第五讲:全微分方程
高等数学第12章第5节全微分方程省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
全微分方程
第五节
一、全微分方程
二、积分因子法
第十二章
鉴别:
P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数,
① 为全微分方程
则
求解环节:
措施1 凑微分法;
措施2 利用积分与途径无关旳条件.
1. 求原函数 u (x, y)
2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .
一、全微分方程
在简朴情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到
为原方程旳积分因子.
但若在方程两边同乘
若存在连续可微函数
积分因子.
常用微分倒推公式:
积分因子不一定唯一 .
例如, 对
可取
例3. 求解
解: 分项组合得
即
选择积分因子
同乘方程两边 , 得
即
所以通解为
即
因 x = 0 也是方程旳解 , 故 C 为任意常数 .
作业
P285 1(2), (4), (7); 2(2), (5); 4
备用题 解方程
解法1 积分因子法.
原方程变形为
取积分因子
故通解为
另外, y = 0 也是方程旳解.
解法2 化为齐次方程.
原方程变形为
积分得
将
代入 ,
得通解
则称
为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) .
①
例1. 求解
解: 因为
故这是全微分方程.
则有
所以方程旳通解为
例2. 求解
解:
∴ 这是一种全微分方程 .
用凑微分法求通解.
将方程改写为
即
故原方程旳通解为
或
二、积分因子法
思索: 怎样解方程
高等数学全微分方程教案
(y
1 6
x3
sin
x
C1
x
C2
).
二、 y'' f (x, y')
方程的右端只含有 y'', y', x ,不显含未知函数 y 。令 y' p, 那么
y'' dp p' 则方程化为 pf(x p)设 pf(x p)的通解为 p(xC1) 则 dx
dy
dx
(x,C1)
原方程的通解为
y
(x,C1)dxC2 .
2
x ydx xdy
d( )
y
y2
;
d (
x) y
xdy ydx y2
; d (ln x ) xdy ydx
y
xy
d (arctan
x) y
xdy x2
ydx y2
;
d (ln
xy)
xdy ydx xy
。
例3
方程 ydx xdy
0 不是全微分方程,但 d ( x ) y
ydx xdy y2
同理 y(n2) [ f (x)dx C1]dx C2 , ,
n 次积分后可求其通解。
其特点:只含有 y (n) 和 x ,不含 y 及 y 的1 ~ (n 1) 阶导数。
例 1 解方程 例 2 解方程
y '''
x2 .
(y
1 x5 C1 60 2
x2 C2x C3 ).
y
x sin x .
ln p ln y ln C1 ,即 y C1 y .
再分离变量得
dy y
第五讲:全微分方程
显然,若μ (x,y)≠ 0,则(1)与(2)同解。
问题: 如何求方程的积分因子?
10
我们用反推的办法来求积分因子
( M ) ( N ) , (2)为全微分方程 y x M N M N y y x x
A 用公式:
u( x , y) ( x x y)dx dy,
2 3 0 0
y
B 凑微分法:
dy ( xdy ydx) x dx x dx 0, x3 x4 dy d ( xy ) d d 0, 3 4 x3 x4 d ( y xy ) 0. 3 4
9
2
前面我们讨论了全微分方程的求解问题,而对 于给定微分方程(1)未必都是全微分方程,但其 中有些则可利用积分因子化为全微分方程。
3、积分因子法
定义:
( x, y ) 0连续可微函数,使方程
( x, y)M ( x, y)dx ( x, y) N ( x, y)dy 0 (2)
f ( x ) dx ( x) e .
d , 0, b. 当只与y有关时; y dy x d ln 1 N M ( ) g( y ) dy M x y
g ( y ) dy ( y) e .
