八年级数学全等三角形专题练习(解析版)
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一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)
1.已知:在平面直角坐标系中,A 为x 轴负半轴上的点,B 为y 轴负半轴上的点. (1)如图1,以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ∆,若2OA =,4OB =,试求C 点的坐标;
(2)如图2,若点A 的坐标为()
23,0-,点B 的坐标为()0,m -,点D 的纵坐标为n ,以B 为顶点,BA 为腰作等腰Rt ABD ∆.试问:当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不变时,整式2253m n +-的值是否发生变化?若不发生变化,请求出其值;若发生变化,请说明理由;
(3)如图3,E 为x 轴负半轴上的一点,且OB OE =,OF EB ⊥于点F ,以OB 为边作等边OBM ∆,连接EM 交OF 于点N ,试探索:在线段EF 、EN 和MN 中,哪条线段等于EM 与ON 的差的一半?请你写出这个等量关系,并加以证明.
【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化,值为3-3)EN=
12
(EM-ON),证明见详解. 【解析】
【分析】 (1)作CQ ⊥OA 于点Q,可以证明AQC BOA ≅,由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C 的坐标;
(2)作DP ⊥OB 于点P ,可以证明AOB BPD ≅,则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n 为定值,从而可以求出结论2253m n +-3-
(3)作BH ⊥EB 于点B ,由条件可以得出
∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENO BGM ≅,则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG ,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=12
(EM-ON).
【详解】
(1)如图(1)作CQ ⊥OA 于Q,
∴∠AQC=90°,
△为等腰直角三角形,
∵ABC
∴AC=AB,∠CAB=90°,
∴∠QAC+∠OAB=90°,
∵∠QAC+∠ACQ=90°,
∴∠ACQ=∠BAO,
又∵AC=AB,∠AQC=∠AOB,
≅(AAS),
∴AQC BOA
∴CQ=AO,AQ=BO,
∵OA=2,OB=4,
∴CQ=2,AQ=4,
∴OQ=6,
∴C(-6,-2).
(2)如图(2)作DP⊥OB于点P,
∴∠BPD=90°,
△是等腰直角三角形,
∵ABD
∴AB=BD,∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°,∵∠OBD+∠BDP=90°,
∴∠ABO=∠BDP,
又∵AB=BD,∠AOB=∠BPD=90°,
≅
∴AOB BPD
∴AO=BP,
∵BP=OB-PO=m-(-n)=m+n,
∵A ()23,0-,
∴OA=23,
∴m+n=23,
∴当点B 沿y 轴负半轴向下运动时,AO=BP=m+n=23,
∴整式2253m n +-的值不变为3-.
(3)()12
EN EM ON =- 证明:如图(3)所示,在ME 上取一点G 使得MG=ON,连接BG 并延长,交x 轴于H.
∵OBM 为等边三角形,
∴BO=BM=MO,∠OBM=∠OMB=∠BOM=60°,
∴EO=MO,∠EBM=105°,∠1=30°,
∵OE=OB,
∴OE=OM=BM,
∴∠3=∠EMO=15°,
∴∠BEM=30°,∠BME=45°,
∵OF⊥EB,
∴∠EOF=∠BME,
∴ENO BGM ≅,
∴BG=EN,
∵ON=MG,
∴∠2=∠3,
∴∠2=15°,
∴∠EBG=90°,
∴BG=
12
EG, ∴EN=12EG, ∵EG=EM-GM,
∴EN=
12
(EM-GM), ∴EN=12(EM-ON).
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质,等边三角形的性质,等腰三角形的性质,三角形的外角与内角的关系,全等三角形的判定与性质,平行线分线段成比例定理的运用.
2.如图1,等腰△ABC中,AC=BC=42, ∠ACB=45˚,AO是BC边上的高,D为线段AO上一动点,以CD为一边在CD下方作等腰△CDE,使CD=CE且∠DCE=45˚,连结BE.
(1) 求证:△ACD≌△BCE;
(2) 如图2,在图1的基础上,延长BE至Q, P为BQ上一点,连结CP、CQ,若CP=CQ=5,求PQ的长.
(3) 连接OE,直接写出线段OE的最小值.
【答案】(1)证明见解析;(2)PQ=6;(3)OE=422
-
【解析】
试题分析:()1根据SAS即可证得ACD BCE
≌;
()2首先过点C作CH BQ
⊥于H,由等腰三角形的性质,即可求得45
DAC
∠=︒,则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长.
()3OE BQ
⊥时,OE取得最小值.
试题解析:()1证明:∵△ABC与△DCE是等腰三角形,
∴AC=BC,DC=EC,45
ACB DCE
∠=∠=,
45
ACD DCB ECB DCB
∴∠+∠=∠+∠=,
∴∠ACD=∠BCE;
在△ACD和△BCE中,
,
AC BC
ACD BCE
DC EC
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
(SAS)
ACD BCE
∴≌;
()2首先过点C作CH BQ
⊥于H,