苏教版高中数学选修2-3 2.6 正态分布学案

2018-2019学年苏教版选修2-3 2.6 正态分布学案

[学习目标] 1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题．

知识点一正态密度曲线

正态密度曲线的函数表达式是P(x)＝1

2πσ

2

2

()

2

e

xμ

σ

-

－

，x∈R，这里有两个参数μ和σ，其中μ

是随机变量X的均值，σ2是随机变量X的方差，且σ>0，μ∈R.不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线．

知识点二正态密度曲线图象的特征

1．当x＜μ时，曲线上升；当x＞μ时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线．

2．正态曲线关于直线x＝μ对称．

3．σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡．

4．在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1.

知识点三正态分布

1．若X是一个随机变量，则对任给区间(a，b]，P(a＜X≤b)恰好是正态密度曲线下方和x 轴上(a，b]上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X～N(μ，σ2)．

2．正态分布N(0,1)称为标准正态分布．

知识点四正态总体在三个特殊区间内取值的概率值

若X～N(μ，σ2)，则X取值落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为68.3%，落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为95.4%，落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为99.7%.

题型一正态曲线

例1如图为某地成年男性体重的正态曲线图，请写出其正态分布密度函数，并求P(|X－72|<20)．

解 由图可知μ＝72，σ＝10， 故正态分布密度函数为P (x )＝1

2π·10

e

2

(72)200

x --，x ∈(－∞，＋∞)．

则P (|X －72|<20)＝P (|X －μ|<2σ)＝P (μ－2σ

反思与感悟 利用图象求正态密度函数的解析式，关键是找对称轴x ＝μ与最值1

σ2π

，这两点确定以后，相应参数μ，σ的值便确定了．

跟踪训练1 如图所示是一个正态曲线．试根据该图象写出其正态分布的正态密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．

解 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值是1

2π，所以μ＝20.

12π·σ＝1

2π，解得σ＝ 2. 于是正态密度函数的解析式是

P (x )＝1

2π

·e －(x －20)24，x ∈(－∞，＋∞)．

总体随机变量的期望是μ＝20， 方差是σ2＝(2)2＝2. 题型二 利用正态分布求概率

例2 设ξ～N (1,22)，试求：(1)P (－1＜ξ≤3)； (2)P (3＜ξ＜5)；(3)P (ξ≥5)． 解 ∵ξ～N (1,22)，∴μ＝1，σ＝2， (1)P (－1＜ξ≤3)＝P (1－2＜ξ＜1＋2) ＝P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.683. (2)∵P (3＜ξ＜5)＝P (－3＜ξ＜－1)，

∴P (3＜ξ＜5)＝1

2

[P (－3＜ξ＜5)－P (－1＜ξ＜3)]

＝1

2[P (1－4＜ξ＜1＋4)－P (1－2＜ξ＜1＋2)] ＝1

2[P (μ－2σ＜x ＜μ＋2σ)－P (μ－σ＜x ＜μ＋σ)] ＝1

2

(0.954－0.683)＝0.135 5. (3)P (ξ≥5)＝P (ξ≤－3)＝1

2[1－P (－3＜ξ＜5)]

＝1

2[1－P (1－4＜ξ＜1＋4)] ＝1

2[1－P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)] ＝1

2

(1－0.954)＝0.023. 反思与感悟 解答此类题目的关键在于将给定的区间转化为用μ加上或减去几个σ来表示；当要求服从正态分布的随机变量的概率所在的区间不对称时，不妨先通过分解或合成，再通过求其对称区间概率的一半解决问题．经常用到如下转换公式：①P (x ≥a )＝1－P (x ＜a )；②若b ＜μ，则P (X ＜b )＝1－P (μ－b

.

跟踪训练2 某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X (单位：分)近似服从正态分布N (50,102)，求他在(30,60)分内赶到火车站的概率． 解 ∵X ～N (50,102)，∴μ＝50，σ＝10. ∴P (30

2P (μ－σ

2

×0.683＝0.818 5. 即他在(30,60)分内赶到火车站的概率是0.818 5. 题型三 正态分布的实际应用

例3 在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N (100,100)，已知满分为150分．

(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120)内的概率；

(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数． 解 (1)由ξ～N (100,100)知μ＝100，σ＝10. ∴P (80<ξ<120)＝P (100－20<ξ<100＋20)＝0.954， 即考试成绩位于区间(80,120)内的概率为0.954. (2)P (90<ξ<110)＝P (100－10<ξ<100＋10) ＝0.683，