高中化学十字相乘法原理及经典题目
高中化学解题方法——十字交叉法
在化学反应速率问题中，十字交叉法可以用来确定反应速率常数与反应物浓度之 间的关系，从而理解反应速率的变化规律。
03
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十字交叉法的解题步骤
确定问题类型
01
02
03
混合物计算
当题目涉及混合物时，可 以通过十字交叉法计算混 合物的组成和比例。
平均量计算
当需要计算平均量时，如 平均相对分子质量、平均 摩尔质量等，可以使用十 字交叉法。
高中化学解题方法—— 十字交叉法
汇报人：
202X-01-01
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目 录
• 十字交叉法的原理 • 十字交叉法的应用 • 十字交叉法的解题步骤 • 十字交叉法的注意事项 • 实例解析
01
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十字交叉法的原理
原理概述
十字交叉法是一种用于解决混合 物计算问题的化学解题方法。
它通过将混合物的两个组分的质 量或体积进行交叉相乘，来找出 两组分在混合物中的质量比或体
积比。
这种方法适用于解决涉及两种组 分混合的问题，如气体混合、溶
液混合等。
原理的数学表达
则A组分在混合物中 的质量分数为：XA = (m1/M)。
两组分的交叉相乘关
系为：m1XA
=
m2XB。
B组分在混合物中的 质量分数为：XB = (m2/M)。
溶液配制与稀释
总结词
适用于溶液配制和稀释的计算，特别是当涉及溶液的平均量和两个不同浓度的 溶液时。
详细描述
在溶液配制和稀释过程中，十字交叉法可以用来计算两个不同浓度的溶液混合 后的平均浓度，或者确定某一浓度的溶液稀释到另一浓度的比例。
化学反应速率
总结词
十字交叉(附例题)
一、十字交叉相乘法这是利用化合价书写物质化学式的方法，它适用于两种元素或两种基团组成的化合物。
其根据的原理是化合价法则：正价总数与负价总数的代数和为0或正价总数与负价总数的绝对值相等。
现以下例看其操作步骤。
二、十字交叉相比法我们常说的十字交叉法实际上是十字交叉相比法，它是一种图示方法。
十字交叉图示法实际上是代替求和公式的一种简捷算法，它特别适合于两总量、两关系的混合物的计算(即2—2型混合物计算)，用来计算混合物中两种组成成分的比值。
三、十字交叉消去法十字交叉消去法简称为十字消去法，它是一类离子推断题的解法，采用“十字消去”可缩小未知物质的范围，以便于利用题给条件确定物质，找出正确答案。
其实十字交叉法就是解二元一次方程的简便形式如果实在不习惯就可以例方程解但我还是给你说说嘛像A的密度为10 B的密度为8 它们的混合物密度为9 你就可以把9放在中间把10 和8 写在左边标上AB 然后分别减去9 可得右边为1 1 此时之比这1:1 了这个例子比较简单但难的也是一样你自己好好体会一下嘛这个方法其实很好节约时间特别是考理综的时候其实十字交叉法就是解二元一次方程的简便形式如果实在不习惯就可以例方程解但我还是给你说说嘛像A的密度为10 B的密度为8 它们的混合物密度为9 你就可以把9放在中间把10 和8 写在左边标上AB 然后分别减去9 可得右边为1 1 此时之比这1:1 了这个例子比较简单但难的也是一样你自己好好体会一下嘛这个方法其实很好节约时间特别是考理综的时候（一）混和气体计算中的十字交叉法【例题】在常温下，将1体积乙烯和一定量的某气态未知烃混和，测得混和气体对氢气的相对密度为12，求这种烃所占的体积。
【分析】根据相对密度计算可得混和气体的平均式量为24，乙烯的式量是28，那么未知烃的式量肯定小于24，式量小于24的烃只有甲烷，利用十字交叉法可求得甲烷是0.5体积（二）同位素原子百分含量计算的十字叉法【例题】溴有两种同位素，在自然界中这两种同位素大约各占一半，已知溴的原子序数是35，原子量是80，则溴的两种同位素的中子数分别等于。
高中化学十字相乘法原理与经典题目
⾼中化学⼗字相乘法原理与经典题⽬⾼中化学的⼗字相乘法⼗字交叉法⼜称图解法，应⽤于⼆元混合体系所产⽣的具有平均意义的计算问题，表现出实⽤性强，能准确、简便、迅速求解的特点。
适⽤范围：“⼗字交叉法”适⽤于两组分混合物（或多组分混合物，但其中若⼲种有确定的物质的量⽐，因⽽可以看做两组分的混合物），求算混合物中关于组分的某个化学量（微粒数、质量、⽓体体积等）的⽐值或百分含量。
例 1：实验测得⼄烯与氧⽓的混合⽓体的密度是氢⽓的14.5 倍。
可知其中⼄烯的质量分数为（）A.25.0%B.27.6%C.72.4%D.75.0%解析：要求混合⽓中⼄烯的质量分数可通过⼗字交叉法先求出⼄烯与氧⽓的物质的量之⽐（当然也可以求两组分的质量⽐，但较繁，不可取），再进⼀步求出质量分数。
这样，⼄烯的质量分数是：ω（ C2H4）=错误 !未找到引⽤源。
×100％=72.4%答案： C。
（解毕）⼆、⼗字交叉法的解法探讨：1.⼗字交叉法的依据：对⼀个⼆元混合体系，可建⽴⼀个特性⽅程：ax+b(1 － x)=c(a、b、c 为常数，分别表⽰ A 组分、 B 组分和混合体系的某种平均化学量，如：单位为的摩尔质量、单位为 g/g 的质量分数等 ) ；x 为组分 A 在混合体系中某化学量的百分数如欲求 x/(1 － x)之⽐值，可展开上述关系式，并整理得：ax－ bx=c－ b解之，得：g/mol （下同）。
错误 ! 未找到引⽤源。
即：错误 ! 未找到引⽤源。
2.⼗字交叉法的常见形式：为⽅便操作和应⽤，采⽤模仿数学因式分解中的⼗字交叉法，记为：3.解法关健和难点所在：⼗字交叉法应⽤于解题快速简捷，⼀旦教给了学⽣，学⽣往往爱⽤，但是也往往出错。
究其原因，⽆外乎乱⽤平均量（即上述 a、 b、c 不知何物）、交叉相减后其差值之⽐不知为何量之⽐。
关于上述 a 、 b 、c 这些化学平均量，在这⾥是指其量纲为（化学量1÷化学量）的⼀2些⽐值，如摩尔质量（ g/mol ）、溶液中溶质的质量分数 (溶质质量÷溶液质量 ) 或关于物质组成、变化的其它化学量等等。
十字相乘法(附答案解析)
十字相乘法 (2020年8月)【基础知识精讲】（1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式；（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．【重点难点解析】 1．二次三项式多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221，那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：)45)(2(86522-+=-+x x y xy x3．因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．【典型热点考题】例1 把下列各式分解因式：（1）1522--x x ；（2）2265y xy x +-．点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；（2）将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项26y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数．解：（1）)5)(3(1522-+=--x x x x ； （2）)3)(2(6522y x y x y xy x --=+-．例2 把下列各式分解因式：（1）3522--x x ；（2）3832-+x x ．点悟：我们要把多项式c bx ax ++2分解成形如))((2211c ax c ax ++的形式，这里a a a =21，c c c =21而b c a c a =+1221．解：（1）)3)(12(3522-+=--x x x x ； （2）)x )(x (x x 3133832+-=-+．点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．例3 把下列各式分解因式： （1）91024+-x x ；（2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+； （3）120)8(22)8(222++++a a a a ．点悟：（1）把2x 看作一整体，从而转化为关于2x 的二次三项式； （2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式； （3）以)8(2a a +为整体，转化为关于)8(2a a +的二次三项式． 