二维连续型随机变量的边缘密度
3.3 二维连续型随机变量及其分布
1 6xydy 3x(1 x4 ), 故 x2
f
X
(
x)
3x(1 x4 0,其它
),0
x
1,
当0 y 1时，fY ( y)
f (x, y)dx
0
y
6xydx
3x2 y
|x
x0
y
3y 2 , 故得
fY
(
y)
3y2,0 0,其它.
定义：设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，边缘分
布函数为FX(x)，FY(y)，若对任意的实数x,y，有 F(x,y)=FX(x)FY(y)
则称X与Y相互独立。
推广定义. 设n维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数为F(x1,x2,...xn), 若Xk 的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,…,n,
0 3
3
所以， 随机变量X的边缘密度函数为
f
X
x
2x
2
2 3
x
0 x 1
0
其它
当0 y 2 时，
fY
y
f
x，
ydx
1 0
x2
1 3
xy dx
1 3
1 6
y
所以， 随机变量Y的边缘密度函数为
fY
y
1 3
y x2
O
x
（1）求常数c;(2)求关于X及Y的边缘概率密度
1x
解:(1)由归一性 dx cdy 1 c 6
《概率学》3.2_3.3二维随机变量的边缘分布及独立性
连续型
f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x) = F（x,＋∞） F Y(y) = F（＋∞, y）
pi .=P{X= xi}= pij i=1, 2, ..., j 1
p.j=P{Y= yj}= pij j=1, 2, ..., i 1
连续型 f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x)=（
）
F Y(y) =（
）
pi .=P{X= xi}（=
）
p.j=P{Y= yj}=（
）
f X ( x) （
）
fY ( y) （
）
作答
1
8
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第2节 二维随机变量的边缘分布
第三章 多维随机变量及其分布
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
1
7
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
主第观2节题二维随2机分变量的填边缘空分布 填空
( X, Y )联合分布 一般 F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
离散型 P{X=xi ,Y=y j}= pi j
i, j=1, 2, ...,
1
2
fX (x)
f (x, y)dy
1
exp{ 1 (u2 2u v2)}dv
21 1 2
2(1 2)
1
u2
e2
1
exp{ (v u)2 }dv
2 1
2 1 2
2(1 2)
3.3二维连续型随机变量
② P{(,) B} p(x, y)dxdy B
p(x, y)dxdy x y3
1
3 x
dx
1
(6
x
y)dy
5
.
0 28
24
(5) 若 p(x, y) 在 (x, y) 点连续，则 2F(x, y) p(x, y) . xy
例3、 设 ( ,) 的分布函数
F (x, y) A(B arctan x)(C arctan y) ， x, y R
1, 2 0 , 1 1,
称
(
,)
服从参数为
1 ,
2
,
2 1
,
2 2
,
的二维正态分布，记为：
(
,)
~
N
(1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
二维正态分布的密度
函数如图所示
信息系刘康泽
若
(
,)
~
N
(1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
,则
p (x)
1
e
x 1 212
2
，
2 1
p ( y)
1
e
y2
2
2 2
2
2 2
这说明二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分
布。即：若
( ,)
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
，则：
~
N
(1,
2 1
)
，
~
N
(2
,
2 2
)
二维连续型随机变量及其概率密度
2 F (x, y) f (x, y) xy
5
这表示若 f (x, y) 在点 (x, y) 连续，则当 x, y 很小时,
P{x X x x, y Y y y} f (x, y)xy
即 (X ,Y)落在小长方形 (x, x x](y, y y] 内的概率近似 地等于 f (x, y)xy
我们指出，如果随机变量 X、Y相互独立，则任一 变量的条件概率密度等于其边缘概率密度.事实上，
这时我们有
fX
Y (x
y)
f (x, y) fY ( y)
fX (x) fY ( y) fY ( y)
fX (x)
fY
X (y
x)
f (x, y) fX (x)
fX (x) fY ( y) fX (x)
1
S
D
,
(x, y) D ,
0,
其它
其中SD 为区域 D 的面积，则称 (X,Y) 服从 D
区域上的均匀分布．特别地，设 (X,Y) 在以圆
点为中心、r 为半径的圆域 R 上服从均匀分
布，求二维联合概率密度.
