专题18基本不等式的应用课件课件
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第04讲 基本不等式及其应用(十八大题型)(课件)-高考数学一轮复习(新教材新高考)
题型一：基本不等式及其应用
【典例1-1】下列不等式证明过程正确的是（ ）
A．若, ∈ R，则 + ≥ 2
⋅ =2
C．若x＜0，则 + 4 ≥ −2 ⋅ 4 = −4
B．若x＞0，y＞0，则lg + lg ≥ 2 lg ⋅ lg
D．若x＜0，则2 + 2− > 2 2 ⋅ 2− = 2
解析二： − 2 − = 0 ⇒ − 1 − 2 = 2，
则 + 2 = − 1 + 2 − 4 + 5 ≥ 2 2 − 1 − 2 + 5 = 9，
=3
− 1 = 2 − 4
⇒
等号成立时
，所以 + 2的最小值是9．
+ 2 = 9
=3
故答案为：9．
，解方程得
或
2
=1
= 1
=2
【方法技巧】
1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
2、注意验证取得条件．
题型突破·考法探究
题型三：常规凑配法求最值
【变式3-1】若 > −2，则 = +
1
的最小值为
+2
．
【答案】0
1
【解析】由 > −2，得 + 2 > 0， +2 > 0，
所以() = +
1
+2
当且仅当 + 2 =
故答案为：0
=+2
1
即
+2
1
+
+2
【典例1-1】下列不等式证明过程正确的是（ ）
A．若, ∈ R，则 + ≥ 2
⋅ =2
C．若x＜0，则 + 4 ≥ −2 ⋅ 4 = −4
B．若x＞0，y＞0，则lg + lg ≥ 2 lg ⋅ lg
D．若x＜0，则2 + 2− > 2 2 ⋅ 2− = 2
解析二： − 2 − = 0 ⇒ − 1 − 2 = 2，
则 + 2 = − 1 + 2 − 4 + 5 ≥ 2 2 − 1 − 2 + 5 = 9，
=3
− 1 = 2 − 4
⇒
等号成立时
，所以 + 2的最小值是9．
+ 2 = 9
=3
故答案为：9．
，解方程得
或
2
=1
= 1
=2
【方法技巧】
1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
2、注意验证取得条件．
题型突破·考法探究
题型三：常规凑配法求最值
【变式3-1】若 > −2，则 = +
1
的最小值为
+2
．
【答案】0
1
【解析】由 > −2，得 + 2 > 0， +2 > 0，
所以() = +
1
+2
当且仅当 + 2 =
故答案为：0
=+2
1
即
+2
1
+
+2
高中数学《基本不等式的应用》课件
课堂互动探究
随堂达标自测Leabharlann 课后课时精练数学 ·必修5
探究2 利用基本不等式求条件最值问题 例 2 (1)若正实数 x，y 满足 2x＋y＋6＝xy，则 xy 的最 小值是____1_8___； (2)实数 x，y 满足 x2＋y2＋xy＝1，则 x＋y 的最大值是
23 _____3___．
21
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
解析 (1)解法一：设 xy＝t(t＞0)， 由 xy＝2x＋y＋6≥2 2xy＋6， 即 t2≥2 2t＋6，(t－3 2)(t＋ 2)≥0， ∴t≥3 2，则 xy≥18. 当且仅当 2x＝y,2x＋y＋6＝xy，即 x＝3，y＝6 时等号成 立，∴xy 的最小值为 18.