解：（1） )9)(1(9102224--=+-x x x x ＝(x ＋1)(x －1)(x ＋3)(x －3)．（2） )(2)(5)(723y x y x y x +-+-+]2)(5)(7)[(2-+-++=y x y x y x＝(x ＋y )[(x ＋y )－1][7(x ＋y )＋2] ＝(x ＋y )(x ＋y －1)(7x ＋7y ＋2)． （3） 120)8(22)8(222++++a a a a)108)(128(22++++=a a a a )108)(6)(2(2++++=a a a a点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ． 点悟：把x x 22+看作一个变量，利用换元法解之． 解：设y x x =+22，则 原式＝(y －3)(y －24)＋90162272+-=y y＝(y －18)(y －9))92)(182(22-+-+=x x x x ．点拨：本题中将x x 22+视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外，)9)(18(162272--=+-y y y y 一步，我们用了“十字相乘法”进行分解．例5 分解因式653856234++-+x x x x ． 点悟：可考虑换元法及变形降次来解之． 解：原式]38)1(5)1(6[222-+++=xx x x x ]50)1(5)1(6[22-+++=xx x x x ，令y xx =+1，则 原式)5056(22-+=y y x)103)(52(2+-=y y x32)3103)(252(22+++-=x x x x)13)(3)(12)(2(++--=x x x x ．点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱．但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节． 例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．点悟：方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x －y )的二次三项式． 方法2：把字母y 看作是常数，转化为关于x 的二次三项式． 解法1： 655222-+-+-y x y xy x6)55()2(22-+-++-=y x y xy x6)(5)(2----=y x y x)6)(1(--+-=y x y x ．解法2： 655222-+-+-y x y xy x65)52(22-+++-=y y x y x )1)(6()52(2-+++-=y y x y x)]y (x )][y (x [16--+-=＝(x －y －6)(x －y ＋1)．例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组． 解：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b ))(2222b a ab bc c b c a ac -+-+-= )()()(222b a ab b a c b a c -+---= )())(()(2b a ab b a b a c b a c -+-+--=])()[(2ab b a c c b a ++--=＝(a －b )(c －a )(c －b )．点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组．此题展开四项后，根据字母c 的次数分组，出现了含a －b 的因式，从而能提公因式．随后又出现了关于c 的二次三项式能再次分解．例8 已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．点悟：因为12624+++x x x 是四次多项式，有一个因式是42++ax x ，根据多项式的乘法原则可知道另一个因式是32++bx x （a 、b 是待定常数），故有=+++12624x x x +2(x )3()42+++⋅bx x ax ．根据此恒等关系式，可求出a ，b 的值． 解：设另一个多项式为32++bx x ，则12624+++x x x)3)(4(22++++=bx x ax x12)43()43()(234++++++++=x b a x ab x b a x ，∵ 12624+++x x x 与12)43()43()(234++++++++x b a x ab x b a x 是同一个多项式，所以其对应项系数分别相等．即有由①、③解得，a ＝－1，b ＝1， 代入②，等式成立．∴ a ＝－1，另一个因式为32++x x ．点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法．待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用．希望读者不可轻视．【易错例题分析】例9 分解因式：22210235y aby b a -+． 错解：∵ －10＝5×(－2)，5＝1×5， 5×5＋1×(－2)＝23，∴ 原式＝(5ab ＋5y )(－2ab ＋5y )．警示：错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤．正解：∵ 5＝1×5，－10＝5×(－2)，5×5＋1×(－2)＝23．∴ 原式＝(ab ＋5y )(5ab －2y )． 【同步练习】 一、选择题1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是 ( ) A ．22-+x x B ．x x x 310322+-C ．242++x x D ．22865y xy x --5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( ) A ．20)(13)(22++-+y x y x B ．20)(13)22(2++-+y x y x C ．20)(13)(22++++y x y x D ．20)(9)(22++-+y x y x6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( ) ①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ； ④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x x A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 二、填空题7．=-+1032x x __________． 8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________． 9．=--3522x x (x －3)(__________)．10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)．11．22____)(____(_____)+=++a mna ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)． 13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题14．把下列各式分解因式：（1）6724+-x x ； （2）36524--x x ；（3）422416654y y x x +-； （4）633687b b a a --；（5）234456a a a --； （6）422469374b a b a a +-．15．把下列各式分解因式：（1）2224)3(x x --；（2）9)2(22--x x ；（3）2222)332()123(++-++x x x x ；（4）60)(17)(222++-+x x x x ；（5）8)2(7)2(222-+-+x x x x ；（6）48)2(14)2(2++-+b a b a ．16．把下列各式分解因式： （1）b a ax x b a +++-2)(2；（2）))(()(222q p q p pq x q p x -+++-；（3）81023222-++--y x y xy x ；（4）310434422-+---y x y xy x ；（5）120)127)(23(22-++++x x x x ；（6）4222212)2)((y y xy x y xy x -++++．17．已知60197223+--x x x 有因式2x －5，把它分解因式．