16.1 二次根式第2课时 二次根式的性质.ppt
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16.1.2二次根式的性质1
/yhgfwz/
16.1.1二次根式的性质
汉沽八中：陈玉莲
/yhwz/
学习目标：
1.知道二次根式与数的平方之间的联系,掌握二次 根式的概念. 2. 掌握二次根式的性质 3.熟练应用二次根式性质求二次根式的值. 4.会根据二次根式有意义的条件确定二次根式里 被开方数中字母的取值范围.
2
2.化简： ( a 3 ) (3 a)
2
2
3. ( 2 ) 2, 。。。
由
2
你可以将下列多项式在实数范围
内分解吗？
(1) x 2
2
(2) 3x 4
2
(3) 2 x 5
2
(4) x x 20
4 2
/bcgs/
/bcw/
做一做
2 2 2 2 1 1 1 _____, 2 ______, 3 5 5
1 4 13
2
1 1 2 4 6 _____, 3 5 4 ____,
3 _____,
2
2
3
/amyhxsyl/
口答：
1 2 (1)( ) 3
1 3
63
. .
(2)(3 7)
2
/amyhgfwz/
8 =8
2
练习 计算：
3 =3
2
2 3 =12
2
x
xy
3
2 =6 3 3
1:从运算顺序来看, 2.从取值范围来看, 2 2 a 先开方,后平方 a a≥0
/dbwz/
a
2
a
16.1.1二次根式的性质
汉沽八中：陈玉莲
/yhwz/
学习目标：
1.知道二次根式与数的平方之间的联系,掌握二次 根式的概念. 2. 掌握二次根式的性质 3.熟练应用二次根式性质求二次根式的值. 4.会根据二次根式有意义的条件确定二次根式里 被开方数中字母的取值范围.
2
2.化简： ( a 3 ) (3 a)
2
2
3. ( 2 ) 2, 。。。
由
2
你可以将下列多项式在实数范围
内分解吗？
(1) x 2
2
(2) 3x 4
2
(3) 2 x 5
2
(4) x x 20
4 2
/bcgs/
/bcw/
做一做
2 2 2 2 1 1 1 _____, 2 ______, 3 5 5
1 4 13
2
1 1 2 4 6 _____, 3 5 4 ____,
3 _____,
2
2
3
/amyhxsyl/
口答：
1 2 (1)( ) 3
1 3
63
. .
(2)(3 7)
2
/amyhgfwz/
8 =8
2
练习 计算：
3 =3
2
2 3 =12
2
x
xy
3
2 =6 3 3
1:从运算顺序来看, 2.从取值范围来看, 2 2 a 先开方,后平方 a a≥0
/dbwz/
a
2
a
二次根式ppt课件
3. 代数式的概念是什么？
用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，称为代数式.
随堂检测
1.计算（ 0.04）2 的值是（
A.0.2
B.0.04
C.-0.2
B
）.
D.-0.04
2.二次根式− （ 10 − 11）2 的值是（
A. 10 − 11
B.-1
A
C. 11 − 10
）.
D.1
随堂检测
乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样
的式子为代数式.
课堂小结
1. 二次根式的性质有哪些？
平方在里面，夹上绝对值，分类来讨论.
（ ）2 =a（a≥0）；
2 =a（a≥0）
平方在外面，直接去根号；
2 = ||.
2.运用二次根式的性质进行化简，需要注意什么？
取值a的取值范围，（ ）2 =a（a≥0）； 2 =a（a≥0）.
2.从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这
个规律吗？
= ( ≥ )
典型例题
化简:
（1） 16
（2） (−5)2
解：（1） 16= 42 =4；
（2） （ − 5）2 = 52 =5.
= ( ≥ )
= ||
跟踪训练
1.计算：
（1） 9=
3
（3） （ − 7）2 =
7
；
（2） （ − 4）2 =
4
；
（4） （3 − ）2 =
π-3
2.如果 （3 − ）2 =x-3，那么x的取值范围是
x≥3
.
