浅谈导数在研究函数性态中的作用

浅谈导数在研究函数性态中的作用摘要：导数在解决函数问题上提供了有力的工具，对导数在解决函数问题中的作用进行阐述：可导函数的单调性、函数的极值与最值、函数的凹凸性、函数的渐近线和描绘函数的图像．并研究函数的单调性、极值与最值、凹凸性和渐近线，并附上例题说明．关键字：导数 单调性 极值与最值 凹凸性0引言历史上数学思想的突破点是数学历史发展的重大转史的发展历程，因此在教学中，学生自然会提出的一系列问题：“导数”概念是怎样得出的？“趋近于”怎样理解?要弄清这些问题，只有翻开数学史，从哲学的角度认识导数，这样不仅能帮助我们搞清楚导数的概念，有助于建立正确的数学观念.1 主要内容(1）函数的单调性高中阶段，我们对函数单调性的定义如下：定义：已知函数)(x f y =，定义域为I ，如果I b a ⊂],[,那么],[21b a x x ∈∀、且21x x <．那么(1)当时0)()(21>-x f x f ，就称函数)(x f y =在区间],[b a 上为单调递减函数； (2)当时0)()(21<-x f x f ，就称函数)(x f y =在区间],[b a 上为单调递增函数． （1.1）单调性的判别方法 定理1]1[如果函数)(x f y =在],[b a 上连续，),(b a 内可导，那么（1） 若在),(b a x ∈∀内，0)(>'x f ，则函数)(x f 在],[b a 上单调递增； （2） 若在),(b a x ∈∀内，0)(<'x f ，则函数)(x f 在],[b a 上单调递减. 定理2 若函数)(x f y =在),(b a 内可导，则函数在),(b a 内单调． （1）在),(b a x ∈∀内，0)(>'x f ，则函数)(x f 在],[b a 上单调递增；（2）函数)(x f y =在),(b a 内严格递减，那么),(b a x ∈∀，有0)(≤'x f ；在),(b a 内的任何子区间上)(x f '不恒等于零．推论]1[设函数)(x f 在),(b a 内可导，若0)(>'x f （0)(<'x f ），则)(x f 在),(b a 内严格递增（严格递减）．注意：本推论只是严格单调的充分条件。

如5)(x x f =在R 上是严格单调的，但45)(x x f ='并不是在R 上不恒大于零的，有0)0(='f ．因此允许个别离散型的点时的0)(='x f ．满足方程0)(0='x f 的点0x 为函数)(x f y =的稳定点（又称驻点）．（1.2） 单调区间的划分（1）函数单调区间的分界点可能是：驻点或者不可导点．（2）求单调区间的步骤：先求出函数的定义域；再求出可能的分界点：驻点或不可导点；用上面的分界点将定义域分成若干小区间；最后判断在每个小区间上)(x f '的符号来判断单调区间． （1.3）例题例1 判定函数1--=x e y x的单调性分析：先判断函数的定义域，再判定一阶导为0 的点或导数不存在的点将定义域划为几个区间，然后分别确定在这些区间上的单调性．解法一：（用定义求）由题可知函数的定义域为R ，令 1x R x ∈2且21x x < 有 )1(1)()(212121-----=-x e x e x f x f x x1221x x e e x x-+-=又e >1，且21x x <，有021<-x xee ，012>-x x .由1x R x ∈2．结合函数xe y =1和函数x y =2在同一坐标下的图像得知，当1x 0>时，211y e e y x '=>>='，0)()(21<-x f x f ，即函数1--=x e y x 在),0(+∞上单调递增；当02<x 时，211y e y x '=<='，0)()(21>-x f x f ，即函数1--=x e y x 在)0,(-∞上单调递减．解法二： 函数1--=x e y x 的定义域为R ，在定义域上连续，可导，且1-='xe y ．令0='y ，即0,101===-x e e x x 则．因为在y '-∞内)0,(<0，所以函数1--=x e y x 在)0,(-∞上单调递减；在),0(+∞内y '>0，所以函数1--=x e y x 在),0(+∞上单调递增．相比较而言，用导数求函数的单调性就能更加的简便和通用. （2） 函数的极值、最值（2.1） 极值的概念：设函数)(x f 在区间I 上有定义若I x ∈0，且存在0x 的某领域I x U o ⊂)(，有))()()(()(00x f x f x f x f ≥≤则称0x 为)(x f 的极大值点（极小值点）．)(0x f 为)(x f 的极大值（极小值）．极大值点和极小值点统称为函数的极值点极大值与极小值统称为极值．若函数)(x f 的最大（小）值点0x 在区间I 内，则0x 必定为)(x f 的极大（小）值点．又若)(x f 在0x 可导，在0x 还是一个稳定点．所以我们只需比较)(x f 在所有稳定点、不可导点和区间断电上的函数值，就能从中找到)(x f 在I 上的最大值与最小值．最大值与最小值统称为函数的最值．（2.2） 极值存在的条件 费马定理]1[ 若函数)(x f 在0x 可导，且0x 为)(x f 的极值点，则)(0x f '=0．定理3]1[ （极值的第一充分条件） 设)(x f 在点0x 连续，在某领域);(00δx U 内可导．（i ） 若当，时当时0)(),(,0)(),(000≥'+∈≤'-∈x f x x x x f x x x δδ则)(x f 在点0x 取得极小值．（ii) 时当时若当),(,)(),(δ+∈≥'δ-∈0000x x x 0x f x x x 0)(≤'x f ,则)(x f 在点0x 取极大值．定理4]1[（极值的第二充分条件） 设)(x f 在点0x 的某领域),(00δ+x x U 内一阶可导，在0x x =处二阶可导，且.0)(,0)(00≠''='x f x f（i) 若)(0x f ''>0，则)(x f 在0x 取极大值． （ii ）若)(0x f ''<0，则)(x f 在0x 取得极小值． 定理5]1[ （极值的第三充分条件） 设)(x f 在点0x 的某领域内存在知道1-n 阶导函数，在 0x 处n 阶可导，且0)(0)(=x f k ),1,...,2,1(-=n k 0)(0)(≠x f n ，则：（i) 当n 为偶数时，)(x f 在0x 取极值，且)(0)(x f n <0时取极大值，)(0)(x f n >0时取极小值．（ii ） 当n 为奇数时，)(x f 在0x 处不取极值． （2.3） 闭区间上连续函数的最值求法闭区间上连续函数的最值求法：将闭区间上连续函数的最值的求法推广为开区间、半开区间(包括无穷区间)即任意区间的连续函数最值的判定和求法。

