说谎者悖论

《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的，并且使用逻辑术语说明 概念，回避自然语言的歧意。但是他在书的序言里称这是：“发表一本包含那么多未曾解决 的争论的书。”可见，从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并不容易。接下来他指出， 在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”，就是说，“它包含讲那个总体的某种东西，而 这种东西又是总体中的一份子。”这一观点比较容易理解，如果这个悖论是克利特以外的什 么人说的，悖论就会自动消除。但是在集合论里，问题并不这么简单。 事实上，我们要讨论这个悖论，问“这句话是不是正确的”是没有意义的。我们充其量只能 问："这个模型是否满足人类逻辑？" 很明显，这句话是对它本身的描述，因此他是一个模型。而这个模型的建立，需要在以下逻
说一个语句为真，即肯定该语句，也就是维持该语句之真值形式不变。说一个语句为假，即
否定该语句，也就是颠倒其真值形式。这是逻辑学中最基本的规则之一。一般认为兰姆赛 (Ramsey)在提出真理冗余论时最先明确地对之进行了扼要的阐释。他指出：“P，这是真”(It is true that P)与“P”同义；“P，这是假”(It is false that P)与“-p”同义。该规则的另一种表 述是，“P 是真”，与“P”同义；“P 是假”，与“-p”同义。我们在以后的讨论中姑且将这个 规则称为“兰姆赛原则”。 说谎者语句可简单地表述为：这语句是假。根据自古以来关于说谎者悖论内容的约定，说谎 者语句的主词“这语句”指称说谎者语句即“这语句是假”本身，亦即： (A)这语句→这语句是假 我们将上式称为“约定 A”，其中符号“→”代表指称概念。下面的分析将表明，人们在说 谎者悖论的推导中，实际上是将约定 A 中的指称概念当作逻辑等值概念或同义概念来使用 的；因此严格地讲，人们事实上预设了“这语句”指称(同义于或等值于)“这语句是假”。 当我们断言说谎者语句为真时，得： (1)“这语句是假”是真 根据兰姆赛原则，断定一个语句是真的，等于肯定该语句，因此 由(1)推出： (2)这语句是假 人们认为(1)与(2)相矛盾。这是说谎者悖论的约定的一半内容。但问题是， 单从形式上看，我们不能断定语句(1)与(2)相矛盾。语句(1)的主词是“‘这语句是假’”，而(2) 的主词是“这语句”，它们二者在形式上并不同一；若要语句(1)与(2)相矛盾，必须使它们的 主词同义，即预设约定 A 成立；也就是说，必须预设语句(1)和(2)的主词都指称说谎者语句 本身；如果(1)与(2)的主词不同义，则它们必不互相矛盾。这样，我们根据约定 A，将(2)的 主词作一代换，得： (3)“这语句是假”是假 (3)与(1)是典型的形式上的矛盾，(3)亦是(2)的否定。但是为什么我 们会从(1)[通过(2)]推出与其相矛盾的(3)呢?明显地，我们在以上推理中只使用了唯一的一个 具体的逻辑根据，即约定 A，我们考察一下约定 A 在逻辑上是否有问题。 说谎者语句的主词“这语句”是说谎者语句的指示词，其语义作用相当于说谎者语句的名称。 语句的指示词和名称相当于逻辑学中的命题常项，我们可以将“是真”或“是假”加在其后 形成一个肯定句或否定句。就此而论，“这语句是假”可看作是对其主词“这语句”的否定， 这点也可从说谎者语句说自身为假这个事实看出来，那么如果我们一旦用了约定 A，那么说 谎者语句意谓着： (4)这语句是假，这是假 而“这语句”意谓着说谎者语句本身即语句(2)。从逻辑上看，语 句(4)是(2)的否定，或者说这两个语句是互相矛盾的。这表明，说谎者语句的意谓是其主词 的意谓的否定。由此我们就证明了说谎者语句是其主词“这语句”的逻辑上的否定，从而也 就证明了约定 A 是自相矛盾的，因为它表示“这语句”指称(等值于或同义于)其自身的否定 句 l。 