不定积分表

Yz.Liu.2013.09 卷终公式表注解四

基本不定积分表

序言：

微积分创立之初，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。虽其间发生很多在优先权上的争论，但最终依然走向了发展之正轨。在微积分公式体系上，莱布尼茨对之要求甚严，并总结其基本微分表和基本积分表。如今随微积分之发展，公式表逐渐全面，分类亦几乎覆盖各种不定积分。积分表的编订对于积分运算可以说是必要，亦是数学发展之必要结果。

本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法，以及每个积分的简要推演方法，其中引入了除一般之换元法，凑微分法，分部积分法之外，亦引入虚数单位，并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式之反用，或均不在此给出推演方法，或仅以推演步骤简要之说明。

本表收录公式16组，151式。

公式一基本初等函数的不定积分18式：

上述公式均为基本初等函数之不定积分，其中部分公式均可以由分部积分公式给出，特别的，对于正切函数，余切函数，

正割函数与余割函数的不定积分，使用了诸多三角变换完成。

公式二 含ax b +的积分（要指出a 非零）10式：

对于其中的第二式，是利用换元积分完成的。

对于第一者，可以利用凑的方式，我们考虑分式11x b ax b a ax b ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭

，则得其积分是

显的：

111()ln ||x b b dx x d ax x ax b aC ax b a a ax b a a ⎛⎫⎛⎫=-=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭

⎰⎰。而第二式依然采取类似

的方式，可借由带余多项式除法算得：2

2211()2x x ax b ab b ax b a ax b ax b ⎡⎤=+-+⎢⎥+++⎣⎦

，然后利用

第一个积分式即可得到结论。

沿用了此结论所得到的。我们注意第一式中有

111111()(/)/b x ax b a x x b a a x x b a a

⎛⎫==- ⎪

+++⎝⎭，

积分即得。对于第二式依然可用分离拆项的方式： 221()11()()

ax b ax a b x ax b bx b x ax b +-=-++，然后

积分即可，而一般对于拆项，常用待定系数的方法完成。

公式三9式

第一式的证明用凑微分的方式即可完成。而有了第一式的结论，第二式可用分部积分

完成计算。我们有：

()2

3

x dx

a

=-=

⎰⎰

其中，对上式右侧的2

3a

再次使用凑微分的方法，即可得解：

(

5

2

22

3

2

22

224

()()

3315

42

()()32

1515

ax b ax b C

a a a

ax b ax b C ax b C

a

a

=+=+

-

⇒=+

++=-

⎰

同理利用分部积分可以将第三式拆开，并以第二式证明之。

利用凑微分的方式，我们显然有不定积分1C

a

==，本组公式可以考虑用此公式，并使用分部积分即可证明一式：

22

2

242

()(2

33

C

a

x

ax b C ax b C

a a a

=

⎡

=-+=-

⎢

⎣

二式同理使用分部积分，并利用一式的结论即可证明。

该公式是重要的不定积分之一，但是该

积分是不好计算的，首先分部积分就不容易得出结果，而另一方面我们也无法进行一个显然的凑微分，

因此对于这一类带有根号式的积分，往往是先强行换掉根号，再作观察。因此令22,t b t t x dx dt a a -=⇒==

，于是2221

2()a t dt dt t b t a t b ==--⎰⎰，显然看

到的是这个不定积分的结果需要讨论b 的正负来决定之后使用的不定积分公式：如果b 是负的，那么显然会使用反三角，如果b 是正的，则可能使用三角换元：

2sec ln|sec tan |

10

:(sin arcsin((arcsin(/

secarcsin(tan

arcsin(/xdx

x x C

b dt t t b t t t C b

=++>=-=⎰-

++=⎰

C C C

+

t =

带入上式得原积分2

12,0dt C b t

b ==>-⎰。

另外对于负的b ，有：

(

)

2221110:||/1b dt dt d C t b t b t C

⎛⎫<===-++=

⎰⎰

即原积分,0C b <。该不定积分公式对于负数的b 计算是很容易的。

注意到微分公式，故上面公式均可以分部积分公式指出。

公式四 含有22x a ±的积分3式

一式用凑微分的方式以及微分公式2

1(arctan )1d x x =

+容易得出。第二式是利用分部积分公式给出的递推式的形式：通过这个递推关系逐步下降分母的幂直到一式的情形，然后带入一式即可得解。三式是有理分式的不定积分，通常是将之拆分为两个容易计算的分式，则不难得出结果：

()221111

ln ||ln ||22dx dx x a x a C x a a x a x a a ⎛⎫=-=--++ ⎪--+⎝⎭

⎰⎰ 公式五 含有2(0)ax b a +>的积分7式

除开显然的3

2

()3

ax ax b dx bx C +=++⎰不列为公式表所用之公式外，其余均与2ax b +有关，不过在下面公式的推理中，我们可以肯定的是推理可能是不唯一的，因此某些推理也是可能涉及了该公式的。

是一个需要分类讨论的积分。显然的可以发现这个被积函数的形式与反正切是有关的，不过反正切的分母是加法运算，因此如果这里b 是负的，那么就不能适用反正切，这导致了积分需要分类讨论之。

(

)

(

)

()(

)

2222

2211

,01sin 111

||11sin

dx d C b

ax b d dx dx d ax b ax b d ==+>++===+---==⎰⎰⎰11sin ,sec ln 21sin ,0

x C xdx C x C b ⎛+⎫+=+ ⎪-⎝⎭=+<⎰

该公式的证明中再一次的遇到了22dx x a

-⎰

形式的不定积分，虽然这里我采用的是换元为三角函数的方法，而并非使用公式四中利用有理函数积分的性质来推理，但是三角换元计算不定积分是值得深入探讨和学习的计算方法，也许在这个公式中体现不出来，但是在某些场合下，三角换元无疑是强大的。