其方法就是把函数的驻点、不可导的点、闭端点的函数值中的最大(最小)值与开端点的单侧极限值比较,达到最大(最小),就是函数的最大(最小)值;否则函数就没有最大(最小)值． （2.4）例题例2 求函数=)(x f │233+-x x │在闭区间[10,10-]上的最大值与最小值．解 函数)(x f 在闭区间[10,10-]上连续，故存在最大最小值．由于=)(x f │232+-x x │=│)2)(1(--x x │232+-x x 110≤≤-x ，= 232-+-x x 21≤≤x ，232+-x x 102≤≤x ； 因此32-x 110≤≤-x ， =')(x f 32+-x 21≤≤x ， 32-x 102≤≤x ；求出导数的不稳定点23=x 以及端点10,10-=x 的函数值所以函数)(x f 在23=x 处取得最小值41，在10-=x 处取得最大值132．（3）函数的凹凸性（3.1） 概念： 定义1]1[ 设函数)(x f 在区间I 内有定义，且连续。

如果对于区间I 内任意两点21,x x ，总有)2(21x x f +<2)()(21x f x f +， 那么，称函数)(x f 在区间I 上的图像是（向上）凹的（或凹弧）；如果总有)2(21x x f +>2)()(21x f x f +， 那么，称函数)(x f 在区间I 上的图像是（向上）凸的（或凸弧）．72)10(,41)23(,132)10(===-f f f注 若))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的一个拐点，)(x f y =在点0x 的导数不一定存在，如x y 3=在0=x 的情形．定义2]1[ 设函数)(x f 在区间I 内有定义，若对I 上的任意两点21,x x 和任意实数)1,0(∈λ总有))1((21x x f λλ-+),()1()(21x f x f λλ-+≤则称)(x f 为I 上的凸函数。