12
注: 事实上,我们有 1 M N 只与x有关 ( )只是x的函数。 N y x 因此,对于方程(1)虽不是全微分方程, 1 M N 但 ( )只是x的函数(设为f ( x)),则方程 N y x
M N 解 6 xy , 是全微分方程, y x
u( x , y ) 0 ( x 3 xy )d x 0 y 3dy
数值分析-第五讲:常微分方程数值解 共49页
为便于处理,通常假定
y ' ( x n 1 ) f ( x n 1 ,y ( x n 1 ) ) f ( x n 1 ,y n 1 )否则见P108
又 y(xn),yn y'(xn)f(xn,yn)
则
11 yn1yn2h'y n2h'y n1
并记 y'(xn)yn'
第五章:常微分方程数值解
例 P106
yn 1ynh(x fn,yn)
初值问题
y'y2x/y 0x1 Bernoulli方程 y(0)1
由Bernoulli方程的求解方法可得解析解 y 12x
Euler格式为
yn1
yn
hyn
2xn yn
令 h0.1 将 x00, y01 代入Euler格式
用改进格式计算例5.1的结果见P110表5.2
第五章:常微分方程数值解
第五章:常微分方程数值解
5、两步Euler格式
一般,如果 y(xn 1)yn 1o(hp 1) 称计算格式具有 p阶精度。
已知Euler格式 yn 1ynh(x fn,yn) h2
y(xn1)yn12y''(xn)
即 yn y(xn) 讨论 y(xn1)yn1
由Taylor公式
y ( x n 1 ) y ( x n ) y ' ( x n )x n ( 1 x n ) 1 2 y ' ' ()x n ( 1 x n ) 2
y(xn)y'(xn)h1 2y''()h2
为方程的解。 一般称为方程的通解。
如果 y(0)1 则有 y x2 1
第五讲 空间解析几何、级数及微分方程
第五讲 空间解析几何、级数及微分方程 2. 空间向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量). 表示法: 向量的模 : 有向线段 M1 M2 , 或 a; 向量的长度,
向径 (矢径): 起点为原点的向量; 自由向量: 与起点无关的向量; 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
ax a y az a b 即 = = bx by bz
第五讲 空间解析几何、级数及微分方程
向量积的行列式计算法
(a y bz a z by ) i (a z bx a x bz ) j (a x by a y bx ) k
i j = ax a y k az
a = ax i a y j az k b = bx i by j bz k
平面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面第五讲空间解析几何级数及微分方程一般地在三维空间柱面柱面平行于准线xoz面上的曲线母线柱面准线xoy面上的曲线母线准线yoz面上的曲线母线表示方程表示方程表示方程第五讲空间解析几何级数及微分方程斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中轴的直线平行于yoz面的平面圆心在00半径为轴为中心轴的圆柱面平行于轴的平面平面解析几何和空间解析几何的一些比较第五讲空间解析几何级数及微分方程级数一常数项级数1
注:以后我们判定空间中 的直线与直线、平面与平 面,以及直线与平面的位 置关系,归根到底都是判 定两个向量的位置关系, 因此要牢记这些结论!
②两个向量平行的判定
a b
a b = 0 ax a y az = = bx by bz
第五讲 空间解析几何、级数及微分方程 例1. 解:
如何求解全微分方程
如何求解全微分方程什么是全微分方程?全微分方程是微积分中的一种重要概念,也是数学物理领域中常见的问题类型之一。
它描述了一个函数在自变量和因变量之间的关系,并且可以通过求解该方程来得到这个函数的具体形式。
一个一元函数的全微分可以表示为:df(x)=f′(x)dx其中,df(x)表示函数f(x)在x处的微小变化,f′(x)表示f(x)在x处的导数,dx表示自变量x的微小变化量。
求解全微分方程的步骤求解全微分方程的一般步骤如下:步骤1:确定未知函数和自变量首先,需要明确待求解的未知函数和自变量。
通常情况下,未知函数用字母y表示,自变量用字母x表示。
步骤2:写出全微分方程根据问题描述或已知条件,将未知函数和自变量构成一个等式或不等式。
