知识点 空间直角坐标系
空间直角坐标系
长度：使用直角坐标 系中的坐标值计算
面积：使用直角坐标 系中的坐标值计算
体积：使用直角坐标 系中的坐标值计算
角度：使用直角坐标 系中的坐标值计算
距离：使用直角坐标 系中的坐标值计算
相似性：使用直角坐 标系中的坐标值计算
平移：沿某个方向移动一定距 离不改变形状的大小和方向
旋转：绕某个轴旋转一定角 度改变形状的位置和方向
向量的坐标表示应用：向量的坐标表示方法在物理、工程、计算机科学等领域有着广泛的应 用。
向量的模：向量的长度表示为向量的平方和的平方根
向量的数量积：两个向量的点积表示为两个向量的坐标乘积的和
向量的坐标表示方法：用三个坐标值表示向量每个坐标值对应一个坐标轴
向量的数量积的坐标表示方法：用两个向量的坐标乘积的和表示向量的数量积每个坐标乘积 对应一个坐标轴
平移：沿坐标轴方 向移动保持原点位 置不变
旋转和平移的复合 ：先旋转后平移或 先平移后旋转
旋转和平移的逆操 作：旋转和平移的 逆操作可以恢复原 坐标系
空间直角坐标系的 表示方法
空间直角坐标 系：由三个互 相垂直的坐标 轴组成通常用x、
y、z表示
点的坐标表示： 用三个数字表 示分别对应x、 y、z轴上的坐
感谢您的观看
汇报人：
示。
单位长度：平面直角坐标系中 的单位长度是固定的通常用1表
示。
空间直角坐标系是 三维的平面直角坐 标系是二维的
空间直角坐标系中的点 可以用三个坐标表示平 面直角坐标系中的点可 以用两个坐标表示
空间直角坐标系中 的点可以通过投影 变换转换为平面直 角坐标系中的点
平面直角坐标系中 的点可以通过升维 变换转换为空间直 角坐标系中的点
坐标轴：x轴、y轴、z 轴分别代表三个方向 的坐标。
空间直角坐标系PPT课件
的效果。
二面投影
将三维图形分别投影到两个互 相垂直的平面上，得到两个二
维图形。
三面投影
将三维图形分别投影到三个互 相垂直的平面上，得到三个二
维图形。
05
空间直角坐标系与向量代数
向量的线性运算
向量的加法
向量加法满足交换律和结合律，即向量a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)。
描述向量场中某点处场量旋转程度的大小和方向，其方向垂直于该 点处的场量。
06
空间直角坐标系与微积分
微分学在空间直角坐标系中的应用
空间直角坐标系中的导数
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，在空间直角坐标 系中，导数可以用来研究函数在三维空间中的变化趋势。
空间曲线在某点的切线方向
通过求导数，可以得到空间曲线在某一点的切线方向向量， 从而确定该点处曲线的变化趋势。
曲线和曲面的长度
通过使用一重积分，可以计算三维空间中曲线和曲面的长度。
重积分在空间直角坐标系中的应用
01
重积分在解决实际问题中的应用
重积分在解决实际问题中有着广泛的应用，例如计算物体的质量、质心、
转动惯量等。
02 03
重积分的物理意义
重积分的结果具有明确的物理意义，例如三重积分的结果表示三维空间 的体积，二重积分的结果表示二维平面的面积，一重积分的结果表示一 维线段的长度。
性质
空间直角坐标系具有方向性、正 交性和无限延展性，是描述空间 中点位置的数学工具。
坐标系的建立
01
02
03
确定原点
选择一个点作为原点，该 点是空间直角坐标系的起 点。
空间直角坐标系及坐标运算
基础知识梳理
4．空间向量坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 则a·b若＝aa＝1b(1a＋1，a2ab22，＋aa33)b，3 .b＝(b1，b2，b3)， (2)共线与垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝ λb3，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝ 0(a，b均为非零向量)．
课堂互动讲练
2．证明空间四点共面的方法 对空间四点P，M，A，B可通过 证明下列结论成立来证明四点共面 (1)M→P＝xM→A＋yM→B； (2)对空间任一点 O，O→P＝O→M＋xM→A ＋yM→B；
课堂互动讲练
(3)对空间任一点 O，O→P＝xO→M＋yO→A ＋zO→B(x＋y＋z＝1)；
A．x＝1，y＝1 B．x＝12，y＝－12 C．x＝16，y＝－32
D．x＝－16，y＝32 答案：C
三基能力强化
3．已知空间四边形 OABC 中，点 M 在 线段 OA 上，且 OM＝2MA，点 N 为 BC 的中
点，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，则M→N等于
() A.12a＋12b－23c
【解】 法一：(1)原式可变形为 O→P＝O→M＋(O→A－O→P)＋(O→B－O→P) ＝O→M＋P→A＋P→B. ∴O→M＝O→P－P→A－P→B. 由共面向量定理的推论知 M 与 P、A、 B 共面．
课堂互动讲练
(2)
原
式
可
变
形
为
→ OP
＝
2
→ OA
＋
→ OA
－
O→B＋O→A－O→M＝2O→A＋B→A＋M→A.