□ (2)如果 x，y>0，x＋y＝S(定值)，当 04 x＝y 时，
□ □ xy 有最
05 大 值
06 14S2 .(简记：和定积有最大
值)
3
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
(3)利用基本不等式求最值，必须满足三条：
□07 一正、二定、三相等 ．
即①x，y 都是正数(x，y 为非正数，则结论不成立)； ②积 xy(或和 x＋y)为定值； ③x 与 y 必须能够相等． 利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最 值是最常见的方法之一，而求最值时又极易忽略上述条件， 这一点希望注意．
过点 A(11,12)，则函数 f(x)的最小值是____8____． (3)函数 f(x)＝1－x11－x(x>0)的最大值是____43____．
(4)若 a>0，b>0，且1a＋1b＝ ab，则 a3＋b3 的最小值为 ___4__2___．
基本不等式及应用PPT课件
5
2020年10月2日
6
2020年10月2日
7
Dห้องสมุดไป่ตู้
a2 b2
b
G
F
A
aH E
B
2020年10月2日
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b2
C ２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2a＿b
３、S与S’有什么 样的不等关系？
S≥S’ 8
探究：
D
A
a Cb
1、如图,AB是圆的直径，C 是AB上与A、B不重合的一 点，AC=a,CB=b,过点C作垂 直于AB的弦DE，连AD,BD,
ab
B 则CD=＿＿ab,半径=＿＿＿2＿
E
半弦不大于半径
2020年10月2日
２、你能用这个图形得出
基本不等式
abab(a>0,b>0) 2
几何解释吗?
9
10月23日作业：
2020年10月2日
10
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
2.4（1）基本不等式及其应用
要点：
1.学习两个重要(基本)不等式 2.应用这两个不等式(的有关应用) 求代数式的最值
2020年10月2日
1
两个重要不等式
2020年10月2日
2
2020年10月2日
6
2020年10月2日
7
Dห้องสมุดไป่ตู้
a2 b2
b
G
F
A
aH E
B
2020年10月2日
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b2
C ２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2a＿b
３、S与S’有什么 样的不等关系？
S≥S’ 8
探究：
D
A
a Cb
1、如图,AB是圆的直径，C 是AB上与A、B不重合的一 点，AC=a,CB=b,过点C作垂 直于AB的弦DE，连AD,BD,
ab
B 则CD=＿＿ab,半径=＿＿＿2＿
E
半弦不大于半径
2020年10月2日
２、你能用这个图形得出
基本不等式
abab(a>0,b>0) 2
几何解释吗?
9
10月23日作业：
2020年10月2日
10
演讲完毕，谢谢观看！
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2.4（1）基本不等式及其应用
要点：
1.学习两个重要(基本)不等式 2.应用这两个不等式(的有关应用) 求代数式的最值
2020年10月2日
1
两个重要不等式
2020年10月2日
2
基本不等式的应用 课件
当且仅当a－1＝
4 a－1
(a>1)，即a＝3时，等号成立，此
时b＝3.所以ab的取值范围为[9，＋∞)．
[点评] 本例的求解建立在函数思想上，通过已知的 等式，将两个变元转化为一个变元．利用均值不等式，求 函数的值域，是解决这类问题常用的方法．
类型三 基本不等式的实际应用 [例 4] 桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生 产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目 准备购置一块 1 800 平方米的矩形地块，中间挖成三个矩 形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分 所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为 2 米，如图，设池 塘所占总面积为 S 平方米．
典例导悟
类型一 利用基本不等式求最值
[例1]
(1)若x>0，求函数y＝x＋
4 x
的最小值，并求此
时x的值；
(2)设0<x<32，求函数y＝4x(3－2x)的最大值；
(3)已知x>2，求x＋x－4 2的最小值；
[分析] 利用基本不等式时，应按照“一正，二定， 三相等”的原则挖掘条件，检查条件是否具备，再利用基 本不等式解之．
[例2] 求f(x)＝ xx2＋2＋43＋1的最小值．
[分析]
如果把f(x)＝
x2＋4 x2＋3
＋1写成
x2＋3＋1 x2＋3
＋1＝
x2＋3 ＋
1 x2＋3
＋1≥2＋1＝3，求得f(x)的最小值为3，则
所得结果是错误的，原因是忽视了等号成立的条件，事实
上方程
x2＋3 ＝
1 x2＋3
无解，所以等号不成立．正确的处
(2)由S＝1 832－(10 x800＋136x)，
得S≤1 832－2
基本不等式ppt课件
a b
12 3
1 4b 3a 1
＋
8＋ a ＋ b ≥ 8＋2
5a b(a＋2b)＝5
5
4b 3a
4b 3a 8＋4 3
(当且仅当 a ＝ b ，
·
＝
5
a b
8＋4 3
2 3
即 2b＝ 3a 时取等号)，∴ ＋ 的最小值为
.故选 B.
a b
5
22．(多选)(2021·湖南省长沙市长郡中学上学期适应性调查考试)小王从
n 4m 9
4m·n ＝2，
2
1
当且仅当 n＝3，m＝6时取等号．故选 C.
