初等几何研究第一章习题的答案(1)

初等几何研究试题答案

一、线段与角的相等 P491

1. ⊙O 1、⊙O 2相交于A 、B,⊙O 1的弦BC 交⊙O 2于E,⊙O2的弦BD 交⊙O 1于F, 求证: （1）若∠DBA=∠CBA,则DF=CE; (2) 若DF=CE,则∠DBA=∠CBA. 证明:(1)连接AC 、AE 、AF 、AD

在⊙O 1中,由∠CBA=∠DBA 得AC=AF 在⊙O 2中,由∠CBA=∠DBA 得AE=AD 由A 、C 、B 、E 四点共圆得∠1=∠2 由A 、D 、B 、E 四点共圆得∠3=∠4 所以△ACE ≌△AF ∴DF=CE

(2)由（1）得∠1=∠2,∠3=∠4 ∵DF=CE ∴△ACE ≌△AFD ∴AD=AE

在⊙O 2中,由AD=AE 可得∠DBA=∠CBA

2.在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90O ,D 是AC 上的一点,AE ⊥BD 的延长线于E,又AE=1

2

BD,求证:BD 平分∠ABC. 证明:延长AE,BC 交于点F

AED BCA 90 ADE BDC CBD CAF

ACF BCA 90 AC BC ACF BCD AF BD

11

AE BD AE AF

22

ABEE BE BE ABF BD ABC

∠=∠=︒∠=∠∴∠=∠∠=∠=︒=∴∆≅∆∴==∴=⊥∴∠∠Q Q Q Q 又又又平分即平分

3.已知在凸五边形ABCDE 中,∠BAE=3α,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=180º－2α, 求证:∠BAC=∠CAD=∠DAE.

证明:连接BD,得ΔCBD 是等腰三角形

且底角是∠CDB=[180º－(180º－2α)]÷2=α.

∴∠BDE=(180°－2α)-α=180º－3α ∴A 、B 、D 、E 共圆

同理A 、C 、D 、E 共圆 ∴∠BAC=∠CAD=∠DAE 4.设H 为锐角△ABC 的垂心,若AH 等于外接圆的半径.求证:∠BAC=60º 证明:过点B 作BD ⊥BC,交圆周于点D,连结CD 、AD ∵∠DBC=90º, ∴CD 是直径,则∠CAD=90º 由题,可得AH ⊥BC, BH ⊥

AC

∴BD ∥AH, AD ∥BH ∴四边形ADBH 是□ ∴AH=BD 又∵AH 等于外接圆的半径(R) ∴BD=R,而CD=2R ∴在Rt △BCD 中,CD=2BD,即∠BCD=30º ∴∠BDC=60º 又∵∠BAC=∠BDC ∴∠BAC=∠BDC=60º

5. 在△ABC 中,∠C=90o ,BE 是∠B 的平分线,CD 是斜边上的高,过BE 、CD 之交

点0且平行于AB 的直线分别交AC 、BC 于F 、G,求证AF=CE. 证明:如图∵∠1＝∠3,∠1=∠2. ∴∠2=∠3, ∴GB = GO, ∵ ∠5=∠4=∠6,∴CO =CE, ∵ FG ∥AB, ∴AF ／CF=BG ／CG=GO ／CG, 又∵△FCO ∽△COG,

∴CO ／CF=GO ／CG=AF ／CF, ∴CO=AF, ∵CO=CE, ∴AF=CE.

6. 在△ABC 中,先作角A 、B 的平分线,再从点C 作上二角的平分线值平行

线,并连结它们的交点D 、E,若DE ∥BA,求证:△ABC 等腰.

证明:如图所示 设AC 、ED 的交点为F ∵AD 是∠A 的平分线

∴∠1=∠2 ∵DE ∥AB ∴∠1=∠3 ∵CE ∥AD ∴∠3=∠5, ∠4=∠2 ∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5

则△FAD 和△FCE 是等腰三角形 ∴AF=DF,EF=CF ∴

同理可证 BC=DE ∴AC=BC ∴△ABC 是等腰三角形

7. 三条中线把△ABC 分成6个三角形,若这六个三角形的切圆中有4个相等. 求证:△ABC 是正三角形．

证明:∵△AOF 、△AOE 、△COD 、△COE 、△BOF 、△BOD 面积都相等

∴S △

OFB =S △OEC 即:

21BF ×r+2

1

FO ×r+21BO ×r=21CE ×r+21OE ×r+21OC ×r 21 (BF+FO+BO)×r=2

1 (CE+OE+OC)×r ∴BF+FO+BO=CCE+OE+OC

∴CE+OE+OC-OG-OI=CE+OE+OC-OL-OJ ∴2DH+2BH=2FK+2CK ∴2BF=2CE 又F 、E 分别为AB 、AC 之中点 ∴AB=AC 同理:AB=BC 故△ABC 是正三角形.

8. 平行四边形被对角线分成四个三角形中,若有三个的切圆相等

D

B

C

证明:该四边形为菱形.

证明:又∵△AO B 、△BOC 、△COD 、△DOA 四个三角形的面积相等

()()11

22OD DC OC r OB BC OC r ∴

++⨯=++⨯

OD OC DC OE OG OB OC BC OI OG ++--=++--

∴四边形为菱形

9. 凸四边形被对角线分成4个三角形,皆有相等的切圆,求证:该四边形是菱形 .

证明:连结O 1 、O 2,分别作O 1 、O 2到AC 的垂线,垂足分别为P 、M

∵在△ABC 中,BO 是☉O 1 、☉O 2的公切线 ∴BO ⊥O 1 O 2

又∵☉O 1 、☉O 2半径相同,且都与AC 相切 ∴O 1 O 2‖AC ∴BO ⊥AC BD ⊥AC ∵两个相等的切圆☉O 1 、☉O 3在对顶三角形

△AOB 与△COD 中 ∴周长C △AOB =C △COD ∴AO+BO+AB=CO+DO+CD 又∵OP=OQ=OM=ON ∴（AO+BO+AB)-(OP+OQ)=(CO+DO+CD)-(OM+ON) ∴2AB=2CD ∴AB=CD 同理AD=BC

∴四边形ABCD 是平行四边形又∵AC ⊥BD ∴四边形ABCD 是菱形

10. 在锐角△ABC 中,BD,CE 是两高,并自B 作BF ⊥DE 于F,自C 作CG ⊥DE 于G ,证明:EF=DG .

证明:设O,M 分别是BC,FG 的中点, 所以OM ∥BF,

因为BF ⊥FG , 所以OM ⊥FG ,

又因为∠BEC=∠BDC=︒90 所以BCDE 四点在以BC 为直径的圆上, 因为OM ⊥DE,

所以OM 平分ED, 所以FM-EM=MG-MD 即EF=DG .

11. △ABC 中,M 是BC 的中点,I 是心,BC 与切圆相切与K. 求证:直线IM 平分线段AK.

证明:作出∠A 的旁切圆O,设它与BC 边和AB,BC

连接AD 交接圆于L,则因接圆和旁切圆以A 为中点成位似,B

D

C