反之，如果总有))1((21x x f λλ-+),()1()(21x f x f λλ-+≥则称)(x f 为I 上的凹函数．定义 连续的曲线)(x f y =上凸弧段与凹弧段的分界点称为该曲线的拐点． (3.2) 函数凹凸性判定定理定理6]1[ 设函数)(x f 在区间I 内可导，如果)(x f '在区间I 内单调增加（或单调减少），那么函数)(x f 在区间I 上的图像是凹的（或凸的）．定理7]1[ 设函数)(x f 在区间I 内二阶可导，那么（1） 若在I 内，)(x f ''>0，则函数)(x f 在区间I 上的图像是凹的； （2） 若在I 内，)(x f ''<0，则函数)(x f 在区间I 上的图像是凸的． (3.3)解题步骤若函数在区间I 内二阶可导，讨论函数)(x f 的凹凸性可按以下步骤进行： （1） 求出函数的二阶导函数)(x f ''；（2） 令)(x f ''=0，求解．其解将函数的定义域分成若干个开区间；（3） 判断在每个小区间内)(x f ''的符号，设0)(=''c f ，可按照下表来判断函数的凹 凸性：(3.4)例题例3 求曲线14334+-=x x y 的拐点及凹、凸的区间．解 （1） 函数14334+-=x x y 的定义域为R ．231212x x y -=');32(3624362-=-=''x x x x y（2） 解方程0=''y ，得01=x ，322=x ；（3）01=x 及322=x 将函数的定义域R 分成3个部分区间：)0,(-∞，]32,0[及),32[+∞．下面列表考察y ''的符号：因此，该曲线在)0,(-∞，),3[+∞上是凹的，在]3,0[上是凸的．271132,10====y x y x 时，时，，点)2711,32(),1,0(都是该曲线的拐点． (4) 求函数的渐进性定义 在平面内，当曲线C 上的动点M 沿着曲线C 向无限远处移动时，当动点M 到一直线l 的距离无线接近0时，我们就称直线l 为曲线C 的一条渐近线． 注：渐近线的条数不唯一，一条曲线可以有多条渐近线．曲线有三种渐近线：斜渐近线、水平渐近线、垂直渐近线． (4.1) 斜渐近线如果直线b ax y +=是曲线)(x f y =的一条渐近线是a xx f x =+∞→)(lim，b ax x f x =-+∞→))((lim ．在这里也可以改为-∞→x ． (4.2) 水平渐近线若直线b y =为曲线)(x f y =的一条水平渐近线是b x f x =+∞→)(lim ．当斜渐近线中的0=a 时，为水平渐近线．(4.3) 垂直渐近线若直线0x x =为曲线)(x f y =的一条垂直渐近线是∞=-→)(lim 0x f x x （或∞=+→)(lim 0x f x x ）．注：这样的0x 一般是由观察法得到，一般为分母为零或对数的真数为零处． (4.4)例题例4 求函数)1(4)3()(2--=x x x f 的渐进性．解 已知-∞=--+∞=---+→→)1(4)3(lim ,)1(4)3(lim 2121x x x x x x ，则1=x 是曲线的垂直渐进性． 又有41)1(4)3(lim )(lim 2=--==∞→∞→x x x x x f a x x454495lim )1(496lim ]4)1(4)3([lim ])([lim 222-=-+-=-+-+-=---=-=∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x ax x f b x x x x ．故 直线4541-=x y 是曲线的斜渐近线．(5) 描绘函数图象 (5.1) 步骤在描绘函数图象的时候，如果事先能够知道图形上的医学关键点（如“峰”、“谷”及拐点等）的位置，又能掌握图形在各个部分区间上的主要形态（如单调性、周期性、凹凸性等），那么只需要描出少数几个点就可以比较准确地画出函数的图像．利用函数的一阶导数，可以确定函数的图形在哪个区间上上升/下降，在哪里有“峰”“谷”点；利用函数的二阶导数，可以确定函数的图形在哪个区间上位凹/凸，在哪里有拐点．因此利用导数描绘函数的图形的一般步骤如下：a 确定函数)(x f 的定义域，了解函数是否具有某些简单的特性（如奇偶性、周期性等），求出函数的一阶导数)(x f '和二阶导数)(x f ''．b 求出一阶导数和二阶导数在定义域内的全部的零点及不存在的点，并求出函数的间断点．用这些点将函数定义域分成若干部分区间．c 确定函数的一阶导数和二阶导数在这些部分区间内的符号，由此确定图形的单调性、凹凸性、极值点和拐点（通常制作成表格形式）．d 确定函数图形是否有渐近线及其他变化趋势．e 算出函数的一阶导数和二阶导数的零点及不存在的点所对应的函数值，定出函数图形上相应的点．为了把图形描绘的准确一些，有时候需要补充求出图形的一些点（特别可以考虑的是图形与坐标轴的交点）．最后，结合第三四步中得到的结果，连接这些点画出函数)(x f y =的图形．(5.2) 例题 例5 作出函数1323123++-=x x x y 的图形．解（1）所给函数)(x f y =的定义域为R ，且函数在R 上是连续的．而).2(242)(),3)(1(34)(2-=-=''--=+-='x x x f x x x x x f（2）令0)(='x f ,得稳定点3,121==x x ；0)(=''x f ,得2=x ．此外，函数在R 上无间断点，并且也无使)(x f '和)(x f ''不存在的点。