基础知识梳理
3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角
空间直角坐标系ppt课件
上的单位向量，且O→B＝－i＋j－k，则点 B 的坐标是
√A.(－1，1，－1)
B.(－i，j，－k)
C.(1，－1，－1)
D.不确定
由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点B的坐标为(－1，1，－1).
D.5，23，2
由题图知，点 P 在 x 轴、y 轴、z 轴上的射影分别为 P1，P2，P3， 它们在坐标轴上的坐标分别是32，5，4，故点 P 的坐标是32，5，4.
3.已知点 B 的坐标是(－1，2，1)，则|O→B|＝
√A. 6
B.6
C. 5
D.5
由 B 点坐标是(－1，2，1)，得O→B＝－i＋2j＋k，故|O→B|2＝1＋4＋1＝6， 故|O→B|＝ 6.
特别提醒
空间点对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对 称点的变化规律，才能准确求解. (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反” 这个结论.
训练3.已知点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面 Oyz 的 对 称 点 为 P2 ， 点 P2 关 于 z 轴 的 对 称 点 为 P3 ， 则 (点2，P－3 的3，坐1)标 为 ______________.
则p＝a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，
x＋y＝1，
x＝23，
所以xz＝－3y，＝2，解得yz＝＝3－，12，
故 p 在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为32，－21，3.
二、空间点及向量的坐标表示
探究 2 在平面直角坐标系中，{i，j}为一个单位正交基底，O→A＝xi＋yj，那么向 量O→A的坐标为(x，y)，点 A 的坐标为(x，y)；如果设{i，j，k}为空间的单位正交 基底，O→A＝xi＋yj＋zk，猜想空间向量O→A的坐标是什么？点 A 的坐标是什么？ 提示 (x，y，z)；(x，y，z).
知识要点空间直角坐标系
知识要点空间直角坐标系空间直角坐标系是用来描述三维空间中点位置的一种坐标系统。
它由三个坐标轴x、y、z构成，且彼此互相垂直，并在相交点处成为原点O。
在空间直角坐标系中，每个点的位置可由它在每个坐标轴上的投影来确定。
假设特定点P的坐标为(x,y,z)，则在x轴上的投影为x，y轴上的投影为y，z轴上的投影为z。
空间直角坐标系的特点是可以将任意三维空间中的点表示为有序的数对(x,y,z)，并且任意两点之间的距离可以用直线段来表示。
其基本特征有以下几点：1.原点O：空间直角坐标系的交点即为原点O，它的坐标为(0,0,0)。
2.坐标轴：空间直角坐标系有三个互相垂直的坐标轴，分别为x轴、y轴和z轴。
它们分别与三个方向对应：x轴正向为向右，y轴正向为向上，z轴正向为向外。
3. 坐标面：由三个坐标轴所确定的平面称为坐标面。
分别为xoy平面（z = 0）、xoz平面（y = 0）和yoz平面（x = 0）。
4.坐标轴方向：坐标轴方向有正负之分，规定沿着轴线正向的方向为正方向，反向则为负方向。
5.坐标轴长度：不同坐标轴的长度可以任选，但通常选择相等长度，方便计算。
在空间直角坐标系中，我们可以通过以下方法进行基本的空间点运算：1.点的移动：在坐标轴上，点的移动相当于坐标值的变化。
向右移动，坐标值加；向左移动，坐标值减；向上移动，坐标值加；向下移动，坐标值减；向外移动（离原点越来越远），坐标值加；向内移动（离原点越来越近），坐标值减。
2.点的关系：可以通过对比坐标值来判断两个点的相对位置。
若两点的x、y、z坐标值分别相等，则它们重合；若只有一个坐标值相等，则它们在同一坐标轴上；若有两个坐标轴的坐标值相等，则它们在同一平面上；若没有坐标值相等，则它们位于不同的坐标平面中。
3.点的中点坐标：求两点的中点坐标，可以将两个点的对应坐标分别相加然后除以24. 点的距离：可以根据勾股定理来求两点之间的距离。
