立体几何证明题(文科)
专题12：文科立体几何高考真题大题(全国卷)赏析(解析版)
专题12：文科立体几何高考真题大题（全国卷）赏析（解析版） 题型一：求体积1，2018年全国卷Ⅲ文数高考试题如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点． （1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．【答案】（1）证明见解析 （2）存在，理由见解析 【详解】分析：（1）先证AD CM ⊥,再证CM MD ⊥，进而完成证明． （2）判断出P 为AM 中点，，证明MC ∥OP ，然后进行证明即可． 详解：（1）由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ． 因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM ． 又BC ∩CM =C ，所以DM ⊥平面BMC ． 而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ． （2）当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD ．证明如下：连结AC 交BD 于O ．因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点． 连结OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP ．MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD ．点睛：本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问先断出P 为AM 中点，然后作辅助线，由线线平行得到线面平行，考查学生空间想象能力，属于中档题．2，2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=︒，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．【答案】(1)见解析. (2)1. 【解析】分析：(1)首先根据题的条件，可以得到BAC ∠=90，即BA AC ⊥，再结合已知条件BA ⊥AD ，利用线面垂直的判定定理证得AB ⊥平面ACD ，又因为AB ⊂平面ABC ，根据面面垂直的判定定理，证得平面ACD ⊥平面ABC ；(2)根据已知条件，求得相关的线段的长度，根据第一问的相关垂直的条件，求得三棱锥的高，之后借助于三棱锥的体积公式求得三棱锥的体积. 详解：（1）由已知可得，BAC ∠=90°，BA AC ⊥．又BA ⊥AD ，且AC AD A =，所以AB ⊥平面ACD ．又AB ⊂平面ABC ，所以平面ACD ⊥平面ABC ．（2）由已知可得，DC =CM =AB =3，DA =32．又23BP DQ DA ==，所以22BP =． 作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE = 13DC ．由已知及（1）可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，QE =1． 因此，三棱锥Q ABP -的体积为1111322sin451332Q ABP ABPV QE S-=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒=． 点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定以及三棱锥的体积的求解，在解题的过程中，需要清楚题中的有关垂直的直线的位置，结合线面垂直的判定定理证得线面垂直，之后应用面面垂直的判定定理证得面面垂直，需要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，在求三棱锥的体积的时候，注意应用体积公式求解即可. 3．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积． 【答案】（1）见详解；（2）18 【分析】（1）先由长方体得，11B C ⊥平面11AA B B ，得到11B C BE ⊥，再由1BE EC ⊥，根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；（2）先设长方体侧棱长为2a ，根据题中条件求出3a =；再取1BB 中点F ，连结EF ，证明EF ⊥平面11BB C C ，根据四棱锥的体积公式，即可求出结果. 【详解】（1）因为在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11AA B B ；BE ⊂平面11AA B B ，所以11B C BE ⊥，又1BE EC ⊥，1111B C EC C ⋂=，且1EC ⊂平面11EB C ，11B C ⊂平面11EB C ，所以BE ⊥平面11EB C ；（2）设长方体侧棱长为2a ，则1AE A E a ==，由（1）可得1EB BE ⊥；所以22211EB BE BB +=，即2212BE BB =， 又3AB =，所以222122AE AB BB +=，即222184a a +=，解得3a =；取1BB 中点F ，连结EF ，因为1AE A E =，则EF AB ∥； 所以EF ⊥平面11BB C C ， 所以四棱锥11E BB C C -的体积为1111111136318333E BB C C BB C C V S EF BC BB EF -=⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=矩形.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定，依据四棱锥的体积，熟记线面垂直的判定定理，以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型.4．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷） 四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,01,90.2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= （1）证明：直线//BC 平面PAD ;（2）若△PCD 面积为27，求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）43【分析】试题分析：证明线面平有两种思路，一是寻求线线平行，二是寻求面面平行；取AD 中点M ，由于平面PAD 为等边三角形，则PM AD ⊥，利用面面垂直的性质定理可推出PM ⊥底面ABCD ，设BC x =，表示相关的长度，利用PCD ∆的面积为27.试题解析：（1）在平面内，因为,所以又平面平面故平面（2）取的中点，连接由及得四边形为正方形，则.因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面，所以底面因为底面，所以,设，则，取的中点，连接，则,所以，因为的面积为，所以，解得（舍去），于是所以四棱锥的体积【详解】题型二：求距离5．2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II ）如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．【答案】（1）详见解析（245【解析】分析：（1）连接OB ，欲证PO ⊥平面ABC ，只需证明,PO AC PO OB ⊥⊥即可；（2）过点C 作CH OM ⊥，垂足为M ，只需论证CH 的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.详解：（1）因为AP =CP =AC =4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP =3 连结OB ．因为AB =BC 2AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB =12AC =2． 由222OP OB PB +=知，OP ⊥OB ． 由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC ．（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC=12AC=2，CM=23BC=423，∠ACB=45°．所以OM=25，CH=sinOC MC ACBOM⋅⋅∠=45．所以点C到平面POM的距离为45．点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决.6．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.（1）证明：（2）若,求三棱柱的高.【答案】（1）详见解析;（2）三棱柱111ABC A B C -的高为21. 【解析】试题分析：（1）根据题意欲证明线线垂直通常可转化为证明线面垂直，又由题中四边形是菱形，故可想到连结1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点，又因为侧面11BB C C 为菱形，对角线相互垂直11B C BC ⊥;又AO ⊥平面11BB C C ，所以1B C AO ⊥，根据线面垂直的判定定理可得：1B C ⊥平面ABO ，结合线面垂直的性质：由于AB ⊂平面ABO ，故1B C AB ⊥;（2）要求三菱柱的高，根据题中已知条件可转化为先求点O 到平面ABC 的距离，即：作OD BC ⊥，垂足为D ，连结AD ，作OH AD ⊥，垂足为H ，则由线面垂直的判定定理可得OH ⊥平面ABC ，再根据三角形面积相等：OH AD OD OA ⋅=⋅，可求出OH 的长度，最后由三棱柱111ABC A B C -的高为此距离的两倍即可确定出高． 试题解析：（1）连结1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点. 因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥. 又AO ⊥平面11BB C C ，所以1B C AO ⊥， 故1B C ⊥平面ABO.由于AB ⊂平面ABO ，故1B C AB ⊥.（2）作OD BC ⊥，垂足为D ，连结AD ，作OH AD ⊥，垂足为H. 由于，BC OD ⊥，故BC ⊥平面AOD ，所以OH BC ⊥， 又OH AD ⊥，所以OH ⊥平面ABC.因为0160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形，又1BC =，可得3OD. 由于1AC AB ⊥，所以11122OA B C ==,由OH AD OD OA ⋅=⋅，且2274AD OD OA =+=，得2114OH ， 又O 为1B C 的中点，所以点1B 到平面ABC 的距离为217. 故三棱柱111ABC A B C -的高为217. 考点：1.线线，线面垂直的转化;2.点到面的距离;3.等面积法的应用 7．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥面ABCD ，E 为PD 的中点． （1）证明：//PB 平面AEC ; （2）设1AP =，3AD =，三棱锥P ABD -的体积 34V =，求A 到平面PBC 的距离．【答案】（1）证明见解析 （2） A 到平面PBC 的距离为31313【详解】试题分析：（1）连结BD 、AC 相交于O ，连结OE ，则PB ∥OE ，由此能证明PB ∥平面ACE ．（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A 到平面PBD 的距离试题解析：(1）设BD 交AC 于点O ，连结EO ． 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB 又EO平面AEC ，PB平面AEC所以PB ∥平面AEC ． （2）136V PA AB AD AB =⋅⋅=由，可得. 作交于． 由题设易知，所以故， 又31313PA AB AH PB ⋅==所以到平面的距离为法2：等体积法136V PA AB AD AB =⋅⋅= 由，可得.由题设易知,得BC假设到平面的距离为d ，又因为PB=所以又因为(或)，，所以考点 ：线面平行的判定及点到面的距离8．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求点C 到平面C 1DE 的距离．【答案】（1）见解析；（2）41717. 【分析】（1）利用三角形中位线和11//A D B C 可证得//ME ND ，证得四边形MNDE 为平行四边形，进而证得//MN DE ，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）根据题意求得三棱锥1C CDE -的体积，再求出1C DE ∆的面积，利用11C CDE C C DE V V --=求得点C 到平面1C DE 的距离，得到结果.