2
3
3．设 x＞0，则函数 y＝x＋
－2的最小值为( A )
2x＋1
A．0
1
B．2
解析
2≥2
C．1
3
D．2
1
2
3
由 于 x>0 ， 则 y ＝ x ＋
－ ＝ x＋2 ＋
2
2x＋1
1
x＋ ·
2
m· n 4
二、高考小题
13．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为 4 的是( C )
A．y＝x ＋2x＋4
4
B．y＝|sin x|＋|sin x|
C．y＝2 ＋2
4
D．y＝ln x＋
ln x
2
x
2－x
15．(2020·上海高考)下列不等式恒成立的是( B )
A．a2＋b2≤2ab
C．a＋b≥2 |ab|
命题中正确的是( AB )
A．若 P＝1，则 S 有最小值 2
B．若 S＋P＝3，则 P 有最大值 1
12 3
1 4b 3a 1
＋
8＋ a ＋ b ≥ 8＋2
5a b(a＋2b)＝5
5
4b 3a
4b 3a 8＋4 3
(当且仅当 a ＝ b ，
·
＝
5
a b
8＋4 3
2 3
即 2b＝ 3a 时取等号)，∴ ＋ 的最小值为
.故选 B.
a b
5
22．(多选)(2021·湖南省长沙市长郡中学上学期适应性调查考试)小王从
n 4m 9
4m·n ＝2，
2
1
当且仅当 n＝3，m＝6时取等号．故选 C.
2
3
3．设 x＞0，则函数 y＝x＋
－2的最小值为( A )
2x＋1
A．0
1
B．2
解析
2≥2
C．1
3
D．2
1
2
3
由 于 x>0 ， 则 y ＝ x ＋
－ ＝ x＋2 ＋
2
2x＋1
1
x＋ ·
2
m· n 4
二、高考小题
13．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为 4 的是( C )
A．y＝x ＋2x＋4
4
B．y＝|sin x|＋|sin x|
C．y＝2 ＋2
4
D．y＝ln x＋
ln x
2
x
2－x
15．(2020·上海高考)下列不等式恒成立的是( B )
A．a2＋b2≤2ab
C．a＋b≥2 |ab|
命题中正确的是( AB )
A．若 P＝1，则 S 有最小值 2
B．若 S＋P＝3，则 P 有最大值 1
基本不等式的应用PPT优秀课件
练习2 做一个体积为32 m ，高为2m的长方体 纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？
解 设底面的长与宽分别为a m,b m. a0 ,b0 因为体积 2 3 等于32 m 高为c=2m所以底面积为16 m ， 即
3
ab 16
s 2 ab 2 bc 2 ac 32 4 ( a b )
情境三：销售
学 海 无 涯 苦 作 舟
现已知进货单价第一次为1.8元/千克，第 二次为2.2元/千克。若以2.4元/千克出售，则 每天可售出1000千克，而如果每千克提价0.01 元，每天将少售出10千克，如果每千克降价 0.01元，每天将多售出10千克。那么请考虑， 每千克售价应为多少元，才能使每天的利润 最大。
课堂小结
来 而 不 往 ， 非 礼 也
（1）应用基本不等式求最值。 （2）应用基本不等式解决实际应用题。
实际问题 回 归
提炼
数学模型
数学 知识
数学结论
分析 总结
模型的解
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰· B· 塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔· 卡内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯· 瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士· 雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰] 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿· 休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯· 奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰· 纳森· 爱德瓦兹] 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰· 拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉· 班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳] 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔· 普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉· 彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔· 卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰· 罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳· 厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝· C· 科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔· 卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟· 倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克· 佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根· 皮沙尔· 史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。 ――[阿萨· 赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉· 海兹利特] 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯· 里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可· 汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰· 夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯· 米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子] 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼] 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron] 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温] 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰· 鲁斯金]
基本不等式及其应用ppt课件
【解析】 x＋x－4 1＝(x－1)＋x－4 1＋1≥ 2 x－1·x－4 1＋1＝5.(当且仅当 x＝3 时取等号)
易错点睛：(1)忽略基本不等式成立的前提条件致误． (2)忽略“定值”致误．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 利用基本不等式求最值
角度 1：拼凑法求最值
2
【例 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为_3_______．
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】 因为每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：万元)与机器运转时间
t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，所以年平均利润 y＝st＝－t－6t4＋23＝－
t＋6t4＋23≤－2 t·6t4＋23＝7，当且仅当 t＝8 时等号成立，故要使年平均利润最大，则 每台机器运转的时间 t 为 8，故选 D.