；
.
探究活动3
回顾我们学过的式子，如 5，， + ，−， ，− 3 ， 3， （ ≥ 0)
用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，称为代数式.
随堂检测
1.计算（ 0.04）2 的值是（
A.0.2
B.0.04
C.-0.2
B
）.
D.-0.04
2.二次根式− （ 10 − 11）2 的值是（
A. 10 − 11
B.-1
A
C. 11 − 10
）.
D.1
随堂检测
乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样
的式子为代数式.
课堂小结
1. 二次根式的性质有哪些？
平方在里面，夹上绝对值，分类来讨论.
（ ）2 =a（a≥0）；
2 =a（a≥0）
平方在外面，直接去根号；
2 = ||.
2.运用二次根式的性质进行化简，需要注意什么？
取值a的取值范围，（ ）2 =a（a≥0）； 2 =a（a≥0）.
2.从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这
个规律吗？
= ( ≥ )
典型例题
化简:
（1） 16
（2） (−5)2
解：（1） 16= 42 =4；
（2） （ − 5）2 = 52 =5.
= ( ≥ )
= ||
跟踪训练
1.计算：
（1） 9=
3
（3） （ − 7）2 =
7
；
（2） （ − 4）2 =
4
；
（4） （3 − ）2 =
π-3
2.如果 （3 − ）2 =x-3，那么x的取值范围是
x≥3
.
；
.
探究活动3
回顾我们学过的式子，如 5，， + ，−， ，− 3 ， 3， （ ≥ 0)
人教版数学八年级下册第十六章16.1.1二次根式的定义课件
解：(1)∵ 3 6 4 的根指数是3，∴ 3 6 4 不是二次根式． (2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴ x 2 1 是二次根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时， - 5 a 是二次根式；
当a＞0时，－5a＜0，则 - 5 a 不是二次根式． ∴ 不一定是二次根式．
(4) ＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为 二次根式．
D．x >－1且x≠3
D. 4 个
B.
【点拨】二次根式是在初始的外在形式上定义的，不能从化简结
果上判断，如 16等都是二次根式．
4. 二次根式 a从意义上说是 a 的_算__术__平__方__根___，根据算术平方 根的意义可知，只有_非__负__数___才有算术平方根，所以二次根 式 a有意义的条件就是__a_≥__0___.
再见
1
(5)当x＝－3时，（ x 3）2 无意义，∴
1 （ x 3）2
也无意义；
当x≠－3时，（
x
1
3 ）2
＞0，∴
1 （ x 3）2
是二次根式．
1
∴ （ x 3）2 不一定是二次根式．
(6)当a＝4时，a－4＝0， （ - a-4）2 是二次根式；
当a≠4时，－(a－4)2＜0， （ - a-4）2 不是二次根式．
8. a(a≥0)既表示一个二次根式，又表示非负数 a 的__算__术____ 平方根. a具有双重非负性，即 a___≥_____0， a____≥____0.
9. 已知 y＝ 2x－5＋ 5－2x－3，则 2xy 的值为( A )
A. －15
B. 15
C. －125
15 D. 2
10.若实数 m，n 满足等式|m－2|＋ n－4＝0，且 m，n 恰好是
16.1二次根式2课时
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根.
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数的正的平方根叫做它的算术平方根. 0的算术平方根是0
用a (a≥0)表示.
求下列各数的平方根和算术平方根. 9的平方根 3 ，算术平方根
方法构想
X ≠－ 1
3 2
一个式子中： 若含有几个二次根式，则要求所有被开方数大于等于0； 若含有分式，则要求分母的值不等于0； 若含有零指数或负指数次幂，则要求其底数不为0.