【详解】（1）连接ME ，1B CM ，E 分别为1BB ，BC 中点 ME ∴为1B BC ∆的中位线1//ME B C ∴且112ME B C = 又N 为1A D 中点，且11//A D B C 1//ND B C ∴且112ND B C = //ME ND ∴ ∴四边形MNDE 为平行四边形//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE//MN ∴平面1C DE（2）在菱形ABCD 中，E 为BC 中点，所以DE BC ⊥， 根据题意有3DE =，117C E =，因为棱柱为直棱柱，所以有DE ⊥平面11BCC B ，所以1DE EC ⊥，所以113172DEC S ∆=⨯⨯， 设点C 到平面1C DE 的距离为d ，根据题意有11C CDE C C DE V V --=，则有11113171343232d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯， 解得41717d ==， 所以点C 到平面1C DE 的距离为417. 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容.题型三：求面积9．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，且90BAP CDP ∠=∠=︒.（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【答案】（1）证明见解析；（2）623+.【详解】 试题分析：（1）由90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB AP ⊥，CD PD ⊥．从而得AB PD ⊥，进而而AB ⊥平面PAD ，由面面垂直的判定定理可得平面PAB ⊥平面PAD ；（2）设PA PD AB DC a ====，取AD 中点O ，连结PO ，则PO ⊥底面ABCD ，且22,AD a PO a ==，由四棱锥P ABCD -的体积为83，求出2a =，由此能求出该四棱锥的侧面积.试题解析：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB AP ⊥，CD PD ⊥．由于AB CD ∥，故AB PD ⊥，从而AB ⊥平面PAD ．又AB 平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ．（2）在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E ．由（1）知，AB ⊥面PAD ，故AB PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD ．设AB x =，则由已知可得2AD x =，22PE x =． 故四棱锥P ABCD -的体积31133P ABCD V AB AD PE x -=⋅⋅=． 由题设得31833x =，故2x =． 从而2PA PD ==，22AD BC ==22PB PC ==．可得四棱锥P ABCD -的侧面积为111222PA PD PA AB PD DC ⋅+⋅+⋅ 21sin606232BC +︒=+10．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的体积为6，求该三棱锥的侧面积.【答案】（1）见解析（2）5【分析】（1）由四边形ABCD 为菱形知AC ⊥BD ，由BE ⊥平面ABCD 知AC ⊥BE ，由线面垂直判定定理知AC ⊥平面BED ，由面面垂直的判定定理知平面AEC ⊥平面BED ；（2）设AB =x ，通过解直角三角形将AG 、GC 、GB 、GD 用x 表示出来，在Rt ∆AEC 中，用x 表示EG ，在Rt ∆EBG 中，用x 表示EB ，根据条件三棱锥E ACD -6求出x ，即可求出三棱锥E ACD -的侧面积.【详解】（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE ，故AC ⊥平面BED .又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED（2）设AB =x ，在菱形ABCD 中，由 ∠ABC =120°，可得AG =GC =32x ,GB =GD =2x .因为AE ⊥EC ，所以在 Rt ∆AEC 中，可得EG =3x . 连接EG ，由BE ⊥平面ABCD ，知 ∆EBG 为直角三角形，可得BE =22x .由已知得，三棱锥E -ACD 的体积3116632243E ACD V AC GD BE x -=⨯⋅⋅==.故 x =2 从而可得AE =EC =ED 6.所以∆EAC 的面积为3， ∆EAD 的面积与∆ECD 的面积均为 5故三棱锥E -ACD 的侧面积为3+25【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力.11．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）图1是由矩形,ADEB Rt ABC ∆和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中1,2AB BE BF ===， 60FBC ∠=，将其沿,AB BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.（1）证明图2中的,,,A C G D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；（2）求图2中的四边形ACGD 的面积.【答案】(1)见详解；(2)4.【分析】(1)因为折纸和粘合不改变矩形ABED ，Rt ABC 和菱形BFGC 内部的夹角，所以//AD BE ，//BF CG 依然成立，又因E 和F 粘在一起，所以得证.因为AB 是平面BCGE 垂线，所以易证.(2) 欲求四边形ACGD 的面积，需求出CG 所对应的高，然后乘以CG 即可．【详解】(1)证：//AD BE ，//BF CG ，又因为E 和F 粘在一起.∴//AD CG ，A ，C ，G ，D 四点共面.又,AB BE AB BC ⊥⊥.AB ∴⊥平面BCGE ，AB ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCGE ，得证.(2)取CG 的中点M ，连结,EM DM .因为//AB DE ，AB ⊥平面BCGE ，所以DE ⊥平面BCGE ，故DE CG ⊥，由已知，四边形BCGE 是菱形，且60EBC ∠=得EM CG ⊥，故CG ⊥平面DEM ． 因此DM CG ⊥．在Rt DEM △中，DE=1，3EM =，故2DM =．所以四边形ACGD 的面积为4.【点睛】很新颖的立体几何考题．首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的．再者粘合后的多面体不是直棱柱，最后将求四边形ACGD的面积考查考生的空间想象能力.。
文科立体几何长度和角度
1、如图，三棱柱111ABC A B C - 中，侧棱垂直于底面，1111A B B C ⊥ ，12AA AB == ，1BC = ，E 为11A C 中点. （I ） 求证：1A B ⊥平面11AB C ； (II) 求三棱锥1B ECC - 的体积；（III ） 设平面EAB 与直线11B C 交于点H ，求线段1B H 的长.2、如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，点O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是PD 的中点，且AB ＝2，∠BAD ＝60°.(1)求证：OM ∥平面PAB ； (2)求证：平面PBD ⊥平面PAC ； (3)当三棱锥M －BCD 的体积等于34时，求PB 的长．3、如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC 与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．4、如图所示，三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)①求证：AE与PB是异面直线；②求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(2)求三棱锥A－EBC的体积．5、如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠BAD＝π3，AD＝2.(1)求证：平面FCB∥平面AED；(2)若二面角A－EF－C为直二面角，求直线BC与平面AEF所成的角θ的正弦值．6、如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC∥平面PDA;(2)证明:BC⊥PD;(3)求点C到平面PDA的距离.7、如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)设AP=1,AD=,三棱锥P-ABD的体积V=,求A到平面PBC的距离.8、如图,已知四棱锥P-ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.(1)证明:CE∥平面PAB;(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.9、如图,几何体ABC-A1DC1由一个正三棱柱截去一个三棱锥而得,AB=4,AA1=3,A1D=1,AA1⊥平面ABC,M为AB的中点,E为棱AA1上一点,且EM∥平面BC1D.(1)若N在棱BC上,且BN=2NC,证明:EN∥平面BC1D;(2)过A作平面BCE的垂线,垂足为O,确定O的位置(说明作法及理由),并求线段OE的长.10、如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD,点O是线段AB的中点,PO⊥平面ABCD,PO=CD=DA=AB=4,M是线段PA的中点.(1)证明:平面PBC∥平面ODM;(2)求点A到平面PCD的距离.11、如图,三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠ABC=,点D,E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EF∥BC.(1)证明:AB⊥平面PFE;(2)若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.12、如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明:B1C⊥AB;(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.13、如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2,AD=,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3.(1)证明:BE⊥平面BB1C1 C;(2)求点B1到平面EA1C1的距离.14、已知四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为菱形,AD=2,∠DAB=60°,E为AB的中点.(1)证明:平面PCD⊥平面PDE;(2)若PD=AD,求点E到平面PBC的距离.15、如图,在梯形ABCD中,AB⊥AD,AB∥CD,CD=2AD=2,DE⊥平面ABCD,DE∥BF,BD⊥CF,AF⊥CE.(1)求证:CE⊥DF;(2)求证:BD⊥平面BCF;(3)求AB的长.16、如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,且∠DAB=60°,PA=PD,M为CD的中点,BD⊥PM.(1)求证:平面PAD⊥平面ABCD;(2)若∠APD=90°,四棱锥P-ABCD的体积为,求三棱锥A-PBM的高.17、如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=CB=CC1=2,M是AB的中点.(1)求证:平面A1CM⊥平面ABB1A1;(2)求点M到平面A1CB1的距离.18、已知等腰梯形ABCE中,AB∥EC,AB=BC=EC=4,∠ABC=120°,D是EC的中点,将△ADE沿AD 折起,构成四棱锥P-ABCD,M,N分别是BC,PC的中点.(1)求证:AD⊥平面DMN;(2)当平面PAD⊥平面ABCD时,求点C到平面PAB的距离.⇒19、在平面四边形ADBC(如图(1))中,△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB,设AB=2,∠BAD=30°,∠BAC=45°,将△ABC沿AB折起,构成如图(2)所示的三棱锥C'-ABD.