即该厂家 2022 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元．
『变式训练』
4．某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：
万元)与机器运转时间 t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最
大，则每台机器运转的时间 t 为( D )
【解析】 (1)因为函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx 在 x＝1 处有极值，所以 f ′(1)＝12－2a －2b＝0，即 a＋b＝6，又 a>0，b>0，则4a＋1b＝16(a＋b)·4a＋1b＝165＋ab＋4ab≥5＋6 4＝32 当且仅当ab＝4ab，即a＝2b＝4时取“＝”，故选 C.
【解析】 解法一(换元消元法)： 由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy， 所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y) －108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0， 得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.
易错点睛：(1)忽略基本不等式成立的前提条件致误． (2)忽略“定值”致误．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 利用基本不等式求最值
角度 1：拼凑法求最值
2
【例 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为_3_______．
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】 因为每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：万元)与机器运转时间
t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，所以年平均利润 y＝st＝－t－6t4＋23＝－
t＋6t4＋23≤－2 t·6t4＋23＝7，当且仅当 t＝8 时等号成立，故要使年平均利润最大，则 每台机器运转的时间 t 为 8，故选 D.
即该厂家 2022 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元．
『变式训练』
4．某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：
万元)与机器运转时间 t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最
大，则每台机器运转的时间 t 为( D )
【解析】 (1)因为函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx 在 x＝1 处有极值，所以 f ′(1)＝12－2a －2b＝0，即 a＋b＝6，又 a>0，b>0，则4a＋1b＝16(a＋b)·4a＋1b＝165＋ab＋4ab≥5＋6 4＝32 当且仅当ab＝4ab，即a＝2b＝4时取“＝”，故选 C.
【解析】 解法一(换元消元法)： 由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy， 所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y) －108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0， 得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.
基本不等式ppt课件
a+b
当且仅当a
2
= b时，等号成立.
思考：如图，是圆的直径，点是上一点， = ，
D
= .过点作垂直于的弦，连接，.
a+b
ab
2
半径 = _______________，则
= _______________
与大小关系怎么样？
a+b
≥
(1)当积xy等于定值P时，
≥
2
证明：∵ x，y都是正数， ∴
1 2
时，积有最大值 .
4
xy.
p， ∴ x + y ≥ 2 p，
积定和最小
当且仅当x = y时，上式等号成立.
于是，当x = y时，和x + y有最小值2 p.
(2)当和x + y等于定值S时， xy ≤
S
，∴xy
2
当且仅当x = y，上式等号成立.
2
2
∴x +
4
]
2−x
4
，得x
2−x
4
的最大值为−2.
x−2
+ 2 ≤ −2 (2 − x)(
4
)
2−x
+ 2 = −2，
= 0或x = 4(舍去)，即x = 0时等号成立.
练习巩固
练习2：已知0 < < 1,求 1 − 的最大值.
解：∵0 < < 1，∴ 1 − x > 0
∴ 1 − ≤
∴x +
4
x+4
− 4 ≥ 2 (x + 4) ∙
4
，即x
x+4
4
的最小值为0.
