线性代数中矩阵乘法的本质
线性代数疑难问题解答
线性代数疑难问题解答第一章 行列式1. 排列21)1( -n n 的逆序数是2)1(-n n ，那么如何来确定它的奇偶性?解答：我们可以看一下这个排列的奇偶性随着n 的变化情况，然后找出规律。
,1=n 2)1(-n n ＝0，偶排列； ,2=n 12)1(=-n n ，奇排列； ,3=n 32)1(=-n n ，奇排列； ,4=n 62)1(=-n n ，偶排列； ,5=n 102)1(=-n n ，偶排列； ,6=n 152)1(=-n n ，奇排列 可以看出，奇偶性的变化以4为周期，因此我们可以总结如下：当k n 4=或14+=k n 时, 2)1(-n n 是偶数，所以排列是偶排列,当24+=k n 或34+=k n 时, 2)1(-n n 是奇数，所以排列是奇排列.2．行列式定义最基本的有哪些？答：行列式定义最基本的有以下两种： 第一种方式：用递推的方式给出，即 当11)(⨯=a A 时，规定a =A ；当n n ij a ⨯=)(A 时，规定∑∑==+=-=nj ij ij ij ij nj ji A a M a 11)1(A其中ij M 为A 中去掉元素ij a 所在的行和列后得到的1-n 阶行列式，称为A 中元素ij a 的余子式，ij j i ij M A +-=)1(称为ij a 的代数余子式。
第二种方法：对n 阶行列式A 用所有!n 项的代数和给出，即∑-==n np p p t nnn n nna a a a a a a a a a a a A2121212222111211)1(其中n p p p ,,,21 为自然数n ,,2,1 的一个排列，t 为这个排列的逆序数 第一种方式的思想是递推，其实质也是“降阶” ，在实际计算行列式中有着重要的应用。
第二种方式的思想是对二阶、三阶行列式形式的推广，更利于理解行列式的性质。
3．行列式的主要问题是什么？答：行列式的主要问题就是计算行列式的值，其基本方法是运用行列式性质，化简所给行列式而计算之。
谈矩阵乘法的理解
- 110 -基金项目：北京理工大学珠海学院校级项目的研究成果（项目编号：XK-2018-15）。
作者简介：王亚红，女，辽宁省北票人，讲师，硕士研究生，研究方向：再生核算法的机器学习理论与应用。
谈矩阵乘法的理解王亚红，梅良才（北京理工大学珠海学院，广东 珠海 519088）摘 要：线性代数中最重要的概念是矩阵，很多代数问题都与矩阵有关。
可以说，一切都是矩阵。
而矩阵乘法一般是难以理解的。
因此，文章从三个方面通过实例来帮助理解矩阵乘法的本质和意义。
关键词：线性代数；矩阵；矩阵乘法On the Understanding of Matrix MultiplicationWANG Ya-hong，MEI Liang-cai(Zhuhai College，Beijing Institute of Technology，Zhuhai，Guangdong，519088，China)Abstract: the most important concept in linear algebra is matrix. Many algebraic problems are related to matrix. Everything is a matrix, so to speak.Matrix multiplication is often hard to understand. Therefore，this article from three aspects through examples to help understand the essence and significance of matrix multiplication.Key words: linear algebra； matrix； matrix multiplication一、矩阵乘以数从图形学的角度来看，可以将数乘矩阵理解为图形的缩放。
