坐标法解立体几何__习题及解析
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∴ 即 ∴平面AGC⊥平面BGC；
三、空间里的平行关系
1、在正方体AC1中，E为DD1的中点，求证：DB1//面A1C1E
3、在正方体 ，E是棱 的中点。在棱 上是否存在一点F，使 ∥平面 ?证明你的结论。
解：以A为坐标原点，如图建立坐标系，设正方形的棱长为2，则B(2,0,0),E(0,2,1), (0,0,2), (2,0,2)，
坐标法解立体几何
1空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 ，这个基底叫单位正交基底，用 表示；
（2）在空间选定一点 和一个单位正交基底 ，以点 为原点，分别以 的方向为正方向建立三条数轴： 轴、 轴、 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系 ，点 叫原点，向量 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为 平面， 平面， 平面；
3、如图， 与 都是边长为2的正三角形，平面 平面 ， 平面 ， .
（1）求直线 与平面 所成的角的大小；
（2）求平面 与平面 所成的二面角的正弦值.
解：如图建立空间坐标系，设直线 与平面 所成的角的大小为θ，
∵ 平面 ∴ 是平面BCD的一个法向量
故 点A坐标：（0，0， ）点B坐标：（0，0，0）
点M坐标：（ ， ， ）
（注明：先作MO⊥CD于O，过点C作CE⊥BD于E，CG⊥y轴于G，过点O作OF⊥BD于F，OH⊥y轴于H，再利用坐标定义求出点M坐标）
于是 ， ， ， （0，0， ）
∴
∴
（2）易知平面BCD的一个法向量为 =（0，0，1）
设平面ACM的法向量 ， ， ），由 ⊥ ，
⊥ 可得 · =0， · =0，
∵BC⊥面AEB, ∴BC⊥AE, ∴AE⊥平面BCE;
（Ⅱ）面ABCD的法向量为 =（1，0,0），设面BFD的法向量为 =（ ， ， ）， =( ,－ , ), =（0，－2，2），
∴ = =0且 = =0，取 =1，则 =1， =0，
∴ =(0，1，1)， ∴ =0， ∴平面BDF⊥平面ABCD
（1）求异面直线DN与BC的夹角的余弦值；
（2）求直线PA与面PBC所成的角正弦值；
（3）求二面角P－NC-D的大小的余弦值.
解析：以D为原点，向量 , , 的方向分别为 ， ， 轴的正方向，建立坐标系，设AD=1，则AB= =2，
∵ ⊥底面 ，∴∠PAD为直线PA与面ABCD所成的角，
∴∠PAD= ， ∴PD= ， ∴D(0,0,0), A(1,0,0), B(1,2,0),C(0,2,0),
2、 如图，已知正三棱柱 的棱长为2，底面边长为1， 是 的中点.在直线 上求一点 ，使 ；
解：以 分别为 轴、 轴，垂直于 的 为 轴建立空间直角坐标系 ，设 ，则有
.
3、在直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB=√2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
5平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且 G是EF的中点，求证平面AGC⊥平面BGC；
解：如图，以A为原点建立直角坐标系，则
A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），G（a，a，0），F（a，0，0）
证明：
设平面AGC的法向量为 ，
设平面BGC的法向量为 ，
四、空间的角
1、直三棱柱 中，若 ， ，求异面直线 与 所成的角。
如图建立空间坐标系，设异面直线 与 所成的角为 ，
则 ，设AB= ，易求点B坐标：（ ， ， ，
点 坐标： ， ， ），点A坐标：（0，0，0），点 坐标：
， ， ），所以 ， ， ）， ， ， ）
∴
2、在四棱锥 中， ， ∥ ， ⊥底面 ， ，直线 与底面 成60°角，点 分别是 、 的中点.
∵F为CE上的点， =(－1,1,2),
∴设 = =(- , ， )， ∴F（1- ， ， ），
∴ =(1- , , ), =(0,2,2), =(1,1,0),
∵BF⊥平面ACE， ∴ = =0且 = =0,
解得， =1， = ， ∴E（1,0,0），F( ， ， )，
（Ⅰ） =（1,1,0）， =（－1,1，0）, ∴ =0, ∴AE⊥BE,
而A（0，0， ），M（ ， ， ），C ， ， ）
， ， ， ， ， ，
所以 消 ，得 取 ，得 ，
∴ ， ， ）
∴ ，
∴平面 与平面 所成的二面角的正弦值为 。
4、如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， ，点 是棱 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的平面角的余弦值.
（1来自百度文库证明：如图建立空间坐标系，设AD
∴ =(－2,2,1), =（－2，0，2），
设面 的法向量为 =（ ， ， ），则
= =0且 = =0，取 =1，则 =－1， = ，
∴ =（1， ，－1）,
假设在棱 上存在一点F，使 ∥平面 ，设F( ，2，2)（0≤ ≤2）,
则 =（ ，2，2）， 则 = =0，
解得 =1， ∴当F为 中点时， ∥平面 .