解：
8
例2 设二维随机变量 (X ,Y) 具有概率密度
2e(2x y) , x 0, y 0
其它
0
问随机变量和是否相互独立的？
解：
34
例11 二维正态随机变量 (X,Y)的概率密度为
f (x, y)
1
1
(
x
1
)2
2
(x 1)(y2 ) ( y
2 )2
e 2(1
2
)
12
1 2Leabharlann 2 2,2 1 2 1 2
( x, y )
二维连续型随机变量的边缘分布函数与边缘概率密度
ｙ→＋∞
数学学习与研究 ２０２１ ２０
ＪＩＥＴＩ ＪＩＱＩＡＯ ＹＵ ＦＡＮＧＦＡ
解题技巧与方法
１５９
－ ∞ ＜ｘ＜＋∞ ，
Ｆ Ｙ（ ｙ）＝ ｌｉｍ Ｆ（ ｘ，ｙ）
ｘ→＋∞
( π１ ａｒｃｔａｎ ｘ＋ ２１ ) ( π１ ａｒｃｔａｎ ３ｙ ＋ ２１ )
０，其他．
－∞
４ ５
＋∞
ｙ ２ ，０≤ｙ≤１，
ｆ Ｙ（ ｙ）＝
ｆ（ ｘ，ｙ） ｄｘ ＝ ３
－∞
０， 其他．
２．２ 已知联合分布函数求边缘概率密度
主要有两种方法：方法一：利用联合分布函数和边缘分
布函数之间的关系求出边缘分布函数，由于边缘分布函数
在其定义域内是可导的，则对边缘分布函数求导即可得到
边缘概率密度，即：
＋∞
＋∞
３
ｆ Ｘ（ ｘ）＝
ｆ（ ｘ，ｙ） ｄｙ ＝
ｄｙ
２
２
２
－∞
－ ∞ π （１＋ｘ ） （９＋ｙ ）
１
＝
，
π（１＋ｘ２ ）
－ ∞ ＜ｘ＜＋∞ ，
＋∞
＋∞
３
ｆ Ｙ（ ｙ）＝
ｆ（ ｘ，ｙ） ｄｘ ＝
ｄｘ
２
２
２
－∞
－ ∞ π （１＋ｘ ） （９＋ｙ ）
３
＝
，
π（９＋ｙ２ ）
－ ∞ ＜ｙ＜＋∞ ．
一般地，当联合分布函数或者联合概率密度已知求边
【 摘要】 二维连续型随机变量（ Ｘ，Ｙ） 的边缘分布函数与
边缘概率密度，能够全面地描述二维连续型随机变量（ Ｘ，
Ｙ） 的分布规律，是概率论与数理统计的重要组成部分．若不
理解相关概念和性质就盲目求解边缘概率密度与边缘分布
二维随机变量边缘概率密度上下限
二维随机变量边缘概率密度上下限二维随机变量边缘概率密度函数是描述二维随机变量各个分量的概率分布的函数。
在二维随机变量的概率密度函数中，我们可以通过对其中一个分量积分去除另一个分量的影响，得到边缘概率密度函数。
边缘概率密度函数的求解是概率论和数理统计中一个重要的基本问题，在实际应用中也具有广泛的应用。
为了更好地理解二维随机变量边缘概率密度上下限，我们先了解一下二维随机变量的概念。
在概率论和数理统计中，二维随机变量是指一个包含两个分量的向量，可以表示为(X, Y)，其中X和Y是两个独立的随机变量。
对于一个给定的二维随机变量(X, Y)，假设其联合概率密度函数为f(x, y)，我们可以通过对其中一个分量积分去除另一个分量的影响，得到边缘概率密度函数。
设(X, Y)是一个二维随机变量，其联合概率密度函数为f(x, y)，则随机变量X的边缘概率密度函数为：fX(x) = ∫ f(x, y)dy其中，fX(x)表示随机变量X的边缘概率密度函数，f(x, y)表示联合概率密度函数。
随机变量X的边缘概率密度函数fX(x)描述了X的取值范围内的概率分布情况。
在求解边缘概率密度函数时，需要对联合概率密度函数的另一个变量进行积分。
这个积分的上下限就是边缘概率密度函数的上下限。
一般来说，对于连续型随机变量，边缘概率密度函数的上下限是整个实数轴。
也就是说，边缘概率密度函数在整个定义域范围内都有定义。