基本不等式教学课件
基本不等式教学课件pptxx年xx月xx日•基本不等式简介•基本不等式的证明方法•基本不等式的应用•基本不等式的扩展目•基本不等式的实际应用案例•基本不等式教学设计建议与展望未来发展录01基本不等式简介$x + y \over 2$基本不等式的定义算术平均数$\sqrt{xy}$几何平均数$x + y \geq 2\sqrt{xy}$基本不等式基本不等式的性质等号成立条件当且仅当$x = y$时，基本不等式取等号。
单调性若$x_1 \leq x_2, y_1 \leq y_2$，则$\sqrt{x_1y_1} \leq \sqrt{x_2y_2}$。
范围限制当$x > 0, y > 0$时，基本不等式才能成立。
1基本不等式的历史背景23基本不等式是数学中的一个基本概念，其历史可以追溯到古代数学。
起源在欧几里得几何、牛顿力学等数学领域中，基本不等式得到了广泛应用。
发展基本不等式在经济学、工程学、物理学等领域也有广泛的应用。
应用02基本不等式的证明方法总结词简洁明了，易于理解详细描述利用导数来证明基本不等式是一种简洁且易于理解的方法。
首先，我们需要引入导数的概念和性质。
然后，通过构造一个函数，我们可以找到这个函数的最小值，从而证明基本不等式。
利用导数证明基本不等式总结词抽象复杂，需要一定的数学基础详细描述利用矩阵相等的条件来证明基本不等式是一种比较抽象的方法，需要学生具备一定的数学基础。
首先，我们需要引入矩阵的概念和性质。
然后，通过矩阵相等的条件，我们可以证明基本不等式。
利用矩阵相等的条件证明基本不等式利用微积分基本定理证明基本不等式总结词直观易懂，需要掌握微积分基本定理详细描述利用微积分基本定理来证明基本不等式是一种直观且容易理解的方法。
首先，我们需要引入微积分基本定理的概念和性质。
然后，通过微积分基本定理，我们可以证明基本不等式。
这种方法需要学生熟练掌握微积分基本定理。
03基本不等式的应用利用基本不等式可以求解函数的最值问题。
基本不等式ppt 课件-
解答：
AC=a，BC=b。过点 C作垂直于AB 的弦
可证△ACD∽△DCB，因而 CD= .由
DE，连接 AD，BD。你能利用这个图形，
于 CD 小于或等于圆的半径，用不等
得出基本不等式的几何解释吗?Leabharlann 式表示为+≤
显然，当且仅当点 C 与圆心重合，即
当a= 时，上述不等式的等号成立
2.2.4
分析：
(1) 矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转
化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短。
(2) 矩形莱园的周长是矩形两邻边之和的 2倍，于是问
题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积
最大。
解答：
应用
例4：某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，
其容积为4 800 m³，深为3 m。如果池底每平
证明
证明方法一：作差法
证明方法二：借助完全平方公式
证明方法三：分析法
要证
≤
+
只要证 2 ≤ a+b
只要证 2 -a-b≤0
只要证 -( - )²≤0
只要证 ( − )²≥0
显然，最后一个成立，当且仅当a=b时，等号成
立
2.2.3
基本不等式的
几何解释
几何解释
如图：AB 是圆的直径，点C是AB 上一点
方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为
解答：
设水池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，
水池的总价为z元，根据题意，有
120 元，那么怎样设计水池能使总造价最低?最
低总造价是多少?