这个等式或不等式就是全微分方程。
=f(x,y)的全微分方程,其中f(x,y)是已知函数。
例如,对于形如dydx步骤3:判断方程类型根据全微分方程的形式和已知条件,判断方程的类型。
常见的方程类型包括可分离变量方程、一阶线性方程、齐次方程等。
步骤4:求解全微分方程根据不同的方程类型,采用相应的求解方法进行求解。
可分离变量方程的求解如果全微分方程可以写成M(x)dx+N(y)dy=0的形式,其中M(x)和N(y)是关于x和y的函数,且N(y)≠0,那么这个全微分方程就是可分离变量方程。
对于可分离变量方程,可以通过以下步骤进行求解:1.将全微分方程重新排列为dydx =−M(x)N(y)2.将等式两边同时积分得到∫1N(y)dy=−∫M(x)dx+C3.对上述积分结果进行进一步化简和计算,得到未知函数y=f(x)一阶线性方程的求解如果全微分方程可以写成dydx+P(x)y=Q(x)的形式,其中P(x)和Q(x)是关于x的已知函数,那么这个全微分方程就是一阶线性方程。
对于一阶线性方程,可以通过以下步骤进行求解:1.确定一个积分因子μ(x),使得μ(x)dydx+μ(x)P(x)y=μ(x)Q(x)成为一个恰当微分方程。
全微分方程的通解
全微分方程的通解全微分方程是微积分中的一个重要分支,它揭示了自然界中许多变化规律的数学描述。
在物理学、工程学、经济学等领域,全微分方程被广泛应用于研究与预测各种现象。
本文将介绍全微分方程的概念、基本形式以及求解方法,并给出一些实际问题的应用例子。
全微分方程是描述变化规律的数学方程,其形式通常为dy/dx=f(x,y)。
其中,x和y是自变量和因变量,f(x,y)是关于x和y的函数。
一般情况下,全微分方程无法直接求解,需要通过变换、分类等方法来转化为可解的形式。
在求解全微分方程时,一种常用的方法是分离变量法。
首先,将dy/dx=f(x,y)中的x和y分离到等式的两边,得到g(y)dy=f(x)dx。
然后,对等式两边进行积分,将两边的积分得到的常数项合并,得到y的解析表达式。
需要注意的是,在积分过程中可能存在常数项,需要通过初始条件或边界条件来确定。
另一种常见的方法是恰当方程法。
当全微分方程可表示为M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的形式时,若满足∂M/∂y=∂N/∂x,则称该方程为恰当方程。
对于恰当方程,可以通过求解u(x,y)满足∂u/∂x=M和∂u/∂y=N的偏微分方程来得到全微分方程的解。
通过对u(x,y)求偏导数,将其代入到恰当方程中,可以得到∂M/∂y=∂N/∂x的条件。
接下来,我们通过一些例子来说明全微分方程的应用。
例子1:物体的自由落体我们考虑一个自由落体的物体,其速度与时间的关系可以用dy/dx=g表示,其中g表示重力加速度。
通过分离变量法,我们可以将dy/dx=g转化为dy=gdx,然后对等式两边进行积分,得到y=gt+C。
其中,C是积分常数,可通过初始条件来确定。
这个方程描述了物体下落的距离与时间的关系。
例子2:放射性衰变放射性物质的衰变过程可以用dy/dx=-ky表示,其中k是衰变常数。
通过分离变量法,我们可以将dy/dx=-ky转化为dy/y=-kdx,然后对等式两边进行积分,得到ln|y|=-kx+C。
高等数学 第十二章 微分方 第五节 全微分方程
dy x2 + x3 + y 的通解 . 例6 求微分方程 = − 1+ x dx
解1
1 dy 2 + y = −x , 整理得 dx 1 + x
C . A 常数变易法: 对应齐方通解 y = 1+ x x3 x4 C ( x) 设 y= . C ( x) = − − + C . 3 4 1+ x
凭观察凑微分得到?xy常见的全微分表达式?xy??xdxydyd???2??xdy?ydxy??d?arctan?22x?xy?22xdy?ydx?y?d??2x?x?xdyydxdlnxyxyxdxydy?122?d?lnxy?22xy??2xdy?ydx?1xy?d?ln?22x?y?2x?y?可选用的积分因子有xy11112222222等
C ( y ) = y,
x3 x4 + = C. 原方程的通解为 y + xy + 3 4
一阶微分方程小结
一阶微分方程
分离变量法 常数变易法 全微分方程
思考题
2x y − 3x dy = 0 方程 3 dx + 4 y y
2 2
是否为全微分方程?
思考题解答
∂P ∂ ⎛ 2 x ⎞ 6x = ⎜ 3⎟ =− 4, ∵ ∂y ∂y ⎝ y ⎠ y
x 2 3
∴ 是全微分方程 .