18．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值．十字相乘法参考答案【同步练习】1．D 2．B 3．D 4．C 5．A 6．C7．(x ＋5)(x －2) 8．1或－6，－6或1 9．2x ＋110．xy ，x ＋2y 11．224m n ，a ,mn 2 12．－2，3x ＋1或x ＋2 13．1714．（1） 原式)6)(1(22--=x x )6)(1)(1(2--+=x x x（2） 原式)4)(9(22+-=x x )4)(3)(3(2+-+=x x x（3） 原式)16)(4(2222y x y x --= )4)(4)(2)(2(y x y x y x y x -+-+=（4） 原式))(8(3333b a b a +-= ))()(42)(2(2222b ab a b a b ab a b a +-+++-=（5） 原式)456(22--=a a a )43)(12(2-+=a a a（6） 原式)9374(42242b b a a a +-=)9)(4(22222b a b a a --=)3)(3)(2)(2(2b a b a b a b a a -+-+=15．（1） 原式)23)(23(22x x x x +---= )1)(3)(1)(3(-++-=x x x x（2） 原式]3)2(][3)2([+---=x x x x)32)(32(22+---=x x x x)32)(1)(3(2+-+-=x x x x（3） 原式)332123()332123(2222---+++++++=⋅x x x x x x x x )1)(2)(455(2+-++=x x x x（4） 原式)5)(12(22-+-+=x x x x )5)(3)(4(2-+-+=x x x x（5） 原式)12)(82(22++-+=x x x x 2)1)(4)(2(++-=x x x（6）原式)82)(62(-+-+=b a b a16．（1） 原式)1]()[(+++-=x b a x b a（2） 原式)]()][([q p q x q p p x +---=))((22q pq x pq p x --+-=（3）原式)8103()22(22+----=y y x y x )2)(43()22(2-----=y y x y x]2)][43([-+--=y x y x)2)(43(-++-=y x y x（4） 原式3103)1(4422-+-+-=y y x y x )3)(13()1(442---+-=y y x y x)32)(132(-++-=y x y x（5） 原式120)4)(3)(2)(1(-++++=x x x x120)45)(65(22-++++=x x x x1201)55(22--++=x x)1155)(1155(22-+++++=x x x x)65)(165(22-+++=x x x x)6)(1)(165(2+-++=x x x x（6） 原式422222212)()(y y xy x y y xy x -+++++= )3)(4(222222y y xy x y y xy x -+++++=)2)(5(2222y xy x y xy x -+++=)2)()(5(22y x y x y xy x +-++=17．提示：)52()601972(23-+--÷x x x x )3)(4(122+-=--=x x x x18．∵ ))((2233y xy x y x y x +-+=+ ]3))[((2xy y x y x -++=，又∵ 2=+y x ，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，∴ 26)]4(32[22=+-a ，解之得，a ＝－7．。
化学十字相乘法超详解
十字交叉（相乘）法
十字交叉法适合带有平均值的二元混合体系的相关计算，它是二元一次方程组求解的简化形式，把乘除运算转换为加减运算，给计算带来很大的方便。
例：实验室用向下排空气法收集NH3，测得瓶内气体在同温同压下平均相对分子质量为20，要计算所得气体中NH3与空气（相对分子质量按29计算）的体积比。
解题思路是：算出NH3的相对分子质量为14+3=17，由于题中给出空气的相对分子质量为29，又给出混合气体的平均相对分子质量为20，所以可以用十字交叉法计算：
NH3 17
20（把两个混合气体的平均相对分子质量写在中间）空气29
然后交叉相减（大数减小数）例：应该是17-20就写成20-17（因为要大数减小数）=3 由于是交叉相减，是左上方的17向右下方减，所以得数3要写在右下方同理29-20为大数减小数，所以不变=9，把得数9写在20的右上角即：17 9
20
29 3
之后，在9和3的中间填上分号，所得的结果为1/3，这个就是体积比。
注：十字相乘（交叉）法只用于两种混合气体，并且得出的比值不是质量比。
因式分解十字相乘法例题及解析
因式分解十字相乘法例题及解析算术中，十字相乘法是一种古老而又重要的乘法，它把复杂的乘法变成简单的因式分解乘法。
在这种乘法中，每一步都可以把乘积分解成两个小乘积。
通过把乘法看作分解，我们可以求出这样的乘积，而这些乘积的因式分解统称为十字相乘法。
一般来说，十字相乘法是指把乘积分解成两个因式的乘法，常见的叫法有：因式分解十字相乘法、十字相乘因式分解法等。
十字相乘法的求解方法比较简单，只要把乘积写成两个因式相乘，就可以把乘积写成因式分解式。
常见的例子有：例1：(x + y)(x - y) = x2 - y2由于x + y和x - y是两个因式，所以把它们相乘，可以得出乘积的因式分解式x2 - y2。
例2：(x + y)(y + z) = xy + xz + yz由于x + y和y + z是两个因式，所以把它们相乘，可以得出乘积的因式分解式xy + xz + yz。
由此可见，十字相乘法是一种简单、有效的乘法。
学习者要掌握它，就要先熟练地掌握所有乘法规律。
除了上述例子外，还有更多关于十字相乘法例题等。
下面分别以几道典型例题及其解析，来帮助大家熟悉十字相乘法的应用。
例题1：(x + 2y)(x - 4y) =解：按照十字相乘法的规则，把乘积写成两个因式相乘，即x + 2y和x - 4y，所以得出因式分解式：x2 - 2xy - 4xy + 8y2 = x2 -6xy + 8y2。
例题2：(2x + 3y)(3x - y) =解：按照十字相乘法的规则，把乘积写成两个因式相乘，即2x + 3y和3x - y，所以得出因式分解式：6x2 - y2 - 6xy + 3y2 = 6x2 - 3xy + y2。
例题3：(2a + 3b)(2b - 3a) =解：按照十字相乘法的规则，把乘积写成两个因式相乘，即2a + 3b和2b - 3a，所以得出因式分解式：4ab - 9a2 + 9b2 = 4ab - 9(a2 + b2)。
专题04 十字相乘法(原卷版).docx
专题04 十字相乘法【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如型的二次三项式的因式分解.2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)4. 掌握好简单的分组分解法.【要点梳理】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式,若存在 ,则 要点诠释：（1）在对分解因式时,要先从常数项的正、负入手,若,则同号(若,则异号),然后依据一次项系数的正负再确定的符号（2）若中的为整数时,要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能),然后看这两个整数之和能否等于,直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中,如果二次项系数可以分解成两个因数之积,即,常数项可以分解成两个因数之积,即,把排列如下：按斜线交叉相乘,再相加,得到,若它正好等于二次三项式的一次项系数,即,那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积,即.