但是需要注意的是，对于某些特殊的二维随机变量，边缘概率密度函数的上下限可能会有所不同。
下面我们来看几个常见的二维随机变量的边缘概率密度上下限的例子：1.独立随机变量的边缘概率密度上下限如果X和Y是相互独立的随机变量，那么它们的联合概率密度函数可以表示为f(x, y) = g(x)h(y)，其中g(x)表示X的概率密度函数，h(y)表示Y的概率密度函数。
在这种情况下，X的边缘概率密度函数为：fX(x) = ∫ f(x, y)dy = ∫ g(x)h(y)dy = g(x)同理，Y的边缘概率密度函数为：fY(y) = ∫ f(x, y)dx = ∫ g(x)h(y)dx = h(y)在这个例子中，X的边缘概率密度函数的上下限与X的取值范围相同，Y的边缘概率密度函数的上下限与Y的取值范围相同。
二维连续随机变量及其概率分布
定理2 二维随机变量(X,Y)的两个分量独立的充 分必要条件是: 对任意实数x, y有
P{X x,Y y} P{X x}P{Y y}
定理3 若(X , Y ) 是离散型随机变量，则X与Y相 互独立的充分必要条件是
lim F ( x, y) 0
x
lim F ( x, y) 0
y
lim F ( x, y) 1
x, y
性质3 对于x 和y，F(x, y)都是右连续的，即对任意 的实数x0和y0，均有
Lim xx0 F(x, y)=F(x0 , y), Lim yy0 F( x, y )=F(x, y0 )
(3) f (x, y)与 fX (x), fY (y)之间的关系
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y) f (x, y)dx.
例3 设随机变量X 和Y 具有联合分布
f
(
x,
y)
6, 0,
求X 和Y 边缘密度
x2 y x 其他
解：
f X (x)
f (x, y)dy
x
6dy x2
0
x 0, y 0 其它
求 (X, Y )的边缘分布函数。
解： X的边缘分布函数为
FX
(x)
F
( x,)
lim
y
F ( x,
y)
1 ex x 0
0 x0
1 ex ey exyxy x 0, y 0
(X ,Y) ~ F(x, y)
0
其它
Y的边缘分布函数为
FY
(
y)
F
(,
3-3 二维连续型随机变量
F (,y) 0 F ( x, ) 0 2）非负性： f ( x) 0 ． F (， ) 0 F (， ) 1 2）单调性 F ( x,y) 是单调不减函数 3）右连续性 F ( x 0,y) F ( x,y) ， 3）规范性： f ( x)dx 1． F ( x,y 0) F ( x,y) ． 4）任意实数 a , b ，且 a b ，有 4）对任意的 x1 x 2 , y1 y 2
x
C 1
（2）P X 2
e y , x 0, y x, f x, y 其他. 0,
x2
2
f ( x , y )dxdy dx
x
e dy
y
2
e x dx e 2．
（3）f X ( x )
x 3dy, 0 x 1 2 2 3( x x ), 0 x 1 f ( x, y )dy x 0, 其它 0, 其它
fY ( y )
y 3dx, 0 y 1 y 2 3( y y 2 ), 0 y 1 f ( x, y )dx 0, 其它 其它 0,
( 3) 设 G 是 xoy 平面上的一个区域 , 点 ( X ,Y ) 落在 G 内的概率为
P {( X ,Y ) G } f ( x , y ) d x d y .
