苏教版高中数学选修2-3 2.6 正态分布学案

2018-2019学年苏教版选修2-3 2.6 正态分布学案
[学习目标] 1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题．
知识点一正态密度曲线
正态密度曲线的函数表达式是P(x)＝1
2πσ
2
2
()
2
e
xμ
σ
-
－
，x∈R，这里有两个参数μ和σ，其中μ
是随机变量X的均值，σ2是随机变量X的方差，且σ>0，μ∈R.不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线．
知识点二正态密度曲线图象的特征
1．当x＜μ时，曲线上升；当x＞μ时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线．
2．正态曲线关于直线x＝μ对称．
3．σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡．
4．在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1.
知识点三正态分布
1．若X是一个随机变量，则对任给区间(a，b]，P(a＜X≤b)恰好是正态密度曲线下方和x 轴上(a，b]上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X～N(μ，σ2)．
2．正态分布N(0,1)称为标准正态分布．
知识点四正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
若X～N(μ，σ2)，则X取值落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为68.3%，落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为95.4%，落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为99.7%.
题型一正态曲线
例1如图为某地成年男性体重的正态曲线图，请写出其正态分布密度函数，并求P(|X－72|<20)．
解 由图可知μ＝72，σ＝10， 故正态分布密度函数为P (x )＝1
2π·10
e
2
(72)200
x --，x ∈(－∞，＋∞)．
则P (|X －72|<20)＝P (|X －μ|<2σ)＝P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954.
反思与感悟 利用图象求正态密度函数的解析式，关键是找对称轴x ＝μ与最值1
σ2π
，这两点确定以后，相应参数μ，σ的值便确定了．
跟踪训练1 如图所示是一个正态曲线．试根据该图象写出其正态分布的正态密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．
解 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值是1
2π，所以μ＝20.
12π·σ＝1
2π，解得σ＝ 2. 于是正态密度函数的解析式是
P (x )＝1
2π
·e －(x －20)24，x ∈(－∞，＋∞)．
总体随机变量的期望是μ＝20， 方差是σ2＝(2)2＝2. 题型二 利用正态分布求概率
例2 设ξ～N (1,22)，试求：(1)P (－1＜ξ≤3)； (2)P (3＜ξ＜5)；(3)P (ξ≥5)． 解 ∵ξ～N (1,22)，∴μ＝1，σ＝2， (1)P (－1＜ξ≤3)＝P (1－2＜ξ＜1＋2) ＝P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.683. (2)∵P (3＜ξ＜5)＝P (－3＜ξ＜－1)，
∴P (3＜ξ＜5)＝1
2
[P (－3＜ξ＜5)－P (－1＜ξ＜3)]
＝1
2[P (1－4＜ξ＜1＋4)－P (1－2＜ξ＜1＋2)] ＝1
2[P (μ－2σ＜x ＜μ＋2σ)－P (μ－σ＜x ＜μ＋σ)] ＝1
2
(0.954－0.683)＝0.135 5. (3)P (ξ≥5)＝P (ξ≤－3)＝1
2[1－P (－3＜ξ＜5)]
＝1
2[1－P (1－4＜ξ＜1＋4)] ＝1
2[1－P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)] ＝1
2
(1－0.954)＝0.023. 反思与感悟 解答此类题目的关键在于将给定的区间转化为用μ加上或减去几个σ来表示；当要求服从正态分布的随机变量的概率所在的区间不对称时，不妨先通过分解或合成，再通过求其对称区间概率的一半解决问题．经常用到如下转换公式：①P (x ≥a )＝1－P (x ＜a )；②若b ＜μ，则P (X ＜b )＝1－P (μ－b <X <μ＋b )2
.
跟踪训练2 某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X (单位：分)近似服从正态分布N (50,102)，求他在(30,60)分内赶到火车站的概率． 解 ∵X ～N (50,102)，∴μ＝50，σ＝10. ∴P (30<X <60)＝P (30<X <50)＋P (50<X <60) ＝12P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＋1
2P (μ－σ<X <μ＋σ) ＝12×0.954＋1
2
×0.683＝0.818 5. 即他在(30,60)分内赶到火车站的概率是0.818 5. 题型三 正态分布的实际应用
例3 在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N (100,100)，已知满分为150分．
(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120)内的概率；
(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数． 解 (1)由ξ～N (100,100)知μ＝100，σ＝10. ∴P (80<ξ<120)＝P (100－20<ξ<100＋20)＝0.954， 即考试成绩位于区间(80,120)内的概率为0.954. (2)P (90<ξ<110)＝P (100－10<ξ<100＋10) ＝0.683，
∴P (ξ>110)＝1
2(1－0.683)＝0.158 5，
∴P (ξ≥90)＝0.683＋0.158 5＝0.841 5. ∴及格人数为2 000×0.841 5＝1 683(人)．
反思与感悟 解答此类题目的关键在于将所求的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间
进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中用到化归思想和数形结合的思想．
跟踪训练3 在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N (80,52)，现已知该班同学中成绩在80～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．
解 依题意，由80～85分的同学的人数和所占百分比求出该班同学的总数，再求90分以上同学的人数．
∵成绩服从正态分布N (80,52)， ∴μ＝80，σ＝5，μ－σ＝75，μ＋σ＝85.
于是成绩在(75,85)内的同学占全班同学的68.3%.
由正态曲线的对称性知，成绩在(80,85)内的同学占全班同学的1
2×68.3%＝34.15%.
设该班有x 名同学，则x ×34.15%＝17， 解得x ≈50.
又μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90， ∴成绩在(70,90)内的同学占全班同学的95.4%. ∴成绩在(80,90)内的同学占全班同学的47.7%.
∴成绩在90分以上的同学占全班同学的50%－47.7%＝2.3%. 即有50×2.3%≈1(人)，即成绩在90分以上的同学仅有1人．
1．如图是当σ取三个不同值σ1.σ2.σ3时的三种正态曲线N (0，σ2)的图象，那么σ1.σ2.σ3的大小关系是________．
答案 σ1<σ2<σ3
解析 由正态曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，
所以σ1<σ2<σ3.
2．设随机变量X 服从正态分布N (2,9)若P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)，那么c ＝________. 答案 2
解析 ∵μ＝2，由正态分布的定义知其图象关于直线x ＝2对称，于是c ＋1＋c －1
2＝2，∴c
＝2.
3．已知X ～N (0，σ2)且P (－2≤X ≤0)＝0.4，则P (X >2)＝________. 答案 0.1
解析 ∵P (0≤X ≤2)＝P (－2≤X ≤0)＝0.4， ∴P (X >2)＝1
2
(1－2×0.4)＝0.1.
4．一批灯泡的使用时间X (单位：小时)服从正态分布N (10 000，4002)，求这批灯泡中“使用时间超过10 800小时”的概率． 解 依题意μ＝104，σ＝400.
∴P (104－800<X <104＋800)＝P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954. 由正态分布性质知P (X <104－800)＝P (X >104＋800) 故2P (X >10 800)＋P (104－800<X <104＋800)＝1， ∴P (X >10 800)＝1－0.954
2＝0.023，
故使用时间超过10 800小时的概率为0.023.
1.理解正态分布的概念和正态曲线的性质． 2．正态总体在某个区间内取值的概率求法：
(1)熟记P (μ－σ<X <μ＋σ)，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)，P (μ－3σ<X <μ＋3σ)的值． (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1.
①正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等． ②P (X <a )＝1－P (X ≥a )，P (X <μ－a )＝P (X ≥μ＋a )， 若b <μ，则P (X <μ－b )＝1－P (μ－b <X <μ＋b )
2
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