设两点分别为P(x1, y1, z1)和Q(x2, y2, z2)，则它们之间的距离d为：d =sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)。
高一数学人教版A版必修二课件：4.3.1 空间直角坐标系
答案
1.空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长 度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个 空间直角坐标系Oxyz . (2)相关概念：点O 叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴 叫做坐标轴，通过 每 两个坐标轴 的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz 平面、zOx 平面. 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴 的正方向，食指指向 y轴 的正 方向，如果中指指向 z轴 的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
解析答案
5.如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面为正方形的直 棱柱)中，|AA1|＝2|AB|＝4，点E在CC1上且|C1E|＝3|EC|. 试建立适当的坐标系，写出点B，C，E，A1的坐标. 解 以点D为坐标原点，射线DA，DC，DD1 为x轴、y轴、z轴的正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 依题设， B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4).
高效学习模型-内外脑模型
2
内脑-思考内化
思 维 导 图 &超 级 记 忆 法 &费 曼 学 习 法
1
外脑-体系优化
知 识 体 系 &笔 记 体 系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆规律
记忆前
选择记忆的黄金时段 前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前 面看过的忘记了
类型一 求空间点的坐标 例1 (1)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AD|＝|BC|＝3，|AB|＝5， |AA1|＝4，建立适当的直角坐标系，写出此长方体各顶点的坐标.
§4.3.1 空间直角坐标系
法二求P点坐标
课本P136T2
练习2、
课本P136T3
z
(a,a,a) Q( a , a , a )
O(0,0,0)
A x B
2 2 2 C
y
例3：已知正四棱锥 P－ABCD 的底面边长为 4，侧棱长为 10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标． 分析：先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的性质， 建立适当的空间直角坐标系．
z
2 D ' (0,0, 2)
C '0,4,2
B '(3, 4, 2)
4
3,0,2 A '
O 0,0,0 3
y
C (0, 4,0)
B (3, 4,0)
x A (3, 0, 0)
思考4:如何作出点（５,４,６）?
分析：
从原点出发沿x轴 Ｏ 正方向移动５个单位 Ｐ1
z
Ｐ（５,４,６）
６
沿与y轴平行的方向 Ｐ1 向右移动４个单位 Ｐ2 ５o Ｐ１ ４ 沿与z轴平行的方向 Ｐ2 向上移动６个单位 Ｐ x
问题探究
空间中的点P用代数的方法怎样表示呢？
怎样确切的表示室内灯泡的位置？
描述空间中物体的位置时：需要3个数
思考1:平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴组成，设想：空间直角坐标系由几 条数轴组成？其相对位置关系如何？ 三条交于一点且两两互相垂直的数轴
思考2:在空间中，取三条交于一点且两两互相垂直 的数轴：x轴、y轴、z轴，组成空间直角坐标系Oxyz，
解：∵正四棱锥 P－ABCD 的底面边长为 4，侧棱长为 10，
∴正四棱锥的高为 2 23.