2F ( x, y) (4) 若 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 连续, 则有 f ( x, y) . xy
P X , Y D
D
1 SD f x, y dxdy dxdy SG D SG
二维随机变量的边缘分布与联合分布关系探讨
二维随机变量的边缘分布与联合分布关系探讨摘要本文首先理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及其两种基本表达形式：离散型二维随机变量联合概率分布和连续型二维随机变量联合概率密度。
掌握已知两个随机变量的联合分布时分别求它们的边缘分布的方法。
在文献研究的基础上，运用随机事元和随机事元集合，建立了二维随机变量分布和边缘分布的形式化可拓模型。
利用可拓变换和传导变换，结合形式化的可拓推理知识，对二维随机变量在可拓变换下的传导分布模型进行了研究。
将随机事元、随机事元集合、可拓变换、可拓推理知识等引入到二维随机变量分布的研究中，使分析更加形式化，逻辑性更强。
运用随机事元和随机事元集合建立了二维随机变量分布的可拓模型。
本文对这种特例作了深入研究，分析了具有这种性质的二维密度f(x，y)的结构特点与本质，有助于我们更好地了解正态分布的特殊性质。
关键词：二维随机变量；边缘分布；联合分布AbstractIn this paper，we first understand the concept and properties of the joint distribution of two-dimensional random variables and their two basic expressions: joint probability distribution of discrete two-dimensional random variables and joint probability density of continuous two-dimensional random variables. The method of finding the edge distribution of the joint distribution of two known random variables is mastered. On the basis of literature research， a formal extension model of two-dimensional random variable distribution and edge distribution is established by using random event element and random element set. By using extension transformation and conduction transformation combined with formalized knowledge of extension reasoning，the conduction and distribution models of two-dimensional random variables under extension transformation are studied. The random event element，random event set，extension transformation and extension reasoning knowledge are introduced into the study of two-dimensional random variable distribution，making the analysis more formalized and logical. The extension model of the distribution of two dimensional random variables is established by using the random event element and the set of random element. This special case is studied in depth. The structure and nature of the two-dimensional density f (x，y) with this property is analyzed，which helps us to better understand the special properties of normal distribution.Key words:two-dimensional random variables; edge distribution; joint distribution目录摘要 (I)Abstract (II)1 随机变量独立性及其判定 (1)1.1 随机变量独立性定义 (1)1.1.1随机变量及随机变量独立性的定义 (1)1.1.2随机变量独立性的两个简单定理 (2)1.2 离散型随机变量独立性的判定 (4)1.2.1离散型随机变量判别法一 (4)1.2.2离散型随机变量判别法二 (8)1.3 连续型随机变量独立性的判定 (12)1.3.1连续型随机变量判别法一 (12)1.3.2连续型随机变量判别法二 (13)2 边缘分布与联合分布关系探讨 (16)2.1 二维随机变量的分布函数 (16)2.2 二维离散型随机变量 (17)2.3 二维连续型随机变量 (18)2.4 随机变量的独立性 (18)2.5条件分布 (19)2.6 二维随机变量函数的分布 (20)结论 (21)致谢 (21)参考文献 (22)0 引言概率论是研究随机现象数量规律的数学分支，而随机现象是相对于决定性现象而言的。
概率论与数理统计课件 3.2二维连续型随机变量的边缘密度
关于X的边缘概率密度为
f X ( x) f ( x, y)dy
关于Y的边缘概率密度为
fY ( y) f ( x, y)dx
二维连续型随机变量的边缘分布
关于 X的边缘分布函数为
二维连续型随机变量的边缘分布dvdududv的边缘分布函数为关于x的边缘分布函数为关于其它求k值和两个边缘分布密度函数ydyxdx其它所以关于x的边缘分布密度为xydx关于y的边缘分布密度为所以关于x的边缘分布密度函数为1所以关于y的边缘分布密度函数为dxdydxdy分别积分可得两个边缘密度函数为
二维连续型随机变量的边缘密度
1
得 k 1 ydy 0 xdx 2k 1
k1 2
关于X的边缘分布密度为
fX (x)
f ( x, y)dy
当 x [0,1] 时
31
fX (x)
xydy 2x 12
当 x [0,1]时 fX (x) 0
所以，关于X的边缘分布密度为
2x x [0,1]
f
X
(x)
0
其它
关于Y的边缘分布密度为
x
FX
(x)
F
(x,
)
f
(u,
v)dvdu
关于 Y 的边缘分布函数为
y
FY
(x)
F (,
y)
f
(u,
v)du dv
例
设（X, Y）的联合密度为
kxy 0 x 1,1 y 3
3
f (x, y)
0
其它
1
求k值和两个边缘分布密度函数
边缘分布
P{X xi , Y y j } P{X xi }P{Y y j }
即
pij pi. p. j .