要点诠释：（1）分解思路为“看两端,凑中间”（2）二次项系数一般都化为正数,如果是负数,则提出负号,分解括号里面的二次三项式,最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体,若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时,可考虑分步处理的方法,即把这个多项式分成几组,先对各组分别分解因式,然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进pq x q p x +++)(22x bx c ++pq c p q b =⎧⎨+=⎩()()2x bx c x p x q ++=++2x bx c ++c 0c >p q 、0c <p q 、b p q 、2x bx c ++b c 、c b 2ax bx c ++a a 12a a a =c 12c c c =1212a a c c ，，，1221a c a c +2ax bx c ++b 1221a c a c b +=11a x c +22a x c +()()21122ax bx c a x c a x c ++=++a行分组,然后再分解因式.要点四、添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项）,使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的方法方法方法技巧性,在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项,在反复尝试中熟练掌握方法方法方法技巧和方法.【典型例题】类型一、十字相乘法例1、分解因式：【参考参考参考答案与解析】解：原式＝【总结升华】将视作常数,就以为主元十字相乘可解决.举一反三：【变式】分解因式：【参考参考参考答案】解：原式例2、分解因式：【思路点拨】该题可以先将看作一个整体进行十字相乘法分解,接着再套用一次十字相乘.【参考参考参考答案与解析】22(1)(6136)x a x a a++--+()()()212332x a x a a++---()()()()23322332x a x ax a x a=--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-++-a x23345xy y x y++--2(34)35(35)(1)y x y x y x y=+-+-=+-+()2a a-解： 因为所以：原式＝[－2][ －12]＝＝【总结升华】十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便,大家一定要熟练掌握.举一反三：【变式】分解因式：；【参考参考参考答案】解：原式例3、分解下列因式(1) (2)【参考参考参考答案与解析】解：（1）令,则原式（2）令,原式【总结升华】此两道小题结构都非常有特点,欲分解都必须先拆开,再仔细观察每个式子中都存在大量相同的因式→整体性想法.整体性思路又称换元法,这与我们生活中搬家有些类似,要先将一些碎东西找包,会省许多事.类型二、分组分解法例4、分解因式：【思路点拨】对完全平方公式熟悉的同学,一看见该式,首先想到的肯定是式子中前三项恰好组成,()()()22221214a a a a a a ----=--22(2)(12)a a a a ----()()()()1234a a a a +-+-222(3)2(3)8x x x x ----()()223432x x x x =---+()()()()4112x x x x =-+--22(1)(2)12x x x x ++++-22(33)(34)8x x x x +-++-21x x t ++=222(1)1212(4)(3)(5)(2)t t t t t t x x x x =+-=+-=+-=+++-2(2)(1)(5)x x x x =+-++23x x m +=2(3)(4)820(5)(4)m m m m m m =-+-=+-=+-222(35)(34)(4)(1)(35)x x x x x x x x =+++-=+-++222332x xy y x y -++-+2()x y -第4、5项→.【参考参考参考答案与解析】解：原式【总结升华】①熟记公式在复杂背景下识别公式架构很重要；②我们前面练习中无论公式、配方、十字相乘一般都只涉及单一字母,其实代数式学习是一个结构的学习,其中任一个字母均可被一个复杂代数式来替代,故有时要有一些整体性认识的想法.举一反三：【变式1】分解因式：（1）（2）（3）【参考参考参考答案】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式.【变式2】分解因式：2242244241a b c ab ac bc ++--+-．【参考参考参考答案】解：2242244241a b c ab ac bc ++--+-=()()()2222444241a b ab ac bc c +-+-++-=()()()()222222211b a c b a c c -+-++-=()()222121b a c b a c -++-+-．类型三、拆项或添项分解因式例5、阅读理解：对于二次三项式x 2+2ax +a 2可以直接用公式法分解为（x +a ）2的形式,但对于二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2,就不能直接用公式法了．我们可以在二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2中先加上一项a 2,使其成为完全平方式,再减去a 2这项,使整个式子的值不变,于是又：x 2+2ax ﹣8a 2=x 2+2ax ﹣8a 2+a 2﹣a 2=（x 2+2ax +a 2）﹣8a 2﹣a 2=（x +a ）2﹣9a 2=[（x +a ）+3a ][（x +a ）﹣3]=（x +4a ）（x ﹣2a ）像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．（1）请认真阅读以上的添（拆）项法,并用上述方法将二次三项式：x 2+2ax ﹣3a 2分解因式． 3()x y -2()3()2x y x y =-+-+(1)(2)x y x y =-+-+22a b ac bc -++225533a b a b --+23345xy y x y ++--()()()()()a b a b c a b a b a b c =+-++=+-+()()()()()()()225353553a b a b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-233453(1)(1)(5)(1)(35)xy x y y x y y y y x y =++--=+++-=++-（2）直接填空：请用上述的添项法将方程的x 2﹣4xy +3y 2=0化为（x ﹣ ）•（x ﹣ ）=0并直接写出y 与x 的关系式．（满足xy ≠0,且x ≠y ）（3）先化简﹣﹣,再利用（2）中y 与x 的关系式求值．【参考参考参考答案与解析】解：（1）x 2+2ax ﹣3a 2=x 2+2ax +a 2﹣4a 2=（x +a ）2﹣4a 2=（x +a +2a ）（x +a ﹣2a ）=（x +3a ）（x ﹣a ）；（2）x 2﹣4xy +3y 2=x 2﹣4xy +4y 2﹣y 2=（x ﹣2y ）2﹣y 2=（x ﹣2y +y ）（x ﹣2y ﹣y ）=（x ﹣y ）（x ﹣3y ）；x =y 或x =3y ；故参考参考参考答案为：y ；3y（3）原式===﹣,若x =y ,原式=﹣2；若x =3y ,原式=﹣． 【总结升华】此题考查了因式分解﹣添（拆）项法,正确地添（拆）项是解本题的关键．【稳固练习】一.选择题231.如果多项式22mx nx --能因式分解为()()32x x p ++,那么下列结论正确的是 ( ).A.m ＝6B.n ＝1C.p ＝-2D.mnp ＝3 2. 若()2230x a b x ab x x +++=--,且b a <,则b 的值为( ).A.5B.－6C.－5D.6 3. 将()()256x y x y +-+-因式分解的结果是( ).A.()()23x y x y +++-B. ()()23x y x y +-++C.()()61x y x y +-++D. ()()61x y x y +++-4．把多项式1+a +b +ab 分解因式的结果是（ ）A ．（a ﹣1）（b ﹣1）B ．（a +1）（b +1）C ．（a +1）（b ﹣1）D ．（a ﹣1）（b +1）5. 对224293x x y y +--运用分组分解法分解因式,分组正确的是( )A. 22(42)(93)x x y y ++--B. 22(49)(23)x y x y -+-C. 22(43)(29)x y x y -+-D. 22(423)9x x y y +--6．如果3233x x x m +-+有一个因式为()3x +,那么m 的值是（ ）A. －9B.9C.－1D.1二.