以正四棱锥的底面中心为原点，以垂 直于AB、BC 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴，建立如图的空间直角坐标系， 则正四棱锥各顶点的坐标分别为
空间直角坐标系
一、空间向量的基本概念
平面向量
空间向量
定义
具有大小和方向的量
表示法 几何表示：有向线段 AB 字母表示: a
向量的模
向量的大小 AB a
相等向量 相反向量 单位向量 零向量
长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 模为1的向量，没有规定方向 模为0的向量，与任何向量共线
空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，
( x y z 1)
判断四点共面，或直线平行 于平面
1.下列命题中正确的有：B
(1) p xa yb p 与 a 、b 共面 ; (2) p 与 a 、b 共面 p xa yb ；
(3) MP x MA y MB P、M、A、B共面；
(4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
预备知识
数轴Ox上的点M
实数x
O
直角坐标平面上的点M
y
M
x
x
实数对(x，y)
y A(x,y)
Ox
x
一、空间直角坐标系 —Oxyz
z
竖轴
1
纵轴
o
1
1
y
x
右手直角坐标系
横轴
右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让 右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的 正方向，如果中指指向 z 轴的正方向，则称这 个坐标系为右手直角坐标系．
【温故知新】
平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
五、共面向量
2. 如果两个向量 a,不b 共线，
《空间直角坐标系》知识讲解
《空间直角坐标系》知识讲解1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i jk 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面； 2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使O A x i y j z k =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．3．空间向量的直角坐标运算律： （1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则212121(,,)AB x x y y z z =---． 4模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则222123||a a a a a a =⋅=++，yk i ABB(x2,y2,z2)A(x1,y1,z1)O jxzyk i A(x,y,z)O jxzyk iABB(x2,y2,z2)A(x1,y1,z1)O jxz222123||b b b b b b =⋅=++．5．夹角公式：112233222222123123cos ||||a b a b a b a ba b a b a a a b b b ++⋅⋅==⋅++++．6．两点间的距离公式： 若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2222212121||()()()AB AB x x y y z z ==-+-+-，或222,212121()()()A B d x x y y z z =-+-+-．例1 已知(3,3,1)A ，(1,0,5)B ，求：（1）线段AB 的中点坐标和长度；（2）到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件例2．如图正方体1111ABCD A B C D -中， （1）若E 1∈A 1B 1，F 1∈C 1D 1，且11111114B E D F A B ==，求1BE 与1DF 所成角的余弦 （2）若P 为DD 1的中点，O 1，O 2，O 3分别是面ABCD ，B 1B 1C 1C 1，AB 1C 1D ，ABCD 的中心. 求证:B 1O 3⊥PA;并求PO 3与O 1O 2所成的角.(3)若E,F 分别是BB 1、CD 的中点，判断点A 、D 、C 1、E 四点是否共面？。
高二空间直角坐标系知识点
高二空间直角坐标系知识点直角坐标系是我们在平面上进行几何运算和图形表示时经常使用的一种工具。
在高二阶段，我们会进一步学习和应用空间直角坐标系，用于描述三维空间中的点、直线、平面等几何概念。
本文将介绍高二空间直角坐标系的相关知识点。
一、三维空间与坐标轴首先，我们需要了解三维空间的概念。
三维空间由x轴、y轴和z轴组成，分别代表了空间中的水平、竖直和垂直方向。
这三条轴相互垂直，并共同固定了一个坐标系原点O。
二、空间点的坐标表示在三维坐标系中，每个点都可以用坐标表示。
设某点为A，在x轴上的坐标为x，y轴上的坐标为y，z轴上的坐标为z，那么A 点的坐标可以用有序数组(x，y，z)表示。
通过坐标，我们可以准确地定位和描述空间中的各个点。
三、空间直线的表示与二维直角坐标系类似，我们可以用点斜式、两点式、截距式等多种方法来表示空间直线。
以点斜式为例，设直线L过点A(x₁, y₁, z₁)，方向向量为n(a, b, c)，那么直线L的方程可以表示为：(x - x₁)/a = (y - y₁)/b = (z - z₁)/c四、空间平面的表示空间平面也可以有多种表示方法，比如一般式、点法式、截距式等。
以一般式为例，设平面α的方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D为常数，那么平面α上的任意一点(x, y, z)必须满足该方程。
五、空间直角坐标系中的距离公式在空间直角坐标系中，我们可以用勾股定理来计算两点之间的距离。
设空间中两点A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)，那么AB的距离可以表示为：√((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)六、空间直角坐标系中的角度公式类似于二维情况，我们也可以利用空间直角坐标系来计算两条直线或者两个向量之间的夹角。
通过向量的内积，可以得到两个向量的夹角的余弦值，进而计算出夹角的度数。
空间直角坐标系
o
4
x
图2 3 1
空间直角坐标系
从空间某一个定点O引三条互相垂直且 有相同单位长度的数轴这样就建立了 空间直角 , , 坐标系 O xyz.O叫做坐标原点 x轴、y轴、z轴叫 做坐标轴, 这三条坐标轴每两条确 定一个 坐标平 面 , 分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面.