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《概率统计》
例1．设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量 （X，Y）的分布表及关于X和Y的边缘分布表中的部分数据， 请补充下表：
Y X
y1
y2
1/8
解: (1) 由于
1 e , x0 FX ( x) F ( x,) 0, 其它
0.5 x
(2) P{X 0.1, Y 0.1}
P{0.1 X ,0.1 Y }
1 e 0.5 y , y 0 FY ( y ) F (, y ) 0, 其它
j 1
p j P{Y y j } pi j
i 1
(i =1,2, …)
(j = 1,2, …)
即
X
X,Y 的边缘分布函数分别为：
x1 · · ·xi · · · … pi. x p2 . 1 p2. · · ·pi. · · ·
Y
FX(x) = F(x,+∞) = FY(y) = F(+∞, y) =
即
P{X x, Y y} P{X x}P{Y y}
则称随机变量X与Y是相互独立的. 补充例1．一电子产品由两个部件构成，以X和Y分别表示两个 部件的寿命（单位：小时），已知X和Y的联合分布函数
1 e 0.5 x e 0.5 y e 0.5( x y ) , x 0, y 0, F ( x, y) 0, 其他 (1)问X和Y是否相互独立？(2)求两部件寿命都超过0.1小时的概率.
F , F ,0.1
概率论与数理统计 二维连续性随机变量及其分布
概率论与数理统计
例5 (X,Y)分布律如下，求cov(X,Y) X,Y)
−1 0 2 P +∞ 0.3 0.45 0.25 P 0.55 0.25 0.2 E( X ) = ∑xi pi = 0×0.3+1×0.45 + 2×0.25 = 0.95,
E ( X ) = ∫−∞ xf ( x)dx
+∞
概率论与数理统计
3.随机变量函数的数学期望 （1）X为随机变量，Y=g(X), 离散型： 离散型： E (Y ) = E[ g ( X )] = ∑ g ( xi ) pi
i =1 ∞
连续型： 连续型：E (Y ) = E[ g ( X )] =
∫
]
E{[ X − E ( X )][Y − E (Y )]} D ( X ) D(Y ) Cov( X , Y )
D ( X ) D(Y )
概率论与数理统计
若D (X ) > 0, D (Y ) > 0 ,称
( X − E( X ))(Y − E(Y) cov( X ,Y) E = D( X ) D(Y) D( X ) D(Y)
−∞ −∞
概率论与数理统计
j =1 i =1
解 X 型区域D : 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1;
y
D
O
x
概率论与数理统计
X 型区域D : 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1;
概率论与数理统计
1.E (C ) = C 2. E (aX ) = a E (X ) 3.E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
边缘密度函数
f (x,y) = fX(x)·fY (y)
证明 充分性：若 f (x,y) = fX(x)·fY (y)，
则
xy
xy
F (x ,y ) f(u ,v )du d y fX (u )fY (v )dud
x
y
fX (u )d u fY (v )d v F X (x )F Y (y )
fX (x ) f(x ， y )d y1 r2 r r 2 2 x x 2 2d y2 r2 r2 x 2
当x＞r时fX(x)=0, 即
2
fX(x)r2
r2 x2，x r
0，
其它
山东农业大学
概率论与数理统计
同理，可求得Y的边缘密度函数
主讲人：程述汉 苏本堂
2
fY(y)r2
r2 y2，y r
