流体应变率张量

如果流动中，所有物理量只与一个空间变量有关，则称此 流动为一维流动，依次类推。
实际工程中很难找到真正一维流动，在微元流管中的流动 是最接近一维的流动。有限截面管中流动，有时为了计 算方便，仅考虑按截面平均后的量，此时可看作一维流 动，或准一维流动。
二维流动包括平面流动和轴对称流动；
三维流动是一种空间流动。
解：流线方程：
dx ky
dy kx
x2
y2
c
（流线是同心圆族）
线变形： xx yy 0
（无线变形）
角变形： xy 0
（无角变形）
旋转角速度： z
1 2
k
k
k
（逆时针的旋转）
刚体旋转流动
有旋流动和无旋流动
1.有旋流动 2.无旋流动
0 0
即： x 0
y 0
z 0
w v y z u w z x v u x y
z
n cos(n,
或简写为
x)i cos(n,
n
nx
i
n
y
y) j j nz
cos(n, k
z
)k
p-y
C p-x
n
M
B pn
设△ABC的面积为△S，于是△MBC、
△MCA、 △MAB的面积可分别以△Sx、 △Sy、 △Sz 表示为
y
A
x
p-z
Sx Snx S y Sny
四面体体积
这就是亥姆霍兹速度分解定理。
1.7.2 流体微团运动分析
为了方便分析，考虑一些流体的特殊运动。t时刻，选正 六面体微团，如下图
z
O
d
a δx
δz
c δy b
x y z
y
x
研究其一侧面abcd，若a点速度为u、v，则
(a) t时刻
c1 d1
b1 a1
(b) t＋△t时刻
1.线变形分析（相对伸长速度）
速度
y
1 2
u z
w x
x
1 2
w y
v z
也有类似的意义。
它们三者一起组成了角速度矢量 ，且有
1
rotV
2
存在不在质点连线方向的速度梯 度是产生旋转和角变形的原因
u
x
E
1 2
v x
u y
1
2
w x
u z
1 2
u y
v x
v
y
1 2
w y
v z
1 2 1 2
u z v z
P－n －n
pnt
注：
A
（1）pn的下标n表示所考察流体面
pnn pn
外触第法的三线表定方面律向应有，力p因表n此示A ，为作pp用n，n在A根与，据之所牛接以顿 pn pn 充分显示了应力的内力本
质。
（2）在粘性不能忽略的运动流体中， pn的作用方向并不与考 查面垂直，此时可将分解：
pn
pnnn
pnt t
一旦pn已P知，则p作d用A在整个面上的表面力的合力 An
1.8.3 流场中任一点的应力状态——应力张量
下面将推导应力 p与n 的n关系，并引出应力张量。
为研究一点处面元上的表面力，先在流体中以M点为顶点做
一△z个,△A微B四C面的体法，向如单n图位，矢设量M为A＝：△x，MB＝△y ,MC =
这是从物理量对时间t的依赖关系的角度来考虑的分类方 法；
流场中速度等物理量不随时间变化的流动称为定常流动，
数学上简单地表示为
0
t
定常是相对的，不定常是绝对的，对于随时间变化缓慢的
流动，如大容器的小孔出流等
定常流动的研究和处理要比非定常流动要容易得多。
➢ 4.一维流动、二维流动和三维流动
这是从物理量对空间坐标（x，y，z）的依赖关系的角度 来考虑的分类方法；
这是从流体运动和剪切变形的角度来考虑的分类方法；
静止的流体不呈现粘性；
对于运动流体，在实际应用过程中常通过流体中粘性切应 力与其它力（主要是流动惯性力）在大小量级上的比较 来考虑粘性效应。把忽略粘性效应的流动称为无粘性流
体流动，简单地令 0
无粘性流动在流体力学理论中占有重要地位。
➢ 3.定常流动和非定常流动
首先设只有应变率张量中的
u 0,u u(x) 其它均为0， x
经过dt时刻，abcd 将运动到a1b1c1d1,如 左图,ab边的相对伸长率
a1b1 ab bb1 因此a，but表示线a段b
aa1
u
u x
x
t
ut
u
t
x t
x
x 的相对伸长率（相对伸长速度）
xx
x
同理
yy
v y
例：速度场u=ay（a为常数），v=0，流线是平行于x轴的直 线，此流动是有旋流动还是无旋流动？
解：z
1 2
v x
u y
1 (0 a) 1 a 0