填空题7.分解因式：2242y xy x --+= ．8. 分解因式：224202536a ab b -+-= ．9．5321x x x -+-分解因式的结果是__________.10. 如果代数式有一因式,则a 的值为_________． 11．若3223a a b ab b --+有因式()a b -,则另外的因式是_________.12. 分解因式：（1）3)32(2-+-+k x k kx ；（2）mn m x m n x -+-+22)2(三.解答题13. 已知0x y +=,31x y +=, 求2231213x xy y ++的值.14. 分解下列因式：（1）()()128222+---a a a a（2）32344xy xy x y x y -++（3）42222459x y x y y --（4）43226a a a +-15.先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法,其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax +by +bx +ay =（ax +bx ）+（ay +by ）=x （a +b ）+y （a +b ）=（a +b ）（x +y ）2xy +y 2﹣1+x 2=x 2+2xy +y 2﹣1=（x +y ）2﹣1=（x +y +1）（x +y ﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后,可提公因式或运用公式继续分解的方法．如： x 2+2x ﹣3=x 2+2x +1﹣4=（x +1）2﹣22=（x +1+2）（x +1﹣2）=（x +3）（x ﹣1）请你仿照以上方法,探索并解决下列问题：（1）分解因式：a 2﹣b 2+a ﹣b ；（2）分解因式：x 2﹣6x ﹣7；（3）分解因式：a 2+4ab ﹣5b 2．知识改变命运。
十字相乘法公式例题
十字相乘法公式例题1. 分解因式x^2+3x + 2- 解析：对于二次三项式ax^2+bx + c（这里a = 1，b=3，c = 2），用十字相乘法。
将x^2的系数1分解为1×1，常数项2分解为1×2，十字相乘1×2+1×1 = 3（正好等于一次项系数）。
- 所以x^2+3x + 2=(x + 1)(x+2)。
2. 分解因式x^2-5x+6- 解析：a = 1，b=-5，c = 6。
将x^2的系数1分解为1×1，常数项6分解为(-2)×(-3)，十字相乘1×(-3)+1×(-2)= - 5。
- 所以x^2-5x + 6=(x - 2)(x-3)。
3. 分解因式x^2+x - 6- 解析：a = 1，b = 1，c=-6。
把x^2的系数1分解为1×1，常数项-6分解为2×(-3)，十字相乘1×(-3)+1×2=-1。
- 所以x^2+x - 6=(x + 3)(x-2)。
4. 分解因式x^2-3x - 10- 解析：a = 1，b=-3，c=-10。
x^2的系数1分解为1×1，常数项-10分解为(-5)×2，十字相乘1×2+1×(-5)=-3。
- 所以x^2-3x - 10=(x - 5)(x + 2)。
5. 分解因式2x^2+5x+3- 解析：a = 2，b = 5，c = 3。
将2x^2的系数2分解为2×1，常数项3分解为3×1，十字相乘2×1+1×3 = 5。
- 所以2x^2+5x+3=(2x + 3)(x + 1)。
6. 分解因式3x^2-7x+2- 解析：a = 3，b=-7，c = 2。
把3x^2的系数3分解为3×1，常数项2分解为(-2)×(-1)，十字相乘3×(-1)+1×(-2)=-7。
十字相乘法分解因式的精品讲解+练习
十字相乘法分解因式（1）多项式c bx ax ++2，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项，为一次项， 为常数项．例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式．（3）在多项式37222+-ab b a 中，把 看作一个整体，即 ，就是关于 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式．(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；?当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例1 把下列各式分解因式：(1)1522--x x ； (2)2265y xy x +-．'例2 把下列各式分解因式：(1)3522--x x ； (2)3832-+x x ．例3 把下列各式分解因式：（1）91024+-x x ； (2))(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；~(3)120)8(22)8(222++++a a a a ．例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．例5 分解因式653856234++-+x x x x ．例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．！例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．例8、已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．把下列各式分解因式：(1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ (3) 2576x x +-%(4) 261110y y -- (5) 2252310a b ab +- (6) 222231710a b abxy x y -+(7) 22712x xy y -+ (8) 42718x x +- (9) 22483m mn n ++。
浓度十字相乘法公式例题
浓度十字相乘法公式例题一、基础型例题（1 - 10）例题1。
将20%的盐水与5%的盐水混合，配成15%的盐水600克，问20%和5%的盐水各需多少克？解析。
设20%的盐水需x克，5%的盐水需y克。
1. 首先根据混合后盐水总质量为600克，可得x + y=600。
2. 然后利用十字相乘法：- 对于20%的盐水和5%的盐水混合成15%的盐水，20%、15%、5%这三个浓度，根据十字相乘法原理(20% - 15%):(15% - 5%) = y:x，即5%:10%=y:x = 1:2。
- 因为x + y = 600且x:y = 2:1，所以x = 400克，y = 200克。
例题2。
现有浓度为30%的酒精溶液和浓度为60%的酒精溶液，要配制成浓度为40%的酒精溶液300克，两种溶液各需取多少克？解析。
1. 设30%的酒精溶液取x克，60%的酒精溶液取y克，则x + y=300。
2. 用十字相乘法，(60% - 40%):(40% - 30%)=x:y，即20%:10% = x:y=2:1。
- 又因为x + y = 300，所以x = 200克，y = 100克。
例题3。
有甲、乙两种糖水，甲糖水浓度为10%，乙糖水浓度为20%，要得到浓度为16%的糖水500克，甲、乙两种糖水各需多少克？解析。
1. 设甲糖水需x克，乙糖水需y克，有x + y = 500。
2. 十字相乘法：(20% - 16%):(16% - 10%)=x:y，即4%:6%=x:y = 2:3。
- 由x + y = 500且x:y = 2:3，可得x = 200克，y = 300克。
例题4。
浓度为70%的硫酸溶液和浓度为20%的硫酸溶液混合，要配制成浓度为50%的硫酸溶液1200克，两种溶液各需多少克？解析。
1. 设70%的硫酸溶液需x克，20%的硫酸溶液需y克，x + y = 1200。
2. 十字相乘法：(70% - 50%):(50% - 20%)=y:x，即20%:30% = y:x=2:3。
3_十字相乘法(含答案)
因式分解之“十字相乘法”【知识精读】对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式x 2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解。
掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。