u( x , y ) = ∫ ( x + x + y )dx + ∫ dy,
0 0
y
B 凑微分法:
dy + ( xdy + ydx ) + x 2 dx + x 3 dx = 0, 3 4 x x dy + d ( xy ) + d +d = 0, 3 4 4 x3 x d ( y + xy + + ) = 0. 3 4
全微分方程基本公式
全微分方程基本公式全微分方程(PDE)是一类用来描述物理和社会现象的数学方程,它能够预测实际系统的动态变化,因此也被称为“动态模型”。
不同于典型的微分方程,全微分方程可以描述多个变量之间的关系,从而模拟一个更复杂的物理系统。
正如物理学中有力学方程,广义相对论有重力方程,以及热力学有温度方程等等,全微分方程也是建立在其他规律之上的必要数学工具。
准确地说,在理想的情况下,任何物理系统的方程都可以用全微分方程来表示。
全微分方程的公式由一系列变量组成,这些变量可以是位置、时间等,也可以是引力、温度等等。
对于不同类型的全微分方程而言,它们的具体公式也会千变万化。
但是,只要把它们抽象为一个概念,那么它们的基本公式都是一样的,这就是高斯的表达式:$$frac{partial^2u}{partial x^2} +frac{partial^2u}{partial y^2} = f(x,y)$$上述公式描述了变量u的变化,它是两个变量x和y的函数,其中f(x,y)是这一方程的右侧的系数,它可以是常数或是其他函数。
该公式用于描述二维空间中的物理系统,可以被应用于电和磁场、热传导等等。
此外,全微分方程还有一种重要的用途,即计算变量u的微分,这对研究物理系统的动态变化至关重要。
学者们发现,可以将全微分方程中的二阶微分展开,得到一组分别取得x和y的各自一阶和二阶微分的基本公式:$$u_x = frac{partial u}{partial x}$$$$u_{xx} = frac{partial^2 u}{partial x^2}$$$$u_y = frac{partial u}{partial y}$$$$u_{yy} = frac{partial^2 u}{partial y^2}$$以上公式可以用于计算任意变量u的一阶和二阶导数,它们可以用来求解更复杂的全微分方程中的变量。
总的来说,全微分方程的基本公式是高斯的表达式,它可以用来描述多变量物理系统,也可以用来计算变量的微分。
全微分方程公式
全微分方程公式全微分方程这玩意儿,对于很多同学来说,可能一开始就像个“神秘的怪物”,让人有点摸不着头脑。
但别担心,咱们今天就来好好唠唠全微分方程公式。
先来说说啥是全微分方程。
简单来讲,如果一个一阶方程可以写成M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 的形式,并且存在一个函数 u(x,y) ,使得du(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy ,那这个方程就是全微分方程啦。
举个例子吧,就说我之前教过的一个学生小明。
有一次在课堂上,我刚讲到全微分方程,他一脸迷茫地看着我,那眼神仿佛在说:“老师,这都是啥呀?”我能感觉到他心里的那种困惑和不安。
咱们接着说全微分方程的公式。
判断一个方程是不是全微分方程,有个条件就是要满足∂M/∂y = ∂N/∂x 。
要是满足这个条件,那就能找到一个函数 u(x,y) ,它的全微分就是给定的式子。
那怎么找这个函数 u(x,y) 呢?通常有两种方法,一种是凑微分法,另一种是曲线积分法。
凑微分法呢,就是通过观察和变形,把给定的式子凑成某个函数的全微分。
比如说,给你个方程 (2xy + 3)dx + (x² - 1)dy = 0 ,你看啊,2xy 的微分是 2ydx + 2xdy ,那前面的 (2xy + 3)dx 就可以写成 d(x²y +3x) ,后面的 (x² - 1)dy 可以写成 d( x²y - y ) ,这样一凑,就找到了u(x,y) = x²y + 3x - y 。
再来说说曲线积分法。
假如有个方程 (3x²y + 4y³)dx + (x³ + 12xy² + 5)dy = 0 ,先判断∂M/∂y = ∂N/∂x ,发现满足全微分方程条件。
然后呢,任选一个点 (x0,y0) ,比如说 (0,0) ,从这个点到 (x,y) 做一条曲线,对M(x,y) 关于 x 积分加上对 N(x,y) 关于 y 积分,就能得到 u(x,y) 啦。
如何求解全微分方程
如何求解全微分方程全微分方程作为微积分的重要分支,是解决实际问题的数学工具之一。
全微分方程的求解方法多种多样,其中常见的方法包括分离变量法、常系数线性齐次微分方程的解法以及特殊形式的全微分方程等。
本文将介绍几种常用的求解全微分方程的方法,并通过具体案例进行说明。
一、分离变量法分离变量法是求解全微分方程最常用的方法之一。
其基本思想是将方程中的变量分开,使得方程两边可以分别只含有一个变量,从而可以对两边进行积分得到方程的解。
