三角形中位线定理的应用2

三角形中位线定理的应用

三角形中位线定理是平面几何中十分重要的性质，它说明中位线的位置与第三边平行，长度是第三边的一半，应用它可解许多几何题，如：1．说明线段的倍分关系

例1如图1，AD是△ABC的中线，E为AD的中点，BE交AC于F，

AF=1

3

AC．试说明EF=

1

4

BF．

解：取CF的中点H，联结DH，则DH为△CBF的中位线．

又因为AF=1

3

AC，即F为AH的中点，则EF为△ADH的中位线，故DH＝

1 2BF，EF=

1

3

DH，所以EF=

1

4

BF．

2．说明两线平行

例2如图2，自△ABC的顶点A向∠B和∠C的平分线作垂线，D、E为

垂足．试说明DE∥BC．

解：延长AE、AD交BC与BC的延长线于N、M．由∠1=∠2，BD⊥AM，可得AD=DM．同理可得AE=EN．故DE为△ANM的中位线．所以DE∥MN，即DE∥BC．

3．说明线段相等

例3如图3，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且BD=CE，M、N分别为BE、CD的中点，直线MN分别交AB、AC于P、Q．试说明AP=AQ．

解：取BC中点F，联结MF与NF．

因为BM=ME，BF=FC．

所以MF∥CE，且MF＝1

2 CE．

同理可得NF∥BD，且NF＝1

2

BD．且又BD=CE，所以MF=NF，故∠3=∠4，

又∠1=∠4，∠2=∠3，所以∠1=∠2，故AP=AQ．

4．说明两角相等

例4如图4，在△ABC中，M、N分别在AB、AC上，且BM=CN，D、E 分别为MN与BC的中点，AP∥DE交BC于P．试说明∠BAP=∠CAP．

解：联结BN并取中点Q，联结DQ与EQ，则DQ∥BM，且DQ＝1

2 BM，

EQ∥CN，且EQ＝1

2

CN，又BM＝CN，所以DQ=EQ，故∠1=∠2，因为AB∥DQ，

DE∥AP，所以∠1=∠BAP．因为QE∥NC，DE∥AP，所以∠2=∠CAP，所以∠BAP=∠CAP．

由以上几例不难看出，当有中点这一条件时，设法构造三角形中位线，然后利用三角形中位线定理解题，这是一种常用的解题技巧．