求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1 (a≥0) 2 3 a 3 （a取任意实数）
方法构想
1 1 2 (a ) 1 2a 2
0.64的平方根 0.8 ，算术平方根
3
0.8 0
0的平方根
0 ，算术平方根
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数有算术平方根；负数没有算术平方根。
4、 7 表示什么？
表示7的算术平方根
5、 a 表示什么？a 需要满足什么条件？ 为什么？
2
2
x 2 x 1，其中x=- 3
2
m4 思考：若 ( m 4 ) 2 m 4, 则 m 的取值范围是 _________ m4 思考：若 ( m 4 ) 2 4 m , 则 m 的取值范围是 _________
想一想： 甲、乙两人计算当a = - 1.5时 a -
1 ）也 3, 2
且根号内含有字母的代数式叫做二次根式，为了方便起
见，我们把一个数的算术平方根（如其中 叫做二次根式，
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根.
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数的正的平方根叫做它的算术平方根. 0的算术平方根是0
用a (a≥0)表示.
求下列各数的平方根和算术平方根. 9的平方根 3 ，算术平方根
方法构想
X ≠－ 1
3 2
一个式子中： 若含有几个二次根式，则要求所有被开方数大于等于0； 若含有分式，则要求分母的值不等于0； 若含有零指数或负指数次幂，则要求其底数不为0.
求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1 (a≥0) 2 3 a 3 （a取任意实数）
方法构想
1 1 2 (a ) 1 2a 2
0.64的平方根 0.8 ，算术平方根
3
0.8 0
0的平方根
0 ，算术平方根
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数有算术平方根；负数没有算术平方根。
4、 7 表示什么？
表示7的算术平方根
5、 a 表示什么？a 需要满足什么条件？ 为什么？
2
2
x 2 x 1，其中x=- 3
2
m4 思考：若 ( m 4 ) 2 m 4, 则 m 的取值范围是 _________ m4 思考：若 ( m 4 ) 2 4 m , 则 m 的取值范围是 _________
想一想： 甲、乙两人计算当a = - 1.5时 a -
1 ）也 3, 2
且根号内含有字母的代数式叫做二次根式，为了方便起
见，我们把一个数的算术平方根（如其中 叫做二次根式，
八年级数学下册(人教版)精品教学课件-全册
讲授新课
一 二次根式的概念及有意义的条件
问题1 上面问题的结果分别是 3, s, 65， h ，它们表示一些
5
正数的算术平方根.那么什么样的数有算术平方根呢？
我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平 方时，被开方数只能是正数或0.
问题2 上面问题的结果分别是 3, s, 65， h ，分别从形式上
八年级数学下册（人教版）精品教学课件 全册
第十六章
八年级数学下（RJ） 教学课件
二次根式
16.1 二根次式
第1课时 二次根式的概念
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
情境引入
1.理解二次根式的概念.（重点）
2.会确定二次根式有意义时字母的取值范围.（难点）
导入新课
想一想
（1）如左图所示，礼盒的上面是正方形， 其面积为3，则它的边长是 3 .
如果其面积为S，则它的边长是 S .
（2）如左图所示，一个长方形的围 栏，长是宽的2倍，面积为130m2,则 它的宽为 65 m.
想一想
（3）一个物体从高处自由落下，落到
地面所用的时间t(单位：s)与开始落下
时离地面的高度h（单位：m)满足关系
式h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t
h
为 5.
(1) ( 1.5)2;
(2) (2 5)2.
想一想：此小题 用到了幂的哪条 基本性质呢？
解： (1) ( 1.5)2 1.5;
积的乘方： （ab）2=a2b2
(2) (2 5)2 22 ( 5)2 4 5 20.
二 a2 (a 0) 的性质
归纳 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等 式求解即可.若二次根式处在分母的位置，应同时考虑分母不为零.
