平训练]1．(2014·太原检测)将一枚硬币任意抛掷两次，记事件A ＝“第一次出现正面”，事件B ＝“第二次出现正面”，则P (B |A )等于( )A ．1 B.12C.14D.18解析：选B.两次抛掷硬币的结果共有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)∴P (A )＝24＝12，P (AB )＝14. 由概率公式得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12. 2．(2014·开封高二检测)将3颗骰子各掷一次，记事件A 表示“三个点数都不相同”，事件B 表示“至少出现一个3点”，则概率P (A |B )等于( )A.91216B.518C.6091D.12解析：选C.事件B 发生的基本事件个数是n (B )＝6×6×6－5×5×5＝91，事件A ，B 同时发生的基本事件个数为n (AB )＝3×5×4＝60.∴P (A |B )＝n (AB )n (B )＝6091. 3．一个袋中装有6个红球和4个白球(这10个球各不相同)，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸到红球的概率为( )A.35B.25C.110D.59解析：选D.第一次摸出红球的情况下袋中有5个红球4个白球，第二次摸到红球的概率为59. 4．抛掷一枚骰子两次，在第一次掷得的点数是偶数的条件下，第二次掷得的点数也是偶数的概率为( )A.14B.13C.12D.23解析：选C.设“第一次掷得的点数是偶数”为事件A ，“第二次掷得的点数是偶数”为事件B ，在第一次掷得的点数是偶数的条件下，第二次掷得的点数也是偶数的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝36×3636＝12. 5．下列说法正确的是( )A ．P (B |A )＝P (AB )B ．P (B |A )＝P (B )P (A )是可能的 C ．0＜P (B |A )＜1D ．P (A |A )＝0解析：选B.∵P (B |A )＝P (AB )P (A )，1P (A )≥1，∴P (B |A )≥P (AB )，则A 不正确；当P (A )＝1时，P (B )＝P (AB )，则P (B |A )＝P (B )＝P (B )P (A )，所以B 正确；而0≤P (B |A )≤1，P (A |A )＝1，∴C 、D 不正确．6．由长期统计资料可知，某地区在4月份下雨(记为事件A )的概率为415，刮五级以上风(记为事件B )的概率为715，既刮五级以上风又下雨的概率为110，则P (A |B )＝________，P (B |A )＝________.解析：P (A |B )＝P (AB )P (B )＝110715＝314， P (B |A )＝P (AB )P (A )＝110415＝38. 答案：314 387．5个乒乓球，其中有3个新的、2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率为________．解析：设A ＝“第一次取到新球”，B ＝“第二次取到新球”，则在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球即为事件A 发生的条件下事件B 也发生．因第一次取到了新球，所以第二次抽取时除去“已抽取”的1个新球，还有2个新球、2个旧球供选取，所以P (B |A )＝24＝12. 答案：128．从编号为1,2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．解析：令事件A ＝{选出的4个球中含4号球}，B ＝{选出的4个球中最大号码为6}．依题意知n (A )＝C 39＝84，n (AB )＝C 24＝6，∴P (B |A )＝n (AB )n (A )＝684＝114. 答案：1149．把一副扑克的52张(去掉大、小王)随机均分给赵、钱、孙、李四家，A ＝{赵家得到6张草花}，B ＝{孙家得到3张草花}．(1)计算P (B |A )；(2)计算P (AB )．解：(1)四家各有13张牌，已知A 发生后，A 的13张牌已固定，余下的39张牌中恰有7张草花，将这39张牌随机分给钱、孙、李三家，求孙家得到3张草花的概率，于是P (B |A )＝C 37C 1039－7C 1339≈0.278. (2)在52张牌中任选13张牌有C 1352种不同的等可能的结果．于是Ω中元素数为C 1352，A 中元素数为C 613C 739，利用条件概率公式得到P (AB )＝P (A )P (B |A )＝C 613C 739C 1352×0.278≈0.012. 10．抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P (A )，P (B )，P (AB )；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少？ 解：(1)掷两颗骰子共有36种不同的情况，它们是等可能的．故P (A )＝26＝13， P (B )＝1036＝518， P (AB )＝536. (2)P (B |A )＝P (AB )P (A )＝53613＝512. [高考水平训练]1．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45解析：选A.已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P ＝0.60.75＝0.8. 