第五讲：全微分方程

例2: 求解微分方程：
2 xy dx ( x y 1)dy 0.
3 2 2
思考与练习：
试求一阶线性方程和Bernoulli方程的积分因子
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例3 求微分方程
( 3 xy y 2 )dx ( x 2 xy )dy 0的通解.
解
1 1 M N 1 ( ) , ( x ) e x dx x. N y x x

u M 2 x(1 x 2 - y ), (*) x u N x 2 - y . (**) y 先就（*）两端对x积分（视y为常数）有
u ( x, y ) 2 x(1 x 2 - y )dx ( y ) 2 x 2 ( x 2 y ) ( y ). 3
2 3
21
u 2 3 x x y, C 不定积分法: x 3 4 x x ( x 2 x 3 y )dx xy C ( y ), 3 4 u u x C ( y ), 又 1 x, y y
x C ( y ) 1 x , C ( y ) 1,
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第六讲 一阶隐式方程的解法
前面讨论的方程都是可解出一阶导数的
微分方程，即显式方程（ y / f (x ,y )）
一阶隐式微分方程是指
F (x ,y ,y / ) 0
(1)
若能从(1)解出 y 的一阶导数，那么会得到一 个或几个显式方程，用前面的办法求解。
u (x ,y )是微分方程
（1）的一个原函数，则（1）的通积分为
u ( x, y) C,
其中C为任意常数。
于是，求解全微分方程的关键在于求出它 的一个原函数。
例如 1 2 1 2 xd x yd y 0 的通积分为 x y C ; 2 2 xd y yd x 0 的通积分为 xy C ;
xdy ydx 1 x y d ln 2 2 x y 2 x y
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受上述结论的启发通常我们经常可
以选用的积分因子有：
1 1 1 1 x y , 2, 2 2, 2 2, 2, 2 等. x y x x y x y y x
这种方法给我们又提供了一种求解微分方程 的方法---可积（微）组合法，请看下面的例子：
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2Байду номын сангаас
前面我们讨论了全微分方程的求解问题，而对 于给定微分方程（１）未必都是全微分方程，但其 中有些则可利用积分因子化为全微分方程。
3、积分因子法
定义:
( x, y ) 0连续可微函数，使方程
( x, y)M ( x, y)dx ( x, y) N ( x, y)dy 0 (2)
第五讲 全微分方程与积分因子
一、全微分方程与原函数 二、全微分方程判定定理与不定积分法 三、积分因子法 四、小结
1
一、全微分方程与原函数
定义: 若 M ( x, y)dx N ( x, y )dy 0 (1)
全微分方程 或恰当方程
的左端恰好是某个二元函数的全微分，
即
du( x, y) M ( x, y)dx N ( x, y)dy
f ( x ) dx ( x) e .
d , 0, b. 当只与y有关时; y dy x d ln 1 N M ( ) g( y ) dy M x y
g ( y ) dy ( y) e .
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注： 事实上，我们有 1 M N 只与x有关 ( )只是x的函数。 N y x 因此，对于方程（1）虽不是全微分方程， 1 M N 但 ( )只是x的函数（设为f ( x)），则方程 N y x
3
常见的全微分表达式
x2 y2 xdx ydy d 2
xdy ydx y d arctan x x2 y2
xdy ydx y d 2 x x
xdy ydx d ln xy xy
xdx ydy 1 2 2 d ln( x y ) 2 2 x y 2
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一题多解：
dy x2 x3 y 的通解. 例6 求微分方程 dx 1 x
解1
dy 1 2 y x , 整理得 dx 1 x
C . A 常数变易法: 对应齐方通解 y 1 x 3 4 x x C ( x) 设 y . C ( x) C . 3 4 1 x
解
M 6 x N 4 , y y x
是全微分方程,
1 2x 3x2 将左端重新组合 2 dy ( 3 dx 4 dy ) y y y
2 1 x 1 x d ( ) d ( 3 ) d ( 3 ), y y y y 2 1 x 原方程的通解为 3 C . y y
例如： 对于方程 2 x(1 x 2 - y )dx - x 2 - ydy 0, M 2 x(1 x 2 - y ), N - x 2 - y . M x N 从而 , 2 y x - y x
5
即方程为全微分方程。现在，我们来求方程的 一个原函数。
设u ( x, y )是方程的一个原函数，则有
2
1 3 原方程的通积分为 x y y C。 3
对于一个一般的方程，怎样判断它是否是
全微分方程呢？若是，又怎样求原函数？
4
二、全微分方程判定定理与不定积分法
定理：设函数 M(x,y)、N(x,y) 在 xoy 平面上
的单连通区域 D 内连续可微，那么方程(1)是全
微分方程的充要条件是在 D 内恒成立 M N . y x 演示证明。
yd x xd y x 0 的通 积 分 为 arctan C . 2 2 y x y
3
例1 求解微分方程 2 xydx ( x2 y 2 )dy 0.
我们通过观察寻找方程的一个原函数。