山东农业大学
3.2.3 条件分布
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
条件概率公式：P(B | A)=P(AB)/P(A)，P(A)＞0 一、离散型随机向量(X, Y)的条件分布 类似地，当P{X=xi}＞0时,在X=xi的条件下，Y的条 件分布为
P{Yyj|Xxi}P piij. (j1,2, )
2计算落点xy到原点的距离不超过a的概例6二维均匀分布设d为平面上面积为a的有界区域若xy所对应的点落在d内面积相等的不同区域中的概率相等则xy称在区域d上服从均匀分布
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
山东农业大学
概率论与数理统计
p.j
1/2
1/9+ 1/18+
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概率论与数理统计 --- 第三章{多维随机变量及其分布} 第二节：边缘分布
FX x P X x P X x ,Y F x , FY y P Y y P X ,Y y F , y
二、离散型随机变量的边缘分布律
概率论
பைடு நூலகம்
一般地, 对离散型 r.v. (X,Y ), X 和 Y 的联合分布律为: P ( X xi ,Y y j ) pij , i , j 1,2,
(X, Y) 关于Y 的边缘概率密度为:
fY ( y )
f ( x , y )dx y
例2 设(X, Y)的概率密度是
概率论
cy( 2 x ), 0 x 1,0 y x f ( x, y ) 0 , 其它 求 (1) c的值； (2) 两个边缘密度。 y
3 k 0 3
P{Y=3}= P X k ,Y 3=1/8+1/8=2/8.
k 0
概率论
X
0 1 2 3
Y
1 3 0 18 38 0 38 0
0 18
P X xi
18 38 38 18
P Y yj
68 28
我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上， 由此得出边缘分布这个名词.
则 (X, Y) 关于X 的边缘分布律为:
P X xi P X xi ,Y y j pij
X xi X xi ,Y y j j 1
(X,Y) 关于Y 的边缘分布律为:
j 1
i 1, 2 ,
概率论
f X ( x ) f ( x, y )dy x
二维连续型随机变量的边缘概率密度的几何意义
二维连续型随机变量的边缘概率密度的几何意义在概率论中，连续型随机变量是指可以取无限个值的随机变量。
而二维连续型随机变量则是指由两个连续型随机变量组成的随机变量。
在研究二维连续型随机变量时，我们经常会关注它的边缘概率密度函数，它反映了每个变量单独发生的概率。
在本文中，我们将深入探讨二维连续型随机变量的边缘概率密度的几何意义，并对其进行全面评估。
一、什么是二维连续型随机变量的边缘概率密度？在了解二维连续型随机变量的边缘概率密度之前，我们先来回顾一下概率密度函数的概念。
概率密度函数是描述连续型随机变量概率分布的函数，它的值在某个区间内表示该区间发生的概率。
而二维连续型随机变量则是由两个连续型随机变量组成的随机变量，它的取值对应于二维平面上的一个点。
当我们关注二维连续型随机变量中的某一个变量时，我们可以通过边缘概率密度函数来描述该变量的概率分布。
边缘概率密度函数是从二维连续型随机变量的联合概率密度函数中通过对另一变量积分得到的函数。
边缘概率密度函数可以用来计算该变量落在某个区间内的概率，从而帮助我们针对具体问题进行分析。
二、二维连续型随机变量的边缘概率密度的几何意义是什么？二维连续型随机变量的边缘概率密度函数在几何上表示的是一个曲面。
设有一个二维连续型随机变量(X,Y)，它的边缘概率密度函数分别为f_X(x)和f_Y(y)，其中x和y分别表示X和Y可能的取值。
我们可以将f_X(x)看作是平面上某一点(x, 0)处的高度，即在X轴上从左到右的垂直截面上的高度。