既然如此，当人们在上面根据约定 A 用“‘这语句是假’” 代换“这语句”从而从(2)推出(3) 时，就不自觉地犯了一个逻辑错误。因为“‘这语句“’是语句(2)的名称；这意谓着，通过 代换，(2)由对“这语句”的否定，变成对“‘这语句是假’”的否定，从而由(2)产生了其矛 盾句(3)。其原因是明确的，在一个断定某语句真值的语句中，我们不可用与之相矛盾的表 达式代换其主词，否则的话必然产生与原语句相矛盾的另一个语句。这可以说是逻辑学中的 一条简单的规律。比如，如果我们用-X 代换“X 是真”中的主词，得：-x 是真，即 X 是假； 等等。当人们用“‘这语句是假’”代换“这语句”从而由(2)推出(3)时，就违反了这条规律。 在这里，矛盾的产生是合乎逻辑的，而矛盾的来源显然是约定 A 的自相矛盾性被代入该推 导之中的结果。事实上违反该规律本是一个逻辑学中的低级错误；说谎者悖论的推导实质上 就犯了同样的错误。只是自然语言的某种机缘，才将其牢牢地掩盖住了。 另一方面，如果不使用约定 A，则我们不可能从(2)推出(3)。因为在这种条件下，(2)的主词
辑上： "如果 A，那么非 A。' 但这种逻辑不被人类逻辑所允许，换言之，这个模型无法在人类逻辑中建立(或者说，它与 人类逻辑不协调）也就是说：这句话在本质上就不存在于人类模型中，因此，讨论“它是否 正确”是无意义的。
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与(3)的主词不指称同一个语句，(2)就不是说其自身为假，而是说其它什么语句为假。由此 清楚地表明了，当人们使用约定 A 时，就将其矛盾性代入了相关推理之中，悖论的结论因 此而产生。事实上，从逻辑上讲，按兰姆赛原则(2)与(1)是同义的；人们只是根据自相矛盾 的约定 A 才认为(2)与(1)相矛盾。这提示出约定 A 与兰姆赛原则不相容。当我们断定说谎者 语句为假时，基本道理也一样，不再赘述。至此我们可得出如下结论：导致说谎者悖论的逻 辑根源不是别的，只是约定 A 的自相矛盾性，它使得说谎者语句说自身为假，从而使得说 谎者语句意谓着与其矛盾的语句，故当人们根据兰姆赛原则断定说谎者语句的真值时，就合 乎逻辑地推出与其相矛盾的语句。除了人们事先预设了约定 A 并在其后对之加以应用之外， 关于说谎者悖论的一切推导都在逻辑规律的控制之下。 通过以上讨论我们已能看清，自相矛盾的约定 A 是说谎者悖论得以产生的逻辑充要条件。 但约定 A 本身的自相矛盾性是如何产生的呢?在日常语言中，当我们用一个表达式指称语言 外的任何事物时，由于语言符号的任意性 ，我们在指称上不可能犯逻辑错误；不过我们若 用一个表达式指称另一个表达式，则语言符号的任意性就会失效，我们在一定条件下便会犯 逻辑错误。因为在该种条件下，我们用一个表达式指称作为其自身否定的一个语句(就像在 约定 A 的情况下那样)。这在如下意义上是违反逻辑基本规律的：其一，它使得该表达式就 是被其所指称的语句的主词，从而导致该被指称语句说自身为假。其二，如果一表达式 P 指称(等值于)其否定句-p，那么倘若我们肯定 P，也就等于肯定-p，即 p→-p；如果否定 P， 也就等于否定-p，即-p→p。这实际上即是说谎者悖论推导的结构；这种矛盾等值式逻辑上 导源于约定 A。其三，从推理技术上讲，如果我们规定一个表达式指称其自身的否定句，则 在推理中我们就可合法地用该否定句(的名称)代换该表达式，从而使得该推理归于无效。故 我们不能设定一个表达式指称其自身的否定而不违反逻辑基本规律。 苏姗·哈克曾表述过一个衡量什么才可算作悖论的解的基本标准，即必须独立于导致悖论的 结论这一点而证明对前提表达式或推论原则的反驳。该标准已被学界普遍接受。据此凡是仅 根据悖论的结论，而使用否定后件式推理规则来反驳其前提表达式的任何“解决方案”都是 无价值的。