第2讲 Maxwell方程Yee算法

Ey
Ex
Ez
Hy
Ey
Ex
2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（4）
在时间上， Yee 把电场 分量与磁场 分量也差半 个步长取样。
Ez Hy Ez Hy Ez Hy Ez Hy Hy t=0.5t Ez 2x Ez t=t Hy Ez 0 Ez t=2t t=1.5t
Ez
Ez
Ez
x
1 1 ct ~ n1 / 2 ~ n1 / 2 n n H y (k ) H y (k ) E ( k 1 ) E x x (k ) 1 2 2 z r (k 2 )
n 1 n Ex (k ) E x (k )


式中，c
1
ct ~ n1 / 2 1 1 ~ n1 / 2 H ( k ) H ( k ) y y z r (k ) 2 2
2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（10）
利用对偶原理： H E，E H， , , Da C a , Db Cb ，并注意到 E 与 H 在时间上差半个步
长，可以直接从磁场 FDTD公式得到电场的FDTD公式。 如：
E x i, j , k , n 1 C aEx i, j , k E x i, j , k , n C bEx i, j , k H y i, j , k 1, n 1 H y i, j , k , n 1 z H z i, j 1, k , n 1 H z i, j , k , n 1 y
式中，时间变量已隐含在迭代公式中，以及
1 ~ Hy[k ] H y (k ); Ex[k ] E x [k ]; 2 ct ct ca[k ] ; cb [ k ] z r (k 1 z r (k ) 2)
只要给定了所有空间点上电/磁场的初值，就可以一步 一步地求出任意时刻所有空间点上的电/磁场值。
C aEw 2 t 2 t C bEw
Ew所在空间位置
2t 2 t
Ew所在空间位置
2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（11）
• 给出n=0时刻电磁场的初值和媒质参数； • 由磁场FDTD公式，根据n时间步的电场值和磁场值 求得n+1时间步空间所有点的磁场分量； • 由电场FDTD公式，根据n时间步的电场值和n+1时间 步的磁场值求得 n+1时间步空间所有点的电场分量； • 如此迭代，可获得任何时刻空间所有点的电磁场值。 每一过程常称为蛙跳法(leapfrog)。 • 对于连续变化的媒质，FDTD法需储存的量有 n时间 步和n+1时间步的六个场分量，六个D参数和六个C 参数，所以总储存量近似为24N, N为空间网格数。 但对于均匀媒质， D 参数和 C 参数为常数，故总储 存量减少为12N。
2.1 一维Maxwell方程的Yee算法（1）
一维Maxwell方程
H y E x 1 H y 1 E x t 0 r z t 0 r z 利用一阶导数的二阶中心差分近似，上面的方程变为
n 1 / 2 n 1 / 2 1 n 1 n H ( k ) H (k 1 Ex (k ) E x (k ) 1 y y 2 2) t 0 r (k ) z
2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（8）
同理，可以得到其他2个磁场分量的FDTD方程
H y i, j, k , n 1 DaHy i, j, k H y i, j, k , n E z i 1, j, k , n E z i, j, k , n x DbHy i, j, k E x i, j, k 1, n E x i, j, k , n z H z i, j , k , n 1 DaHz i, j , k H z i, j , k , n E x i, j 1, k , n E x i, j , k , n y DbHz i, j , k E i 1 , j , k , n E i , j , k , n y y x 2 t 2t DaHw DbHw 2 t H 所在空间位置 2 t H 所在空间位置
2

最后，忽略高次项，得
H x i, j , k , n 1 D aHx i, j , k H x i, j , k , n E y i, j , k 1, n E y i, j , k , n z DbHx i, j , k E z i, j 1, k , n E z i, j , k , n y
0 0
为自由空间中的光速。
2.1 一维Maxwell方程的Yee算法（3）
用计算机语言表示的FDTD公式
Hy[k ] Hy[k ] ca[k ] * Ex[k 1] Ex[k ] Ex[k ] Ex[k ] cb[k ] * Hy[k ] Hy[k 1]
2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（1）
考虑非时变、线性、各向同性媒质填充的无源区域， Maxwell旋度方程为
H x 1 E y E z H x t z y H y 1 E z E x H y t x z H z 1 E x E y H z t y x
第 2 讲
Maxwell方程Yee算法
• 本讲介绍 K.S. Yee 提出的 FDTD 算法，它是电磁场 FDTD分析的基础。 • Yee的独特之处是在空间为每一个电场和磁场分量 的空间取样选择一种特殊的网格 —称之为Yee网格， 在时间上，采用了蛙跳算法，使得利用一阶导数 的二阶中心差分近似从Maxwell方程获得的FDTD公 式，既满足Maxwell方程的微分形式又满足其积分 形式。 • 因此，Yee的FDTD算法非常稳固，具有很广的应用 领域。