左端 2 xydx x 2 dy y 2 dy ydx 2 x 2 dy y 2 dy 1 1 d ( x 2 y) d ( y 3 ) d ( x 2 y y 3 ). 3 3
2 2 原方程的通解为 x ( x y ) C . 3
2
18
3 2
例5 求微分方程
2 xy ln ydx ( x 2 y 2 1 y 2 )dy 0的通解.
解 将方程左端重新组合,有
（2 xy ln ydx x 2dy ) y 2 1 y 2 dy 0, 1 易知 ( x , y ) , y2 x 2 则 ( 2 x ln ydx dy ) y 1 y dy 0, y 3 可积组合法 1 2 2 2 即 d ( x ln y ) d (1 y ) 0. 3 3 1 2 原方程的通解为 x ln y (1 y 2 ) 2 C . 3
则称（1）为全微分方程或恰当方程， u (x ,y )
称为（1）的一个原函数。
例如
xdx ydy 0,
u (x ,y )
1 2 (x y 2 ), 2
使得d u (x ,y ) xd x yd y , 是全微分方程，
u (x ,y ) 是方程的一个原函数。
2
容易证明，如果
A 用公式:
u( x , y) ( x x y)dx dy,
2 3 0 0
y
B 凑微分法:
dy ( xdy ydx) x dx x dx 0, x3 x4 dy d ( xy ) d d 0， 3 4 x3 x4 d ( y xy ) 0. 3 4
则原方程化为
(3 x y xy )dx ( x x y )dy 0,
2 2 3 2
3 x 2 ydx x 3 dy xy ( ydx xdy )
1 d ( yx ( xy) 2 ) 0, 2
3
可积组合法
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1 原方程的通解为 yx ( xy)2 C . (公式法) 2 观察法: 凭观察凑微分得到 ( x , y )
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例4 求微分方程
2 x(1 x 2 y )dx x 2 ydy 0的通解.
解
2 xdx 2 x x ydx x ydy 0,
2 2
d ( x ) x yd ( x ) x ydy 0,
2 2 2 2
将方程左端重新组合,有
d ( x 2 ) x 2 yd ( x 2 y ) 0,
M N 解 6 xy , 是全微分方程, y x
u( x , y ) 0 ( x 3 xy )d x 0 y 3dy
3 2
x
y
x4 3 2 2 y4 x y , 4 2 4
x4 3 2 2 y4 x y C. 原方程的通解为 4 2 4
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2x y2 3x2 例3 求方程 3 dx dy 0的通解. 4 y y
f ( x ) dx （1）有积分因子 ( x) e 。
类似地，若
1 N M ( )只与y有关（设为g(y)）, M x y
g ( y ) dy
则方程（1）有积分因子 ( y ) e
。
以上求积分因子的方法称为公式法。
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例1: 求解微分方程：
(3x2 y 2 xy y3 )dx ( x 2 y 2 )dy 0.
M N N M （ ） x y y x
为了求出积分因子，必须求解上式，不容易。但 对于某些特殊情况，上式可求解。
d a . 当只与x有关时; 0, , y x dx
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1 d 1 M N ( ) f ( x) dx N y x
成为全微分方程,则称 ( x, y ) 为(1)的积分 因子.
显然，若μ (x,y)≠ 0,则（1）与（2）同解。
问题: 如何求方程的积分因子?
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我们用反推的办法来求积分因子
( M ) ( N ) , （2）为全微分方程 y x M N M N y y x x
6
3 2
再利用（* *）（视x为常数）有 ( x 2 y ) '( y ) x 2 y , 即 '( y ) 0， 于是 ( y ) C.
1 2
从而求得一个原函数
3 2 u ( x, y ) x 2 ( x 2 y ) 2 . 3
一般地，若 M ( x, y )dx N ( x, y )dy 0 为全 微分方程，则它的通积分为
B 公式法:y e


1 dx 1 x
x3 x4 通解为 y xy C. 3 4
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[ x e
2

1 dx 1 x
dx C ],
解2 整理得 ( x 2 x 3 y )dx (1 x )dy 0,
P Q 1 , y x
x
是全微分方程.
u ( x, y ) P( x, y )dx Q( x0 , y )dy
x0 y0 x y
y x
Q( x, y )dy P( x, y0 )dx.
y0 x0
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例2
求方程( x 3 3 xy 2 )dx ( y 3 3 x 2 y )dy 0 的通解.
C ( y ) y,
x3 x4 C. 原方程的通解为 y xy 3 4
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拓展思维训练题：
试导出微分方程M ( x，y )dx N ( x, y )dy 0有形如
( x y), ( xy)， ( x 2 y 2 )的积分因子的充要条件.
作业：P38 T1（1）（3）（5） , T2, T5