同样，f_Y(y)可以看作是平面上某一点(0, y)处的高度，即在Y轴上从下到上的垂直截面上的高度。
根据边缘概率密度函数的几何意义，我们可以得出以下重要结论：1. 垂直截面的高度：在X轴上，f_X(x)表示曲面在X轴上的垂直截面的高度，通过积分可得到该变量落在某个区间内的概率。
2. 水平截面的高度：在Y轴上，f_Y(y)表示曲面在Y轴上的垂直截面的高度，同样通过积分可得到该变量落在某个区间内的概率。
概率论与数理统计(二维随机变量的边缘分布)
(2) n维随机变量的概率密度函数
若存在非负函数 f ( x1, x2 ,, xn ), 使对于任意 实数 x1, x2 ,, xn 有
F ( x1, x2,, xn )
xn
xn1
x1
f ( x1, x2,, xn ) d x1 d x2 d xn,
f ( x, y)dx 为(X，Y)关于Y的边缘
概率密度．
3.2.3 二维连续型随机变量的边缘概率密度
【例3.10】设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度
为
f
(
x,
y)
1, 0,
0 x 1,| y | x 其它
求边缘概率密如图:
x
6 d y,
x2
0d
y,
0 x1 其他
y (1,1)
y x
6( x x2 ), 0 x 1
0,
其他
O
y x2
x
由于
6( x x2 ),
fX (x)
0,
x
FX ( x) fX ( x)dx
x
0dx,
2 1
所以
fX (x)
f ( x, y)dy
1
e
(
x 1
2
2 1
)2
exp{
1
( y 2 x 1 )2}dy
2 1 2 1 2
2(1 2 ) 2
1
令t 1 ( y 2 x 1 )，则有
二维连续型随机变量的边缘概率密度的几何意义
二维连续型随机变量的边缘概率密度的几何意义在概率论与数理统计学中，随机变量是数学上的一个重要概念，它描述了随机试验中可能出现的各种结果。
而对于二维连续型随机变量的边缘概率密度的几何意义，是一个值得深入探讨的问题。
1. 边缘概率密度的定义边缘概率密度是指在多维随机变量的概率密度函数中，通过将其他所有变量积分或求和而得到的一个单变量的概率密度函数。
对于二维连续型随机变量(X, Y)，其边缘概率密度分别为f_X(x)和f_Y(y)，其中f_X(x)=∫f(x, y)dy，f_Y(y)=∫f(x, y)dx。
在这里，f(x, y)为(X, Y)的联合概率密度函数。
2. 几何意义通过对边缘概率密度的几何意义的探讨，我们能够更深入地理解其在概率论中的重要性。
对于一维随机变量的概率密度函数，它描述了随机变量的取值在一定区间内的概率分布情况。
而对于二维连续型随机变量的边缘概率密度，则可以看作是在二维平面上对于某一维变量的投影，描述了该变量的取值在某一区间内的概率分布情况。
这种投影的几何意义，可以帮助我们更直观地理解随机变量在不同维度上的分布规律。
3. 个人观点和理解个人而言，我认为二维连续型随机变量的边缘概率密度的几何意义，不仅仅在于描述随机变量在某一维度上的分布情况，更重要的是在于帮助我们理解随机变量之间的关系。
通过对边缘概率密度的分析，我们能够从更宏观的视角考察随机变量的特性，以及它们之间的相互影响。
这种理解，对于概率论和统计学的进一步学习和应用具有重要意义。
总结和回顾性在本文中，我们探讨了二维连续型随机变量的边缘概率密度的几何意义。
我们从边缘概率密度的定义出发，详细分析了其在概率论中的重要性和意义。
我们也共享了个人的观点和理解。
通过本文的阐述，相信读者能够对该主题有一个全面、深刻和灵活的理解。
在下一步的学习中，建议读者可以进一步深入研究多维随机变量的概率密度函数，以及其在实际问题中的应用。
这将有助于拓展对概率论与数理统计学的理解和运用能力，为将来的学习和研究打下坚实的基础。
3.4二维随机变量的分布函数、边缘分布
y0
解
(1) f ( x, y )dxdy 1
y
2 2
f ( x, y)dxdy 1
2 0
D
2 0