应着重指出的是，我们关于约定 A 之自相矛盾性的论证是独立于说谎者悖论之 推导及该悖论之结论的；换言之，即使我们从来没有断定过说谎者语句的真值，因而说谎者 悖论从不会产生，约定 A 本身仍是固有地自相矛盾的。人们自古以来对其从语法上看不出 任何问题的说谎者语句(或其变体)为何会导致悖论这一点一直困惑不解，我们明白了，正是 约定 A(或其变体)的这种独立的矛盾性，使得说谎者语句的主词在指称关系上，从而使得说 谎者语句在意谓或内容上固有地、从一开始就犯了逻辑错误，以后所推出的悖论结论正是将 该矛盾应用于相关推论中的合乎逻辑的结果，说谎者语句之语法的无可挑剔性牢牢地掩盖了 这一点。 5 其它相关 编辑
说谎者悖论 又叫谎言者悖论。公元前六世纪，克里特岛的哲学家埃庇米尼得斯(Epimenides)：“所有克利 特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。”这就是这个著名悖论的来源。 起源 编辑
西元前 6 世纪，克利特哲学家埃庇米尼得斯（Epimenides）说了一句很有名的话：“所有克 利特人都说谎。” 这句话有名是因为它没有答案。因为如果埃庇米尼得斯所言为真，但这跟先前假设此言为真 相矛盾；又假设此言为假，那么也就是说不是所有克利特人都说谎，自己也是克利特人的埃 庇米尼得斯就不一定是在说谎，就是说这句话可能是真的，但如果这句话是真的，又会产生 矛盾。因此这句话是没有解释的。 偶然看到这个问题发现不对，“如果埃庇米尼得斯所言为真，那么克利特人就全都是说谎者， 身为克利特人之一的埃庇米尼得斯自然也不例外，于是他所说的这句话应为谎言，但这跟先 前假设此言为真相矛盾”没有问题，于是接着假设这句话是假的，但是并没有矛盾产生。“所 有克利特人都说谎。”的否定是“存在至少一个克利特人不说谎”，由于克里特按照常理来说 不只有一个人，虽然埃庇米尼得斯说谎，但是存在至少一个人不说谎还是可能的，这并不产 生矛盾。 可以构造这样一个命题：“我在说谎。”这就是一个自我指涉引发的悖论。 2 典故 编辑
《圣经》里曾经提到：“有克利特人中的一个本地中先知说：‘克利特人常说谎话，乃是恶兽， 又馋又懒’”(《提多书》第一章)。可见这个悖论很出名，但是保罗对于它的逻辑解答并没 有兴趣。 3 罗素命题 编辑
问题并不简单：哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论，并试图找到解决的办法。他在《我 的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道：“自亚里士多德以来，无论哪一个学派的逻辑 学家，从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。这表明有些东西是有毛病的，但 是指不出纠正的方法是什么。在 1903 年的春季，其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种 逻辑蜜月打断了。” 他说：谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾：“那个说谎的人说：‘不论我说什么 都是假的’。事实上，这就是他所说的一句话，但是这句话是指他所说的话的总体。只是把 这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。”(同上) 罗素试图用命题分层的办法来解决：“第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命 题；第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题；其余仿此，以至无穷。”但是这一 方法并没有取得成效。“1903 年和 1904 年这一整个时期，我差不多完全是致力于这一件事， 但是毫不成功。” 4 悖论格式 编辑