流体应变率张量ppt课件

v xt
x
v
t
tan()
u
x yt
y
x u
t
y y
平均角变形（剪切）变形率为
lim
t 0
1 2
(
) /
t
1 2
u y
v x
xy
yx
直角的平均减小率
xz
zx
1 u 2 z
w x
yz
zy
1 2
v z
w y
意义类似。
11
3.流体微团旋转分析（旋转角速度）
经过dt时刻，abcd 将运动到
)
V0
V x
x
V y
y
V z
z
V0
V
V0
显然，V是M点相对于M0点的相对速度
O x
y
V
V x
V y
V z
x y z
2
写成分量形式：
u u x u y u z
x y z
v v x v y v z
x y z
w w x w y w z
x y z
用矩阵形式：
u u u
u
x
y
z
x
v
w
v
x w
v
y w
v
z w
y z
x y z
3
根据矩阵运算法则
u
x
v
x
w
x
u
y v
y w
y
u
z
v
z
w
z
1 2 1 2
u x
xx
1 2
v x
uy
yx
w x
u z
12zx
u y
v y w y
v x
xy
1 2
yy
1 2
v z
zy
流体运动虽复杂，但取一微元体，分析其中的运动，将得到 一些规律性认识。
在时刻t的流场中取一点 M 0 (r) M 0 (x, y, z) 邻域中的任意一
点 M (r r) M (x x, y y, z z，) 设M0点的速度为
V0＋δV
V0
由泰勒展开，邻点M的速度
z
M
δr
r
M0
V (M
u 0,u u(x) 其它均为0， x
经过dt时刻，abcd 将运动到a1b1c1d1,如 左图,ab边的相对伸长率
a1b1 ab bb1 因此a，b ut表示线a段b
aa1
u
u x
x t
ut
u
t
x t
x
x 的相对伸长率（相对伸长速度）
xx
x
同理
yy
v y
zz
w z
分别表示y、z方向线段的相对伸长率
v z
也有类似的意义。
它们三者一起组成了角速度矢量 ，且有
1
rotV
2
存在不在质点连线方向的速度梯 度是产生旋转和角变形的原因
13
u
x
E
1 2
v x
u y
1
2
w x
u z
1 2
u y
v x
v
y
1 2
w y
v z
1 2 1 2
u z v z
w
w x w y
xx yx zx
a1b1c1d1,对角t线ac经
度
4
时间转动了角
由于δx＝δy，a1b1c1d1近似为菱形，
则有
2
2
从而
/
2
v x
u y
t
/
2
转动角速度为
z
lim
t 0
/
t
1 2
v x
u y
表示流体微团以（x，y，z）为瞬心，绕平行于z轴旋转的角
速度
12
y
1 2
u z
w x
x
1 2
w y
6
1.7.2 流体微团运动分析
为了方便分析，考虑一些流体的特殊运动。t时刻，选正 六面体微团，如下图
z
O
d
a δx
δz
c δy b
x y z
y
x
研究其一侧面abcd，若a点速度为u、v，则
7
(a) t时刻
c1 d1
b1 a1 (b) t＋△t时刻
8
1.线变形分析（相对伸长速度）
首先设只有应变率张量中的
存在各质点在连线方向的速度梯度是产生线变形的原因
9
各边的相对伸长，将引起流体微团体积膨胀，在△t时刻
后，正方形体积 x，y已z变为
x1y1z1
x
u x
xt
y
v y
xt
z
w z
xt
流体微团的相对体积膨胀率为：
lim x1y1z1 xyz t0 xyzt
u x
v y
w z
xx
yy
zz
u v w divV V x y z
例：平面流场ux=ky，uy=0（k为大于0的常数），分析流场运 动特征
解：流线方程： y c （流线是平行与x轴的直线族）
线变形：
xx
u x
0
yy
v y
0
（无线变形）
角变形：
xy
1 2
v x
u y
k 2
（有角变形）
旋转角速度：
z
1 2
v x
u y
k 2
（顺时针方向为负）
z
yx yy yz
zx
yz
zz
0
A
1 2
v x
u y
1 2
w x
u z
1 2
u y
v x
0
1 2
w y
v z
1 2
u z
w x
0
1 2
v z
w y
z
y
0
z 0 x
y
x
0
各分量都有明确的物理意义，其中三个代表线段的相对伸长率 （速度），三个代表角变形率（速度），三个代表流体本身的自 转角速度，另外速度散度 代V 表流体体积相对膨胀率。 14
u z
w x
xz
v z
w y
w
z
zz
yz
0
1 2
u y
v x
1
2
u zz
wx
y
对称
1 2 1 2
v x w x
u y
z
0
u
z
12 ywy
v z
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1 2
x
v z
0
w y
x
反对称
4
u u u
u
v
w
x v
x w
y v
y w
z v
z w
x y z
xx yx zx
1.7 运动流体应变率张量
du ➢ 前动面时提，到流体过速的度剪梯切应度变率d，y分它量是，流本体节作将一讨维论平流行体流
做任意运动时的运动学特性，重点介绍运动流体 的应变率张量及其各分量的物理意义。
➢ 刚体运动可分解成：平动和转动 ➢ 流体运动：除平动、转动外还有变形
1
1.7.1 亥姆霍兹速度分解定理
xx yx
xy yy
xz yz
流体的应变率张量或变形速率张 量，对称的；
zx zy zz
5
而
xi y j zk
是流体的转动角速度矢量
V
(VM0 ()M0V) 0EVr
r
与M0点相同的平动速度
绕M0点转动在M点引起的速度
流体变形在M点引起的速度
这就是亥姆霍兹速度分解定理。
如果 V 0 ，表示流体相对体积膨胀率为0，流体是不 可压缩流体。
密度不变可简单地记做 常数 （时时，处处） 10
2.角变形分析(角变形速度)
考虑应变率张量中只有 u 和 v 0 y x
经过dt时刻，abcd 将运动到
a1b1c1d1,产生了角变形，∠bad的减
少(量为 )
tan()
xy yy zy
xz yz
0 z
zz － y
z 0 x
y －
x
x y
0 z
x y z
u xxx xyy xzz yz zy
v yxx yyy yzz zx xz
w zxx zyy zzz xy yx
或
V
E
r
r
其中
E