2．(2014·海口高二检测)抛掷骰子2次，每次结果用(x 1，x 2)表示，其中x 1、x 2分别表示第一、二次骰子的点数．若设A ＝{(x 1，x 2)|x 1＋x 2＝10}，B ＝{(x 1，x 2)|x 1＞x 2}，则P (B |A )＝________.解析：P (A )＝336＝112，P (AB )＝136， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝136112＝13. 答案：133．一只口袋内装有2个白球和2个黑球，那么(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？(2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？解：(1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A ，“再摸出1个白球”为事件B ，则“先后两次摸到白球”为AB ，先摸一球不放回，再摸一球共有4×3种结果．故P (A )＝2×34×3＝12，P (AB )＝2×14×3＝16. 因此，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1612＝13， 即先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为13. (2)设“先摸出一个白球放回”为事件A 1，“再摸出一个白球”为事件B 1，两次都摸到白球为事件A 1B 1.P (A 1)＝2×44×4＝12，P (A 1B 1)＝2×24×4＝14，故P (B 1|A 1)＝P (A 1B 1)P (A 1)＝1412＝12， 即先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为12. 4．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．解：设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到舞蹈节目为事件B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB .(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n (Ω)＝A 26＝30，根据分步计数原理n (A )＝A 14A 15＝20，于是P (A )＝n (A )n (Ω)＝2030＝23. (2)因为n (AB )＝A 24＝12，于是P (AB )＝n (AB )n (Ω)＝1230＝25. (3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝2523＝35. 法二：因为n (AB )＝12，n (A )＝20，所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝1220＝35.。
人教新课标版(A)高二选修2-3 2.2.1条件概率同步训练题
人教新课标版（A）高二选修2-3：2.2.1条件概率同步训练题知识·能力练夯实基础，提升能力◆条件概率1. 一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，第一次取后不放回. 求若已知第一只是好的，第二只也是好的概率.2. 甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20％和18％，两地同时下雨的比例为12%，问：（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？方法·技巧练巧练方法，事半功倍难题巧解3. 一批晶体管元件，其中一等品占95%，二等品占4％，三等品占1％，它们能工作5000小时的概率分别为90％，80％，70％，求任取一个元件能工作5000小时以上的概率.发散创新探究4. 袋中有2个白球，3个黑球，从中依次取出2个，求取出两个都是白球的概率.5. 电报信号由“·”与“——”组成，设发报台传送“·”与“——”之比为3：2，由于通讯系统存在干扰，引起失真，传送“·”时，失真的概率为0.2（即发出“·”而收到“——”）；又传送“——”时，失真的概率为0.1（即发出“——”而收到“·”）. 若收报台收到信号“·”，求发报台确实发出“·”的概率.综合·拓展练综合运用，拓展知能创新设计题6. 掷两颗均匀的骰子，问（1）在已知它们点数不同的条件下，至少有一颗是6点的概率是多少？（2）至少有一颗是6点的概率又是多少？7. 在矩形区域Ω内随机取点，若已知点取自区域B内，求在此条件下点取自区域A内的概率. （如图2－2－1）【参考答案】1. 解：设=i A {第i 只是好的}（i=1，2），由题意知要求出).A |A (P 12 因为3191056)A A (P ,53106)A (P 211=⨯⨯===， 所以.95)A (P )A A (P )A |A (P 12112==2. 解：设A ＝“甲地为雨天”，B ＝“乙地为雨天”，则根据题意有P （A ）＝0.20，P（B ）＝0.18，P （A ∩B ）＝0.12，所以：（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是.67.018.012.0)B (P )AB (P )B |A (P === （2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是.60.020.012.0)A (P )AB (P )A |B (P ===3. 