通常, 将空间直角坐标系画在 纸上时, x轴与y轴、
借助平面直角坐标系, 我们就可以用坐标 来表示平面上任意一点的位置 .那么, 怎样 用坐标来表示空间任意一点的位置呢 ?
2. 3 空间直角坐标系
学习目标
• 1 通过具体情境,感受建立空间直角坐标系的必要性； • 2 了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的 位置； • 3感受类比思想在探索新知识过程中的作用。
x
P R
z
Ax, y, z
o
z
y
ห้องสมุดไป่ตู้Q y
x
图2 3 2
的坐标依次为x, y, z, 我们将有序数对 x, y, z 叫做
点 A 的坐标 图2 3 2, 记为Ax, y, z .
P, Q, R称为点A在三条坐标轴上的射影 .
在空间直角坐标系中让右手拇指指向 轴的正方 , x 向, 食指指向y 轴的正方向 若中指指向z 轴的正方 , 向, 则称这个坐标系为 右手直角坐标系.本书建立 的坐标系都是右手直角 坐标系.
z
3
P4,5,3
5
在地面上建立直角坐标 xOy, 系 则地面任一点的位置只 需两个 坐标 x, y 就可确定.为了确定不 在地面内的物体 如电灯) 的位 ( 置, 需要用到第三个数表 示 物 体离地面的高度 , 即需要第三 个坐标 z.
空间直角坐标系
3.数量积不满足消去律
1.下列命题成立吗?
①若 a b a c ,则 b c
②若 a b k
,则 a
k b
③ ( a b) c a (b c )
2 ,ab 2 , 2. 已知 a 2 2 , b 2 135 则 a 与b 的夹角大小为_____.
角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、
DC的中点。求下列向量的数量积：
A F E D G C
(1) AB AC;(2) AD BD; (3)GF AC ;(4) EF BC.
4.如图，在空间四边形 ABCD 中，B AB 2 ， BC 3 ， BD 2 3 ， CD 3 ， ABD 30 ， ABC 60 ， 求 AB 与 CD 的夹角的余弦值
D' A' O B' z C'
A C 与 D B 相交于点P
写出点P的坐标。
C y x A
B
中点坐标公式
x1 x2 y1 y2 平面：P1 P2 的中点 ( , ) 2 2
类比
猜想
x1 x2 y1 y2 z1 z2 空间：P1 P2 的中点 ( , , ) 2 2 2
3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任 1 1 意一点O， OM xOA ＋ OB ＋ OC ,则x 3 3 的值为： D
A. 1
B. 0
C. 3
4.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点 O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？ 2 1 2 (1) OP OA OB OC ; 5 5 5
预备知识
数轴Ox上的点M
M x
空间直角坐标系和向量的基本知识
a 同向. 且 a
设
b
a，又设
b
a
aba， a
b.
两式相减，得 ( )a 0， 即 a 0，
a 0， 故 0， 即 .
设a0表示与非零向量a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
M2M3 M3M1 , 原结论成立.
例 2 设P 在x 轴上，它到P1(0, 2,3) 的距离为 到点P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点P 的坐标.
解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
正向.
空间直角坐标系
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
空间的点 11 有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C, O(0,0,0)
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C( x,o, z)
3、向量的概念 （注意与标量的区别） 4、向量的加减法 （平行四边形法则） 5、向量与数的乘法 （注意数乘后的方向）
a | a | a0
|
a a
|
a
0
.