例如：矩阵，，从行向量视角看，P 和2P分别对应了平面的三个点，在坐标系表示出来如下图，2P 将P表示的图形进行了放大。
矩阵乘法的本质是什么
矩阵乘法的本质是什么？本题目前下面的解释都是线性代数教材上的各种定义，但都太过复杂了。
我尝试写一个浅显的解释：小明今天要做饭，消耗2斤肉，1斤蔬菜。
肉每斤20元，蔬菜每斤5元，则一共需多少花费？这个问题的答案很简单：我们用向量相乘的方法写出来：如果小明第二天有另一种做饭的方法，需要消耗1斤肉，4斤蔬菜，那么这两种方法的花费各是多少呢？我们显然需要另算这第二种方法的花费。
把这个做饭方式写在第二个矩阵（向量是宽度或长度为1的矩阵）里：小明家附近还有另一个菜市场，那里肉每斤15元，蔬菜每斤10元。
那么，小明如果去这个菜市场，花费又是多少呢（分别计算上述两种做饭方式）？我们把这另外的一种价格写进第一个矩阵里：这样我们看到了一个矩阵乘法的例子。
在左边的这个矩阵的每一行，都代表了一种价目表；在右边的矩阵的每一列，都代表了一种做饭方式。
那么所有可能的组合所最终产生的花费，则在结果矩阵中表示出来了。
小明有一天成为了餐厅大厨，小红做掌柜兼管算账。
我们假设物价不变。
小红发现，如果今天买10斤肉花了A元，明天买20斤肉就得花2A元。
如果买一斤肉要花C元，买1斤菜要花D元，那么买一斤肉和一斤菜就要花(C+D)元。
每天小明汇报今日的材料消耗之后，小红便会将材料消耗转为需要花的钱数。
如果材料消耗翻倍，花的钱数也翻倍。
另外，如果去不同的菜市场，也会得到不同的花钱数量。
小明每月送来一张长列表，里面是每日的材料消耗；而经过小红的处理，这张列表会转为每日，在不同的菜市场购买这些材料的花费。
材料消耗翻倍，花费也翻倍。
我们管这种从材料列表转为开销表的过程，就叫做一个线性映射。
这也即是矩阵乘法的意义。
最后补充一点。
线性代数的引入方式因教材不同而不同。
从代数学自身的体系来讲，可能从线性空间引入是相对完备的；但是从一般我们学习知识的理解顺序来讲，从线性方程组引入最为合适。
因为只要还记得鸡兔同笼，就很容易理解线性方程组，从而推广到矩阵，然后是线性变换，线性空间。
克罗内克内积 与 矩阵乘法关系
克罗内克内积和矩阵乘法是线性代数中非常重要的概念，它们在各个领域的数学和科学研究中都有着广泛的应用。
理解克罗内克内积与矩阵乘法之间的关系，可以帮助我们更好地理解向量和矩阵运算的本质，也有助于我们在实际问题中更灵活地运用这些数学工具。
在本文中，我将从简单到复杂，从浅入深地探讨这两个概念，帮助你全面地理解它们的关系和应用。
1. 克罗内克内积的基本概念克罗内克内积，又称为张量积，是一种对两个向量进行运算得到的新向量的方法。
如果有两个向量a和b，它们分别是m维和n维的列向量，那么它们的克罗内克内积a ⊗ b将得到一个mn维的列向量。
具体而言，克罗内克内积的运算规则是将向量a的每个元素与向量b相乘，然后将结果按照特定的顺序排列成一个新的列向量。
2. 矩阵乘法的基本概念矩阵乘法是线性代数中的基本运算之一，它用于描述线性变换和多维空间中的向量运算。
如果有两个矩阵A和B，它们的维度分别是m×n 和n×p，那么它们的乘积AB将得到一个m×p的矩阵。
具体而言，矩阵乘法的运算规则是将矩阵A的每一行与矩阵B的每一列进行内积运算，得到新矩阵的每个元素。
3. 克罗内克内积与矩阵乘法的关系在深入探讨克罗内克内积与矩阵乘法的关系之前，我们先来看一下它们之间的基本联系。
事实上，克罗内克内积可以被视为一种特殊的矩阵乘法运算，它可以用于描述不同维度之间的张量关系。
具体而言，如果我们将列向量a和b分别看作是m×1和n×1的矩阵，那么它们的克罗内克内积a⊗b可以被等价地表示为a×b^T，其中b^T表示b 的转置矩阵。
4. 深入理解克罗内克内积与矩阵乘法的关系在实际问题中，我们经常会遇到需要对不同维度的向量和矩阵进行运算的情况。
这时，理解克罗内克内积与矩阵乘法的关系可以帮助我们更灵活地处理这些运算，从而更好地解决问题。
举个例子，假设我们需要计算两个不同维度的向量的内积，可以利用克罗内克内积的性质将这个问题转化为矩阵乘法的形式，从而更方便地进行计算。