O z 2

1

{ Ez y
1 i , j , k 1 2
Ey

1 1 i, j ,k 2 2 n Ez 1 i, j ,k 2
z
n i , j 1, k 1 2


1 Hx 1 1} i, j ,k 2 2 n
O y 2

2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（12）
媒质参数赋值
在所有空间点给电磁场分量赋初值
求所有空间离散点上n+1时间步的磁场 求所有空间离散点上n+1时间步的电场
n=n+1
No Yes n>nmax 结束
2.3 以积分形式的Faraday和 Ampere 定理 解释Yee算法（1）
• 上面介绍的 FDTD 算法是从点的观点对 Maxwell 方程 微分形式中的两个旋度方程直接进行导数二阶中心 差分近似得到的。
1 2
t
O t

2

E y z
E z y
n

1 1 i , j ,k 2 2
n
Ey
n 1 i , j , k 1 2
Ey
n 1 i , j ,k 2
z
Ez
1 i , j 1, k 2 n
O z
O y

2



1 1 i , j ,k 2 2
H E H t
2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（2）
以及
E x 1 H z H y E x t y z E y 1 H x H z E y t z x E z 1 H y H x E z t x y
Ez
n i , j ,k
1 2
y

2
2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（6）
将上述公式代入相应的方程，得
Hx
n 1 1 i , j ,k 2 2 1 2
Hx t Ey
n
n
1 1 i , j ,k 2 2
1 2
O t 2
n 1 i, j ,k 2
Ez
3x x t=0
2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（5）
于是，利用 一阶导数的 二阶中心差 分近似就可 以导出旋度 方程的FDTD 公式。如：
H x t
n 1 1 i , j ,k 2 2
Hx
n
1 i , j , k 1 2
1 2
Hx
n
1 i , j ,k 2
w w
2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（9）
上面公式之间有明显的规律，便于记忆，如： • 系数 Da 和 Db 在空间的位置就是方程左边项的场分量 的空间位置； • 右边第一项的场分量与左边的相同，但为n时间步， 而左边场分量的时间步为n+1； • 右边第二、第三项的场分量与左边的相反（电场与磁 场）三者的坐标分量满足循环关系：x-y-z-x; • 右边第二、第三项为空间差分形式。右边第二项分子 上场量的坐标分量与分母上空间步长的坐标分量也满 足x-y-z-x的循环关系。而右边第三项分子上场量的坐 标分量和空间步长坐标分量与第二项恰好对调。 • 第三项符号为负。
• 这种观点对理解FDTD如何模拟波在媒质中的传播是 有用的。但是，当模拟细几何结构如导线、槽和曲 面时，点的观点对于指导为了获得适当解需要作怎 样的算法修正却帮助甚少。

1 i , j ,k 2 2
2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（7）
采用时间平均近似
Hx Hx
1 1 i , j ,k 2 2 n n 1 2 n 1 2

1 1 i , j ,k 2 2
Hx 2
1 1 i , j ,k 2 2
O t

E H E t
2.2 三维Maxwell方程的Yee算法（3）
• Yee 首先将空 间按立方体分割， 电磁场的六个分 量在空间的取样 点分别放在立方 体的边沿和表面 中心点上，电场 与磁场分量在任 何方向始终相差 半个网格步长。
x Hz Ex Ey Ez Hx z ( i, j, k ) y Ez
n 1 / 2 n 1 / 2 1 Hy (k 1 ) H ( k y 2 2) n n Ex (k 1) E x (k ) 1 0 r (k 1 z 2)
t
2.1 一维Maxwell方程的Yee算法（2）
采用归一化磁场
0 ~ H H 0
使得电场与归一化磁场有相同的数量级，于是可以 得到FDTD迭代公式为
2.1 一维Maxwell方程的Yee算法（3）
Ex
n2
Hy
Ex
n 3/ 2 n 1
Hy
Ex
n 1/ 2 n0
0Hale Waihona Puke Baidu
1
2
3
k
电场与磁场分量的空间-时间分布图
2.1 一维Maxwell方程的Yee算法（4）
Main loop in 1D FDTD C-program:
for (k=0;k<=kmax;k++) { Hy[k]=0; Ex[k]=0;} for (n=1;n<=nmax;n++) { Ex(0)=Source(n); for (k=0;k<kmax;k++) { Hy[k]=Hy[k]-ca[k]*(Ex[k+1]-Ex[k]); } for (k=1;k<kmax;k++) { Ex[k]=Ex[k]-cb[k]*(Hy[k]-Hy[k-1]); } Ex(kmax)=Boundary; }