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
例1
化简
a
b
5
1
b
空间直角坐标系知识点
空间直角坐标系知识点空间直角坐标系是我们在学习数学、物理等科学领域常常遇到的一个重要概念。
它是一种表示三维空间中点位置的方法，通过三个相互垂直的坐标轴来确定点的位置。
本文将介绍空间直角坐标系的基本概念、坐标轴的方向以及一些常见的知识点。
一、空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系是由三个互相垂直的坐标轴构成的。
我们可以将这三个坐标轴分别标记为X轴、Y轴和Z轴。
在空间直角坐标系中，任意一个点的位置可以通过它在每一个坐标轴上的投影来确定。
在空间直角坐标系中，我们通常用（x，y，z）来表示一个点的坐标，其中x代表该点在X轴上的位置，y代表该点在Y轴上的位置，z代表该点在Z轴上的位置。
这三个坐标分别是实数。
二、坐标轴的方向在空间直角坐标系中，坐标轴的方向是固定的。
X轴的正方向为从左向右，Y轴的正方向为从下向上，Z轴的正方向为从后向前。
这个规定是为了统一表示、计算和解析几何的方向。
需要注意的是，不同的学科、领域可能对坐标轴的方向有所不同。
在一些物理学或工程学的问题中，X轴的正方向可能定义为从右向左，Y轴的正方向可能定义为从上向下，Z轴的正方向可能定义为从前向后。
因此，在应用空间直角坐标系时，我们需要根据具体问题确定坐标轴的方向。
三、常见的空间直角坐标系知识点1. 距离公式：在空间直角坐标系中，两点之间的距离可以通过勾股定理计算。
设两点分别为A（x1，y1，z1）和B（x2，y2，z2），则AB的距离为√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)。
2. 坐标轴的平面：由X轴和Y轴组成的平面叫做XY平面，由X轴和Z轴组成的平面叫做XZ平面，由Y轴和Z轴组成的平面叫做YZ平面。
3. 坐标轴上的投影：在空间直角坐标系中，一个点在某个坐标轴上的投影就是它在该坐标轴上的坐标。
例如，一个点的投影坐标为（x，y，0），表示该点在XY平面上。
4. 坐标轴的正向和负向：在一个坐标轴上，正向是指从原点指向无穷大的方向，负向是指从原点指向负无穷大的方向。
《空间直角坐标系》主要概念
《空间直角坐标系》主要概念
空间直角坐标系——从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox、Oy、Oz，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O-xyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴。
坐标平面——通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面。
右手直角坐标系——在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。
空间直角坐标系中的坐标——对于空间任一点M，作出M点在三条坐标轴Ox轴、Oy轴、Oz轴上的射影，若射影在相应数轴上的坐标依次为x、y、z，则把有序实数对(x, y, z)叫做M点在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x, y, z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。
空间几何知识点公式总结
空间几何知识点公式总结1. 空间直角坐标系我们知道，在二维平面上有一个直角坐标系，它由两条互相垂直的坐标轴构成。
类似的，在三维空间中，我们可以构建一个三维直角坐标系，它由三条相互垂直的坐标轴构成，分别记作x轴、y轴和z轴。
在三维直角坐标系中，任意一点的坐标可以表示为(x, y, z)，其中x、y、z分别代表该点在x轴、y轴、z轴上的投影。
任意一条直线也可以表示为方程的形式，通常的一般式方程如下：Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C分别代表方向向量的分量，D为常数。
或者使用点向式方程表示：r = r0 + tV，其中r0为直线上一个已知的点，V为直线的方向向量，t为参数。
平面也可以用一般式方程表示为：Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为平面法向量的分量，D为常数。
2. 空间中的距离公式在空间中，两个点之间的距离可以使用三维空间中的距离公式来表示。
设P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)是空间中的两个点，它们之间的距离可以表示为：d(P1, P2) = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)。
这个公式就是三维空间中两点间距离的计算公式，它是由勾股定理推导而来。
3. 空间中的角度公式在空间中，我们也可以计算两条直线或者两个向量之间的夹角。
对于两条直线之间的夹角，可以通过它们的方向向量来计算。
如果两条直线的方向向量分别为V1和V2，它们的夹角θ可以表示为：cos(θ) = (V1·V2) / (|V1| · |V2|)。
对于两个向量之间的夹角，可以使用向量的点积和模长来表示。
设向量A(a1, a2, a3)和向量B(b1, b2, b3)是空间中的两个向量，它们之间的夹角θ可以表示为：cos(θ) = (a1b1 + a2b2 + a3b3) / (√(a1^2 + a2^2 + a3^2) · √(b1^2 + b2^2 + b3^2))。
空间直角坐标系及空间两点距离
轴．
2.y轴和z轴的单位长度相同， x轴上的单位长度为y轴 (或z轴)的单位长度的一半． x
o
1350
y
空间点的坐标：
设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直 于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴 和z 轴于点P、Q和R．
z
R
M
P
O
M’
Q
y
x
方法二：过M点作xOy面的垂线，垂足为M0点。点M0在 坐标系xOy中的坐标x、y依次是M点的横坐标、纵坐标。 再过M点作z轴的垂线，垂足M1在z轴上的坐标z就是M点
点P的位置
坐标形式
(x,y,0) (0,y,z) (x,0,z)
在空间直角坐标系中标出D点： D(1,3,4)
z D 4
1
O
D`
3
y
x
例1 : 在长方体OABC DABC 中， OA 3， OC 4， OD 2, 写出所有点的坐标 .