示例:求解全微分方程 dy/dx = x/y首先将方程中的变量分离,得到 ydy = xdx然后对方程两边进行积分,得到∫(1/y)dy = ∫xdx对于左边的积分∫(1/y)dy,我们可以求得ln|y| + C1(C1为任意常量)对于右边的积分∫xdx,我们可以求得x^2/2 + C2(C2为任意常量)因此,方程的通解为ln|y| + C1 = x^2/2 + C2二、常系数线性齐次微分方程的解法常系数线性齐次微分方程是指满足形式为dy/dx + p(x)y = 0的方程,其中p(x)为常数。
该类方程的解法相对简单,可以通过分离变量法或代数法等方法求解。
示例:求解全微分方程 dy/dx + 2xy = 0首先令p(x) = 2x,由于p(x)为常数,我们可以得到该方程为常系数线性齐次微分方程。
令y = e^(∫p(x)dx),代入方程可得(dy/dx)e^(∫p(x)dx) +p(x)e^(∫p(x)dx)y = 0将该式进行简化后可得(dy/dx)e^(x^2) + 2xe^(x^2)y = 0再进一步整理,得dy/dx + 2xy = 0可以看出形式与原方程相同,因此解为y = Ce^(-x^2)(C为任意常数)三、特殊形式的全微分方程的解法有些全微分方程具有特殊的形式,可以通过特殊的方法求解。
示例:求解全微分方程 (y^2 + x^2)dx - ydy = 0观察方程可知,左边是一个恰当微分的形式,因此我们可以通过恰当微分的方法来求解。
数学建模公选课:第五讲-微分方程模型
详细描述
龙格-库塔方法具有较高的精度和稳定性,适用于求解各种复杂的一阶和二阶常微分方程。
04
微分方程模型的应用实例
人口增长模型
总结词
描述人口随时间变化的规律
详细描述
人口增长模型通常使用微分方程来描述人口随时间变化的规律。该模型基于假设,如人口增长率与当 前人口数量成正比,来建立微分方程。通过求解该微分方程,可以预测未来人口数量。
模型建立
如何根据实际问题建立合适的微分方 程模型是一个挑战。
02
高维问题
对于高维微分方程,如何求解是一个 难题。
01
03
非线性问题
非线性微分方程的求解更加复杂和困 难。
未来展望
随着科学技术的发展,微分方程模型 的应用领域将更加广泛,求解技术也 将更加成熟和多样化。
05
04
多尺度问题
如何处理不同时间尺度的微分方程是 一个挑战。
数学建模公选课:第五讲 -微分方程模型
• 微分方程模型简介 • 微分方程模型的建立 • 微分方程模型的求解方法 • 微分方程模型的应用实例 • 微分方程模型的发展趋势与展望
01
微分方程模型简介
微分方程的基本概念
微分方程是描述数学模型中变量随时间变化的数学表达式,通常表示为包含未知函 数及其导数的等式。
05
微分方程模型的发展趋势与展望
微分方程模型在各领域的应用前景
物理领域
描述物体的运动规律,如牛顿 第二定律、波动方程等。
经济领域
分析市场供需关系和预测经济 趋势。
工程领域
预测和控制系统的动态行为, 如电路、机械系统等。
生物医学领域
《高数全微分方程》课件
参数方程法
总结词
参数方程法是通过引入参数,将全微分 方程转化为参数微分方程,然后求解参 数的微分,最后得到原全微分方程的解 。
VS
详细描述
参数方程法的步骤包括引入参数、将全微 分方程转化为参数微分方程、求解参数的 微分、将参数的解代回原方程,最后得到 原全微分方程的解。这种方法适用于具有 参数形式的全微分方程,能够简化求解过 程。
变量分离法
总结词
变量分离法是将全微分方程转化为可分离变量的微分方程,然后分别求解每个变量的微分,最后得到 原全微分方程的解。
详细描述
变量分离法的步骤包括将全微分方程转化为可分离变量的微分方程、分别求解每个变量的微分、将各 个变量的解代回原方程,最后得到原全微分方程的解。这种方法适用于具有可分离变量形式的全微分 方程,能够简化求解过程。
总结词
全微分方程描述了曲线的斜率在各个方向上的变化情 况。
详细描述
全微分方程可以表示曲线上任意一点的切线斜率的变 化情况,即该点处曲线在各个方向上的弯曲程度。通 过求解全微分方程,可以了解曲线的弯曲程度,从而 更好地理解曲线的几何特性。
曲线的弯曲程度与全微分方程
总结词
全微分方程描述了曲线的弯曲程度在各个方向上的变 化情况。
二阶全微分方程实例
总结词
二阶全微分方程是描述物理现象和工程问题的重要工具,具有丰富的数学性质和实际应 用价值。
详细描述
二阶全微分方程的一般形式为 d²y/dx² = f(x, y, dy/dx),其中 f(x, y, z) 是关于 x、y 和 z 的函数。通过求解二阶全微分方程,可以找到满足特定边界条件的解,从而解决实际
高数全微分方程目录来自• 全微分方程简介 • 全微分方程的求解方法 • 全微分方程的实例分析 • 全微分方程的几何意义 • 全微分方程的扩展知识
第五节全微分
18
zdzfx(x, y)xfy(x, y)y, f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y. 例6 有一圆柱体, 受压后发生形变, 它的半径由20cm增大 到20. 05cm, 高度由100cm减少到99cm. 求此圆柱体体积变化 的近似值. 解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V, 则有 V r2h. 已知r20, h100, r0. 05, h1, 根据近似公式, 有 VdV VrrVhh 200 (cm3), 即此圆柱体在受压后体积约减少了200 cm3.