由容积为4800m³，可得3xy=4 800，
不等式的应用教学课件ppt
判断电路稳定性
利用不等式可以表示电路中电压和电流的关系，通过比较这些不等式，可以判断 电路的稳定性。
05
不等式在化学中的应用
利用不等式解决化学平衡问题
总结词
化学平衡常数是表示化学反应限度的一个重要指标，利用不 等式可以解决与化学平衡常数相关的计算和分析问题。
详细描述
通过具体的案例，讲解如何利用不等式解决化学平衡常数的 计算、化学反应平衡移动的方向和大小等问题，以及如何利 用不等式进行反应条件的优化和控制。
利用不等式解决生物多样性保护问题
总结词
物种多样性、生态系统稳定性、环境变化、保护措施
详细描述
生物多样性是地球生态系统的重要组成部分，但人类 活动对生物多样性造成了严重威胁。为了保护生物多 样性，需要采取一系列措施。其中之一是通过建立不 等式来分析物种多样性的作用和生态系统稳定性之间 的关系。例如，物种多样性与生态系统稳定性呈正相 关关系，因为物种之间的相互作用可以调节生态系统 中的物质循环和能量流动
不等式在经济生活中的应用
价格比较
在购物时，人们经常需要比较不同商品的价格，通过不等式 的性质可以判断出性价比更高的商品。
投资决策
在投资领域，投资者需要分析不同项目的风险和收益，通过 不等式可以判断出最优的投资方案。
不等式在生产生活中的应用
资源分配
在生产过程中，经常需要将有限的资源分配给不同的部门或环节，通过不等 式可以确定资源分配的最优比例。
总结词
化学反应速率是化学反应快慢的一个重要指标，利用不等式可以解决与化学反应 速率相关的计算和分析问题。
详细描述
通过具体的案例，讲解如何利用不等式解决化学反应速率的计算、反应速率常数 的确定、反应速率方程的建立等问题，以及如何利用不等式进行反应条件的优化 和控制。
利用不等式可以表示电路中电压和电流的关系，通过比较这些不等式，可以判断 电路的稳定性。
05
不等式在化学中的应用
利用不等式解决化学平衡问题
总结词
化学平衡常数是表示化学反应限度的一个重要指标，利用不 等式可以解决与化学平衡常数相关的计算和分析问题。
详细描述
通过具体的案例，讲解如何利用不等式解决化学平衡常数的 计算、化学反应平衡移动的方向和大小等问题，以及如何利 用不等式进行反应条件的优化和控制。
利用不等式解决生物多样性保护问题
总结词
物种多样性、生态系统稳定性、环境变化、保护措施
详细描述
生物多样性是地球生态系统的重要组成部分，但人类 活动对生物多样性造成了严重威胁。为了保护生物多 样性，需要采取一系列措施。其中之一是通过建立不 等式来分析物种多样性的作用和生态系统稳定性之间 的关系。例如，物种多样性与生态系统稳定性呈正相 关关系，因为物种之间的相互作用可以调节生态系统 中的物质循环和能量流动
不等式在经济生活中的应用
价格比较
在购物时，人们经常需要比较不同商品的价格，通过不等式 的性质可以判断出性价比更高的商品。
投资决策
在投资领域，投资者需要分析不同项目的风险和收益，通过 不等式可以判断出最优的投资方案。
不等式在生产生活中的应用
资源分配
在生产过程中，经常需要将有限的资源分配给不同的部门或环节，通过不等 式可以确定资源分配的最优比例。
总结词
化学反应速率是化学反应快慢的一个重要指标，利用不等式可以解决与化学反应 速率相关的计算和分析问题。
详细描述
通过具体的案例，讲解如何利用不等式解决化学反应速率的计算、反应速率常数 的确定、反应速率方程的建立等问题，以及如何利用不等式进行反应条件的优化 和控制。
《基本不等式》课件
01
传递性
如果a≥b且b≥c，则a≥c。
02
对称性
如果a≥b，则对于任意正实数d，有a+d≥b+d。
02
CHAPTER
基本不等式的证明
面积法
利用几何图形面积的性质，通过比较不同形状的面积来证明基本不等式。
体积法
利用几何体体积的性质，通过比较不同几何体的体积来证明基本不等式。
三角法
利用三角形的性质，通过比较不同三角形的边长或角度来证明基本不等式。
在化学反应速率的研究中，基本不等式可以用来分析反应速率与反应物浓度的关系，从而优化反应条件。
生物医学研究
在生物医学研究中，基本不等式可以用来研究药物剂量与治疗效果的关系，以找到最佳用药方案。
市场占有率分析
在市场占有率分析中，基本不等式可以用来确定企业产品的最大市场份额，以提高市场竞争力。
广告投放策略
AM≥GM，即算术平均数大于等于几何平均数。
柯西不等式形式
对于任意的正实数a₁，a₂，…，an和b₁，b₂，…，bn，都有(a₁²+a₂²+…+an²)(b₁²+b₂₂+…+bn²)≥(a₁b₁+a₂b₂+…+anbn)²。
平方和与平方差形式
a²+b²≥2ab和a²-b²≥0。
03
可加性
如果a≥b且c≥d，则a+c≥b+d。
基本不等式
目录
基本不等式的定义基本不等式的证明基本不等式的应用基本不等式的扩展基本不等式的实际例子
01
CHAPTER
或多个正数之间大小关系的数学式子。
表达形式简单明了，是数学中常用的一个概念。
基本不等式的应用ppt课件
第3章 不等式
3.4.2
3.4
根本不等式
a＋b ab≤ 2 (a≥0，b≥0)
根本不等式的运用
自
当
主
堂
预
达
习
标
•
•
探
固
新
双
知
学习目标：1.掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的 基
合 最大(小)值问题.3.能应用基本不等式解决生活中的应用问题．
作
课
探
时
究
• 攻
分 层 作
重
业
难
返 首 页
双 基
(2)已知点 M(a，b)在直线 x＋y＝1 上，则 a2＋b2的最小值为________．
合
作
课
探
时
究
• 攻
分 层 作
重
业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习
• 探
[解析] (1)法一：由 ab＝a＋b＋3，得 b＝aa＋ －31.