人教版数学八年级下册16.1《二次根式的性质》(第2课时)说课稿
人教版数学八年级下册16.1《二次根式的性质》（第2课时）说课稿一. 教材分析人教版数学八年级下册16.1《二次根式的性质》（第2课时）是在学生已经掌握了二次根式的概念、性质和运算法则的基础上进行的一节内容。
本节课的主要内容是进一步探讨二次根式的性质，包括二次根式的乘除运算、合并同类二次根式等。
通过本节课的学习，使学生能够灵活运用二次根式的性质进行各种运算，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析在进入本节课的学习之前，学生已经对二次根式有了初步的认识和了解，能够进行一些基本的二次根式运算。
但是，对于一些复杂的二次根式运算，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要针对学生的实际情况，采取有效的教学方法，引导学生逐步掌握二次根式的性质，提高他们的运算能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握二次根式的性质，能够熟练地进行二次根式的乘除运算和合并同类二次根式。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探索二次根式的性质，培养他们的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们克服困难的勇气和自信心，培养他们的团队协作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：使学生掌握二次根式的性质，能够进行二次根式的乘除运算和合并同类二次根式。
2.教学难点：二次根式的乘除运算和合并同类二次根式的方法。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用自主探索、合作交流的教学方法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法自主学习二次根式的性质。
同时，利用多媒体教学手段，展示二次根式的运算过程，帮助学生更好地理解和掌握二次根式的性质。
六. 说教学过程1.导入：通过复习二次根式的概念和性质，为学生进入本节课的学习做好铺垫。
2.自主探索：引导学生观察、分析、归纳二次根式的性质，使学生能够自主掌握二次根式的性质。
3.合作交流：学生进行小组讨论，分享他们在自主探索过程中得到的二次根式的性质，培养学生团队协作精神。
人教版八年级下册数学16.1.2二次根式的性质课件 (共18张PPT)
(
1 )2 3
1
___3_____;(
0 )2
__0_______ .
例2：计算
(1) ( 1.5)2
(2) (2 5)2
解：(2) (2 5)2 22 ( 5)2 4 5 20
(ab )2 a 2b 2
练习 计算：
(1). ( 3)2
(2) ( 3 2)2
(3) ( 0.2)2
人民教育出版社 八年级下册数学
16.1.2二次根式的性质
复习回顾
什么样的式子叫二次根式？
形如 a(a 0)的式子叫二次根式.
说一说:
下列各式哪些是二次根式?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
探索新知
思考：性质1：二次根式的双重非负性 完成下列各空：
当a>0时，a表示a的__算__术__平_方__根__，因此 a__>__0 当a=0时，a表示0的__算_术__平__方__根__，因此 a__=__0
当a<0时, a__无__意__义____
归纳与小结： 当a 0时，总有 a 0成立.
1:从运算顺序来看,
a 2先开方,后平方
2.从取值范围来看,
2 a
a≥0
a2
a2 先平方,后开方
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a 2 =a
a (a≥ 0)
a2 =∣a∣= 0 (a=0) -a (a<0)
课堂检测
相信你是 最棒的！
（1）计算： ① ( 1.5)2;
③ (4 2 )2. 3
也就是说a是非负数，a也是非负数。
人教版下册课件：16.1二次根式性质
解：由二次根式的意义可知：
25x3 y4 0, y4 0, x 0.
25x3 y4 25 y4 x3
5y2 x x
5xy2 x
广丰实验中学饶绍仁
19
议一议
1. x 1 x 1 x 1 此式成立的条件_________.
ab2
ab2
a
a
b
b2
2∣b∣ ba
a
(a
(a 0,b
0,b 0)
0)
b a (a 0,b 0)
一般来说，如果二次根式里被开方数是几个因
式的乘积，其中有的因式是完全平方式，则这
样的因式可用它的非负平方根代替后移到根号
外面.
广丰实验中学饶绍仁
6
观察思考
若(x 3)0 1 有意义,则x __2_且_ x 3
x 2 广丰实验中学饶绍仁
27
课堂检测
(1) 27 15
(2) a2 b
3) a3 (b 0) b
(4) 1 ab
(5） 18x3 (6) 12 y2 ( y 0)
广丰实验中学饶绍仁
28
课堂检测
（7）.化简二次根式
1 x
结果是. 1 x
广丰实验中学饶绍仁
30
2
2 3
___23___6_,
2
2 3
___23__6__
3 3 ___34 __6_, 3 3 __34__6__
8
8
4
4
8 15
__15____
4
4
8 15
_1_5____
人教初中数学八年级下册 16.1《二次根式》二次根式的概念和性质课件1
通常把形如 m a(a 0)的式子也叫做二
次根式,如 3 2, 2a b2 1 等. 24
例题1 化简二次根式:
1 72; 2 12a3; 3 18x2 x 0.