2
2
是有旋流
y ux
o
x
相当于微元绕瞬心运动
例：速度场ur=0 ，uθ=b/r（b为常数），流线是以原点为中 心的同心圆，此流场是有旋流动还是无旋流动？
w
w x w y
xx yx zx
z
yx yy yz
zx yz
zz
0
A
1 2
v x
u y
1 2
w x
u z
1 2
u y
v x
0
1 2
w y
v z
1 2
u z
w x
0
1 2
v z
w y
z
y
0
z 0 x
y
x
0
各分量都有明确的物理意义，其中三个代表线段的相对伸长率 （速度），三个代表角变形率（速度），三个代表流体本身的自 转角速度，另外速度散度 代V 表流体体积相对膨胀率。
意义类似。
3.流体微团旋转分析（旋转角速度）
经过dt时刻，abcd 将运动到
a1b1c1d1,对角t 线ac经
度
4
时间转动了角
由于δx＝δy，a1b1c1d1近似为菱形，
则有
2
2
从而
/
2
v x
u y
t
/
2
转动角速度为
z
lim
t 0
/ t
1 2
v x
u y
表示流体微团以（x，y，z）为瞬心，绕平行于z轴旋转的角
)
V0
V x
x
V y
y
V z
z
V0
V
V0
显然，V是M点相对于M0点的相对速度
O x
y
V
V x
V y
V z
x y z
写成分量形式：
u u x u y u z
x y z
v v x v y v z
x y z
w w x w y w z
x y z
用矩阵形式：
u u u
u
x
y
z
z
o x
F
A
y
f (x, y, z,t)
lim
F
lim
1
F
1
dF
m0 m 0 d
体积力分布密度，单位是m/s2,与 加速度单位相同
若已知f，则作用在有限体积 内流体上的总体积力为：
Fb
fd
重力场中：
G
mg
忽略体积力： f 0
惯性力：
Iwk.baidu.com
ma
直线惯性力
R m 2r 曲线惯性力
解：用直角坐标：u u sin
by
by
r r x2 y2
y uθ v
up
θr
o
x
v u cos
b x bx r r x2 y2
z
1 2
v x
u y
0
是无旋流（微元平动）
小结：流动作有旋运动或无旋运动仅取决于每个流体 微元本身是否旋转，与整个流体运动和流体微 元运动的轨迹无关。
1.7.3 流体运动的分类
流体运动虽复杂，但取一微元体，分析其中的运动，将得到 一些规律性认识。
在时刻t的流场中取一点 M 0 (r) M 0 (x, y, z) 邻域中的任意一
点 M (r r) M (x x, y y, z z，) 设M0点的速度为
V0＋δV
V0
由泰勒展开，邻点M的速度
z
M
δr
r
M0
V (M
或
V
E
r
r
其中
E
xx yx
xy yy
xz yz
流体的应变率张量或变形速率张 量，对称的；
zx zy zz
而 xi y j zk
是流体的转动角速度矢量
V
(M V0 (
) V0 V M 0 ) E r
r
与M0点相同的平动速度
绕M0点转动在M点引起的速度
流体变形在M点引起的速度
➢ 1.不可压缩流动和可压缩流动
这如是果从 流流体体在微运团动运过动程分中析，结质合量V物不理变 性的u质情的况v角下度，w分体类积0方相法对；膨 胀率很小，接近于零，意味着密度保x 持不y变，z此时可以
认为流动是不可压缩的。
体积膨胀率为 常0，数则有 （时时，处处）
密度不变可简单地记做
➢ 2.粘性流动和无粘性流动
zz
w z
分别表示y、z方向线段的相对伸长率
存在各质点在连线方向的速度梯度是产生线变形的原因
各边的相对伸长，将引起流体微团体积膨胀，在△t时刻
后，正方形体积 x，y已z变为
x1y1z1
x
u x
xt
y
v y
xt
z
w z
xt
流体微团的相对体积膨胀率为：
lim
t 0
x1y1z1 xyz xyzt
u x
v y
w z
xx
yy
zz
u v w divV V x y z
如果 V 0 ，表示流体相对体积膨胀率为0，流体是不 可压缩流体。
密度不变可简单地记做 常数 （时时，处处）
2.角变形分析(角变形速度)