标
• 固
新
双
知
由 b>0，得aa＋ －31>0.∵a>0，∴a>1.
课
探
∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．
究
•
攻
时 分 层 作
重
业
难
返 首 页
自
(2)因为点 M(a，b)在直线 x＋y＝1 上，所以 a＋b＝1，因为 a2＋b2≥a＋2b2 当
主
堂
预 习
＝12，
达 标
•
•
探
固
新 知
当且仅当 a＝b＝12时等号成立，
3.4.2
3.4
根本不等式
a＋b ab≤ 2 (a≥0，b≥0)
根本不等式的运用
自
当
主
堂
预
达
习
标
•
•
探
固
新
双
知
学习目标：1.掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的 基
合 最大(小)值问题.3.能应用基本不等式解决生活中的应用问题．
作
课
探
时
究
• 攻
分 层 作
重
业
难
返 首 页
双 基
(2)已知点 M(a，b)在直线 x＋y＝1 上，则 a2＋b2的最小值为________．
合
作
课
探
时
究
• 攻
分 层 作
重
业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习
• 探
[解析] (1)法一：由 ab＝a＋b＋3，得 b＝aa＋ －31.
标
• 固
新
双
知
由 b>0，得aa＋ －31>0.∵a>0，∴a>1.
课
探
∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．
究
•
攻
时 分 层 作
重
业
难
返 首 页
自
(2)因为点 M(a，b)在直线 x＋y＝1 上，所以 a＋b＝1，因为 a2＋b2≥a＋2b2 当
主
堂
预 习
＝12，
达 标
•
•
探
固
新 知
当且仅当 a＝b＝12时等号成立，
基本不等式及其应用优质课件
x
5)
4
1 x
5
]
3
≤
2
3
1.
当且仅当
5
4x
5
1 4x
,即x
1
时取“=”号.
即当x=1时, 函数的最大值为1. 二不定, 要变形
例3.求函数 y x2 5 的最小值.ຫໍສະໝຸດ 依据:利用函数x2 y
4 t
1 t
(t>0)的单调性.
t∈(0,1]单调递减, t∈[1,+∞)单调递增.
解:
x2 5 x2 41
2.
“1”代 换法
当且仅当
而
y
y x
2x y
2x,
, 即y
x
1 2
2x
2
时取“=”号.
2 x y 1, y 2
2 2
当x 1 , y 2 时, 2 2 2 2
ymin 3 2
2.
基本不等式及其应用
要点梳理
忆一忆知识要点
1．基本不等式 ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件： a≥0，b≥0 .
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)． (2)ba＋ab≥ 2 (a，b 同号)． (3)ab≤a＋2 b2 (a，b∈R)． (4)a2＋2 b2≥a＋2 b2 (a，b∈R)．
(4)
a
1 a
≥
2
(5) a 1 ≤ 2 a
(a 、b∈R) (a>0,b>0)
(a、b同号）
(a>0）
(a＜0）
探究：下面几道题的解答可能有错，如果错 了,那么错在哪里？