（Ⅱ）求证：平面BDF⊥平面ABCD.
证明：∵ABCD为正方形，∴ ⊥AB，∵二面角D—AB—E为直二面角，∴BC⊥面AEB，
以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，如图建立空间直角坐标系O—xyz，则A(0，－1，0)，
B(0,1,0)，C(0,1,2)，D(0,－1,2),E(1，0,0)，
A（0，0，0），E（0， ， ），P（0，0， ）
B（0， ，0），C（ ， ，0） （0， ， ），
（0， ， ， （ ，0，0）
∴
∴AE⊥PB，AE⊥BC
而 PB∩BC B ∴ 平面
（2）∵ 平面 ， （0， ， ）∴平面BEC的一个法向量 ，1，1） 设平面DEC的一个法向量 ， ， ）
E（0， ， ），C（1， ，0），D（1，0，0）
一、平面的法向量
例1已知 =（2，2，1）， =（4，5，3），求平面ABC的法向量
解：设面ABC的法向量 ，
则 ⊥ 且 ⊥ ，即 · =0，且 · =0，
即2x+2y+z=0且4x+5y+3z=0，解得
∴ =z（ ，－1，1）
点评：一般情况下求法向量用待定系数法由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把 的某个坐标设为1，再求另两个坐标平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量。
4模长公式：若 ， ，
则 ， ．
5．夹角公式： ．
异面直线所成的夹角：
6．两点间的距离公式：若 ， ，
则 ，
或
7、法向量
直线的法向量：在直线 上取一个定向量 ，则与 垂直的非零向量 叫直线 的法向量
平面的法向量：与平面 垂直的非零向量 叫平面 的法向量．
构造直线或平面的法向量，在求空间角与距离时起到了桥梁的作用，在解题过程中只须求出而不必在图形中作出来．在空间直角坐标系下，构造关于法向量坐标的三元一次方程组，得到直线（或平面）的法向量坐标的一般形式，再取特值. 其向上或向下的方向可根据竖坐标的符号来确定.
二、空间里的垂直关系
1、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点
证明AD⊥D1F；
解：取D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，取正方体棱长为2，
则A（2，0，0）、A1（2，0，2）、
D1（0，0，2）、E（2，2，1）、F（0，1，0）
∵ · =（2，0，0）·（0，1，－2）=0，∴AD⊥D1F
P(0,0, ),M( ,0, ),N( ,1, )，
(1) =( ，1， )， =(－1,0，0)，
∴异面直线DN与BC的夹角的余弦值为 = = .
（2） =(1，0，－ )， =(1，2，－ )，设面PBC的法向量为 =（ ， ， ），直线PA与面PBC所成的角为 ，
则 = =0且 =－ =0,取 =2，则 =0， = ，
2．空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系 中，对空间任一点 ，存在唯一的有序实数组 ，使 ，有序实数组 叫作向量 在空间直角坐标系 中的坐标，记作 ， 叫横坐标， 叫纵坐标， 叫竖坐标．
3．空间向量的直角坐标运算律：
（1）若 ， ，
则 ，
，
，
， ，
．
（2）若 ， ，则 ．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
∴ =(0,2, )， ∴ = = .
(3)由（2）知面PBC的法向量为 =(0,2, )，设面CDN的法向量为 =（ , , ）, ∵ =( ，1， ), =(0,2,0)， =（0，0， ）,
∴ = =0且 = =0，取 =1，则 =－ ， =0，
则 =(－ ，0，1)，∴ = = ，
又∵ =3＞0, = ＞0, ∴二面角P－NC-D的大小的余弦值为 .
∴ ， ， ） ， ，
， ，0） 0，1，0）
由 ， ，得： ∴
取 ，得 ∴ ，0， ）
∴ ，
∵二面角 的平面角为钝角∴二面角 的平面角的余弦值为
【点评】（1）对异面直线夹角问题，先求出两条异面直线的方向向量分别为 、 ，在求出 、 的夹角，设两异面直线的夹角 ，利用 = 求出异面直线的夹角，注意：异面直线夹角与向量夹角的关系；(2)对二面角 的大小问题，先求出平面 、 的法向量 、 ，再求出 、 的夹角，在 内取一点A，在 内取一点B，设二面角 大小为 ，若 与 同号，则 = ，若 与 异号，则 = ，注意二面角大小与法向量夹角的关系.（3）对于线面夹角问题，求出线面夹角问题中，求出直线的方向向量 和平面法向量 ，设线面角为 ，则直线方向向量 在平面法向量 方向上的投影的长度 与直线方向向量 的模之 比 就是线面夹角的正弦值，即 = .