1 x y
2 2
x2 y (x y )
2 2 3
cos
1 x y
2 2
,
当点 P( x , y) 沿直线 y x 趋于 (0,0) 时,
( x , x ) ( 0 , 0 )
lim
f x ( x, y)
1 x3 1 , lim x sin cos 3 x0 2|x| 2 2|x| 2 | x |
x 0 y 0
lim z 0,
因此函数zf(x, y)在点(x, y)处连续.
4
可微分与连续 偏导数存在不一定连续, 但可微分必连续. 可微分的必要条件
定理:如果函数zf(x, y)在点(x, y)可微分,则函数在该点的偏导
数
z z 、 必定存在, 且函数 zf(x, y)在点(x, y)的全微分为 x y
x y xx 1 lim 2 lim 2 0, 2 2 x 0 x y x 0 x x 2 y x 所以 z [ f x (0,0)x f y (0,0)y ] o( ) ,
即 f ( x, y) 在(0,0) 处不可微.
全微分方程
西 南 科 技 大 学 理 学 院
2 ( xy ln ydx + x2dy) + y2 1 + y2dy = 0, 1 易知 µ ( x , y ) = , y2 x 则(2x ln ydx + dy) + y 1 + y2dy = 0, y 3 可积组合法 1 2 2 2 即d( x ln y) + d(1 + y ) = 0. 3 3 1 2 原方程的通解为 x ln y + (1 + y2 )2 = C. 3
定理: 定理:设函数 M(x,y)、N(x,y) 在 xoy 平面上 、 内连续可微,那么方程(1)是全 的单连通区域 D 内连续可微,那么方程 是全 微分方程的充要条件是在 D 内恒成立 ∂M ∂N = . ∂y ∂x 演示证明。
例如: 于方程 2 x(1 + x 2 - y )dx - x 2 - ydy = 0, : 对
3
常见的全微分表达式
x2 + y2 xdx + ydy = d 2
xdy − ydx y = d arctan x x2 + y2
西 南 科 技 大 学 理 学 院
xdy − ydx y = d 2 x x
xdy + ydx = d(ln xy) xy
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∫ g( y)dy . ∴µ( y) = e
15
注: 事实上,我们有 1 ∂M ∂N µ 只与x有关 ⇔ ( − )只是x的函数。 N ∂y ∂x 因此 ,对于方程 (1)虽不 是全微分方程 , 1 ∂M ∂N 但 ( − )只是x的函数(设为f ( x)),则方程 N ∂y ∂x ∫ f ( x ) dx。 (1)有积分 因子µ ( x ) = e
全微分方程基本公式
全微分方程基本公式全微分方程是分析科学问题的重要工具,它可以帮助我们精确地解决复杂的数学问题。
本文介绍了全微分方程的基本概念及其相关的基础公式,为科学家更好地理解和应用它提供了依据。
全微分方程(FDE)是一种广泛应用于数学模型分析和实际问题求解的非常有效的方法,它可以提供一种有效的解决方案。
本文介绍了全微分方程的基本公式,帮助读者更好地理解全微分方程的基本原理和应用。
一、全微分方程的基本定义全微分方程(FDE)是一阶和多阶微分方程,它们次数比一般微分方程更高,其解决方法也较复杂。
全微分方程式用于表达复杂的物理问题,也常用于模拟动态系统的运动状态。
一般来说,全微分方程的形式可以表示为:$$ F(x,y,y',....,y^{(n)})=0 $$其中,$ n $ 为方程的次数,也称为FDE的阶数。
$ x $ 是变量,用于表示未知函数,此外,$ y'=\frac {dy}{dx} $ 、 $ y''=\frac {d ^ 2y}{dx ^ 2} $ 和 $ y^{(n)}=\frac {d^ny}{dx^n} $ 也分别称为导数和高阶导数,用于描述未知函数 $ y $ 的变化状态。
二、全微分方程的基本公式1. 一阶全微分方程一阶全微分方程是最简单的全微分方程,其公式可以用如下形式表示:$$ P(x)y'+Q(x)y=g(x) $$其中,$ P(x) $ 和 $ Q(x) $ 为常数或未知函数,$ y $ 为未知函数,而$ g(x) $ 是一个定义在区间上的函数。
2. 二阶全微分方程二阶全微分方程的公式为:$$ P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=g(x) $$其中,$ P(x) $、$ Q(x) $ 和 $ R(x) $ 为不同函数,$ y $ 为未知函数,$ g(x) $ 是一个定义在区间上的函数。