(1)当C'D=时,求证:平面C'AB⊥平面DAB;(2)当AC'⊥BD时,求三棱锥C'-ABD的高.20、如图，已知三棱锥A－BPC，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．(1)求证：BC⊥平面APC；(2)若BC＝3，AB＝10，求点B到平面DCM的距离．21、如图所示,A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.(1)求证:直线EF与BD是异面直线;(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.22、如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.已知∠BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.(1)求三棱锥P-ABC的体积;(2)求异面直线BC与AD所成角的余弦值.23、如图,在四面体ABCD 中,△ABC 是等边三角形,平面ABC ⊥平面ABD ,点M 为棱AB 的中点,AB=2,AD=2 ,∠BAD=90°. (1)求证:AD ⊥BC ;(2)求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值; (3)求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值.24、如图所示，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，//AD BC ，=2AD BC ，90DAB ABP ∠=∠=︒．（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PAB ； （Ⅱ）求证：AB ⊥PC ；（Ⅲ）若点E 在棱PD 上，且CE ∥平面PAB ，求PEPD的值．25、如图，在三棱锥D ABC -中，已知BCD △是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB BC a ==，E 为BC 的中点，F 在棱AC 上，且3AF FC =．（Ⅰ）求三棱锥D ABC -的体积； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面DEF ；（Ⅲ）若M 为DB 中点，N 在棱AC 上，且38CN CA =，求证：MN //平面DEF ．26、如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1⊥平面ABC ,点M 是棱CC 1的中点.(1)在棱AB 上是否存在一点N ,使MN ∥平面AB 1C 1?若存在,请确定点N 的位置.若不存在,请说明理由;(2)当△ABC 是等边三角形,且AC=CC 1=2时,求点M 到平面AB 1C 1的距离.AB CD NFM E27.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥平面BCC1B1,∠BCC1=,AB=BB1=2,BC=1,D为CC1的中点.(1)求证:DB1⊥平面ABD;(2)求点A1到平面ADB1的距离.28、如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.30、如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求证:BF⊥平面ACFD;(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.。
高考立体几何文科大题及答案
（Ⅱ）求二面角A— —B的大小。
14.（2009宁夏海南卷文）如图，在三棱锥 中，⊿ 是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90（Ⅰ）证明：AB⊥PC
（Ⅱ）若 ，且平面 ⊥平面 ，
求三棱锥 体积。
15.（2009福建卷文）如图，平行四边形 中， ， 将
沿 折起到 的位置，使平面 平面
（I）求证：
又底面ＡＢＣＤ是正方形， ＣD ＡD，又ＳＤ AD=D， CD 平面SAD。
过点D在平面SAD内做DF AE于F，连接CF，则CF AE，
故 CFD是二面角C-AE-D的平面角，即 CFD=60°
在Rt△ADE中， AD= , DE= ，AE= 。
于是，DF=
在Rt△CDF中，由 cot60°=
得 ，即 =3
【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系 ，
设
则 ，
（Ⅰ）∵ ，
∴ ，
∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，
∴平面 .
（Ⅱ）当 且E为PB的中点时， ，
设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即AE与平面PDB所成的角的大小为 .
由 得2AD= ，解得AD= 。
故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。
因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。
连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。
连接CH，则∠ECH为 与平面BCD所成的角。
因ADEF为正方形，AD= ，故EH=1，又EC= =2，
（Ⅰ）设 ，则
立体几何文科常考证明题汇总
立体几何证明题1. 正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点． (Ⅰ) 求证：11B D AE ⊥； (Ⅱ) 求证：//AC 平面1B DE ； （Ⅲ）求三棱锥A-BDE 的体积．2.已知正方体1111ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ．3．如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 和PC 的中点. （Ⅰ）求证：MN ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：MN CD ⊥；（Ⅲ）若45PDA ∠=，求证：MN ⊥平面PCD .NM PDBA A11A EC D 1ODBAC 1B 1A 1C4. 如图（1），ABCD 为非直角梯形，点E ，F 分别为上下底AB ，CD 上的动点，且EF CD ⊥。
现将梯形AEFD 沿EF 折起，得到图（2）（1）若折起后形成的空间图形满足DF BC ⊥，求证：AD CF ⊥；（2）若折起后形成的空间图形满足,,,A B C D 四点共面，求证：//AB 平面DEC ；5．如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点， N 为AE 的中点，AF=AB=BC=FE=12AD (I) 证明平面AMD ⊥平面CDE ； (II) 证明//BN 平面CDE ；6．在四棱锥P －ABCD 中,侧面PCD 是正三角形,且与底面ABCD 垂直,已知菱形ABCD 中∠ADC ＝60°, M 是P A 的中点，O 是DC 中点. （1）求证：OM // 平面PCB ； （2）求证:P A ⊥CD ；（3）求证:平面P AB ⊥平面COM .A B C D E F 图（1） EBCF DA 图（2）A FEBC DMN PDABCOM7．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.（1）证明P A//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD8.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长是3，侧棱长是3，点E，F分别在BB1，DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D．(1)求证：A1C⊥面AEF；(2)求二面角A-EF-B的大小；(3)点B1到面AEF的距离.1．已知直线l、m、平面α、β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：（1）α∥β，则l⊥m （2）若l⊥m，则α∥β（3）若α⊥β，则l∥m （4）若l∥m，则α⊥β其中正确的是__________________.2. m、n是空间两条不同直线，αβ、是空间两条不同平面，下面有四个命题：①,;m n m nαβαβ⊥⇒⊥, ②,,;m n m nαβαβ⊥⊥⇒③,,;m n m nαβαβ⊥⇒⊥④,,;m m n nααββ⊥⇒⊥其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）。
立体几何证明题[文科]
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立体几何练习1. 如图：梯形ABCD 和正△PAB 所在平面互相垂直，其中//,AB DC12AD CD AB ==，且O 为AB 中点. ( I ) 求证：//BC 平面POD ； ( II ) 求证：AC ⊥PD .2.如图，菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=,ACBD O =.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -,点M 是棱BC的中点，DM =（Ⅰ）求证：//OM 平面ABD ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面MDO ； （Ⅲ）求三棱锥M ABD -的体积.BACDOPABCCMODC3. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠ADC =90°，BC =12AD ，PA =PD ，Q 为AD 的中点． （Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBQ ；（Ⅱ）若点M 在棱PC 上，设PM =tMC ，试确定t 的值，使得PA //平面BMQ ．4. 已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形．PB PD =，E 为PA 的中点． （Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ．5. 已知直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都相等，且F E D ,,分别为11,,AA BB BC 的中点. (I) 求证：平面//1FC B 平面EAD ；PABCDQ M1C 1A 1B（II ）求证：⊥1BC 平面EAD .6. 如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，90ADE ∠=，DE AF //，22===AF DA DE .(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ)求证：//AC 平面BEF ；（Ⅲ）求四面体BDEF 的体积.7. 如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ， AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证：（1）直线EF//平面PCD ； （2）平面BEF ⊥平面PAD.8.如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =12PD ． （I ）证明：PQ ⊥平面DCQ ；ABCDFE（II ）求棱锥Q —ABCD 的的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值．9. 如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC=90°。
文科立体几何线面角二面角专的题目-带答案
连结 OB．因为 AB=BC= ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且 OB⊥AC，OB= =2．
由
知，OP⊥OB．
由 OP⊥OB，OP⊥AC 知 PO⊥平面 ABC．
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实用标准文案
（2）作 CH⊥OM，垂足为 H．又由（1）可得 OP⊥CH，所以 CH⊥平面 POM． 故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离．
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
9．在多面体
中，底面 是梯形，四边形 是正方形，
，
，
，
，
（1）求证：平面
平面 ；
（2）设 为线段 上一点，
，求二面角
的平面角的余弦值.