A sin( x y )dxdy
0 0
1
x
c [ x ( 2 x ) / 2]dx =5c/24=1,
2 0
1
0
1
c =24/5
解: (2)
24 y(2 x ), 0 x 1, 0 y x f ( x, y) 5 0 , 其它
f X ( x)
y
y=x
(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)
P ( X 0, Y 0) C / C 3 / 15,
2 3 2 6
同理有
P ( X 0, Y 1) C C / C 6 / 15,
1 2 1 3 2 6
P ( X 0, Y 2) C / C 1 / 15 ; P ( X 1, Y 0) C C / C 3 / 15,
x
A 2 [ cos( x y )]02 dx
0
A [ cos( x ) cos x]dx 2
2 0
1 A 2
P{( X , Y ) G} 2 1 sin( x y )dxdy 4 2 G y 1 4 dy 2 sin( x y )dx 0 0 y 2 y 1 4 2 [ cos( x y )] y dy 2 0 1 1 [sin 2 y ]04 4 4
二维随机变量边缘密度
求 X, Y 的分布律.
1 22
解 ( X,Y )的可能取值为 (1,2), (2,1), (2,2).
P{X1,Y2}121,P{X2,Y1}211,
32 3
32 3
P{X2,Y2}211. 32 3
p 11 0, p 12 p21 p22 1 3,
故 (X ,Y )的分布律为
布，可记为
(X ,Y )~ N (1 , 2 , 1 2 , 2 2 , )
小结
1. 二维随机变量的分布函数 F ( x ,y ) P { X x ,Y y }.
2. 二维离散型随机变量的分布律
P { X x i, Y y j} p i,j i,j1,2, ;
3.说明
几何,上 zp(x, y)表示空间的一. 个曲面
p(x,y)dxdy1,
表示介于 p(x, y)和 xOy 平面之间的空间区域的 全部体积等于1.
P {X (,Y ) G }p (x ,y)dxdy
G
P{(X,Y) G}的 值G 等 为,于 以 底以 曲 zp(面 x,y) 为 顶 面 的 . 柱 体 体 积
解 {Xi,Yj}的取值情: 况 i1 是 ,2,3,4,
j取不大i的 于正整. 且数由乘法公式得 P {X i,Yj} P { Y jX i} P { X i} 1 1 ,
i4 i1,2,3,4, j i.
于是(X,Y)的分布律为
X Y
1
1
1
4
2
0
3
0
4
0
2 34
y
P{YX}
YX
2e(2xy) dxdy
0yx
3.4 边缘密度函数
1 x2 y2
x2 y2
( e 2 dy e 2 ( xy)dy)
2
1 x2 y2
y2
e 2 ( e 2 dy x ye 2 dy)
2
1 x2 y2
y2
fX ( x) 2 e
fX(x)=0
y=x
1xx
f
( x,
y)
24
5
y(2
x), 0
x
1, 0
y
x
0, 其他
fX ( x) f ( x, y)dy
当0 ≤ x ≤ 1时
暂时固定
0
x
fX ( x) f ( x, y) dy f ( x, y)dy f ( x, y)dy
证明： 设(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)，X的分布函数为FX(x)
则有：FX ( x) F ( x, )
v
x
x
f (u,v)dudv [ f (u, v)dv]du
令：g(u) f (u, v)dv
xu
g(u) f (u,v)dv
例2.设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为 1 x2 y2
f ( x, y) e 2 (1 xy) ( x, y ) 2
求(X,Y)关于X,Y 的边缘概率密度.
1 x2 y2
解：
fX (x)
f
( x,
y)dy