注意判断根号 内字母的取值 范围，
25
例题2 化简二次根式:
1 a;
3
2 5 ;
2x
3 b2 b 0;
aa 0.
29
9a
4 a 1.
a
注意判断根号内 字母的取值范围，
26
写出下列等式成立的条件：
1 (x 2)(x 6) x 2 x 6
2 y 2 y 2
6 y 6 y
27
小结
1.掌握化简二次根式的两个基本步骤: ⑴ 将二次根式中的分母化去; ⑵ 把二次根式中所含的完全平方因式移
不要忽略 4
说一说:
下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
在实数范围内,负数没有平方根
5
a2 1
3 -2
2a 1
a
a 12
你能用魔法师变出的这些代数式 作为被开方数构造二次根式吗？
6
例 1 x是怎样的实数时，式子 x 3
在实数范围内有意义？
试一试（2） x是怎样的实数时，下列各式 在实数范围内有意义？
（1） 2x ； （2） 2x 5 ； （3） 3 x
7
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
(3) 4x2x为全体实数(4) 1 x
人教版八年级数学下册《二次根式》PPT课件
求此三角形的周长．
3 a≥0，
解：由题意得
2a 6≥0，
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
课堂检测
拓 广 探 索 题
先阅读，后回答问题：
当x为何值时， x x 1 有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0
解得 m≥2且m≠-1，m≠2， ∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式
x2 6x m 都有意义，求
m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9.
课堂检测
能 力 提 升 题
已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足b 3 a 2a 6 4，
双重非负性
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
a ≥0.
探究新知
考 点 1 利用二次根式的双重非负性求字母的值
若 a 3 b 2 (c 1)2 0 ，求2a -b+3c的值.
提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.
初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
人教版 数学 八年级 下册
16.1 二次根式
第1课时
导入新知
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收
看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节
目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系r= Rh ，
其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、
3 a≥0，
解：由题意得
2a 6≥0，
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
课堂检测
拓 广 探 索 题
先阅读，后回答问题：
当x为何值时， x x 1 有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0
解得 m≥2且m≠-1，m≠2， ∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式
x2 6x m 都有意义，求
m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9.
课堂检测
能 力 提 升 题
已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足b 3 a 2a 6 4，
双重非负性
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
a ≥0.
探究新知
考 点 1 利用二次根式的双重非负性求字母的值
若 a 3 b 2 (c 1)2 0 ，求2a -b+3c的值.
提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.
初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
人教版 数学 八年级 下册
16.1 二次根式
第1课时
导入新知
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收
看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节
目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系r= Rh ，
其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、
八年级下册数学教学课件《16.1 二次根式第2课时 二次根式的性质》
2
1
3
. ________
( a )2 (a 0) 的性质：
一般地，( a )2 ＝a (a ≥0).
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根 式 a 有意义的前提条件.
例1 计算： (1) ( 1.5)2;
(2) (2 5)2；
解：(1) ( 1.5)2 1.5.
练习
1.化简 36 得（ C ） A. ±6 B. ±4 C. 6
2.下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.-6
D.
3.若,
则a的取值范围是：
4.化简：
（1） 9 ＝ 3 ; （2） (4)2 ＝ 4 ;
（3） 72 7
2
; （4） 81 81 .
5.计算
6.三角形ABC 的面积为12，AB边上的高是AB 边长的4倍，求AB的长。
思考：当a＜0时， a2 = ？ -a
2.试一试
32 9 = 3
2
2
3
4 2 93
0.52 0.25 0.5
由此可以看出，
a2 -a (a 0)
知识总结
如果a是任意有理数，则
a2
a a
(a≥0) (a<0)
？ 当a 0时，a2 = ( a )2.