三、空间里的平行关系
1、在正方体AC1中，E为DD1的中点，求证：DB1//面A1C1E
3、在正方体 ，E是棱 的中点。在棱 上是否存在一点F，使 ∥平面 ?证明你的结论。
解：以A为坐标原点，如图建立坐标系，设正方形的棱长为2，则B(2,0,0),E(0,2,1), (0,0,2), (2,0,2)，
坐标法解立体几何
1空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 ，这个基底叫单位正交基底，用 表示；
（2）在空间选定一点 和一个单位正交基底 ，以点 为原点，分别以 的方向为正方向建立三条数轴： 轴、 轴、 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系 ，点 叫原点，向量 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为 平面， 平面， 平面；
3、如图， 与 都是边长为2的正三角形，平面 平面 ， 平面 ， .
（1）求直线 与平面 所成的角的大小；
（2）求平面 与平面 所成的二面角的正弦值.
解：如图建立空间坐标系，设直线 与平面 所成的角的大小为θ，
∵ 平面 ∴ 是平面BCD的一个法向量
故 点A坐标：（0，0， ）点B坐标：（0，0，0）
点M坐标：（ ， ， ）
（注明：先作MO⊥CD于O，过点C作CE⊥BD于E，CG⊥y轴于G，过点O作OF⊥BD于F，OH⊥y轴于H，再利用坐标定义求出点M坐标）
于是 ， ， ， （0，0， ）
∴
∴
（2）易知平面BCD的一个法向量为 =（0，0，1）
设平面ACM的法向量 ， ， ），由 ⊥ ，
⊥ 可得 · =0， · =0，
∵BC⊥面AEB, ∴BC⊥AE, ∴AE⊥平面BCE;
（Ⅱ）面ABCD的法向量为 =（1，0,0），设面BFD的法向量为 =（ ， ， ）， =( ,－ , ), =（0，－2，2），
∴ = =0且 = =0，取 =1，则 =1， =0，
∴ =(0，1，1)， ∴ =0， ∴平面BDF⊥平面ABCD
（1）求异面直线DN与BC的夹角的余弦值；
（2）求直线PA与面PBC所成的角正弦值；
（3）求二面角P－NC-D的大小的余弦值.
解析：以D为原点，向量 , , 的方向分别为 ， ， 轴的正方向，建立坐标系，设AD=1，则AB= =2，
∵ ⊥底面 ，∴∠PAD为直线PA与面ABCD所成的角，
∴∠PAD= ， ∴PD= ， ∴D(0,0,0), A(1,0,0), B(1,2,0),C(0,2,0),
2、 如图，已知正三棱柱 的棱长为2，底面边长为1， 是 的中点.在直线 上求一点 ，使 ；
解：以 分别为 轴、 轴，垂直于 的 为 轴建立空间直角坐标系 ，设 ，则有
.
3、在直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB=√2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
5平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且 G是EF的中点，求证平面AGC⊥平面BGC；
解：如图，以A为原点建立直角坐标系，则
A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），G（a，a，0），F（a，0，0）
证明：
设平面AGC的法向量为 ，
设平面BGC的法向量为 ，
四、空间的角
1、直三棱柱 中，若 ， ，求异面直线 与 所成的角。
如图建立空间坐标系，设异面直线 与 所成的角为 ，
则 ，设AB= ，易求点B坐标：（ ， ， ，
点 坐标： ， ， ），点A坐标：（0，0，0），点 坐标：
， ， ），所以 ， ， ）， ， ， ）
∴
2、在四棱锥 中， ， ∥ ， ⊥底面 ， ，直线 与底面 成60°角，点 分别是 、 的中点.
∵F为CE上的点， =(－1,1,2),
∴设 = =(- , ， )， ∴F（1- ， ， ），
∴ =(1- , , ), =(0,2,2), =(1,1,0),
∵BF⊥平面ACE， ∴ = =0且 = =0,
解得， =1， = ， ∴E（1,0,0），F( ， ， )，
（Ⅰ） =（1,1,0）， =（－1,1，0）, ∴ =0, ∴AE⊥BE,
而A（0，0， ），M（ ， ， ），C ， ， ）
， ， ， ， ， ，
所以 消 ，得 取 ，得 ，
∴ ， ， ）
∴ ，
∴平面 与平面 所成的二面角的正弦值为 。
4、如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， ，点 是棱 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的平面角的余弦值.
（1来自百度文库证明：如图建立空间坐标系，设AD
∴ =(－2,2,1), =（－2，0，2），
设面 的法向量为 =（ ， ， ），则
= =0且 = =0，取 =1，则 =－1， = ，
∴ =（1， ，－1）,
假设在棱 上存在一点F，使 ∥平面 ，设F( ，2，2)（0≤ ≤2）,
则 =（ ，2，2）， 则 = =0，
解得 =1， ∴当F为 中点时， ∥平面 .