10．如图，在多面体
中，四边形 为等腰梯形，
，已知
，
，
，四边形 为直角梯形，
，
.
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实用标准文案
（1）证明： 平面 ，平面
.
由已知得 .
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取平面 的法向量
实用标准文案
设
，则
.
设平面 的法向量为
.
由
得
，可取
，
所以
.由已知得
.
所以 所以
.解得 （舍去）， .
.又
，所以
.
所以 与平面 所成角的正弦值为 . 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空 间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”， 求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 2．解： （1）因为 AP=CP=AC=4，O 为 AC 的中点，所以 OP⊥AC，且 OP= ．
中，
（1）证明： 平面 ；
13年文科几道立体几何大题解析
13年文科几道立体几何大题解析1．（2013年高考辽宁卷（文））如图,.AB O PA O C O 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点(I)求证:BC PAC ⊥平面；(II)设//.Q PA G AOC QG PBC ∆为的中点，为的重心，求证：平面【答案】(I) 由AB 式圆O 的直径，得AC ⊥BC.由PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得PA ⊥BC,又PA ∩AC=A,PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC,所以BC ⊥平面PAC.（II ） 连OG 并延长交AC 与M ，链接QM ，QO.由G 为∆AOC 的重心，得M 为AC 中点，由G 为PA 中点，得QM//PC.又O 为AB 中点，得OM//BC.因为QM ∩MO=M,QM ⊂平面QMO.所以QG//平面PBC.2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,1AB AA==1A(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1;(Ⅱ) 求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.【答案】解: (Ⅰ) 设111ODB线段的中点为.11111111//DBBDDCBAABCDDBBD∴-的对应棱是和.的对应线段是棱柱和同理，111111DCBAABCDOAAO-为平行四边形四边形且且11111111//////OCOAOCOAOCOAOCAOOAAO⇒=⇒∴1111111111//,.//BCDBDAODBCOOBDOACOOA面面且⇒==⇒.(证毕) (Ⅱ) 的高是三棱柱面ABDDBAOAABCDOA-∴⊥11111.在正方形AB CD中,AO = 1 . .111=∆OAOAART中，在11)2(2121111111=⋅⋅=⋅=-∆-OASVABDDBAABDABDDBA的体积三棱柱.所以,1111111=--ABDDBAVABDDBA的体积三棱柱.（2013年高考福建卷（文））如图,在四棱锥P ABCD-中,PD ABCD ⊥面,//AB DC ,AB AD ⊥,5BC =,3DC =,4AD =,60PAD ∠= .(1)当正视图方向与向量AD 的方向相同时,画出四棱锥P ABCD -的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程);(2)若M 为PA 的中点,求证://DM PBC 面;(3)求三棱锥D PBC -的体积.【答案】解法一:(Ⅰ)在梯形ABCD 中,过点C 作CE AB ⊥,垂足为E ,由已知得,四边形ADCE 为矩形,3AE CD ==在Rt BEC ∆中,由5BC =,4CE =,依勾股定理得:3BE =,从而6AB =又由PD ⊥平面ABCD 得,PD AD ⊥从而在Rt PDA ∆中,由4AD =,60PAD ∠=︒,得PD =正视图如右图所示:(Ⅱ)取PB 中点N ,连结MN ,CN在PAB ∆中,M 是PA 中点,∴MN AB ,132MN AB ==,又CD AB ,3CD =∴MN CD ,MN CD =∴四边形MNCD 为平行四边形,∴DM CN又DM ⊄平面PBC ,CN ⊂平面PBC∴DM 平面PBC (Ⅲ)13D PBC P DBC DBC V V S PD --∆==⋅又6PBC s ∆=,PD =,所以D PBC V -=解法二:(Ⅰ)同解法一(Ⅱ)取AB 的中点E ,连结ME ,DE在梯形ABCD 中,BE CD ,且BE CD =∴四边形BCDE 为平行四边形∴DE BC ,又DE ⊄平面PBC ,BC ⊂平面PBC∴DE 平面PBC ,又在PAB ∆中,ME PBME ⊄平面PBC ,PB ⊂平面PBC∴ME 平面PBC .又DE ME E = ,∴平面DME 平面PBC ,又DM ⊂平面DME∴DM 平面PBC(Ⅲ)同解法一（2013年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF -,其中2BC =. (1) 证明:DE //平面BCF ;(2) 证明:CF ⊥平面ABF ;(3) 当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -. 图 4【答案】(1)在等边三角形ABC 中,AD AE =AD AE DB EC ∴=,在折叠后的三棱锥A BCF -中也成立,//DE BC ∴ ,DE ⊄ 平面BCF ,BC ⊂平面BCF ,//DE ∴平面BCF ;(2)在等边三角形ABC 中,F 是BC 的中点,所以AF BC ⊥①,12BF CF ==. 在三棱锥A BCF -中,BC =,222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥②BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥ 平面;(3)由(1)可知//GE CF ,结合(2)可得GE DFG ⊥平面.111111132323323324F DEG E DFG V V DG FG GF --⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎝⎭1．（2013年高考北京卷（文））如图,在四棱锥P ABCD-中,//AB CD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面PAD ⊥底面ABCD ,PA AD ⊥,E 和F 分别是CD 和PC 的中点,求证:(1)PA ⊥底面ABCD ;(2)//BE 平面PAD ;(3)平面BEF ⊥平面PCD【答案】(I)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA 垂直于这个平面的交线AD 所以PA 垂直底面ABCD.(II)因为AB∥CD,CD=2AB,E 为CD 的中点所以AB∥DE,且AB=DE所以ABED 为平行四边形,所以BE∥AD,又因为BE ⊄平面PAD,AD ⊂平面PAD所以BE∥平面PAD.(III)因为AB⊥AD,而且ABED 为平行四边形所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD所以CD⊥PD,因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点所以PD∥EF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.。
文科立体几何大题训练
文科立体几何大题训练1．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．（1）证明：直线BC∥平面PAD；（2）若△PCD面积为2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．2．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PA⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．3．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．4．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求证：AB⊥PE；（3）求三棱锥P﹣BEC的体积．5．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，E为PA 的中点，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：PC∥平面EBD；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EDC的体积．6．如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，求四面体F﹣DBC的体积．7．如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面ABE，AF∥BE，AB⊥BE，AB=BE=2，AF=1．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求证：AC∥平面DEF；（III）求三棱锥D﹣FEB的体积．