对于二次三项ax 2+bx+c （a 、b 、c 都是整数，且a ≠0）来说，如果存在四个整数a c a c 1122，，，满足a a a c c c 1212==，，并且a c a c b 1221+=，那么二次三项式ax 2+bx+c 即()a a x a c a c x c c 122122112+++ 可以分解为()()a x c a x c 1122++。
这里要确定四个常数a c a c 1122，，，，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。
【思考】10~20以内的平方数心算办法。
下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。
【分类解析】1. 在方程、不等式中的应用例1. 已知：x 2－11x +24>0，求x 的取值范围。
分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。
例1解： ∵x 2－11x +24>0 ∴(x －3)(x －8)>0 分解为⎩⎨⎧<-<-⎩⎨⎧>->-08030803x x x x 或 ∴ x >8 或 x <3例2. 如果x 4－x 3+mx 2－2mx －2能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m 的值，并把这个多项式分解因式。
分析：应当把x 4分成x 2·x 2，而对于常数项－2，可能分解成(－1)×2，或者分解成(－2)×1，由此分为两种情况进行讨论。
例2解：（1）待定系数法，设原式分解为(x 2+ax －1)(x 2+bx +2)，其中a 、b 为整数，去括号，得： x 4+(a +b )x 3+x 2+(2a －b )x －2将它与原式的各项系数进行对比，得： a +b =－1, m =1, 2a －b =－2m解得：a =－1，b =0，m =1 此时，原式=(x 2+2)(x 2－x －1)（2）设原式分解为(x 2+cx －2)(x 2+dx +1)，其中c 、d 为整数，去括号，得：x 4+(c +d )x 3－x 2+(c －2d )x －2将它与原式的各项系数进行对比，得： c +d =－1, m =－1, c －2d =－2m解得：c =0, d =－1, m =－1 此时，原式=(x 2－2)(x 2－x +1)2. 在几何学中的应用例3. 已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足x －y －x 2+2xy －y 2+2=0，求长方形的面积。
十字相乘法_典型例题
十字相乘法典型例题例1 把下列各式分解因式：(1)1522--x x ； (2)2265y xy x +-．例2 把下列各式分解因式：(1)3522--x x ；(2)3832-+x x ．例3 把下列各式分解因式：(1)91024+-x x ；(2))(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；(3)120)8(22)8(222++++a a a a ．例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．例5 分解因式653856234++-+x x x x ．例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．例8、已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．把下列各式分解因式：(1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ (3) 2576x x +- (4) 261110y y --(5) 2252310a b ab +- (6) 222231710a b abxy x y -+ (7) 22712x xy y -+(8) 42718x x +- (9) 22483m mn n ++(10) 53251520x x y xy --一、选择题1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为( ) A ．5 B ．－6 C ．－5 D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( )A ．10和－2B ．－10和2C ．10和2D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是 ( )A ．22-+x x B ．x x x 310322+- C ．242++x x D ．22865y xy x --5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( )A ．20)(13)(22++-+y x y xB ．20)(13)22(2++-+y x y xC ．20)(13)(22++++y x y xD ．20)(9)(22++-+y x y x6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( )①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ；④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x xA ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题7．=-+1032x x __________．8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________．9．=--3522x x (x －3)(__________)．10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)． 11．22____)(____(_____)+=++a mn a ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)．13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题14．把下列各式分解因式：(1)6724+-x x ； (2)36524--x x ； (3)422416654y y x x +-；(4)633687b b a a --； (5)234456a a a --； (6)422469374b a b a a +-．15．把下列各式分解因式：(1)2224)3(x x --； (2)9)2(22--x x ； (3)2222)332()123(++-++x x x x ；(4)60)(17)(222++-+x x x x ；(5)8)2(7)2(222-+-+x x x x ；(6)48)2(14)2(2++-+b a b a ．16．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值．一、增长率问题例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.解设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）.答这两个月的平均增长率是10%.说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n.二、商品定价例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，解这个方程，得a1＝25，a2＝31.因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去.所以350－10a＝350－10×25＝100（件）.答需要进货100件，每件商品应定价25元.说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.三、储蓄问题例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）解设第一次存款时的年利率为x.则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x2+145x－3＝0.解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去.答第一次存款的年利率约是2.04%.说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。