练一练 计算：
(1) ( 5 )2 ；
( 2 ) ( 2 2 )2 .
解: ( 1) ( 5 )2 5 .
( 2 ) ( 2 2 )2= 22 ( 2 )2 = 42 =8 .
例3 化简：
(1) 16;
(2) (5)2；
解：(1) 16 42 4. (2) (5)2 52 5.
16-1二次根式(课件)人教版八年级数学下册
(5) (x1)2
(3) x2 1
(6) 1 x
(7) 1 x 1
解：（1） x 2 0, x 2
（2） -a 0, a 0
（3） x2 0, x2 1 0
x取全体实数
（6） 1 0, x
x 0
（4） x3 0,
x 0
（5）（x1）2 0,
x可取全体实数
（7）分式有意义 x 1 0 x 1
02 （0） 0
（2）2 （4）
3
9
2 3
（-2）2 （4） 2
（-0.1）2 （0.）01 0.1
02 （0） 0
（-
2）2 3
（4） 9
2 3
a
a
a(a 0) a(a 0)
11
当堂训练
1.若二次根式
m2 m2 4
有意义，求m的取值范围．
解：由题意得m-2≥0且m2-4≠0，
a2 ＝a (a ≥0).
拓展性质
a2 a （a为全体实数）
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号 4.既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 5. a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)
5
例题讲解
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
1 38 ； 26； 3 -16 ； 4 - m(m 0)
因为（ 5）2 5，所以5的算数平方根是
因为（ 1 ）2 1，所以1的算数平方根是
33
3
5 ，所以（ 5）2 5
1 3
，所以（ 1）2 1 33
因为（ a）2 a，所以a的算数平方根是 a ，所以（ a）2 a
(3) x2 1
(6) 1 x
(7) 1 x 1
解：（1） x 2 0, x 2
（2） -a 0, a 0
（3） x2 0, x2 1 0
x取全体实数
（6） 1 0, x
x 0
（4） x3 0,
x 0
（5）（x1）2 0,
x可取全体实数
（7）分式有意义 x 1 0 x 1
02 （0） 0
（2）2 （4）
3
9
2 3
（-2）2 （4） 2
（-0.1）2 （0.）01 0.1
02 （0） 0
（-
2）2 3
（4） 9
2 3
a
a
a(a 0) a(a 0)
11
当堂训练
1.若二次根式
m2 m2 4
有意义，求m的取值范围．
解：由题意得m-2≥0且m2-4≠0，
a2 ＝a (a ≥0).
拓展性质
a2 a （a为全体实数）
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号 4.既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 5. a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)
5
例题讲解
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
1 38 ； 26； 3 -16 ； 4 - m(m 0)
因为（ 5）2 5，所以5的算数平方根是
因为（ 1 ）2 1，所以1的算数平方根是
33
3
5 ，所以（ 5）2 5
1 3
，所以（ 1）2 1 33
因为（ a）2 a，所以a的算数平方根是 a ，所以（ a）2 a
八年级数学下册教学课件《二次根式》(第2课时)
探究新知 知识点 1
2
a
（a≥0)
性质
16.1 二次根式
（1）什么叫做一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫 做a的平方根. a的平方根是 a
（2）什么是一个数的算术平方根？如何表示？
若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算
术平方根. 用 aa (a≥0)表示.
探究新知
16.1 二次根式
（1）填空：
( 4)2 ( 4 ),
(
1 3
)2
(
1 3
),
( 2 )2 ( 2 ) ( 0)2 ( 0 )
（2）通过（1）的计算，你能确定( a )²（a≥0）的
化简结果吗？说说你的理由.
探究新知
16.1 二次根式
4 是4的算术平方根，根据算术平方根的意义， 4 是一个平方等于4的非负数，因此有( 4 )²=4.