8．如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，其对角线的交点为O，且SA=SC，SA⊥BD．（1）求证：SO⊥平面ABCD；（2）设∠BAD=60°，AB=SD=2，P是侧棱SD上的一点，且SB∥平面APC，求三棱锥A﹣PCD 的体积．文科立体几何大题训练参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．（1）证明：直线BC∥平面PAD；（2）若△PCD面积为2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：四棱锥P﹣ABCD中，∵∠BAD=∠ABC=90°．∴BC∥AD，∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴直线BC∥平面PAD；（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．设AD=2x，则AB=BC=x，CD=，O是AD的中点，连接PO，OC，CD的中点为：E，连接OE，则OE=，PO=，PE==，△PCD面积为2，可得：=2，即：，解得x=2，PO=2．则V P﹣ABCD=×（BC+AD）×AB×PO==4．2．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PA⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．【解答】解：（1）证明：由PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC=B，可得PA⊥平面ABC，由BD⊂平面ABC，可得PA⊥BD；（2）证明：由AB=BC，D为线段AC的中点，可得BD⊥AC，由PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，可得平面PAC⊥平面ABC，又平面PAC∩平面ABC=AC，BD⊂平面ABC，且BD⊥AC，即有BD⊥平面PAC，BD⊂平面BDE，可得平面BDE⊥平面PAC；（3）PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC，且平面PAC∩平面BDE=DE，可得PA∥DE，又D为AC的中点，可得E为PC的中点，且DE=PA=1，由PA⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC，可得S△BDC=S△ABC=××2×2=1，则三棱锥E﹣BCD的体积为DE•S△BDC=×1×1=．3．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线∴NE∥PB，又∵AD∥BC，∴BE∥AD，∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，∴BE=BC=AM=2，∴四边形ABEM是平行四边形，∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB．解：（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，∵NF是△PAC的中位线，∴NF∥PA，NF==2，又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，∵AM CG，∴四边形AGCM是平行四边形，∴AC=MG=3，又∵ME=3，EC=CG=2，∴△MEG的高h=，∴S△BCM===2，∴四面体N﹣BCM的体积V N﹣BCM===．4．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求证：AB⊥PE；（3）求三棱锥P﹣BEC的体积．【解答】证明：（1）∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE∥BC，又DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC．（2）连接PD，∵DE∥BC，又∠ABC=90°，∴DE⊥AB，又PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB，又PD∩DE=D，PD⊂平面PDE，DE⊂平面PDE，∴AB⊥平面PDE，又PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE．（3）∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PD⊥AB，PD⊂平面PAB，∴PD⊥平面ABC，∵△PAB是边长为2的等边三角形，∴PD=，∵E是AC的中点，∴．5．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，E为PA 的中点，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：PC∥平面EBD；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EDC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接AC，BD，设AC与BD相交于点O，连接OE．由题意知，底面ABCD是菱形，则O为AC的中点，又E为AP的中点，∴OE∥CP，∵OE⊂平面BDE，PC⊄平面BDE，∴PC∥平面BDE；（Ⅱ）解：∵E为PA的中点，∴，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，又PA∩AC=A，∴DO⊥平面PAC，即DO是三棱锥D﹣PCE的高，DO=1，则．6．如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，求四面体F﹣DBC的体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥DE，又F为AB的中点，DA=DB，∴AB⊥DF，DE，DF⊂平面DEF，DE∩DF=D，∴AB⊥平面DEF，又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面DEF．（Ⅱ）∵DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，∴线段DA、DB、DC在平面ABC的投影EA，EB，EC满足EA=EB=EC∴△ABC为直角三角形，即AB⊥BC由AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，∴AB=BC=2，DE=2，∴S△FBC==2，∴四面体F﹣DBC的体积V F﹣DBC=V D﹣FBC==．7．如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面ABE，AF∥BE，AB⊥BE，AB=BE=2，AF=1．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求证：AC∥平面DEF；（III）求三棱锥D﹣FEB的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，AB⊥BE，BE⊂平面ABEF，∴BE⊥平面ABCD．又∵AC⊂平面ABCD．∴BE⊥AC，又BE∩BD=B，∴AC⊥平面BDE；（Ⅱ）证明：取DE的中点G，连结OG，FG，∵四边形ABCD为正方形，∴O为BD的中点．则OG∥BE，且．由已知AF∥BE，且，则AF∥OG且AF=OG，∴四边形AOGF为平行四边形，则AO∥FG，即AC∥FG．∵AC⊄平面DEF，FG⊂平面DEF，∴AC∥平面DEF；（Ⅲ）解：∵平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，平面ABEF∩平面ABCD=AB，∴AD∥BC，AD⊥AB．由（Ⅰ）知，BE⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴BE⊥AD∴AD⊥平面BEF．∴．8．如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，其对角线的交点为O，且SA=SC，SA⊥BD．（1）求证：SO⊥平面ABCD；（2）设∠BAD=60°，AB=SD=2，P是侧棱SD上的一点，且SB∥平面APC，求三棱锥A﹣PCD 的体积．【解答】解：（1）证明：∵底面ABCD是菱形；∴对角线BD⊥AC；又BD⊥SA，SA∩AC=A；∴BD⊥平面SAC，SO⊂平面SAC；∴BD⊥SO，即SO⊥BD；又SA=SC，O为AC中点；∴SO⊥AC，AC∩BD=O；∴SO⊥平面ABCD；（2）如图，连接PO；∵SB∥平面APC，SB⊂平面SBD，平面SBD∩平面APC=PO；∴SB∥PO；在△SBD中，O是BD的中点，PO∥SB，∴P是SD的中点；取DO中点，并连接PE，则PE∥SO，SO⊥底面ACD；∴PE⊥底面ACD，且PE=；根据已知条件，Rt△ADO中AD=2，∠DAO=30°，∴DO=1；∴在Rt△SDO中，SD=2，SO=；∴；又；∴V三棱锥A﹣PCD=V三棱锥P﹣ACD=．。
高考二轮复习文科数学课件高考保分大题3立体几何中的证明与计算
(1)证明:MN∥平面C1DE;
(2)求三棱锥N-C1DE的体积.
(1)证明 连接ME,B1C.
∵点E,M分别为BC,BB1中点,
∴ME为△B1BC的中位线,
∴ME∥B1C且ME=
1
B1C,
2
又点N为A1D的中点,A1D∥B1C,A1D=B1C,
∴ND∥B1C,ND=
1
B C,
21
∴ME∥ND,ME=ND,∴四边形MNDE为平行四边形,
又CM=B1M,∴B1F=3CF.
