简单随机变量之和与正态分布

简单随机变量之和与正态分布

本文将笼统，随意的讲解，为什么多随机变量之和可以认为服从正态分布。

首先我们建立一个简单的随机变量之和的模型。假设我们手里有一枚硬币，我们认定硬币的正面为1，反面为0，那么抛一次硬币的情况就是0或1且他们的概率都是50%。如果我不写概率也是写概率的比例，那么这个比例可以写为1：1。现在我们抛两次硬币，那么这个结果有四种，00，01，10，11。相信你知道我在说什么。那么正同我们提到的，我们要的是随机变量之和，所以我们有0，1，2。且他们的比例可以很容易的得到，是1：2：1。那么如果抛三次硬币呢？可能的结果就是0，1，2，3，而他们的比例是1：3：3：1。也许你已经发现这个规律了，也许你没有，但我会告诉你的。假如你抛2N次硬币，并且求和，那么其结果就是0，1，2……2N，共2N+1种可能。这2N+1种可能的比例服从组合数C2N i。你可以代入刚才抛三次的情况，C30：C31：C32：C33就是我们得到的1：3：3：1。至于为什么这个比例符合组合数，抛两次硬币那里举了个例子，就不重复了。这里简单的定义以下，每个随机变量称作X i他们的和称作Y，也就是：

2N

Y=∑X i

1

（为什么突然变成了抛2N次而不是抛N次，因为我想保证我抛的是偶数次，这样Y的均值就是N了，你会发现抛两次的时候，Y的均值就是1，但是如果你抛三次，Y的均值就会是1.5，我想避免这个小数。）

所以接下来我们就要说明，组合数的分布规律为什么就成了正态分布。那么首先，你相信这个结论吗?让我们从抛多次到抛少次，来看一下正态分布和这个组合数分布到底有多像。

从Y的取值范围你也能猜出，这里分别是N取5，10，15，20的情况，实际上除了N 取5，也就是抛10次的时候，你还能看得清楚红线和蓝线，当N取10也就是抛20次以后，两线其实非常吻合了。你还可以看一下他们之间的误差，其峰值也是逐渐减小的。

有了直观图形，我们就得意识到，Y 从某种角度上确实也服从正态分布，尽管它其实是我们通过组合数构造出来的。我们来看一下正态分布有个什么特点。我们都知道正态分布是：

f (x )=1(x −μ)2

2σ2) 我认为，这个函数的本质其实就是：exp⁡(−x 2)。你可以对它取以下对数，那么他就成了二次函数−x 2，如果你愿意再对他求导，那么它就会变成−2x ，也就是线性函数。即使你考虑了我所忽略的那几个东西，也不会改变这个函数的本质，那就是它取对数后，应该是二次项系数为负的二次函数，且既然是二次函数，求导，就是一次的了。既然Y 的分布规律和它很相似，那么组合数也应该有类似的结论。所以我们对组合数先取个对数，得到： ln (C 2N x )=∑ln⁡(i)2N

2N−x+1−∑ln⁡(i)x 1

（这里作为自变量习惯性的用字母x 表示，但是它的涵义是2N 个随机变量之和Y ）

然后我们需要对这个东西关于x 求导，但是它是离散的，没有导数，只能求差分。（你对二次函数求差分其结果也还是一次的，所以这里用差分对比之前二次函数求微分，是没有关系的。）

ln (C 2N x )−ln (C 2N x−1)=∑ln (i )2N

2N−x+1−∑ln (i )x 1−∑ln (i )2N 2N−x+2+∑ln (i )x−11

=ln (2N −x +1)−ln (x )

这个函数在x=N 附近的线性度非常的好。我取N 为15，也就是抛30次硬币的情况下。

为什么呢，你可以对上式再求个导：

1x −2N −1−1x =2N +1x(x −2N −1)

因为我们说多个简单实验，所以N 应该比较大，不妨忽略了这个2N+1中的1，然后我们把这个函数左移N 个单位。现在我们得到的就是：

2N x(x −2N)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡x=x+N → ⁡⁡⁡⁡⁡2N (x +N)(x −N)=2N N 2−x 2

终于，一切豁然开朗了起来，这个函数的分母N 2−x 2在N 足够大，而x 又相对较小的时候，x 2就成了可以忽略的无穷小项，这样上式就成了一个常数，因为我们平移过，所以实际上这个函数近似的在N 的附近是一个常数。这里继续取N 为15，看一下这个函数。

那么远离中心N的数，他们不能近似为常数怎么办呢？我的理解是，无论是正态分布，还是前面组合数这样的分布，远离中心的那些结果，都是概率极低事件，可以不去关心他。

所以最后的结论就是，由于组合数的这种分布方式，其在中心的附近的分布律可以和和正态分布一样，取对数后变化成二次函数，所以组合数的这种分布律可以很好的服从正态分布的。

有点不足的是，这里考虑抛硬币作为最基本模型，它的概率分布非常简单。如果基本事件的分布律不是二元的而是多元的甚至是连续的，或基本事件的分布律不是这样对称的，那

么他们求和又是为什么能服从正态分布呢？那就再说吧= =