数字信号处理,第十讲单位脉冲不变法

| H ( j) | 1.50
| H1(e j ) |
| H2 (e j ) |
0.83
1.50
0.95
0.61
0.48
0.260 1 2 3 0
0
(3)同上题
6.4 单位脉冲响应不变法
例6.已知RC模拟滤波器如图所示,能否用单位脉冲响应 不变法将该模拟滤波器转换成数字滤波器,为什么？
解：H ( j) R jRC
6.4 单位脉冲响应不变法
解：(1)H (s) 3 3
s 1 s 2
H1 ( z )
6 1 e2 z1
1
6 e4
z
1
0.702z1 1 0.153z1 0.0025z2
0.5(1 z1)2
H2
(z)
H
(s)
|s
1 1
z1 z 1
1
1 3
z 1
(2)H (s)、H1(z)和H2(z)的幅度响应
H (z)
N
Ak
k 1 1 eskT
z 1
（1）H (s)的极点sk，变换到H (z)的极点zk eskT ; （2）如果H (s)是稳定的，即Re[sk ] 0;
因为| z || eRe[sk ]T | 1，则H (z)也是稳定的；
极点映射关系：z esT
6.4 单位脉冲响应不变法
设s j
当T
1时，H1(z)
0.3276 z 1 11.0328z1 0.5247z2
当T
0.1时，H2 (z)
0.0485 z 1 11.9307z1 0.9375z2
A
0
10 B | H ( j) | dB 20 C
30
D
0a
10 20
30 d
| H1(e j ) | dB
bc
混叠严重
40 50 60
Im[z]
0.624
0 1 Re[z]
(3)y(n) 0.471x(n) 0.624y(n 1)
(4)脉冲响应不变法
x(n) 0.471
y(n) z 1
优点：频率关系是线性的；
0.624
缺点：存在频谱混叠，不能直接
设计高通、带阻滤波器。
6.4 单位脉冲响应不变法
2005年北京交通大学研究生考题
h(n) h(t) |tnT
6.4 单位脉冲响应不变法
N
设 H (s)
Βιβλιοθήκη Baidu
Ak
k1 s sk
N
h(t) Akesktu(t) k 1
映射
N
h(n) AkesknT u(n)
k 1
H (z)
N
Ak
k 1 1 eskT
z 1
6.4 单位脉冲响应不变法
N
H (s)
Ak
k1 s sk
映射
| H (e j ) | dB
6kHz 12kHz
6kHz 12kHz
6.4 单位脉冲响应不变法
2007年北京理工大学研究生考题
例4.用单位脉冲不变法设计巴特沃斯数字低通滤波器。
其技术指标为：0.7079 | H (e j ) | 1, 0 | | 0.15 | H (e j ) | 0.3162, 0.5 | |
R 1 1 jRC
jC
x(t) C R y(t)
H (s) RCs 1 RCs
模拟滤波器是一个高通滤波器，所以不能用
脉冲响应不变法将其转换成数字滤波器，会产生
严重的频率混叠现象。
p
c 0.6871 rad / s
H(s)
s3
0.3243 1.3741s2 0.9441s
0.3243
6.4 单位脉冲响应不变法
（3）将模拟滤波器转换为数字滤波器
H
(
z)
1
0.0998z1 0.0633z2 1.6778z1 1.0940z2 0.2531z
3
| H ( j) |
| H (e j ) | dB
6.4 单位脉冲响应不变法
解：min 10dB,s s /T 0.5 rad / s Ap 3dB, c c /T 0.15 rad / s
N log10 (100.1min 1) log10 (100.1(10) 1) lg 3 0.912
取N 1 2 log10 (s / c ) 2 log10 (0.5 / 0.15 ) lg10 lg 3 j ( 1 2k 1)
巴特沃斯滤波器 切比雪夫滤波器
椭圆滤波器
模拟滤波器
IIR滤波器 :
M
bi zi
H(z)
i0 N
1 ai zi
i 1
数字滤波器
H (s) 数字化方法
H (z)
6.4 单位脉冲响应不变法
设计一个数字滤波器，使它的单位脉冲响应
h(n)逼近模拟滤波器h(t )的采样值。
H (z)
H (s)
z变换
拉氏逆变换
该滤波器通带最大衰减Ap=-1.99dB， 阻带最小衰减Ar =-25.56dB.达到要求。
6.4 单位脉冲响应不变法
例3 利用脉冲响应不变法设计一个BW低通数字 滤波器，要求通带截止频率为6kHz，通带 最大衰减3dB;阻带起始频率为12kHz，阻 带最小衰减25dB，取样频率为48kHz。
解： （1）确定模拟低通滤波器指标
5c 5.23603cs2 5.2360c2s3
3.2360c s 4
s5
（3）将模拟滤波器转换为数字滤波器
H
(
z
)
1.0000
0.0073z 2.5547 z 1
1
0.0468z2 0.0283z 2.9435z2 1.8117z3
3
0.0016z4 0.5855z4
0.0786
z
5
| H ( j) |
z re j
re j e( j)T
映射的特点：
z esT
r eT
T
(1)当 0时，r 1；s平面虚轴映射为z平面的单位圆. (2)当 0时，r 1；s左半平面映射为z平面的单位圆内部.
