离散数学 ( 第2次 )

第2次作业

一、判断题（本大题共20分，共 10 小题，每小题 2 分）

1. 设人的集合A上的朋友关系为R，则R是A上的相容关系（）

2. 公式∀ xP(x)→∃ yQ(x,y)前束范式为∀ x∀ y(P(x)→ Q(x,y)) （）

3. R是A上的二元关系，当R是反自反关系时，R的传递闭包也是反自反关系。（）

4. 为矛盾式。（）

5. 若集合A上的二元关系R是对称的，R C一定是对称的。（）

6. 交换群必是循环群。（）

7. 任何图中必有偶数个度数为奇数的结点。（）

8. 设S={0,1},S是关于普通的加法和乘法运算，则S上的加法与乘法运算满足封闭性、结合性。（）

9. 为重言式。（）

10. 设是一个代数系统，且集合A中元素的个数大于1。如果该代数系统中存

在幺元e和零元，则e。（）

二、单项选择题（本大题共30分，共 10 小题，每小题 3 分）

1. 在命题演算中，语句为真为假的一种性质称为（）

A. 真值

B. 陈述句

C. 命题

D. 谓词

2. 设i是虚数，·是复数乘法运算，则G=<{i,-i,1,-1},•>是群，下列是G的子群是（）。

A.

B. 〈{-1},•〉

C. 〈{i},•〉

D. 〈{-i},•〉

3. 对于复合命题“如果天不下雨和我有时间，那么我将去镇上”，设P表示“天下雨”，Q表示“我将去镇上”，R表示“我有时间”，则以下符合化正确的是（）

A. (⎤P ∧R) →Q

B. ⎤P ∧R ∧Q

C. ⎤P ∨R ∨Q

D. (⎤ R∧ Q）→ P

4. 下图是（）。

A. 欧拉图

B. 汉密尔顿图

C. 二部图

D. 树

5. 令R(x)：x是实数，Q(x)：x是有理数。命题“并非每个实数都是有理数”，其符号化为( )。

A. ⎤∀x(R(x) →Q(x))

B. ∃x( ⎤R(x) →Q(x))

C. ∃x(R(x) ∧Q(x)) ∧⎤∀x(R(x) →Q(x))

D. ∃x(R(x) ∨Q(x)) ∧⎤∀x(R(x) →Q(x))

E. ∃ x(R(x)∨ Q(x))∧⎤∀ x(R(x) ∧ Q(x)

6. 设A是奇数集合，下列构成独异点的是（）。 A. B.

C. D.

7. 设G是n个顶点的无向简单图，则下列说法不正确的是（）。 A. 若G是树，则其边数等于n-1 B. 若G是欧拉图，则G中必有割边 C. 若G中有欧拉路，则G是连通图，且有零个或两个奇数度顶点 D. 若G中任意一对顶点的度数之和大于等于n-1,则G中有汉密顿路

8. 谓词公式∀x（P(x)∨(yR(y))→Q(x)中变元x是（）。

A. 自由变元

B. 约束变元

C. 既不是自由变元也不是约束变元

D. 既是自由变元也是约束变元

9. 下列各图是平面图的是（）。 A. B.

C. D.

10. 设有完全m叉树，其树叶数为t，分枝点数为i，则下列成立的是( )

A. m=i+t

B. t=i-1

C. :(m-1)i=t-1

D. (t-1)i=m-1

三、简答题（本大题共6分，共 1 小题，每小题 6 分）

求谓词公式∀ x(F(x)→ G(x))→ (∃ xF(x)→∃ xG(x))的前束范式。

四、计算题（本大题共12分，共 2 小题，每小题 6 分）

1. 判定下图是否能够一笔画，若不能，请说明为什么，若能，请标出路径。

2. 设S={1,2,3,4,6,12}，D为S上的整除关系，（1）试写出该关系并画出哈斯图；（2）设子集B={2,3,6}，试求B的最大元、最小元、极大元和极小元；（3）试求B的上界、上确界、下界和下确界。

五、作图题（本大题共6分，共 1 小题，每小题 6 分）

求下图所示带权图的最小生成树：

六、证明题（本大题共6分，共 1 小题，每小题 6 分）

设R是集合A上的自反、传递的二元关系，又设T也是A上的二元关系，且满足：∈T∈R∈R，求证：T是A上的等价关系。

七、多项选择题（本大题共20分，共 5 小题，每小题 4 分）

1. 偏序关系需要满足哪些特点？（）

A. 对称性

B. 反对称性

C. 自反性

D. 反自反性

E. 传递性

2. 以下叙述正确的是（）。

A. 的幂集没有任何元素

B. 整数集上关于加法运算的幺元是0

C. 整数集上关于乘法运算的幺元是1

D. 整数集上的关于乘法运算的零元是0

3. 相容关系需要满足的特性为：（）

A. 对称性

B. 传递性

C. 自反性

D. 反对称性

4. 以下关系中哪些是A B的函数，其中A={a,b,c} B={1,2,3}( )

A. {,,}

B. {,,}

C. {,,}

D. {,,

5. 设Z是整数集合，+是一般加法，则下述函数中哪些是群（Z，+）的自同态？（）

A. f(x)=2x

B. f(x)=1000x

C. f(x)=|x|

D. f(x)=0

答案：

一、判断题（20分，共 10 题，每小题 2 分）

1. √

2. ×

3. ×

4. √

5. √

6. ×

7. √

8. ×

9. √ 10. √

二、单项选择题（30分，共 10 题，每小题 3 分）

1. A

2. A

3. A

4. B

5. A

6. C

7. B

8. D

9. A 10. C

三、简答题（6分，共 1 题，每小题 6 分）

0.

参考答案：

∀x(F(x) →G(x)) →( ∃xF(x) →∃xG(x))

⇔∀x( ⎤F(x) ∨G(x)) →( ⎤∃xF(x) ∨∃xG(x))

⇔⎤∀x( ⎤F(x) ∨G(x)) ∨( ⎤∃xF(x) ∨∃xG(x))

⇔∃x(F(x) ∧⎤G(x)) ∨⎤∃xF(x) ∨∃xG(x)

⇔∃x(F(x) ∧⎤G(x)) ∨∃xG(x) ∨⎤∃xF(x)

⇔∃x((F(x) ∧⎤G(x)) ∨G(x)) ∨⎤∃xF(x)

⇔∃x((F(x) ∨G(x)) ∧( ⎤G(x) ∨G(x))) ∨⎤∃xF(x)

⇔∃x(F(x) ∨G(x)) ∨∀x ⎤F(x)

⇔∃x(F(x) ∨G(x)) ∨∀y ⎤F(y)

⇔∃ x∀ y(F(x)∨ G(x)∨⎤ F(y))

解题方案：

评分标准：

4 1

四、计算题（12分，共 2 题，每小题 6 分）

1.

参考答案：

可以一笔画（路径略）

解题方案：

评分标准：

2.

参考答案：

（1）哈斯图为：