十字相乘法分解因式经典例题和练习
十字相乘法培优知识点讲解:一、十字相乘法：（1）．2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++例1把下列各式因式分解：(1) 276x x -+ (2) 21336x x ++变式1、22215a b ab --2、422318a b a b --例2把下列各式因式分解：⑴2243a ab b -+ ⑵222()8()12x x x x +-++变式1、22215x xy y -- 2.、2256x xy y +-3、22421x xy y +-4、22712x xy y ++例3把下列各式因式分解：⑴2()4()12x y x y +-+- ⑵2()5()6x y x y +-+- 变式1、2()9()14x y x y +-++ 2、2()5()4x y x y ++++ 3、2()6()16x y x y +++- 4、2()7()30x y x y +++- 例4 ⑴ 223310x y xy y -- ⑵2234710a b ab b -+变式⑴222(3)2(3)8x x x x +-+- ⑵22(2)(22)3x x x x ---- ⑶32231848x x y xy -- ⑷222(5)2(5)24x x x x +-+- ⑸22(2)(27)8x x x x ++-- ⑹4254x x -+ （2）．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++例5把下列各式因式分解：(1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +-练习：1.把22224954y y x y x --分解因式的结果是________________。
十字相乘法例题及答案
十字相乘法例题及答案1，什么是十字相乘法：十字相乘法是因式分解中十四种方法之一，另外十三种分别都是：1.提公因式法、2.公式法、3.双十字相乘法、4.轮换对称法、5.拆添项法、6.配方法7.因式定理法、8.换元法、9.综合除法、10.主元法、11.特殊值法、12.待定系数法、13.二次多项式。
2，十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解。
,3，因式分解解释把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式）。
它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
4，用十字相乘法分解因式：(1)2x2－5x－12；(2)3x2－5x－2；(3)6x2－13x+5；(4)7x2－19x－6；(5)12x2－13x+3；(6)4x2+24x+27.5，把下列各式分解因式：(1)6x2－13xy+6y2；(2)8x2y2+6xy－35；(3)18x2－21xy+5y2；(4)2(a+b)2+(a+b)(a－b)－6(a－b)2. 答案：1.(1)(x－4)(2x+3)；(2)(x－2)(3x+1)；(3)(2x－1)(3x－5)；(4)(x－3)(7x+2)；(5)(3x－1)(4x－3)；(6)(2x+3)(2x+9).2.(1)(2x－3y)(3x－2y)；(2)(2xy+5)(4xy－7)；(3)(3x－y)(6x－5y)；(4)(3a－b)(5b－a).。
第11讲 十字相乘法(原卷版)
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1第11讲十字相乘法十字相乘法：如果二次三项式2x px q ++中的常数项q 能分解成两个因式a 、b 的积，而且一次项系数p 又恰好是a b +，那么2x px q ++就可以进行如下的分解因式，即：()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++要将二次三项式2x px q ++分解因式，就需要找到两个数a 、b ，使它们的积等于常数项q ，和等于一次项系数p ,满足这两个条件便可以进行如下分解因式，即：22()()()x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++．由于把2x px q ++中的q 分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行分解因式．【例1】m 为下列各数时，将关于x 的多项式242x mx +-分解因式．（1）1m =-；（2）19m =．【例2】分解因式：（1）212x x +-；（2）222064xy y x -++．【例3】分解因式：（1）22815a ab b ++；（2）22752500x y xy --．【例4】分解因式：()()()()222222261561121x x x x x x ++++++++．【例5】已知：关于x 的多项式()22124x m x -++可以在有理数范围内分解因式，求m的值．【例6】长方形的周长为16cm ，它的两边x ，y 是整数，且满足22220x y x xy y --+-+=，求它的面积.1.（2022秋·上海·七年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）如果多项式x 2﹣5x +c 可以用十字相乘法因式分解，那么下列c 的取值正确的是（）A ．2B ．3C ．4D ．52.（2022秋·七年级单元测试）下列多项式中有因式x-1的是（）①22x x +-②232x x -+③22x x --④232x x ++A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④3.（2022秋·上海·七年级期末）要使26x mx +-能在有理数的范围内因式分解，则整数m 的值有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4.（2022秋·上海·七年级专题练习）已知甲、乙、丙均为x 的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘，积为249x -，乙与丙相乘，积为2914x x -+，则甲与丙相加的结果是（）A ．25x +B ．25x -C ．29x +D ．29x -5.（2022秋·上海静安·七年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）多项式77x 2-13x -30可分解成（7x +a ）（bx +c ），其中a ，b ，c 均为整数，求a +b +c 的值为A ．0B ．10C ．12D ．226.（2022秋·上海·七年级专题练习）因式分解：2412x x --=_______．7.（2022秋·上海·七年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）分解因式：x 2﹣7xy ﹣18y 2＝___．8.（2022秋·上海·七年级校考期中）因式分解：2524x x --=_____．9.（2022秋·上海·七年级校考期末）因式分解：2268x x --=___________．10.（2022秋·七年级单元测试）3248x x -,228x -,2448x x --中的公因式为__________原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！311.（2022秋·上海奉贤·七年级校联考期末）分解因式：2310x x +-=_____．12.（2022秋·上海·七年级专题练习）分解因式：22(6)(8)24x x x x +-+--．13.（2022秋·上海·七年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）分解因式：（a 2﹣a ）2＋2（a 2﹣a ）﹣814.（2022秋·上海·七年级专题练习）分解因式：32286x x x-+15.（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）因式分解：(1)()22241a a -++(2)()()310a b a b ++--16.（2022秋·上海徐汇·七年级上海市徐汇中学校联考期末）分解因式：(1)22232264ab a b a b -+(2)222(4)5(4)24x x x x ----17.（2022秋·上海闵行·七年级校考期末）因式分解：222()14()24x x x x ---+．18.