∵AB1∥PF,B1F=3CF,∴AP=3PC,
∴点P是线段AC上靠近点C的四等分点.
(2)如图,取AB的中点O,连接OC,OA1.
∵四边形ABB1A1为边长为2的菱形,∠A1AB=60°,
∴△AA1B为等边三角形,
∴OA1⊥AB.
又∵平面 ABB1A1⊥平面 ABC,且两平面的交线为 AB,∴OA1⊥平面 ABC,又
∴AD⊥平面 A1C1D.
(2)解 连接
2
=1 +2
π
π
2
2
2
AB1,∵∠ABB1= ,AB=1,BB1=2,A1 =AB +B1 -2AB·
BB1cos
3
3
1
-2×1×2×2=3,
2
∴B12 =AB2+A12 ,∴AB1⊥AB,且 AB1= 3.
∵AC⊥平面 AA1B1B,∴AC⊥AB1.
∴MN∥DE,又MN⊄平面C1DE,DE⊂平面C1DE,
∴MN∥平面C1DE.
(2)解 由(1)得 MN∥平面 C1DE,
∴-1 = -1 = -1 .
连接 C1M,ME.在矩形 BCC1B1 中,
立体几何(文科专用)(解析版)
专题09 立体几何1.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故选B ．【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,a b a b αβ⊂⊂∥，则αβ∥”此类的错误．2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则（）A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线【答案】B【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交直线.过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ===,，35,,722MF BF BM ==∴=，BM EN ∴≠，故选B ．【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．3．【2019年高考江苏卷】如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E −BCD的体积是 ▲ .【答案】10【解析】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，所以1120AB BC CC ⋅⋅=，因为E 为1CC 的中点，所以112CE CC =，由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高，所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=. 【名师点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1．（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积． 【答案】（1）见详解；（2）18.【解析】（1）由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ⊂平面ABB 1A 1，故11B C BE ⊥．又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ． （2）由（1）知∠BEB 1=90°.由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ， 所以1145AEB A EB ︒∠=∠=，故AE =AB =3，126AA AE ==.作1EF BB ⊥，垂足为F ，则EF ⊥平面11BB C C ，且3EF AB ==． 所以，四棱锥11E BB C C -的体积1363183V =⨯⨯⨯=． 【名师点睛】本题主要考查线面垂直的判定，以及四棱锥的体积的求解，熟记线面垂直的判定定理，以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型.一、考向分析：二、考向讲解考查内容解 题 技 巧 几何 体表 面积 与体 积1、空间几何体表面积的求法（1）以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量。
(完整)立体几何(文科)
立体几何（文科)1、如图1。
4所示四棱锥P。
ABCD中，底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB＝2,∠BAD＝错误!，M为BC上一点，且BM＝错误!.(1）证明：BC⊥平面POM;(2）若MP⊥AP，求四棱锥P。
ABMO的体积．516图42、四面体ABCD及其三视图如图14所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E,F，G，H。
图1。
4（1）求四面体ABCD的体积；错误!.(2）证明：四边形EFGH是矩形．3、如图1。
5，在三棱柱ABC .A1B1C1中，侧棱垂直于底面,AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．图1。
5（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2）求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E。
ABC的体积．错误!.4、如图1.3，四棱锥P。
ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；(2）设AP＝1，AD＝错误!，三棱锥PABD的体积V＝错误!，求A到平面PBC的距离．错误!图13。
5、如图16所示,三棱锥A . BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD 。
（1）求证：CD ⊥平面ABD ；(2）若AB ＝BD ＝CD ＝1,M 为AD 中点，求三棱锥A MBC 的体积．错误!图1。
66、如图1。
4所示，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°,E ，F ，G 分别为AC ，DC ,AD 的中点．（1）求证：EF ⊥平面BCG ；(2)求三棱锥D 。
BCG 的体积．错误!。
7、如图， 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心， A 1O ⊥平面ABCD, 1AB AA ==1A（Ⅰ) 证明: A 1BD // 平面CD 1B 1； (Ⅱ） 求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积.8、如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ABCD ⊥面,//AB DC ，AB AD ⊥,5BC =,3DC =，4AD =，60PAD ∠=。
2023全国甲卷数学立体几何18题
（1）证明见解析.
（2） 13 13
【基本思路】 （1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得 A1O 平面 BCC1B1 ，再由勾股定理 求出 O 为中点，即可得证； （2）利用直角三角形求出 AB1 的长及点 A 到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值. 【详细解析】⑴如图，
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由 CM∥A1C1,CM A1C1知四边形 A1CMC1 为平行四边形， C1M∥A1C ，C1M 平面 ABC ，又 AM 平面 ABC ，
C1M AM 则在 Rt△AC1M 中， AM 2AC,C1M A1C ， AC1 (2AC)2 A1C2 ， 在 Rt△AB1C1 中， AC1 (2AC)2 A1C2 ， B1C1 BC 3 ，
（1）证明见解析. （2）1
【基本思路】
(1)由 A1C 平面 ABC 得 A1C BC ，又因为 AC BC ，可证 BC 平面 ACC1A1 ，从而 证得平面 ACC1A1 平面 BCC1B1 ； (2) 过点 A1 作 A1O CC1 ，可证四棱锥的高为 A1O ,由三角形全等可证 A1C AC ，从而证 得 O 为 CC1 中点，设 A1C AC x ，由勾股定理可求出 x ，再由勾股定理即可求 A1O .
AB1 (2 2)2 ( 2)2 ( 3)2 13 , 又 A 到平面 BCC1B1 距离也为 1，
所以 AB1 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值为
1 13
13
.