两个矩阵相乘的秩与原矩阵秩的关系证明
矩阵乘法是线性代数中的一个重要概念，它描述了两个矩阵如何通过运算相互影响。
在两个矩阵相乘的情况下，乘积矩阵的秩与原矩阵的秩之间存在一定的关系。
本文将通过证明和推导来阐述这一关系。
一、预备知识在矩阵乘法中，我们通常遵循行阶梯型乘法规则，其中左边的矩阵将根据右边的矩阵生成一个新的阶梯型矩阵。
这个新的阶梯型矩阵与原来的阶梯型矩阵之间的秩差由左边的矩阵所决定的子式所确定。
因此，矩阵乘法的本质是对原始矩阵的秩进行减小。
二、定理证明我们已知两个矩阵A和B相乘的结果为C=AB。
那么C的秩r(C)必定小于或等于A的秩r(A)和B的秩r(B)的和。
这个结论基于以下推理：首先，我们需要知道的是，对于任意的矩阵A，r(kA)=r(A)，其中k为常数。
这是因为矩阵的秩是对齐线性变换的不变性质，而k乘以任何矩阵都是一个常数乘以原矩阵，所以不会改变矩阵的秩。
接下来，由于B可以看作是可由C求和而得（在AB中的每一行可以表示为对C的每行减去原始行后的剩余），所以我们有r(BA)≤r(C)。
另外，我们需要明确，无论在左还是右进行缩放或移动操作（如使用非零常数k），都不会改变矩阵的秩。
因此，我们有r(C)≤r(BA)≤r(A)+r(B)。
这个不等式说明了乘积矩阵的秩小于或等于原矩阵的秩之和。
三、结论通过上述证明过程，我们可以得出结论：对于两个矩阵相乘的情况，乘积矩阵的秩总是小于或等于原矩阵的秩之和。
这意味着在进行矩阵乘法时，我们必须考虑乘积矩阵可能具有的性质和可能出现的约束条件。
此外，这个结论也揭示了线性代数中矩阵乘法的本质特性，即对原矩阵的秩进行减小。
四、应用举例假设我们有两个3x3矩阵A和B，且已知A有2个非零行，而B 有3个非零列。
根据上述结论，如果A和B相乘的结果C中每一行都有非零元素（即C的秩为3），那么这意味着原矩阵A或B中的一个必须是满秩（即有3个非零行或列）。
这就为我们提供了判断矩阵是否具有特殊性质的一种方法。
五、总结通过证明两个矩阵相乘的秩与原矩阵秩的关系，我们可以更好地理解线性代数中的矩阵乘法规则，并利用这个关系来分析和解决实际问题。
矩阵和行列式的乘积
矩阵和行列式的乘积
矩阵和行列式的乘积，是一种数学运算方法，用于将两个数学对象相乘得到一个新的数学对象。
它在代数学中有着重要的应用，可以帮助我们解决实际问题。
矩阵是由数个数按照一定规律排列成的矩形阵列，可以理解为一个二维的数组。
矩阵的乘法运算需要满足一定的条件，即第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等。
通过乘法运算，我们可以得到一个新的矩阵，新矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
行列式是一个在线性代数中经常遇到的概念，它是一个方阵中按照一定规则排列的元素所构成的一个特殊的数。
行列式的计算方法较为复杂，需要按照一定的规则进行展开和运算。
行列式的值可以用于判断一个矩阵的性质，比如是否可逆、线性无关等。
矩阵和行列式的乘积在数学中有着广泛的应用。
在线性代数中，我们可以利用矩阵和行列式的乘积来求解线性方程组、求解矩阵的逆、计算矩阵的秩等。
在统计学中，矩阵和行列式的乘积可以用于多元线性回归分析、主成分分析等。
在计算机科学中，矩阵和行列式的乘积可以用于图像处理、机器学习等领域。
通过矩阵和行列式的乘积，我们可以将复杂的数学问题转化为简单的计算，从而更方便地解决问题。
同时，矩阵和行列式的乘积也具
有一定的几何意义，可以用于描述和分析空间中的几何关系。
矩阵和行列式的乘积是一种重要的数学运算方法，具有广泛的应用价值。
通过矩阵和行列式的乘积，我们可以解决实际问题，深入理解数学的本质，拓展数学的应用领域。
希望通过这篇文章，读者们能够对矩阵和行列式的乘积有更深入的了解，从而更好地应用它们解决实际问题。
矩阵的乘除法-概述说明以及解释