z
2 D ' (0,0, 2)
C '0,4,2
空间直角坐标系及空间 两点距离
一、空间直角坐标系
z
D'
C' A' O C B'
y
x
A
B
在空间直角坐标系中 ， 让右手拇指
指向 x 轴的正方向 ， 食指指向y 轴
的正方向 ， 如果中指能指向 z 轴的 正方向 ， 则称这个坐标系为
右手直角坐标系
z
z
O
y y
x
x
空间直角坐标系的画法：
1.x轴与y轴成1350,z轴垂直于y z
z
P5 ( 1, 1, 1)
P (1,1,1)
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知识点22 空间直角坐标系【模拟演练】1.已知点B是点A(3,7,-4)在xOz平面上的射影，则|OB|等于( )(A)(9,0,16) (B)25 (C)5 (D)13【解析】选C.由题意得点B的坐标为(3,0,-4),故|OB|=()222304++-=5.8.(2013·武汉模拟)二面角α-l-β为60°,A，B是l上的两点，AC ，BD 分别在半平面α，β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ,且AB ＝AC=a,BD=2a,则CD 的长为( )(A)2aa (C)a【解析】选A.∵AC ⊥l ,BD ⊥l ,∴〈AC,BD u u u r u u u r 〉=60°,且AC BA u u u r u u u r g =0,AB BD u u u r u u u rg =0, ∴CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ,∴CD =u u u r=2a.9.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且11AM MC 2u u u u r u u u u r＝，N 为B 1B 的中点，则｜MN u u u u r｜为( )a (B)6aa 【解析】选A.以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0),C 1(0,a,a),N(a,a,a2).设M(x,y,z).∵点M 在AC 1上且11AM MC 2u u u u r u u u u r＝，∴(x-a,y,z)=12(-x,a-y,a-z),∴x=23a,y=a 3,z=a 3.于是M(2a 3,a 3,a3),∴MN =u u u u r ｜｜=6. 14.(2013·长沙模拟)空间四边形OABC 中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45°,∠OAB=60°,则OA 与BC 所成角的余弦值等于_______.14.【解析】由题意知()AO BC AO AC AB AO AC AO AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g g=8×4×cos45°-8×6×cos60°2-24.AO BC 16224223cos AO BC .855AO BC∴===⨯u u u r u u u ru u u r u u u r g u u u r u u u r 〈，〉 ∴OA 与BC 所成角的余弦值为325-. 答案：3225- 15.(能力挑战题)如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF BA u u r u u u r g .(2)EG 的长.(3)异面直线EG 与AC 所成角的大小．15.【解析】设AB u u u r =a ,AC uuu r =b ,AD u u u r=c ，则｜a ｜=｜b ｜=｜c ｜=1，〈a ,b 〉=〈b ,c 〉=〈c ,a 〉=60°，111EF BD ,222==-u u r u u u r c aBA u u u r=-a ,DC uuu r =b -c .(1)EF BA u u r u u u r g =(12c -12a )·(-a )=-12a ·c +12a 2=-14+12=14.(2)EG EB BC CG =++u u u r u u u r u u u r u u u r=()()11AB AC AB AD AC 22+-+-u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r =111AB AC AD 222-++u u u r u u u r u u u r =-12a +12b +12c∴2EG u u u r =14(-a +b +c )2=14(a 2+b 2+c 2-2a ·b -2a ·c +2b ·c )=12，∴EG =u u u r ｜｜，即EG． (3)由(2)知，EG AC ⋅u u u r u u u r =(-12a +12b +12c )·b=-12a ·b +12b 2+12c ·b =12，∴1EG AC cos EG,AC 2EG AC ⋅===⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 〈〉．