（2022秋·上海黄浦·七年级上海市民办立达中学校考期中）分解因式：4224536x x y y --19.（2022秋·上海·七年级专题练习）因式分解：（x 2+4x ）2﹣（x 2+4x ）﹣20．1.（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）分解因式：21124x x -+=________．2.（2022秋·上海·七年级校考期中）分解因式：256x x --=________．3.（2022秋·上海静安·七年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）因式分解：（1）332232a b a b ab -+-=__________．（2）4419a b -=__________．（3）22712m mn n ++=__________．4.（2022秋·上海黄浦·七年级上海市民办立达中学校考期中）如果多项式26x mx +-在整数范围内可以因式分解，那么m 可以取的值是______（填一个即可）.5.（2022秋·上海静安·七年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）因式分解：(1)()()()2221281181a a a a a a ---+-(2)()()22238320x x x x +-+-(3)3224293x x xy xy---(4)()()()422y y m m --+-（2022秋·上海金山·七年级校联考期末）分解因式：()()2221872x x x x ---+。
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高中化学的十字相乘法
十字交叉法又称图解法，应用于二元混合体系所产生的具有平均意义的计算问题，表现出实用性强，能准确、简便、迅速求解的特点。
适用范围：
“十字交叉法”适用于两组分混合物（或多组分混合物，但其中若干种有确定的物质的量比，因而可以看做两组分的混合物），求算混合物中关于组分的某个化学量（微粒数、质量、气体体积等）的比值或百分含量。
例1：实验测得乙烯与氧气的混合气体的密度是氢气的14.5倍。
可知其中乙烯的质量分数为（ ）
A.25.0%
B.27.6%
C.72.4%
D.75.0%
解析：要求混合气中乙烯的质量分数可通过十字交叉法先求出乙烯与氧气的物质的量之比（当然也可以求两组分的质量比，但较繁，不可取），再进一步求出质量分数。
这样，乙烯的质量分数是：
ω（C 2H 4）=32
1283283⨯+⨯⨯×100％=72.4% 答案：C 。
（解毕）
二、十字交叉法的解法探讨：
1.十字交叉法的依据：
对一个二元混合体系，可建立一个特性方程： ax+b(1－x)=c
(a 、b 、c 为常数，分别表示A 组分、B 组分和混合体系的某种平均化学量，如：单位为g/mol 的摩尔质量、单位为g/g 的质量分数等) ；x 为组分A 在混合体系中某化学量的百分数（下同）。
如欲求x/(1－x)之比值，可展开上述关系式，并整理得： ax －bx=c －b
解之，得： b
a c a x
b a b
c x --=---=1, 即：c
a b c x x --=-1 2.十字交叉法的常见形式：
为方便操作和应用，采用模仿数学因式分解中的十字交叉法，记为：
3.解法关健和难点所在：
十字交叉法应用于解题快速简捷，一旦教给了学生，学生往往爱用，但是也往往出错。
究其原因，无外乎乱用平均量（即上述a 、b 、c 不知何物）、交叉相减后其差值之比不知为何量之比。
关于上述a 、b 、c 这些化学平均量，在这里是指其量纲为（化学量1 ÷化学量2）的一些比值，如摩尔质量（g/mol ）、溶液中溶质的质量分数(溶质质量÷溶液质量)或关于物质组成、变化的其它化学量等等。
设计这些平均量时应优先考虑待求量和题给条件，一般情况下尽可能的将待求量设计为上述化学量2（分数中的分母） ，至于化学量1则依题给条件选取最容易获得的化学量(分数中的分子)，这样上述第1论点中的a 、b 、c 应该是分别这样的一些化学平均量（如下图）：
而这些化学平均量a 、b 、c 交叉相减后所得差值之比，则是组分1和组分2的化学平均量的量纲中化学 量2 [如a 、b 、c 为摩尔质量（g/mol ）时，便是物质的量 mol]的比值。
例2：把CaCO 3和MgCO 3组成的混合物充分加热到质量不再减少时，称得残留物的质量是原混合物质量的一半。
则残留物中钙和镁两元素原子的物质的量之比是
A.1:4
B.1:3
C.1:1
D.1:2
解析：上述问题是计算两组分混合物中某两个化学量之比，可用十字交叉法解题。
解题时先设计混合物的平均化学量c ，该题中要求钙和镁两元素原子的物质的量之比（即原子个数比），而平均量中分母（即上述化学量y(组分2)）与题给条件相差甚远，故以一摩尔组分质量为分母，一摩尔物质分解后残留物质量为分子而得如下的几个平均量：
a=56g÷100g ; b=40g÷84g; c=1/2
应用于十字交叉法：
所以，原混合物中两组分CaCO 3和MgCO 3物质的量之比（即残留物中Ca 和Mg 的物质的量之比为：n(Ca)∶n(Mg)
=(1/42)g÷100g/mol ∶(3/50) g÷84 g/mol
=1∶3
答案：B （解毕）
注：熟练后或在要表达的计算题中可略去上图，而只以比例式表示，为防止出错，也可在草稿中画上述十字交叉图。
三、十字交叉法的应用与例析：
1.两组分混合物中已知组分及混合体系的摩尔质量（或式量）,求组分的物质的量之比（或组分气体的体积比、组分物质的微粒数之比）：
解答这类问题，需设计的平均化学量a 、b 、c 就直接用摩尔质量（g /mol ）。
而用十字交叉法交叉相减后所得差值之比是组分的物质的量之比（或微粒数之比），或依阿伏加德罗定律，也）组分）组分22((x y =2
212的化学量组分的化学量组分 ）组分）组分11((x y =2111的化学量组分的化学量组分 混合体系）混合体系）((x y =21混合体系的化学量混合体系的化学量
等于（相同状态下）气态混合体系中组分气体的体积比。
例3.硼的平均相对原子质量为10.8，硼在自然界中有种同位素：10
5B 与115B ，则这两种同位
素105
B 、11
5B 在自然界中的原子个数比为 A. 1∶2 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶8
2.两种溶液（同溶质）相混合，已知两溶液及混合溶液中溶质的质量分数，求两溶液的质量比：
例4.将密度为1.84g •cm －
3，质量分数为98％的浓硫酸与水配制成30％的稀溶液，应怎么配制？
3.其它有关物质组成、变化关系的两组分混合体系，依题意，设计适当的平均化学量，也可用十字交叉法求算两组分的某个化学量的比值或百分含量。
例5.在一定条件下，将25 gCO 2和CO 的混合气体通过灼热的碳粉，使之充分反应，测知所得气体在标准状态下的体积为22.4 L ，则在相同状态下原混合气体中CO 2和CO 的体积比为
A.1∶4
B.1∶3
C.1∶2
D.2∶1
例6.KHCO 3和CaCO 3的混合物和等质量的NaHCO 3分别与盐酸完全反应时，所消耗的酸的量相等，则混合物中KHCO 3的质量分数是
A.50%
B.68%
C.81%
D.90%
练习题
1 在容积为1L 的干燥烧瓶中用向下排空气法充入3NH 后，测得烧瓶中的气体对2H 的相对密度
为7.9，若将此气体进行喷泉实验，当喷泉停止后进入烧瓶中溶液的体积为L 54，溶质的物质
的量浓度为 。
2某温度下，22%的3NaNO 溶液mL 150，加g 100水稀释后，其浓度变为14%，求原溶液的物质的量浓度？
3 把NaCl 和NaBr 的混合物g 5.0溶于水后加入足量的3AgNO 溶液，把所得沉淀过滤、洗涤、干燥，最后得到卤化银g 10.1，求原混合物中NaCl 的质量分数是多少？
4 一定量的NO 和一定量的2O 混合，反应完全后，其气体密度是相同状况下氖气的两倍，求混合前NO 和2O 的物质的量之比为多少？
13. 解：反应后混合气体的40220=⨯=M
∴ 混合气体可能是2NO 和NO 或2NO 与2O
（1）若是2NO 与NO 2NO 46 10
40
35
⇒ NO 30 6 2222NO O NO =+ 2 1 2 转 5 5.2 5 余 3
5:165.2:8)(:)(2==NO n NO n
（2）若是2NO 与2O
2NO 46 8
40
43
⇒ 2O 32 6 2222NO O NO =+ 2 1 2 转 4 2 4 余 3 5:4)(:)(22=O n NO n 答：当NO 过量时：5:16)(:)(2=O n NO n
当2O 过量时：5:4)(:)(2=O n NO n。