含参一元二次不等式专项训练

含参一元二次不等式专题训练

解答题（共12小题）

1．已知不等式（ax﹣1）（x+1）＜0 （a∈R）．2．解关于x的不等式：x2+（a+1）x+a＞0（a是实数）．（1）若x=a时不等式成立，求a的取值范围；

（2）当a≠0时，解这个关于x的不等式．

3．解关于x的不等式ax2+2x﹣1＜0（a＞0）．4．解关于x的不等式，（a∈R）：

（1）ax2﹣2（a+1）x+4＞0；

（2）x2﹣2ax+2≤0．

5．求x的取值范围：（x+2）（x﹣a）＞0．

6．当a＞﹣1时，解不等式x2﹣（a+1）x﹣2a2﹣a≥0．7．解关于x的不等式（x﹣1）（ax﹣2）＞0．8．解关于x 的不等式，其中a≠0．9．解不等式：mx2+（m﹣2）x﹣2＜0．

10．解下列不等式：

（1）ax2+2ax+4≤0；（2）（a﹣2）x2﹣（4a﹣3）x+（4a+2）≥0．11．解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0．12．解关于x的不等式ax2﹣2≥2x﹣ax（a∈R）．

含参一元二次不等式专题训练参考答案与试题解析

一．解答题（共12小题）

1．（2009•如皋市模拟）已知不等式（ax﹣1）（x+1）＜0 （a∈R）．

（1）若x=a时不等式成立，求a的取值范围；

（2）当a≠0时，解这个关于x的不等式．

考点：一元二次不等式的解法．

专题：计算题；综合题；分类讨论；转化思想．

分析：（1）若x=a时不等式成立，不等式转化为关于a 的不等式，直接求a 的取值范围；

（2）当a≠0时，当a＞0、﹣1＜a＜0、a＜﹣1三种情况下，比较的大小关系即可解这个关于x的不等式．

解答：解：（1）由x=a时不等式成立，即（a2﹣1）（a+1）＜0，所以（a+1）2（a﹣1）＜0，

所以a＜1且a≠﹣1．所以a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）．（6分）

（2）当a＞0时，，所以不等式的解：；

当﹣1＜a＜0时，，所以不等式（ax﹣1）（x+1）＜0的解：或x＜﹣1；

当a＜﹣1时，，所以不等式的解：x＜﹣1或．

当a=﹣1时，不等式的解：x＜﹣1或x＞﹣1

综上：当a＞0时，所以不等式的解：；

当﹣1＜a＜0时，所以不等式的解：或x＞﹣1；

当a≤﹣1时，所以不等式的解：x＜﹣1或．（15分）

点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查转化思想，分类讨论思想，是中档题．

2．解关于x的不等式：x2+（a+1）x+a＞0（a是实数）．

考点：一元二次不等式的解法．

专题：不等式的解法及应用．

分析：x2+（a+1）x+a＞0（a是实数）．可化为（x+a）（x+1）＞0．对a与1的大小分类讨论即可得出．

解答：解：x2+（a+1）x+a＞0（a是实数）可化为（x+a）（x+1）＞0．

当a＞1时，不等式的解集为{x|x＞﹣1或x＜﹣a}；

当a＜1时，不等式的解集为{x|x＞﹣a或x ＜﹣1}；

当a=1时，不等式的解集为{x|x≠﹣1}．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法、分类讨论的方法，属于基础题．

3．解关于x的不等式ax2+2x﹣1＜0（a＞0）．

考点：一元二次不等式的解法．

专题：不等式的解法及应用．

分析：由a＞0，得△＞0，求出对应方程ax2+2x﹣1=0的两根，即可写出不等式的解集．

解答：解：∵a＞0，∴△=4+4a＞0，

且方程ax2+2x﹣1=0的两根为

x1=，x2=，

且x1＜x2；

∴不等式的解集为{x|＜x＜}．

点评：本题考查了不等式的解法与应用问题，解题时应按照解一元二次不等式的步骤进行解答即可，是基础题．

4．解关于x的不等式，（a∈R）：

（1）ax2﹣2（a+1）x+4＞0；

（2）x2﹣2ax+2≤0．

考点：一元二次不等式的解法．

专题：计算题；不等式的解法及应用．

分析：（1）分a=0，a＞0，a＜0三种情况进行讨论：a=0，a ＜0两种情况易解；a＞0时，由对应方程的两根大小关系再分三种情况讨论即可；

（2）按照△=4a2﹣8的符号分三种情况讨论即可解得；

解答：解：（1）ax 2﹣2（a+1）x+4＞0可化为（ax﹣2）（x﹣2）＞0，

（i）当a=0时，不等式可化为x﹣2＜0，不等式的解集为{x|x＜2}；

（ii）当a＞0时，不等式可化为（x﹣）（x﹣2）＞0，

①若，即0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x ＜2或x＞}；

②若=2，即a=1时，不等式的解集为{x|x≠2}；

③若，即a＞1时，不等式的解集为{x|x＜或x＞2}．

（iii）当a ＜0时，不等式可化为（x﹣）（x﹣2）＜0，不等式的解集为{x|＜x＜2}．

综上，a=0时，不等式的解集为{x|x ＜2}；0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜2或x ＞}；

a=1时，不等式的解集为{x|x≠2}；a ＞1时，不等式的解集为{x|x＜或x＞2}；a＜0时，不等式的解集为{x|＜x

＜2}．

（2）x2﹣2ax+2≤0，

△=4a2﹣8，

①当△＜0，即﹣a时，不等式的解集为∅；

②当△=0，即a=时，不等式的解集为{x|x=a}；

③当△＞0，即a＜﹣或a＞时，不等式的解集为[x|a﹣≤x≤a}．

综上，﹣a时，不等式的解集为∅；a=时，不等式的解集为{x|x=a}；

a＜﹣或a＞时，不等式的解集为[x|a﹣≤x≤a}．

点评：该题考查含参数的一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，若二次系数为参数，要按照二次系数的符号讨论；

若△符号不确定，要按△符号讨论；若△＞0，要按照两根大小讨论．属中档题．

5．求x的取值范围：（x+2）（x﹣a）＞0．

考点：一元二次不等式的解法．

专题：不等式的解法及应用．