矩阵的乘除法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述矩阵是线性代数中的重要概念，它是一个由数值排列成的矩形阵列。
矩阵可用于描述线性方程组、变换矩阵和向量空间等数学问题。
在实际应用中，矩阵广泛应用于计算机图形学、物理学、金融和工程等领域。
本文主要介绍矩阵的乘除法。
矩阵的乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵的运算。
矩阵的乘法具有结合性和分配性，但不满足交换律。
我们将详细探讨矩阵乘法的定义、基本性质和计算方法。
然而，矩阵的除法并不像乘法那样直接定义。
事实上，不存在矩阵的除法运算，因为矩阵除法的定义涉及到矩阵的逆。
我们将介绍矩阵的逆以及与矩阵除法相关的概念。
在文章的结论部分，我们将强调矩阵乘法在数学和实际应用中的重要性。
同时，我们也会讨论矩阵除法的限制和应用领域，并提供一些示例。
通过深入了解矩阵的乘除法，读者将能够更好地理解线性代数中的重要概念和运算，并将其应用于实际问题的求解中。
本文旨在为读者提供一个全面而清晰的介绍，帮助他们建立起对矩阵乘除法的深入理解。
1.2文章结构文章结构部分的内容:文章结构部分提供了对整篇文章的概要介绍和组织方式的说明。
通过明确提供文章的大纲，读者可以更好地理解文章的逻辑和结构，有助于他们更好地阅读和理解文章的内容。
在本文中，文章结构部分主要包括以下几个方面的信息：1. 引言：引言部分将对整篇文章的内容进行简要介绍和概述。
读者可以通过引言部分了解文章的主题和要解决的问题，从而更好地准备阅读和理解后续的内容。
2. 正文：正文部分是文章的主体，包含了关于矩阵的乘除法的详细讨论和分析。
正文部分将分为两个小节，分别介绍矩阵的乘法和除法的相关知识。
2.1 矩阵的乘法：在这一小节中，将给出矩阵的乘法的定义和基本性质的介绍。
读者将了解到矩阵乘法的基本概念和性质，从而为后续的计算方法提供基础。
2.1.1 定义和基本性质：本小节将详细介绍矩阵乘法的定义和基本性质。
从定义上了解矩阵乘法的运算规则，以及矩阵乘法的交换律、结合律等基本性质。
矩阵的乘法公式
矩阵的乘法公式数学是一门深奥且广泛应用的学科，其中矩阵是重要的一个分支。
在矩阵中，乘法公式是研究的核心之一，其应用范围广泛。
下面将从定义、性质和应用三个方面来介绍矩阵的乘法公式。
一、定义矩阵乘法是指对于两个矩阵A和B，如果A的列数等于B的行数，则可以把A与B相乘。
具体来说，对于A(m*n)和B(n*p)，它们的乘积C=A*B(m*p)，其元素定义为如下式子：$$C_{ij}=\sum_{k=1}^n A_{ik}B_{kj}$$这意味着C中的第(i,j)个元素等于A中第i行和B中第j列对应元素的乘积之和。
二、性质1. 矩阵乘法是结合律的。
即(A*B)*C = A*(B*C)2. 矩阵乘法不一定满足交换律。
即A*B 不一定等于 B*A3. 若A和B可逆，则AB也可逆，且(A*B)^(-1)=B^(-1)*A^(-1)。
4. 矩阵乘法是分配律的。
即对于任何矩阵A、B、C，有以下性质：A*(B+C) = A*B+A*C(B+C)*A = B*A+C*A三、应用矩阵的乘法公式在多个领域有着广泛的应用。
下面分别介绍其在数学、物理以及计算机科学领域中的应用。
1. 数学领域矩阵乘法可以用于线性方程组的求解。
对于给定的方程组A*x=b，其中A是系数矩阵，x是未知变量矩阵，b是常数向量矩阵。
如果A可逆，则可以通过矩阵乘法求解x=A^(-1)*b。
矩阵乘法还可以用于矩阵的转置与逆的求解。
对于给定的矩阵A，可以通过矩阵乘法求得其转置矩阵A^T以及其逆矩阵A^(-1)。
2. 物理领域矩阵乘法在物理学中也有着广泛的应用。
例如，在量子力学中，矩阵乘法可以用于描述量子态的演化过程，并且可以通过矩阵乘法计算出量子态的特征值和特征向量。
在相对论物理中，矩阵乘法可以用于表示时空的变换。
3. 计算机科学领域矩阵乘法在计算机科学中被广泛应用于图形学、计算机视觉以及机器学习等领域。
