平行线的判定及性质 例题及练习

平行线的判定及性质

一、【基础知识精讲】

1、平行线的判定

（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线. （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线. （4）同位角相等，两直线平行. （5）内错角相等，两直线平行.

（6）同旁内角互补，两直线平行.

3、平行线的性质

（1）两直线平行，同位角相等. （2）两直线平行，内错角相等.

（3）两直线平行，同旁内角互补.

二、【例题精讲】

专题一：余角、补角、对顶角与三线八角

例题1：∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（）

A．直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能

【活学活用1】如图2-79中，下列判断正确的是（）

A.4对同位角，2对内错角，4对同旁内角

B.4对同位角，2对内错角，2对同旁内角

C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角

D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角

【活学活用2】如图2-82，下列说法中错误的是( )

A.∠3和∠5是同位角

B.∠4和∠5是同旁内角

C.∠2和∠4是对顶角

D.∠1和∠2是同位角

【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,

图中∠1与∠2的关系是（）

A.对顶角

B.互余

C.互补D相等

例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是_______.

【活学活用4】如图，∠AOC +∠DOE +∠BOF = .

专题二：平行线的判定

例题3：如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG ∥AB.

1 2

A B

C

D

F E G

【活学活用】

1、长方体的每一对棱相互平行，那么这样的平行棱共有 ( )

A ．9对

B ．16对 C.18对 D ．以上答案都不对

2、已知:如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,求证：DO ⊥AB.

3、如图2-97,已知：∠1=∠2=，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.

4、如图2—101，若要能使AB ∥ED ，∠B 、∠C 、∠D 应满足什么条件?

A

B

C

D

O

E F

5、同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a ∥b ，a ⊥c ，b ⊥d ，则c 、d 的位置关系为（ ） A.互相垂直 B ．互相平行 C.相交 D ．没有确定关系

专题三：平行线的性质1、

如图，110,ABC ACB BO ∠+∠=、CO 分别平分ABC ∠和,ACB EF ∠过点O 与BC 平行，则BOC ∠= . 2、如图，AB //CD ，BC //DE ，则∠B+∠D = .

3、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE .若60DOE ∠=，则∠AOC 的度数是 .

4、 如图，175,2120,375∠=∠=∠=，则4∠= .

1

3 4

2

5、如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，ED 平分BEF ∠，若172∠=，则2∠= .

【例题讲解】

例1：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。

证明：∵ AD ∥BC （已知）

∴ ∠A+∠B ＝180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵ ∠AEF=∠B （已知）

∴ ∠A ＋∠AEF ＝180°（等量代换）

∴ AD ∥EF （同旁内角互补，两条直线平行）

A

B

C

E

F O

A

B

C

D

E

C A

B

D O

E

A B

C

D

E

F

1 2

3

A

B

C

D

E F

例2：如图，已知：AE 平分∠BAC ，CE 平分∠ACD ，且AB ∥CD 。 求证：∠1＋∠2=90°

证明：∵ AB ∥CD （已知）

∴ ∠BAC ＋∠ACD=180°(两条直线平行，同旁内角互补)又∵AE 平分∠BAC ，CE 平分∠ACD （已知）

∴∠1＝21∠BAC, ∠2＝2

1

∠ACD （角平分线的定义）

∴∠1+∠2 ＝ 2

1

(∠BAC ＋∠ACD)（等式的性质）

＝ 2

1

× 180o ＝90 o

即 ∠1＋∠2=90o

例3：如图，已知：∠1＝∠2，求证：∠3＋∠4=180o

证明：

例4：如图，已知：AB ∥CD ，MG 平分∠AMN ,NH 平分∠DNM ，求证：MG ∥NH 。

E

1

A B

C D

2

A

B C D

M

F

G

12

3

4

5

1A B

C D

M

F

G

E

H

N

2