3.三阶全微分方程三阶全微分方程可以表示为:$$ P(x)y'''+Q(x)y''+R(x)y'+S(x)y=g(x) $$其中,$ P(x) $、$ Q(x) $、$ R (x) $ 和$ S(x) $ 为不同函数,$ y $ 为未知函数, $ g(x) $ 是一个定义在区间上的函数。
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M 6 x N 4 , y y x
是全微分方程,
1 2x 3x2 将左端重新组合 2 dy ( 3 dx 4 dy ) y y y
2 1 x 1 x d ( ) d ( 3 ) d ( 3 ), y y y y 2 1 x 原方程的通解为 3 C . y y
u M 2 x(1 x 2 - y ), (*) x u N x 2 - y . (**) y 先就(*)两端对x积分(视y为常数)有
u ( x, y ) 2 x(1 x 2 - y )dx ( y ) 2 x 2 ( x 2 y ) ( y ). 3
M N N M ( ) x y y x
为了求出积分因子,必须求解上式,不容易。但 对于某些特殊情况,上式可求解。
d a . 当只与x有关时; 0, , y x dx
11
1 d 1 M N ( ) f ( x) dx N y x
19
一题多解:
dy x2 x3 y 的通解. 例6 求微分方程 dx 1 x
解1
dy 1 2 y x , 整理得 dx 1 x
C . A 常数变易法: 对应齐方通解 y 1 x 3 4 x x C ( x) 设 y . C ( x) C . 3 4 1 x
例如: 对于方程 2 x(1 x 2 - y )dx - x 2 - ydy 0, M 2 x(1 x 2 - y ), N - x 2 - y . M x N 从而 , 2 y x - y x
5
即方程为全微分方程。现在,我们来求方程的 一个原函数。
设u ( x, y )是方程的一个原函数,则有
第五讲 全微分方程与积分因子
一、全微分方程与原函数 二、全微分方程判定定理与不定积分法 三、积分因子法 四、小结
1
一、全微分方程与原函数
定义: 若 M ( x, y)dx N ( x, y )dy 0 (1)
全微分方程 或恰当方程
的左端恰好是某个二元函数的全微分,
即
du( x, y) M ( x, y)dx N ( x, y)dy
u (x ,y )是微分方程
(1)的一个原函数,则(1)的通积分为
u ( x, y) C,
其中C为任意常数。
于是,求解全微分方程的关键在于求出它 的一个原函数。
例如 1 2 1 2 xd x yd y 0 的通积分为 x y C ; 2 2 xd y yd x 0 的通积分为 xy C ;
成为全微分方程,则称 ( x, y ) 为(1)的积分 因子.
显然,若μ (x,y)≠ 0,则(1)与(2)同解。
问题: 如何求方程的积分因子?
10
我们用反推的办法来求积分因子
( M ) ( N ) , (2)为全微分方程 y x M N M N y y x x
则称(1)为全微分方程或恰当方程, u (x ,y )
称为(1)的一个原函数。
例如
xdx ydy 0,
u (x ,y )
1 2 (x y 2 ), 2
使得d u (x ,y ) xd x yd y , 是全微分方程,
u (x ,y ) 是方程的一个原函数。
2
容易证明,如果
2
1 3 原方程的通积分为 x y y C。 3
对于一个一般的方程,怎样判断它是否是
全微分方程呢?若是,又怎样求原函数?
4
二、全微分方程判定定理与不定积分法
定理:设函数 M(x,y)、N(x,y) 在 xoy 平面上
的单连通区域 D 内连续可微,那么方程(1)是全
微分方程的充要条件是在 D 内恒成立 M N . y x 演示证明。
9
2
前面我们讨论了全微分方程的求解问题,而对 于给定微分方程(1)未必都是全微分方程,但其 中有些则可利用积分因子化为全微分方程。
3、积分因子法
定义:
( x, y ) 0连续可微函数,使方程
( x, y)M ( x, y)dx ( x, y) N ( x, y)dy 0 (2)
B 公式法:y e
1 dx 1 x
x3 x4 通解为 y xy C. 3 4
20
[ x e
2
1 dx 1 x
dx C ],
解2 整理得 ( x 2 x 3 y )dx (1 x )dy 0,
P Q 1 , y x
x
是全微分方程.