例如，在图形学中，矩阵乘法可以用于对三维图形进行变换，如旋转、缩放和平移等。
线性代数中矩阵乘法的本质
线性代数中矩阵乘法的本质一、线性空间1.1线性的含义线性代数里面的“线性”意思就是线性空间里的线性变换。
线性变换或线性映射是把中学的线性函数概念进行了重新定义。
中学里，函数f(x)=kx+b称为一元线性函数，因为在平面直角坐标系中这个函数的图形就是一条直线，所以把这种函数形象地称为“线性”函数。
在线性代数中，为了线性函数的进一步推广，把一元线性函数f (x)= kx + b中的b去掉，即只有过原点的最简单的直线f (x)= kx才被称为一元线性函数，这是因为不过原点的直线不满足我们对线性函数的比例性的要求。
线性函数的“线性”二字，体现在几何意义和代数意义2个方面：几何意义，线性就是指几何上是一条线，称为线性；而代数意义上，线性体现在①可加性（对加法封闭）②比例性（对数乘封闭）。
1.2、空间空间的概念比较抽象，简单来说，能装东西的就是空间。
数学上定义，里面装了可以运算的东西就是空间。
从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。
就好像从水果这个泛型概念开始，一步步往上加定义，可以形成很多更加具体化的概念，如热带水果，甜的热带水果，苹果，红苹果等等。
线形空间算是还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间；赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间；内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间；如果空间里装载所有类型的函数，就叫泛函空间。
空间有一些具体特征，就好像水果这个泛指的概念也有一些属性来描述一样，空间具有以下属性特征：①由很多（实际上是无穷多个）位置点组成②这些点之间存在相对的关系③可以在空间中定义长度、角度④这个空间可以容纳运动上面的这些性质中，③比较特殊，其他的空间不需要具备，因此不是关键的性质，或者说一种泛有的性质，而④则是空间的本质，即容纳运动是空间的本质特征。
事实上，无论是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合该空间规则的运动（或者叫做变换）。
矩阵相乘 行列式-概述说明以及解释
矩阵相乘行列式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述矩阵相乘和行列式是线性代数中非常重要的概念。
矩阵相乘是将两个矩阵按照一定顺序相乘得到一个新的矩阵的运算，而行列式则是一个矩阵的一个标量值，用于判断矩阵是否可逆以及计算矩阵的性质。
本文将深入探讨矩阵相乘和行列式的定义、性质以及它们之间的关系，旨在帮助读者更深入理解和应用这两个重要的概念。
1.2 文章结构本文将分为三个主要部分：引言、正文和结论。
在引言部分中，我们将介绍矩阵相乘和行列式的基本概念，并阐述本文的目的和意义。
在正文部分，我们将详细讨论矩阵相乘和行列式的原理和计算方法，以及它们之间的关系。
我们将介绍如何进行矩阵相乘运算，以及如何计算一个矩阵的行列式。
我们还将讨论矩阵相乘和行列式在数学和其他领域中的重要性。
最后，在结论部分，我们将总结矩阵相乘和行列式的重要性，并探讨它们在不同应用领域中的作用。
我们还将展望未来，在哪些领域矩阵相乘和行列式可能会有更广泛的应用。
1.3 目的：本文的目的在于探讨矩阵相乘和行列式的概念和性质，通过深入理解这两个数学概念之间的关系，帮助读者更好地理解和运用矩阵运算以及行列式计算。
具体来说，我们的目的包括但不限于以下几点：- 解释矩阵相乘和行列式的定义和计算方法；- 探讨矩阵相乘和行列式在数学和实际应用中的重要性；- 分析矩阵相乘和行列式之间的关系，包括它们的性质和特点；- 提供矩阵相乘和行列式在实际问题中的具体应用案例；- 展望未来矩阵相乘和行列式研究的发展方向和可能应用领域。