13
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【详细解析】 ⑴证明：因为 A1C 平面 ABC ， BC 平面 ABC , 所以 A1C BC , 又因为 ACB 90o，即 AC BC ，
立体几何文科解答题
立体几何文科解答题01、已知三棱柱ABC AB1C1 中，CC, 底面ABC , AB=AC =AA i 2 , BAC 90°, D,E,F 分别为BAC1C, BC的中点.(I )求证：DE//平面ABC ；(II)求证：平面AEF 平面BCC1B,;(III) 求三棱锥A-BCB的体积.B 02、如图4,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA丄底面ABCD , E、F分别是PC、PD的中点，求证:(I) EF //平面PAB; (H)平面PAD丄平面PDC .03、如图，三棱柱ABC —A1B1C1中，侧棱AA1 底面ABC , 在A1B上，且AB CP。
(1)证明：P为A1B中点；(2)若A1B AC1，求三棱锥P—A1AC的体积。
04.已知正六棱柱ABCDEF ABQ1D1E1F1的所有棱长均为2, G为AF的中点。
F,(1) 求证：F,G //平面BB.E.E ;(2) 求证：平面F-| AE丄平面DEE1D1;(3) 求四面体EGFF1的体积。
05、如图,(1) 已知求证:06、如图，已知ABCD为矩形，DQ 平面ABCD , AD DD1 1 , AB=2，点E是AB的中点.08、如图，矩形ABCD中，AD 平面ABE , AE BF 平面ACE . (I)求证：AE 平面BCE ;(H)求证；AE //平面BFD ；(川)求三棱锥C BGF的体积.EB BC 2，F为CE上的点，且E C B10、如图所示，在棱长为2的正方体ABCD ABGD i中，E、F分别为DD i、DB的中点.(1)求证：EF //平面ABC i D i ；(2)求证：EF BC ; (3)求三棱锥V B’EFC的体积. C i C11、在直四棱柱ABCD A i B i C i D i 中，AA i 2,底面是边长为1的正方形，E、F分别是棱B i B、DA 的中点.(I )直线BF //平面AD1E ；( n )求证：D1E 面AEC .JLE13、如图，在长方体 ABCD AB i C i D i 中，点E 在棱CC i 的延长线上，且 CC iC i EBC -AB 1 .2(I)求证：D 1E //平面 ACB 1 ; (n)求证：平面 D 1B 1E 平面DCB 1 ;(川)求四面体 D 1B1AC 的体积.丄AP ，垂足为 丘，将厶ADP沿AP 折起•使点D 位于D '位置，连D 'B 、D 'C 得四棱锥D '— ABCP .(I )求证D ' F 丄AP ;(II )若 PD=1并且平面 D ' AP 丄平面ABCP ，求四棱锥 D —ABCP 的体积12、如图6,正方形ABCD 所在平面与三角形 CDE 所在平面 相交于CD , AE 平面CDE ，且AE 3, AB 6 •(1) 求证：AB 平面ADE ； (2) 求凸多面体 ABCDE 的体积.14、已知P 在矩形 ABCD 边DC 上，AB=2 , BC=1 , F 在AB 上且 DFAEAF FBi6、如图，在底面是正方形的四棱锥G为AC上一点.(I)求证：BD丄FG;平面PBD，并说明理由.(II)确定点17 已知直P—ABCD 中，PA丄面ABCD , BD 交AC于点E, F是PC中点, 棱柱ABC A i B i C iACB 90 , AC BC 2, AA i 4。
(完整版)高考文科立体几何证明专题
图 4立体几何专题1．如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,D E 分别是,AB AC 边上的点，AD AE =，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将ABF∆沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥A BCF -，其中BC =． (1) 证明：DE //平面BCF ； (2) 证明：CF ⊥平面ABF ；(3) 当23AD =时，求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -．【解析】（1）在等边三角形ABC 中，AD AE =AD AEDB EC∴=,在折叠后的三棱锥A BCF -中 也成立，//DE BC ∴ ,DE ⊄Q 平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，//DE ∴平面BCF ；（2）在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥①，12BFCF ==. Q 在三棱锥A BCF -中，2BC =，222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥② BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥Q 平面；（3）由（1）可知//GE CF ，结合（2）可得GEDFG ⊥平面.111111132323323324F DEG E DFGV V DG FG GF --⎛⎫∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭【解析】这个题是入门级的题，除了立体几何的内容，还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容.2．如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中,AB ⊥平面PAD,AB CD,PD=AD,E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF=21AB,PH 为∆PAD 中AD 边上的高． （1） 证明：PH ⊥平面ABCD ；（2） 若PH=1，AD=2,FC=1，求三棱锥E-BCF 的体积； （3） 证明：EF ⊥平面PAB ． 解：(1)ABCDPH PAD PAD AB PAD 平面所以平面，面又中的高为⊥=⋂⊥∴⊂⊥⊥∴∆AAD AB AB PH PH AD PH PH Θ(2):过B 点做BG G CD BG ，垂足为⊥；连接HB,取HB 中点M ，连接EM ，则EM 是BPH ∆的中位线ABCD )1(平面知：由⊥PH ΘABCD 平面⊥∴EM BCF 平面ＥＭ⊥∴即EM 为三棱锥B CF -E 底面上的高BG FC •=∆21S BCF =222121=⨯⨯2121=PH ＥＭ＝12221223131=⨯⨯=••=-EMS V BCF BCF E（3）：取AB 中点N ，PA 中点Q ，连接EN ，FN ，EQ ，DQ NFN EN FN AB NADF AB 21DF //EN PAB EN PAD PAD AB PAD ,//=⋂⊥∴∴=⊥∴∴∆⊥∴⊂⊥∴⊥是距形四边形又的中位线是又平面，平面平面ΘΘΘENAB PA PAAB PA CD CD AB3、如图，已知三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ， AC ⊥BC ， M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形。
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立体几何专题1．如图 4，在边长为 1 的等边三角形 ABC 中， D , E 分别是 AB, AC 边上的点， AD AE ，F 是 BC 的中点， AF 与 DE 交于点G ，将 ABF 沿 AF 折起，获取如图5 所示的三棱锥A BCF ，其中 BC2 ．2(1) 证明： DE // 平面 BCF ；(2) 证明： CF 平面 ABF ；(3) 2时，求三棱锥 FDEG 的体积 V F DEG ．当 AD3ADGEBFC图 4【剖析】（ 1）在等边三角形ABC 中， ADAEAD AE ,A BCF 中DB在折叠后的三棱锥EC也成立， DE / / BC ,Q DE平面 BCF ，BC 平面 BCF ，DE / / 平面 BCF ；AGEDFCB图 5（2 ）在等边三角形ABC 中， F 是 BC 的中点，所以 AFBC 1 ①， BF CF.2Q 在三棱锥 ABCF 中， BC2， BC 2 BF 2 CF 2 CF BF ②2Q BF CF F CF 平面 ABF ；（ ）由（ ）可知 GE / /CF ，结合（ 2）可得 GE平面 DFG.3 1VF DEGV E1 11 1 1 1 3 13 DFG3 DG FG GF2 3 3 2332423【剖析】 这个题是入门级的题，除了立体几何的内容， 还观察了平行线分线段成比率这个平面几何的内容 .2．如图 5 所示，在四棱锥P-ABCD 中,AB平面PAD,AB CD,PD=AD,E是PB的中点，F是 DC 上的点且 DF= 1AB,PH 为PAD 中 AD 边上的高．2（1）证明： PH 平面 ABCD ；（2）若PH=1，AD= 2 ,FC=1，求三棱锥E-BCF 的体积；（3）证明：EF平面PAB．解： (1)PH 为PAD中的高PH AD又 AB面PAD，PH平面PADPH ABAB AD A所以PH平面ABCD(2):过 B 点做 BG BG CD ，垂足为 G ；连接 HB, 取 HB 中点 M ，连接 EM ，则 EM 是BPH 的中位线由(1)知： PH平面ABCDEM平面 ABCDＥＭ平面 BCF即 EM 为三棱锥E - BCF底面上的高ＥＭ＝1PH1 22SBCF 1FC ? BG =11 22 222 1V E BCF? S BCF ? EM1 2 13 2 2212.（3）：取 AB 中点 N， PA 中点 Q，连接 EN ， FN ，EQ， DQ AB // CD , CD平面PADAB平面PAD，PA平面PADAB PA又EN 是 PAB 的中位线EN // PAAB EN1又DF AB四边形NADF是距形AB FNEN FN NAB平面NEF又 EF平面NEFEF AB四边形NADF是距形AB NF 3、如图，已知三棱锥 A —BPC 中，AP ⊥ PC ， AC ⊥ BC ，M为 AB 中点， D 为 PB 中点，且△ PMB 为正三角形。
