1.2.3导数的四则运算法则

y f g f g lim lim lim lim x0 x 0 x x 0 x x x x0 x
即
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x).
同理可证
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x).
'
例3．求y=sin2x的导数。 ' 解 : (1) y (2 sin x cos x)
2(cosx cos x sin x sin x) 2 cos 2 x
三．函数的商的求导法则

设f(x)，g(x)是可导的函数，g(x)≠0，
两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的 积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的 平方 。 即
1 x 练习：求y= 3 x 的导数.
练 习
1.求 y 2x 3x 5x 4 的导数
3
2
解 : y (2 x 3x 5x 4)
3 2
6x 6x 5
2
2. 用两种方法求y (2x 3)(3x 2) 的导数
2 2 解： 法一：y (2x 3)(3x 2) (2x 3)(3x 2)
推广：这个法则可以推广到任意有限个 函数， 即
( f1 f2 fn )' f1 ' f2 ' f n '
例 . (1)求函数f ( x) x sin x的导数. 1
2
解：f ( x) ( x sin x)
2
( x ) (sin x) 2 x cos x
1.2.3 导数的四则运算法则
一、复习回顾 1、基本求导公式:
(1)C 0(C为常数) ' 1 (2)( x ) x (为常数） x x ' (3)(a ) a lna(a 0, 且a 1)
(4)(log a x )
'
1 (a 0, 且a 1) xlna
2
x 6x 3 2 2 ( x 3)
2
[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g ( x) f ( x) g '( x)
即：两个函数的积的导数，等于第一 个函数的导数乘以第二个函数，加上第 一个函数乘以第二个函数的导数。
推论： ( x)] Cf ( x).(C为常数) [Cf
例2．求y=xsinx的导数。
解 : (1) y ( x sin x) x sin x x(sin x) sin x x cos x
证明：令y=f(x)+g(x)，则
y f ( x x) g ( x x) [ f ( x) g ( x)]
[ f ( x x) f ( x)] [ g ( x x) g ( x)] f g
y f g x x x
2
4 x ( 3 x 2) ( 2 x 3) 3
2
18 x 8 x 9 3 2 法二： y (6 x 4 x 9 x 6)
2
18 x 8 x 9
2
x 3. 求y 的导数 sin x
2
( x ) sin x x (sin x) 解：y 2 sin x

f ( x) f '( x) g ( x) f ( x) g '( x) [ ]' g ( x) g 2 ( x)
例4．求y=tanx的导数。
sin x ' 解 : (1) y ( ) cos x
'
cos x cos x sin x sin x 1 2 2 cos x cos x
(5)(e ) e
x '
'
x
(6)(lnx)
'
1 x
(7)(sinx ) cosx ' (8)(cosx) sinx
注意:关于a x 和x a 是两个不同
的函数,例如:
(1)(3 ) 3 ln 3
x
x
Fra Baidu bibliotek
(2)(x ) 3x
3
2
2、由定义求导数（三步法）
步骤:
(1) 求增量 y f ( x x ) f ( x );
2 ' 2 '
'
2 x sin x x cos x 2 sin x
2
x3 4. 求 y 2 在点x 3处的导数 x 3
1 ( x 3) ( x 3) 2 x 解：y 2 2 ( x 3)
2 '
3 63 3 1 当x 3时, f (3) 2 2 (3 3) 6
2
3 2 (2)求函数g ( x) x x 6 x 2的导数. 2
3
3 2 解：g ( x) ( x x 6 x) 2 3 2 3 ( x ) (6 x) 3 x 2 3 x 6 (x ) 2
3
二．函数积的求导法则
设f(x)，g(x)是可导的函数，则
y f ( x x ) f ( x ) ( 2) 算比值 ; x x
y (3) 当x 0, 常数 x
一．函数和（或差）的求导法则 法则1: 两个函数的和（或差）的导数，
等于这两个函数的导数的和（或差），即：
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x).