通过本文的阐述，读者将能够更深入地理解矩阵相乘和行列式的概念和重要性，以及它们在数学理论和实际应用中的价值和意义，从而为进一步学习和研究提供基础和启发。
2.正文2.1 矩阵相乘矩阵相乘是线性代数中非常重要的运算之一。
在进行矩阵相乘时，我们需要满足两个矩阵的维度匹配规则，即第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
如果我们有一个m×n的矩阵A和一个n×p的矩阵B相乘，那么它们的乘积将会是一个m×p的矩阵。
矩阵乘积的行列式与秩
矩阵乘积的定义与性质 行列式的定义与性质 矩阵秩的定义与性质 矩阵乘积的行列式与秩的关系 矩阵乘积的行列式与秩的应用
矩阵乘积的定义与性质
01
矩阵乘积是由两个矩阵A和B相乘得到的结果，记作AB。
矩阵乘积的结果是一个新的矩阵C，其行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数。
矩阵乘积的定义
矩阵乘积的秩的性质
总结词
矩阵乘积的秩不大于参与乘法的所有矩阵秩的最小值。
详细描述
设矩阵A和B的秩分别为r(A)和r(B)，则它们的乘积AB的秩r(AB)满足r(AB)≤min{r(A), r(B)}。这是因为矩阵乘法不改变列空间的维数，所以AB的秩不可能超过A或B的秩。
矩阵乘积的行列式与秩的应用
特殊矩阵乘积
行列式的定义与性质
02
行列式是一个由矩阵的行和列构成的标量，表示为|A|。
行列式等于矩阵所有行向量行列式的乘积，即|A|=a11*a22*...*ann。
行列式是唯一确定的，与矩阵的表示方式无关。
行列式的定义
行列式与转置矩阵的行列式互为倒数，即|AT|=1/|A|。
行列式与矩阵的加法、数乘运算具有结合律和分配律，即|kA|=k|A|，|A+B|=|A|+|B||。
矩阵近似
在微分几何中，行列式可以用于研究微分流形的性质，例如计算体积、表面积等。
微分流形
行列式可以用于研究曲线和曲面的性质，例如计算曲线的长度、曲率等。同时，矩阵乘积可以用于表示曲线和曲面的变换和运动。
曲线和曲面
在黎曼几何中，行列式和秩可以用于研究黎曼度量和张量的性质，例如计算曲率张量、研究联络等。
行列式与秩的关系
对于一个方阵A，其行列式值$|A|$不为0当且仅当其秩为n（n为矩阵的阶数）。
矩阵的交换律
矩阵的交换律矩阵的交换律在线性代数中是一个非常基本的性质，是指两个矩阵在相乘的时候可以交换位置而不影响乘积的结果。
具体来说，对于任意两个矩阵A和B，都有AB=BA。
为什么矩阵的交换律成立？要理解矩阵的交换律成立的原因，需要先了解矩阵乘法的本质。
矩阵乘法是一种定义在向量空间上的运算，它的本质是将一个向量通过一个线性变换映射到另一个向量空间中。
矩阵A与矩阵B相乘，实际上是将矩阵B作为变换矩阵，对矩阵A中的每一列向量进行变换，得到新的矩阵C。
由于矩阵乘法的本质是向量空间中的线性变换，而线性变换有一个非常显然的性质——线性性。
具体来说，一个线性变换在加法和数乘运算下满足：1.对于任意向量v，f(v+w)=f(v)+f(w)；2.对于任意向量v和标量k，f(kv)=kf(v)。
这个性质可以被等价地表述为：1.线性变换将向量的线性组合映射到其线性组合的和上；2.线性变换将标量倍数和向量的映射次序进行保持不变。
我们再来看矩阵的乘法。
对于两个矩阵A和B相乘的结果C，假设A有m行n列，B有n行p列，则有：Cij=ai1b1j+ai2b2j+...+ainbnj可以发现这个式子具有线性性质，即Cij的值是aikbkj的线性组合。
因此，矩阵乘法实际上是把B看成了一个线性变换，将A中的各列向量映射到新的向量C中。
既然矩阵乘法是一个线性变换，那么两个矩阵是否具有交换律就取决于它们对应的变换是否具有交换律了。
如果两个变换是可交换的，那么它们所对应的矩阵也具有交换律。
对于线性变换的交换律，我们可以通过证明它们对矩阵的乘法是否具有交换律来证明。