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立体几何练习1. 如图：梯形ABCD 和正△PAB 所在平面互相垂直，其中//,AB DC12AD CD AB ==，且O 为AB 中点. ( I ) 求证：//BC 平面POD ； ( II ) 求证：AC ⊥PD .2.如图，菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠= ,AC BD O = .将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -,点M 是棱BC的中点，DM =（Ⅰ）求证：//OM 平面ABD ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面MDO ； （Ⅲ）求三棱锥M-BACDOPABCCMODC3. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠ADC =90°，BC =12AD ，PA =PD ，Q 为AD 的中点． （Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBQ ；（Ⅱ）若点M 在棱PC 上，设PM =tMC ，试确定t 的值，使得PA //平面BMQ ．4. 已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形．PB =（Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ．PABC D Q M5. 已知直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都相等，且F E D ,,分别为11,,AA BB BC 的中点. (I) 求证：平面//1FC B 平面EAD ； （II ）求证：⊥1BC 平面EAD .6. 如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，90ADE ∠= ，DE AF //，22===AF DA DE .(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ)求证：//AC 平面BEF ；（Ⅲ）求四面体BDEF 的体积.7. 如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ， AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证：（1）直线EF//平面PCD ； （2）平面BEF ⊥平面PAD.D1C FEBAC1A 1B ABCDFEPD．8.如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=12（I）证明：PQ⊥平面DCQ；（II）求棱锥Q—ABCD的的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值．9. 如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°。
（1）证明：平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；（2 ）设BD=1，求三棱锥D—ＡＢＣ的表面积。
参考答案：1. 证明: (I) 因为O 为AB 中点，所以1,2BO AB = 又//,AB CD 12CD AB =， 所以有,//,CD BO CD BO = 所以ODCB 为平行四边形, 所以//,BC OD又DO ⊂平面,POD BC ⊄平面,POD 所以//BC 平面POD . (II)连接OC .因为,//,CD BO AO CD AO ==所以ADCO 为 平行四边形， 又AD CD =,所以ADCO 为菱形， 所以 AC DO ⊥，因为正三角形PAB ,O 为AB 中点， 所以PO AB ⊥ ，又因为平面ABCD ⊥平面PAB ,平面ABCD 平面PAB AB = ， 所以PO ⊥平面ABCD ， 而AC ⊂平面ABCD ，所以 PO AC ⊥， 又PO DO O = ，所以AC ⊥平面POD . 又PD ⊂平面POD ，所以AC ⊥PD . 2. （Ⅰ）证明：因为点O 是菱形ABCD 的对角线的交点，所以O 是AC 的中点.又点M 是棱BC 的中点， 所以OM 是ABC ∆的中位线，//OM AB . 因为OM ⊄平面ABD ,AB ⊂平面ABD ，BACDOP所以//OM 平面ABD . （Ⅱ）证明：由题意，3OM OD ==,因为DM =所以90DOM ∠= ，OD OM ⊥. 又因为菱形ABCD ，所以OD AC ⊥. 因为OM AC O = ,所以OD ⊥平面ABC ， 因为OD ⊂平面MDO ， 所以平面ABC ⊥平面MDO .（Ⅲ）解：三棱锥M ABD -的体积等于三棱锥D ABM -的体积.由（Ⅱ）知，OD ⊥平面ABC ，所以3OD =为三棱锥D ABM -的高.ABM ∆的面积为11sin1206322BA BM ⨯⨯=⨯⨯=所求体积等于132ABM S OD ∆⨯⨯=. 3. 证明：（Ⅰ）AD // BC ，BC =12AD ，Q 为AD 的中点， ∴ 四边形BCDQ 为平行四边形， ∴CD // BQ ． ∵ ∠ADC =90° ∴∠AQB =90° 即QB ⊥AD ． ∵ PA =PD ，Q 为AD 的中点， ∴PQ ⊥AD ． ∵ PQ ∩BQ =Q ，∴AD ⊥平面PBQ ．（Ⅱ）当1t =时，PA //平面BMQ ．连接AC ，交BQ 于N ，连接MN ．ABCMODCC∵BC //12DQ ， ∴四边形BCQA 为平行四边形，且N 为AC 中点， ∵点M 是线段PC 的中点， ∴ MN // PA ．∵ MN ⊂平面BMQ ，PA ⊄平面BMQ ，∴ PA // 平面BMQ ． 4. （Ⅰ）证明：因为E ，O 分别为PA ，AC 的中点， 所以EO ∥PC ． 因为EO ⊂平面BDE PC ⊄平面BDE 所以PC ∥平面BDE ．（Ⅱ）证明：连结OP 因为PB PD =，所以OP BD ⊥．在菱形ABCD 中，BD ⊥因为OP AC O = 所以BD ⊥平面PAC 因为BD ⊂平面BDE所以平面PAC ⊥平面BDE ．5. （Ⅰ）由已知可得1//AF B E ，1AF B E =， ∴四边形E AFB 1是平行四边形，∴1//FB AE ，AE ⊄ 平面FC B 1，1FB ⊂平面FC B 1，//AE ∴平面FC B 1；又 E D ,分别是1,BB BC 的中点，∴C B DE 1//，ED ⊄ 平面FC B 1，1BC ⊂平面FC B 1， //ED ∴平面FC B 1；,AE DE E AE =⊂ 平面EAD ，ED ⊂平面EAD ，∴平面FC B 1∥平面EAD . (Ⅱ) 三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱， ∴⊥C C 1面ABC ，又 ⊂AD 面ABC ， ∴⊥C C 1AD .又 直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都相等，D 是BC 边中点， ∴ABC ∆是正三角形，∴BC AD ⊥，而1C C BC C = ， 1CC ⊂面11B BCC ，BC ⊂面11B BCC ，⊥∴AD 面11B BCC ， 故 1AD BC ⊥ .四边形11BCC B 是菱形，∴C B BC 11⊥，而C B DE 1//，故 1DE BC ⊥ ,由D DE AD = AD ⊂，面EAD ，ED ⊂面EAD ，得 ⊥1BC 面EAD .6. (Ⅰ)证明：因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，90ADE ∠= ，所以DE ⊥平面ABCD ， 所以AC DE ⊥. 因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，所以AC ⊥平面BDE .(Ⅱ)证明：设AC BD O = ，取BE 中点G ，连结OG FG ,，所以，OG //=12DE . 因为DE AF //，AF DE 2=，所以AF //=OG ， 从而四边形AFGO 是平行四边形，AO FG //. 因为FG ⊂平面BEF ,AO ⊄平面BEF , 所以//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF . （Ⅲ）解：因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB AD ⊥,所以AB ⊥平面ADEF .因为DE AF //,90ADE ∠= ,22===AF DA DE ， 所以DEF ∆的面积为122ED AD ⨯⨯=， 所以四面体BDEF 的体积=⨯=∆AB S DEF 3143. 7. 解：（1）因为E 、F 分别是AP 、AD 的中点，,EF PD ∴ 又,PD PCD EF PCD ⊂⊄ 面面∴直线EF//平面PCD（2）连接BD AB=AD,BAD=60,∠ ABD ∆为正三角形 F 是AD 的中点，,BF AD ∴⊥又平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ABCD AD,⋂面面＝,BF PAD BF BEF ∴⊥⊂面面 所以，平面BEF ⊥平面PAD.8. 解：（I ）由条件知PDAQ 为直角梯形因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD.又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC.在直角梯形PDAQ 中可得DQ=PQ=2PD ，则PQ ⊥QD所以PQ ⊥平面DCQ. （II ）设AB=a .由题设知AQ 为棱锥Q —ABCD 的高，所以棱锥Q —ABCD 的体积311.3V a =由（I ）知PQ 为棱锥P —DCQ 的高，而，△DCQ 的面积为22a ， 所以棱锥P —DCQ 的体积为321.3V a =故棱锥Q —ABCD 的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值为1 9. （1）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD ⊥ＤＣ，AD ⊥ＤＢ， 又DB ⋂ＤＣ＝Ｄ， ∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，又∵AD 平面BDC.∴平面ABD ⊥平面BDC ．（2）由（1）知，DA DB ⊥,DB DC ⊥,DC DA ⊥, DB=DA=DC=1，∴1111,22DAM DBC DCA S S S ===⨯⨯= 1sin 6022ABC S =︒=∴三棱锥D —ＡＢＣ的表面积是132S =⨯+=。