（Ⅱ）求证：平面BDF⊥平面ABCD.
证明：∵ABCD为正方形，∴ ⊥AB，∵二面角D—AB—E为直二面角，∴BC⊥面AEB，
以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，如图建立空间直角坐标系O—xyz，则A(0，－1，0)，
B(0,1,0)，C(0,1,2)，D(0,－1,2),E(1，0,0)，
A（0，0，0），E（0， ， ），P（0，0， ）
B（0， ，0），C（ ， ，0） （0， ， ），
（0， ， ， （ ，0，0）
∴
∴AE⊥PB，AE⊥BC
而 PB∩BC B ∴ 平面
（2）∵ 平面 ， （0， ， ）∴平面BEC的一个法向量 ，1，1） 设平面DEC的一个法向量 ， ， ）
E（0， ， ），C（1， ，0），D（1，0，0）
一、平面的法向量
例1已知 =（2，2，1）， =（4，5，3），求平面ABC的法向量
解：设面ABC的法向量 ，
则 ⊥ 且 ⊥ ，即 · =0，且 · =0，
即2x+2y+z=0且4x+5y+3z=0，解得
∴ =z（ ，－1，1）
点评：一般情况下求法向量用待定系数法由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把 的某个坐标设为1，再求另两个坐标平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量。
4模长公式：若 ， ，
则 ， ．
5．夹角公式： ．
异面直线所成的夹角：
6．两点间的距离公式：若 ， ，
则 ，
或
7、法向量
直线的法向量：在直线 上取一个定向量 ，则与 垂直的非零向量 叫直线 的法向量
平面的法向量：与平面 垂直的非零向量 叫平面 的法向量．
构造直线或平面的法向量，在求空间角与距离时起到了桥梁的作用，在解题过程中只须求出而不必在图形中作出来．在空间直角坐标系下，构造关于法向量坐标的三元一次方程组，得到直线（或平面）的法向量坐标的一般形式，再取特值. 其向上或向下的方向可根据竖坐标的符号来确定.
二、空间里的垂直关系
1、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点
证明AD⊥D1F；
解：取D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，取正方体棱长为2，
则A（2，0，0）、A1（2，0，2）、
D1（0，0，2）、E（2，2，1）、F（0，1，0）
∵ · =（2，0，0）·（0，1，－2）=0，∴AD⊥D1F
P(0,0, ),M( ,0, ),N( ,1, )，
(1) =( ，1， )， =(－1,0，0)，
∴异面直线DN与BC的夹角的余弦值为 = = .
（2） =(1，0，－ )， =(1，2，－ )，设面PBC的法向量为 =（ ， ， ），直线PA与面PBC所成的角为 ，
则 = =0且 =－ =0,取 =2，则 =0， = ，
2．空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系 中，对空间任一点 ，存在唯一的有序实数组 ，使 ，有序实数组 叫作向量 在空间直角坐标系 中的坐标，记作 ， 叫横坐标， 叫纵坐标， 叫竖坐标．
3．空间向量的直角坐标运算律：
（1）若 ， ，
则 ，
，
，
， ，
．
（2）若 ， ，则 ．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
∴ =(0,2, )， ∴ = = .
(3)由（2）知面PBC的法向量为 =(0,2, )，设面CDN的法向量为 =（ , , ）, ∵ =( ，1， ), =(0,2,0)， =（0，0， ）,
∴ = =0且 = =0，取 =1，则 =－ ， =0，
则 =(－ ，0，1)，∴ = = ，
又∵ =3＞0, = ＞0, ∴二面角P－NC-D的大小的余弦值为 .
∴ ， ， ） ， ，
， ，0） 0，1，0）
由 ， ，得： ∴
取 ，得 ∴ ，0， ）
∴ ，
∵二面角 的平面角为钝角∴二面角 的平面角的余弦值为
【点评】（1）对异面直线夹角问题，先求出两条异面直线的方向向量分别为 、 ，在求出 、 的夹角，设两异面直线的夹角 ，利用 = 求出异面直线的夹角，注意：异面直线夹角与向量夹角的关系；(2)对二面角 的大小问题，先求出平面 、 的法向量 、 ，再求出 、 的夹角，在 内取一点A，在 内取一点B，设二面角 大小为 ，若 与 同号，则 = ，若 与 异号，则 = ，注意二面角大小与法向量夹角的关系.（3）对于线面夹角问题，求出线面夹角问题中，求出直线的方向向量 和平面法向量 ，设线面角为 ，则直线方向向量 在平面法向量 方向上的投影的长度 与直线方向向量 的模之 比 就是线面夹角的正弦值，即 = .