23
第六讲 一阶隐式方程的解法
前面讨论的方程都是可解出一阶导数的
微分方程,即显式方程( y / f (x ,y ))
一阶隐式微分方程是指
F (x ,y ,y / ) 0
(1)
若能从(1)解出 y 的一阶导数,那么会得到一 个或几个显式方程,用前面的办法求解。
u ( x, y ) P( x, y )dx Q( x0 , y )dy
x0 y0 x y
y x
Q( x, y )dy P( x, y0 )dx.
y0 x0
7
例2
求方程( x 3 3 xy 2 )dx ( y 3 3 x 2 y )dy 0 的通解.
xdy ydx 1 x y d ln 2 2 x y 2 x y
16
受上述结论的启发通常我们经常可
以选用的积分因子有:
1 1 1 1 x y , 2, 2 2, 2 2, 2, 2 等. x y x x y x y y x
这种方法给我们又提供了一种求解微分方程 的方法---可积(微)组合法,请看下面的例子:
A 用公式:
u( x , y) ( x x y)dx dy,
2 3 0 0
y
B 凑微分法:
dy ( xdy ydx) x dx x dx 0, x3 x4 dy d ( xy ) d d 0, 3 4 x3 x4 d ( y xy ) 0. 3 4
则原方程化为
(3 x y xy )dx ( x x y )dy 0,
2 2 3 2
3 x 2 ydx x 3 dy xy ( ydx xdy )
1 d ( yx ( xy) 2 ) 0, 2
3
可积组合法
15
1 原方程的通解为 yx ( xy)2 C . (公式法) 2 观察法: 凭观察凑微分得到 ( x , y )
M N 解 6 xy , 是全微分方程, y x
u( x , y ) 0 ( x 3 xy )d x 0 y 3dy
3 2
x
y
x4 3 2 2 y4 x y , 4 2 4
x4 3 2 2 y4 x y C. 原方程的通解为 4 2 4
8
2x y2 3x2 例3 求方程 3 dx dy 0的通解. 4 y y
f ( x ) dx (1)有积分因子 ( x) e 。
类似地,若
1 N M ( )只与y有关(设为g(y)), M x y
g ( y ) dy
则方程(1)有积分因子 ( y ) e
。
以上求积分因子的方法称为公式法。
13
例1: 求解微分方程:
(3x2 y 2 xy y3 )dx ( x 2 y 2 )dy 0.
2 3
21
u 2 3 x x y, C 不定积分法: x 3 4 x x ( x 2 x 3 y )dx xy C ( y ), 3 4 u u x C ( y ), 又 1 x, y y
x C ( y ) 1 x ห้องสมุดไป่ตู้ C ( y ) 1,
2 2 原方程的通解为 x ( x y ) C . 3
2
18
3 2
例5 求微分方程
2 xy ln ydx ( x 2 y 2 1 y 2 )dy 0的通解.
解 将方程左端重新组合,有
(2 xy ln ydx x 2dy ) y 2 1 y 2 dy 0, 1 易知 ( x , y ) , y2 x 2 则 ( 2 x ln ydx dy ) y 1 y dy 0, y 3 可积组合法 1 2 2 2 即 d ( x ln y ) d (1 y ) 0. 3 3 1 2 原方程的通解为 x ln y (1 y 2 ) 2 C . 3
f ( x ) dx ( x) e .
d , 0, b. 当只与y有关时; y dy x d ln 1 N M ( ) g( y ) dy M x y
g ( y ) dy ( y) e .
12
注: 事实上,我们有 1 M N 只与x有关 ( )只是x的函数。 N y x 因此,对于方程(1)虽不是全微分方程, 1 M N 但 ( )只是x的函数(设为f ( x)),则方程 N y x
C ( y ) y,
x3 x4 C. 原方程的通解为 y xy 3 4
22
拓展思维训练题:
试导出微分方程M ( x,y )dx N ( x, y )dy 0有形如
( x y), ( xy), ( x 2 y 2 )的积分因子的充要条件.
作业:P38 T1(1)(3)(5) , T2, T5
例2: 求解微分方程:
2 xy dx ( x y 1)dy 0.
3 2 2
思考与练习:
试求一阶线性方程和Bernoulli方程的积分因子