八年级数学全等三角形专题练习(解析版)

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一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)

1.已知:在平面直角坐标系中,A 为x 轴负半轴上的点,B 为y 轴负半轴上的点. (1)如图1,以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ∆,若2OA =,4OB =,试求C 点的坐标;

(2)如图2,若点A 的坐标为()

23,0-,点B 的坐标为()0,m -,点D 的纵坐标为n ,以B 为顶点,BA 为腰作等腰Rt ABD ∆.试问:当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不变时,整式2253m n +-的值是否发生变化?若不发生变化,请求出其值;若发生变化,请说明理由;

(3)如图3,E 为x 轴负半轴上的一点,且OB OE =,OF EB ⊥于点F ,以OB 为边作等边OBM ∆,连接EM 交OF 于点N ,试探索:在线段EF 、EN 和MN 中,哪条线段等于EM 与ON 的差的一半?请你写出这个等量关系,并加以证明.

【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化,值为3-3)EN=

12

(EM-ON),证明见详解. 【解析】

【分析】 (1)作CQ ⊥OA 于点Q,可以证明AQC BOA ≅,由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C 的坐标;

(2)作DP ⊥OB 于点P ,可以证明AOB BPD ≅,则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n 为定值,从而可以求出结论2253m n +-3-

(3)作BH ⊥EB 于点B ,由条件可以得出

∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENO BGM ≅,则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG ,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=12

(EM-ON).

【详解】

(1)如图(1)作CQ ⊥OA 于Q,

∴∠AQC=90°,

△为等腰直角三角形,

∵ABC

∴AC=AB,∠CAB=90°,

∴∠QAC+∠OAB=90°,

∵∠QAC+∠ACQ=90°,

∴∠ACQ=∠BAO,

又∵AC=AB,∠AQC=∠AOB,

≅(AAS),

∴AQC BOA

∴CQ=AO,AQ=BO,

∵OA=2,OB=4,

∴CQ=2,AQ=4,

∴OQ=6,

∴C(-6,-2).

(2)如图(2)作DP⊥OB于点P,

∴∠BPD=90°,

△是等腰直角三角形,

∵ABD

∴AB=BD,∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°,∵∠OBD+∠BDP=90°,

∴∠ABO=∠BDP,

又∵AB=BD,∠AOB=∠BPD=90°,

∴AOB BPD

∴AO=BP,

∵BP=OB-PO=m-(-n)=m+n,

∵A ()23,0-,

∴OA=23,

∴m+n=23,

∴当点B 沿y 轴负半轴向下运动时,AO=BP=m+n=23,

∴整式2253m n +-的值不变为3-.

(3)()12

EN EM ON =- 证明:如图(3)所示,在ME 上取一点G 使得MG=ON,连接BG 并延长,交x 轴于H.

∵OBM 为等边三角形,

∴BO=BM=MO,∠OBM=∠OMB=∠BOM=60°,

∴EO=MO,∠EBM=105°,∠1=30°,

∵OE=OB,

∴OE=OM=BM,

∴∠3=∠EMO=15°,

∴∠BEM=30°,∠BME=45°,

∵OF⊥EB,

∴∠EOF=∠BME,

∴ENO BGM ≅,

∴BG=EN,

∵ON=MG,

∴∠2=∠3,

∴∠2=15°,

∴∠EBG=90°,

∴BG=

12

EG, ∴EN=12EG, ∵EG=EM-GM,

∴EN=

12

(EM-GM), ∴EN=12(EM-ON).

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质,等边三角形的性质,等腰三角形的性质,三角形的外角与内角的关系,全等三角形的判定与性质,平行线分线段成比例定理的运用.

2.如图1,等腰△ABC中,AC=BC=42, ∠ACB=45˚,AO是BC边上的高,D为线段AO上一动点,以CD为一边在CD下方作等腰△CDE,使CD=CE且∠DCE=45˚,连结BE.

(1) 求证:△ACD≌△BCE;

(2) 如图2,在图1的基础上,延长BE至Q, P为BQ上一点,连结CP、CQ,若CP=CQ=5,求PQ的长.

(3) 连接OE,直接写出线段OE的最小值.

【答案】(1)证明见解析;(2)PQ=6;(3)OE=422

-

【解析】

试题分析:()1根据SAS即可证得ACD BCE

≌;

()2首先过点C作CH BQ

⊥于H,由等腰三角形的性质,即可求得45

DAC

∠=︒,则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长.

()3OE BQ

⊥时,OE取得最小值.

试题解析:()1证明:∵△ABC与△DCE是等腰三角形,

∴AC=BC,DC=EC,45

ACB DCE

∠=∠=,

45

ACD DCB ECB DCB

∴∠+∠=∠+∠=,

∴∠ACD=∠BCE;

在△ACD和△BCE中,

,

AC BC

ACD BCE

DC EC

=

∠=∠

⎪=

(SAS)

ACD BCE

∴≌;

()2首先过点C作CH BQ

⊥于H,

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