解：令B i ={取到元件为i 等品}（i=1，2，3），A={取到的元件能工作5000小时以上}，则)B (P )B |A (P )B (P )B |A (P )B (P )A (P 32211++=·)B |A (P 3＝95%·90%+4%·80% +1%·70%＝0.894.4. 解法1：用古典概型方法. 袋中有5个球，依次取出2个，包括25A 个基本事件，令A={2次都取得白球），包括2个基本事件，因此.101A 2)A (P 25==解法2：用概率乘法公式. 令A i ={第i 次取得白球）（i=1，2），则A=A 1A 2，由乘法公式，.1014152)A |A (P )A (P )A A (P )A (P 12121=⨯=⋅== 5. 解：令B 1={发送“·”}，B 2＝{发送“——”），A ＝{收到“·”}，则有P （B 1）＝0.6，P （B 2）=0.4，P （A ｜B 1）＝0.8，P （A ｜B 2）＝0.1.所求概率为P （B 1｜A ）)B |A (P )B (P )B |A (P )B (P )B |A (P )B (P 221111+= .923.01.04.08.06.08.06.0≈⨯+⨯⨯= 6. 分析：此题（1）即为条件概率，条件是两颗骰子点数不同，可用条件概率计算公式求解.解：（1）对两颗骰子加以区别，则共有36种不同情况，它们是等可能的，令A=“至少有一颗是6点”，B ＝“两颗骰子点数不同”，事件n （AB ）共有10种不同情况，事件B 有6×5＝30种不同情况，因而所求的条件概率.3136/3036/10)B (P )AB (P )B |A (P === （2）事件A 有11种不同情况，故.3611)A (P =7. 略。
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2.2.1 条件概率练习题
1．已知P(B|A)=103,P(A)=5
1,则P(AB)=( )
A ．21
B.23 C ．32 D.50
3 2．由“0”、“1” 组成的三位数码组中，若用A 表示“第二位数字为0”的事件，用B 表示“第一位数字为0”的事件，则P(A|B)=（ ） A.21 B.31 C.41 D.8
1
3．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是154，刮三级以上风的概率为15
2，既刮风又 下雨的概率为10
1，则在下雨天里，刮风的概率为（ ） A.2258 B.21 C.8
3 D.43 4．袋中有5个球，3个白球，2个黑球，现每次取一个，无放回地抽取两次，第二次 抽到白球的概率为（ ） A.53 B.43 C.21 D. 10
3
5．6位同学参加百米短跑初赛，赛场有6条跑道，则已知甲同学排在第一跑道，乙同 学排在第二跑道的概率（ ） A.52 B.51 C.92 D. 7
3
6．一个袋中有9张标有1,2,3，…，9的票，从中依次取两张，则在第一张是奇数的 条件下第二张也是奇数的概率（ ） A.52 B.51 C.21 D. 7
3
7.福娃是2008年北京第二十九届奥运会的吉祥物，每组福娃都由“贝贝”“晶晶” “欢欢”“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成，甲、乙两人随机地从一组五个福娃中选 取一个留作纪念。
按甲先选乙再选的顺序不放回的选择，则在他俩选择的福娃中“贝贝” 和“晶晶”一只也没有被选中的概率是（ ） A.101 B.53 C.103 D.5
2
8．任意向（0,1）区间上投掷一个点，用x 表示该点的坐标，则 ={x|0<x<1}，事件 A={x|0<x<0.5}，B={x|0.25<x<1}，P （B|A ）=___________________________
9．设n 件产品中含有m 件废品，今从中任取两件，在已知其中一件是废品的前提下， 另一件也是废品的概率为________________________
10．根据历年气象资料统计，某地四月份刮东风的概率是30
8，既刮东风又下雨的概率 是30
7。
问该地四月份刮东风时下雨的概率是____________________
11．一个口袋内装有2个白球，3个黑球，则
（1）先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率？
（2）先摸出1个白球后不放回，再摸出1个白球的概率？
12．某种元件用满6000小时未坏的概率是43，用满10000小时未坏的概率是2
1，现有
一个此种元件，已经用过6000小时未坏，求它能用到10000小时的概率
13．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽 取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率。
14．某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的 概率是21，在第一次闭合出现红灯的条件下第二次闭合还出现红灯的概率是3
1，求两次闭
合都出现红灯的概率。
15．市场供应的灯泡中，甲厂产品占有70%，乙厂产品占有30%，甲厂产品的合格率为 95%，乙厂产品的合格率为80%。
现从市场中任取一灯泡，假设A=“甲厂生产的产品”，
A =“乙厂生产的产品”
，B=“合格灯泡”，B =“不合格灯泡”，求： （1）P(B|A) ；（2）P(B |A) ；（3）P(B|A ) ；（4）P(B |A ).。