保证H(z)是稳定的!
6.4 单位脉冲响应不变法
映射的特点：
(3)由于=T，多值映射。
j
Im[z]
设抽样间隔T 1。 (1)设计模拟巴特沃斯低通滤波器,给出零极点
图及系统函数Ha (s)； (2)求出数字低通滤波器的系统函数H (z),画出
零极点图； (3)给出数字低通滤波器的差分方程及结构图； (4)简述脉冲响应不变法和双线性法的优缺点。
6.4 单位脉冲响应不变法
设计公式：
(i)巴特沃斯模拟滤波器的阶数N log10 (100.1min 1) 2 log10 (s / c )
H(s)
j0.3224
j0.3224
s 0.3224 j0.7772 s 0.3224 j0.7772
则
H (z) 2e0.3224T 0.3224sin( 0.7772T )z 1 1 2e0.3224T cos(0.7772T )z 1 e0.6449T z 2
6.4 单位脉冲响应不变法
为阻带的最小衰减,其值为对应于阻带
min
指标0.3162的分贝数；
c、s分别为通带边界频率和阻带边界频率。
(ii)
巴特沃斯模拟滤波器的极点为sk
j ( 1 2k 1)
ce 2 2N ,
k 1, 2,L , N
(iii)s平面到z平面的映射为 Ak s sk
1
Ak eskT
z
1
(iv) 所有小数取小数点后3位。
s1 ce 2 2N c
Ha (s)
A1 s s1
c s c
0.15 s 0.15
H (z)
1
A1 es1T
z
1
1
c ecT
z
1
1
0.15
e0.15
z
1
6.4 单位脉冲响应不变法
(1)Ha (s)
s
0.471 0.471
j Im[s]
0.471 Re[s]
0
(2)H (z) 0.471z z 0.624
(2)阻带的数字边界频率 r 0.6 , Ar 25dB
(3)取样周期T=1s
解： （1）确定模拟低通滤波器指标
p
p
T
0.2
rad / s
r
r
T
0.6
rad / s
6.4 单位脉冲响应不变法
（2）确定模拟低通滤波器H(s)
N
lg(110000..11AArp
1) 1
2.86
取N=3
2 lg( r )
频谱混叠。
不能用单位脉冲响应不变法设计 高通、带阻滤波器。 当频谱混叠严重时，会使所设计 的数字低通滤波器不满足指标。
6.4 单位脉冲响应不变法
例1 试用单位脉冲响应不变法设计一个数字滤波器。 设已知满足给定指标要求的模拟滤波器的系统
函数为
H (s)
s2
0.5012 0.6449s
0.7079
解：将H(s)分解
3
T
T
0
1 Re[z]
T
3
S平面
T
Z平面
6.4 单位脉冲响应不变法
映射的特点：
(4)H ( z)的频响存在混叠。
| H ( j) |
2 0 2
T
T
TT
| H (e j ) |
2 0 2
6.4 单位脉冲响应不变法
频率关系是线性的。
实际模拟低通滤波器都不是带限的， 所设计的数字滤波器不可避免存在
例5.已知某模拟滤波器的系统函数为H (s)
3
(s 2)(s 1)
(1)分别利用脉冲响应不变法和双线性变换法将其
转换为数字滤波器，求出相应的H1(z)和H2 (z)， 抽样间隔T =2。
(2)分别画出H (s)、H1(z)和H2 (z)幅度响应草图。 （标明关键点的值）
(3)简述脉冲响应不变法和双线性法的优缺点。
p 2 f p 12000 rad / s r 2 fr 24000 rad / s
（2）确定模拟低通滤波器H(s)
N 5
c p 12000 rad / s
H
n
(s)
1
3.2360s
5.2360s2
1 5.2360s3
3.2360s4
s5
6.4 单位脉冲响应不变法
H
(s)
5c
3.2360c4s
EFG H
40 50
e | H2(e j ) | dB
60 0
fg
0.5
h
1.5 2
700 5 10 15 20 25 30
混叠很轻
6.4 单位脉冲响应不变法
例2 利用单位脉冲响应不变法设计一个BW型 数字滤波器，要求满足下列技术指标：
(1)通带的数字边界频率 p 0.2 , Ap 2dB