｜｜｜｜ 故异面直线EG 与AC 所成的角为45°．【布置作业】P 285 1,2，3知识板块5 算法初步知识点23 算法的含义、程序框图【模拟演练】1.某客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为：不超过25 kg 按0.5元/kg 收费，超过25 kg 的部分按0.8元/kg 收费，计算收费的程序框图如图所示，则①②处应填( )(A)y=0.8x y=0.5x (B)y=0.5x y=0.8x (C)y=0.8x-7.5 y=0.5x (D)y=0.8x+12.5 y=0.8x 【解析】选C.设行李的质量为x kg ，则所需费用为：()0.5x 0x 25,y 12.50.8x 25x 25,<≤⎧⎪⎨+->⎪⎩，＝，即0.5x,0x 25,y 0.8x 7.5x 25.<≤⎧⎨->⎩＝，2.执行如图所示的程序框图，如果输出的是a=341，那么判断框内应填( )(A)k<4? (B)k<5? (C)k<6? (D)k<7?【解析】选C.依次执行程序框图：k=1，a=1；k=2，a=5；k=3，a=21；k=4，a=85；k=5，a=341；6<6不成立，输出341.故循环条件是k<6？.3.(2013·太原模拟)按如图所示程序框图运算，若输出k=2,则输入的x的取值范围是( )(A)(28,+∞) (B)(-∞,57］(C)(28,57］(D)［28,57)【解析】选C.执行第一次循环得x 1=2x+1,k=1,此时不退出循环，故2x+1≤115,得x ≤57;执行第二次循环得x 2=2(2x+1)+1,k=2,此时退出循环，故2(2x+1)+1>115,得x>28,故x 的取值范围是28<x ≤57. 4.(2013·昆明模拟)如果执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( )()()()()1234A B C D 5555【解析】选D.问题相当于数列{a n }中，123456431243a ,a ,a ,a ,a ,a ,555555======L ，求a 2 013，显然，{a n }是周期为4的数列， 2 01314a a .5∴==5.(2012·新课标全国卷)如果执行如图的程序框图，输入正整数N(N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ，输出A,B,则( )(A)A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和 (B)A B2为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数 (C)A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数 (D)A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数【解析】选C.随着k 的取值不同，x 可以取遍实数a 1,a 2,…,a N ，依次与A ，B 比较，A 始终取较大的那个数，B 始终取较小的那个数，直到比较完为止，故最终输出的A ，B 分别是这N 个数中的最大数与最小数.6.(2012·湖南高考)如果执行如图所示的程序框图，输入x ＝－1，n ＝3，则输出的数S ＝_______.【解析】当i＝2时S＝－3，当i＝1时S＝5，当i＝0时S＝－4，当i＝－1时，不满足条件，退出循环，输出结果S＝－4.答案：-47.(能力挑战题)如图是求12＋22＋32＋…＋1002的值的程序框图，则正整数n＝_______.【解析】第一次执行后，i＝2，s＝12；第二次执行后，i＝3，s＝12＋22，而题目要求计算12＋22＋…＋1002，故n＝100. 答案:100【布置作业】高考模拟1,3知识点24 基本算法语句【模拟演练】1.运行如图所示的程序，输出的结果是( )(A)2 (B)3 (C)5 (D)6 【解析】选B.a＝1，b＝2，a＝1＋2＝3.所以输出的结果是3.2.将下面的程序框图改写为程序语句.【解析】相应语句如下：3.将下面的程序语句改写为程序框图.【解析】相应程序框图如下：4.根据下面的要求，求满足1＋2＋3＋…＋n > 500的最小的自然数n.(1)下面是解决该问题的一个程序，但有3处错误，请找出错误并予以更正.(2)画出执行该问题的程序框图.【解析】(1)错误1:S = 1，改为S = 0；错误2:无END语句,在输出下面加“END”；错误3:输出 n + 1，改为 PRINT n.(2)5.(2013·嘉峪关模拟)有以下程序：INPUT xIF x＜=-1 THENf(x)=x+2ELSE IF x ＞-1 AND x ＜=1 THENf(x)=x ﹡xELSE f(x)=-x+2END IFEND IFPRINT f(x)END5.【解析】由题意知，()2x 2,x 1,f x x ,1x 1,x 2,x 1.+≤-⎧⎪=-≤⎨⎪-+⎩＜＞画出f(x)的图象如图所示.若函数g(x)=f(x)-m 有两个零点，即直线y=m 与函数y=f(x)有两个交点，故m ＜0或m=1.答案:m ＜0或m=1【布置作业】金榜 P 389 1、2、3。