考虑应变率张量中只有 u 和 v 0 y x
经过dt时刻，abcd 将运动到
x y z
xx yx zx
xy yy zy
xz 0
yz
z
zz － y
z 0 x
y －
0
x
x yz
x y z
u xxx xyy xzz yz zy
v yxx yyy yzz zx xz
w zxx zyy zzz xy yx
例：平面流场ux=ky，uy=0（k为大于0的常数），分析流场运 动特征
解：流线方程： 线变形：
y c （流线是平行与x轴的直线族）
xx
u x
0
yy
v y
0
（无线变形）
角变形：
xy
1 2
v x
u y
k 2
（有角变形）
旋转角速度：
z
1 2
v x
u y
k 2
（顺时针方向为负）
y
o
x
例：平面流场ux=－ky，uy= kx （k为大于0的常数），分析流 场运动特征
1.8.2 表面力与应力
表面力是外界作用在所考察流体接触面上的力。力的大小和 接触面的大小成正比，与流体质量无关。
表面力是接触力，本质上是内力，但流体与固体接触面上的表 面力，对流体是外力。
z
n P
可定义
A
A
o
y
pn
lim
A0
P A
dP dA
x
称为应力矢量，简称应力，单位N/m2,表示t时刻在点（x，y， z）上作用以n为法线的单位面积流体上的表面力。
除了这些分类方法，还有粘性流体运动中的层流、湍流， 可压缩流动还有亚声速和超声速之分等。
1.8 流体中的作用力与应力张量
按作用方式分为体积力和表面力
1.8.1 体积力 又称质量力，它是作用在每个流体质点上的力，如重 力，电磁力，惯性力等。 体积力的大小与流体的体积或质量成正比，与该体积或 质量之外的流体存在与否无关。因此体积力是非接触力， 具有外力性质。
a1b1c1d1,产生了角变形，∠bad的减
少(量为 ) tan( )
v x
xt
v
t
tan( )
u
x yt
y
x u
t
y y
平均角变形（剪切）变形率为
lim
t 0
1 2
(
) /
t
1 2
u y
v x
xy
yx
直角的平均减小率
xz
zx
1 2
u z
w x
yz
zy
1 2
v z
w y
x
v
w
v
x w
v
y w
v
z w
y z
x y z
根据矩阵运算法则
u
x
v
x
w
x
u
y v
y w
y
u
z v
z w
z
1 2 1 2
u x
xx
1 2
v x
uy
yx
w x
u z
1 2zx
u y
v y w y
v x
xy
1 2
yy
1 2
v z
zy
1.7 运动流体应变率张量
du
➢ 前面提到过速度梯度 d，y 它是流体作一维平行流 动时，流体的剪切应变率分量，本节将讨论流体 做任意运动时的运动学特性，重点介绍运动流体 的应变率张量及其各分量的物理意义。
➢ 刚体运动可分解成：平动和转动 ➢ 流体运动：除平动、转动外还有变形
1.7.1 亥姆霍兹速度分解定理
➢ 5.有旋流动和无旋流动
这是从流体微团运动分析的角度来考虑的分类方法；
如果在整个流场中流体微团的旋转角速度为0，则称此流动 为无旋流动。在流速分布已知的情况下可根据速度的旋度 是否为0加以判断；
一般而言，粘性流体的流动总是有旋的，无粘性流体的流动 有可能有旋也可能无旋。例如当流体既忽略粘性又忽略重 力时，从静止启动的流动就是无旋的，大气中的气旋和海 洋环流等都是典型的有旋运动。
u w z x v w z y
w
z
xz
zz
yz
0
1 2
u y
v x
1
2
u zz
w x
y
对称
1 2
v x
1 w 2 x
u y
z
0
u
z
12 y
w y
v z
1 2
x
v z
0
w y
x
反对称
u u u
u
x
v
w
v
x w
y v
y w
z v
z w
1
Sh
Sz Snz
3
受力分析
作用在四面体上的力有表面力和质量力（包括惯性力），
表面力与面积成正比，为二阶小量；质量力与体积成正比为三
阶小量，当四面体缩小为一点，忽略三阶小量，则表面力的合
力将等于0，则有
pxSx pyS y pzSz pnS 0
由
ppxy
ppxy
Sx Snx S y Sny