1《集合与简易逻辑》

集合的概念

一、高考要求：

1. 理解集合、空集、子集的概念；掌握用符号表示元素与集合的关系；

2. 掌握集合的表示方法.

二、知识要点：

1. 集合的概念:一些能够确定的对象的全体构成的一个整体叫集合.集合中的每一对象叫元素;元素与集合间的关系用符号“∈”、“∉”表示.常用到的数集

有自然数集N （在自然数集内排除0的集合记作N + 或N*）、整数集Z 、有

理数集Q 、实数集R.

2. 集合中元素的特征:

①确定性:a ∈A 和a ∉A,二者必居其一;

②互异性:若a ∈A,b ∈A,则a≠b;

③无序性: {a ，b}和{b ，a}表示同一个集合.

3. 集合的表示方法:列举法、性质描述法、图示法.

4. 集合的分类:

含有有限个元素的集合叫做有限集;含有无限个元素的集合叫做无限集;不

含任何元素的集合叫做空集,记作Φ.

5. 集合间的关系:用符号“⊆”或“⊇”、“⊂（）”或“⊃（）”、“=”表示.

子集:一般地,如果集合A 的任一个元素都是集合B 的元素,那么集合A 叫做

集合B 的子集,记作A ⊆B 或B ⊇A,读作A 包含于B,或B 包含A.

即:A ⊆B ⇔x ∈A ⇒x ∈B.

真子集:如果集合A 是集合B 的子集,并且B 中至少有一个元素不属于A,那

么集合A 叫做集合B 的真子集,记作A B 或B A.

等集:一般地,如果两个集合的元素完全相同,那么这两个集合相等,集合A 等

于集合B,记作A=B.即:A=B ⇔x ∈A ⇔x ∈B.

三、典型例题：

例1:数集A 满足条件:若a ∈A,则有)1(11≠∈-+a A a

a . (1) 已知2∈A,求证:在A 中必定还有另外三个数,并求出这三个数;

(2)若a∈R,求证:A不可能时单元素集合.

例2:已知集合A={a，a+d，a+2d},B={a，aq，aq2},若a,d,q∈R且A=B,求q的值. 例3:设A={x| x2+4x=0},B={x| x2+2(a+1)x+a2-1=0}.

(1)若B⊆A,求实数a的值; （2）若A⊇B,求实数a的值.

四、归纳小结：

1.任何一个集合A都是它本身的子集,即A⊆A;集合A不是集合B的子集,记作

A B或

B A.

2.空集是任一集合的子集,是任一非空集合的真子集.

3.对于集合A、B、C,如果A⊆B, B⊆C,则A⊆C; 如果A B, B C,则A C;

如果A⊆B, B⊆A,则A=B; 如果A=B, 则A⊆B, B⊆A.

4.注意区别一些容易混淆的符号:

①∈与⊆的区别:∈是表示元素与集合之间的关系, ⊆是表示集合与集合之间的关系;

②a与{a}的区别:一般地,a表示一个元素,而{a}表示只有一个元素a的集合;

③{0}与Φ的区别:{0}表示含有一个元素0的集合,Φ是不含任何元素的集合.

五、基础知识训练：

（一）选择题：

1.下列条件不能确定一个集合的是( )

A.小于100的质数的全体

B.数轴上到原点的距离大于1的点的全体

C.充分接近3的所有实数的全体

D.身高不高于1.7m的人的全体

2.下列命题中正确的是( )

A. {4，5}和{5，4}是两个不同的集合

B.{x∈R| x2+x+1=0}是空集

C.若a∈N,b∈N*,则a+b的最小值为2

D.小于10的偶数集合是有限集

3.集合M={1，2，3，4，5}的子集个数是( )

A.32

B.31

C.16

D.15

4.已知集合M={(0,1)},则( )

A.0∈M

B.1∈M

C.(0,1) ∈M

D.(1,0) ∈M

5.集合{0}与Φ的关系是( )

A.{0}=Φ

B.Φ∈{0}

C.{0}Φ

D.Φ{0}

6.设I为全集,集合A、B⊆I,A∪B=B,则( )

A.A⊆B

B.A⊆B

C.A⊆B

D. A⊆B

7.若集合A={x|kx2+4x+4=0,x∈R}只有一个元素,则A中实系数k的值为( )

A.1

B.0

C.0或1

D.以上答案都不对

8.设P={x| x=n2+1,n∈N},M={x| x=m2-4m+5,m∈N},则集合P与M的关系是

( )

A.P=M

B.P M

C.P M

D.不同以上答案

9.设I为全集,且Φ⊆A⊆B⊆I,下列集合中,一定为空集的是( )

A.A∩B

B.A∪B

C.A∩B

D.A∩B

10.设M、N是两个非空集合,则M∪N中的元素x应满足的条件是( )

A.x∈M或x∈N

B.x∈M且x∈N

C.x∈M但x∉N

D.x∉M但x∈N （二）填空题：

11.已知A={x | 1≤x＜4},B={x | x＜a},若A B,则实数a的取值集合为.

12.已知A={1，a，b},B={a，a2，ab},且A=B,则实数a= ,b= .

13.若集合A有n个元素,则其子集个数为.

14.已知非空集合M满足:M⊆{1，2，3，4，5},且若x∈M,则6-x∈M,则满足条

件的集合M的个数是.

（三）解答题：

15.已知集合A={x| ax2+2x+1=0,a∈R,x∈R}.

(1)若A中只有一个元素,求a的值,并求出这个元素;

(2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.