探究新知
16.1 二次根式
【讨论】（1）在 a2 a(a 0) 中，可否去掉“a≥0”？ 如果去掉“a≥0”,结论将会发生怎样的变化？ （2）第二小题中的 （-5）2 能否直接使用性质 a2 a(a 0)
进行化简？
探究新知
16.1 二次根式
方法点拨
计算 a2 一般有两个步骤: ①去根号及被开方数的指数,写成绝对值的形
基础巩固题
16.1 二次根式
1.化简 （-2）2 的结果是（ C ）
A．﹣2
B．±2
C．2
2. 当1<x<3时，(x 3)2 的值为（ D ）
x3
D．4
A.3
B.-3
C.1 D.-1
3.在下列各式中，不是代数式的是（ B ）
人教版数学八年级下册二根次式性质课件
丈夫四海志，万里犹比邻。
（2）(2 5 ) 2 .
壮志与毅力是事业的双翼。
有志者自有千方百计，无志者只感千难万难。
解：⑴ ＝ _1._5__; ( 1.5) 贫困教会贫困者一切。
2
一个人如果胸无大志，既使再有壮丽的举动也称不上是伟人。
海纳百川有容乃大壁立千仞无欲则刚
志不真则心不热，心不热则功不贤。
器大者声必闳，志高者意必远。
4
2
解: (1) (5)25.
( 2 )( 2 2 ) 2 = 2 2 (2 ) 2 = 4 2 = 8 .
(3解)
:
原
式
=
(-3
)2
5 2 3
=9 5 15 3
新知讲授
知识点二 算术平方根 a 2 = a 的意义
2
2
3
0
6
知识点二：
新知归纳
(a≥0)
一般地，
a2
a
a (a≥0)
-a (a≤0)
A.2a-3 B.-a C.3-2a D.1
5.比较大小: - ＜
(填“＞”“＜＂或“＝”).
6.符合
＝3 - a 的正整数 a 的值有 3 个.
7.若a+∣a∣＝0，则
+ 等于( A )
A.2-2a B.2a-2 C.-2 D.2
8.估计 +1的值在( B )
A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间
四、归纳小结 1、 a （a0）是一个__正__数___数.
2、( a ) 2 ＝__a_（a0），a 2 ＝__a_（a0）
3、 a 2 与 ( a ) 2 的区别是:
__a_2_指 __的 _是 __a_2的 __算 __术 __平 _方 __根 __，
（2）(2 5 ) 2 .
壮志与毅力是事业的双翼。
有志者自有千方百计，无志者只感千难万难。
解：⑴ ＝ _1._5__; ( 1.5) 贫困教会贫困者一切。
2
一个人如果胸无大志，既使再有壮丽的举动也称不上是伟人。
海纳百川有容乃大壁立千仞无欲则刚
志不真则心不热，心不热则功不贤。
器大者声必闳，志高者意必远。
4
2
解: (1) (5)25.
( 2 )( 2 2 ) 2 = 2 2 (2 ) 2 = 4 2 = 8 .
(3解)
:
原
式
=
(-3
)2
5 2 3
=9 5 15 3
新知讲授
知识点二 算术平方根 a 2 = a 的意义
2
2
3
0
6
知识点二：
新知归纳
(a≥0)
一般地，
a2
a
a (a≥0)
-a (a≤0)
A.2a-3 B.-a C.3-2a D.1
5.比较大小: - ＜
(填“＞”“＜＂或“＝”).
6.符合
＝3 - a 的正整数 a 的值有 3 个.
7.若a+∣a∣＝0，则
+ 等于( A )
A.2-2a B.2a-2 C.-2 D.2
8.估计 +1的值在( B )
A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间
四、归纳小结 1、 a （a0）是一个__正__数___数.
2、( a ) 2 ＝__a_（a0），a 2 ＝__a_（a0）
3、 a 2 与 ( a ) 2 的区别是:
__a_2_指 __的 _是 __a_2的 __算 __术 __平 _方 __根 __，