假设有两个线性变换f和g，分别对应两个矩阵A和B，那么它们的相乘结果可以表示为：fg(x)=f(g(x))，其中x是一个向量。
换句话说，先进行g变换再进行f变换，等价于先进行f变换再进行g变换。
这告诉我们，如果f和g是可交换的，它们对应的矩阵A 和B也是可交换的。
因此，我们可以得出结论：只要两个矩阵对应的线性变换是可交换的，这两个矩阵就满足乘法交换律。
矩阵乘法本质理解
矩阵乘法本质理解矩阵乘法本质上是一种数学操作，通过乘法运算来求得两个矩阵的乘积。
矩阵乘法对于线性代数乃至数学分析有着重要的地位，它可以用于解决几乎所有的线性问题和广义线性问题，同时也是众多复杂数学模型的基础。
矩阵乘法的本质是将矩阵中的系数进行乘法运算，得到新的矩阵。
首先，要定义矩阵乘法的有效性。
矩阵乘法只能处理两个相同大小的矩阵相乘。
也就是说，当两个乘数矩阵的行数和列数相同时，我们才能够进行有效的矩阵乘法运算。
这种有效性被称为矩阵乘法的形式有效性。
继而，要从数学意义上了解矩阵乘法。
矩阵乘法的数学意义是，它代表了一种向量的变换，即将行向量和列向量组合成矩阵，然后根据矩阵中的元素值对行列向量进行线性变换，从而得到新的变换后的行列向量。
此外，我们需要知道矩阵乘法的计算方法。
矩阵乘法的计算可以分为三个基本步骤：第一步，我们要将乘数矩阵A和B写出来；第二步，我们要把乘数矩阵A和B的对应元素乘起来，将得到的乘积填入新矩阵C中；第三步，我们要将新矩阵C中每行每列的元素之和算出来，得出最终结果矩阵。
最后，要讨论一下矩阵乘法的应用。
矩阵乘法可以应用于几乎所有的线性问题和广义线性问题，如解线性方程组、求多元函数的极值、求变量的线性回归方程以及向量空间的基础等。
另外，矩阵乘法还可以应用于众多复杂数学模型的建立和求解，如动力学系统模型、网络流量模型、概率模型、信息系统模型等等。
总之，矩阵乘法是一种重要的数学运算，它可以被应用于众多不同领域的复杂数学模型的建立和求解，从而为人们所利用。
矩阵的数量乘法
矩阵的数量乘法介绍矩阵的数量乘法是指将一个矩阵的每个元素与一个常数相乘的操作。
在数学中，矩阵是一个以表格形式排列的数的集合，它具有许多重要的应用，特别是在线性代数和应用数学领域。
矩阵的数量乘法是对矩阵进行标量乘法操作，可以改变矩阵的大小和形状，对于矩阵的运算和解决问题有着重要的意义。
矩阵的表示矩阵通常用大写字母表示，例如 A、B、C 等。
一个矩阵被描述为m × n 的矩阵，其中 m 表示矩阵的行数，n 表示矩阵的列数。
矩阵中的元素由小写字母表示，例如 a11、a12、a21、a22 等。
矩阵的数量乘法是通过将矩阵的每个元素与一个常数k 相乘获得新的矩阵。
矩阵的数量乘法运算矩阵的数量乘法运算是将矩阵的每个元素与常数 k 相乘，得到一个新的矩阵。
假设 A 是一个m × n 的矩阵，k 是一个实数，则数量乘法运算的结果可以表示为：[ kA =]矩阵数量乘法的性质矩阵数量乘法具有以下性质：1. 结合律对于任意的实数 k1、k2 和矩阵 A，有 (k1(k2A)=(k1k2)A)。
2. 分配律对于任意的实数 k 和矩阵 A、B，有 (k(A+B)=kA+kB)。
3. 乘法单位元对于任意的实数 k 和矩阵 A，有 (1A=A)，其中 1 表示实数 1。
矩阵数量乘法的应用矩阵数量乘法在实际应用中有着广泛的应用，下面介绍其中一些常见的应用：1. 线性方程组线性方程组是矩阵数量乘法的一个重要应用。
通过将线性方程组转变为矩阵形式，可以用矩阵的数量乘法进行求解。
例如，对于一个线性方程组 (Ax=b)，其中 A 是一个矩阵，x 和 b 是向量，可以通过将方程组变为 (A{-1}Ax=A{-1}b) 的形式，利用矩阵的数量乘法求解出向量 x。
2. 线性变换矩阵数量乘法在线性变换中也有重要应用。
线性变换是指由一个向量空间到另一个向量空间的变换，满足加法和数量乘法的封闭性。
矩阵可以表示线性变换的矩阵形式，通过矩阵的数量乘法，可以对向量进行线性变换。
线性代数基础知识（三）——矩阵乘法
线性代数基础知识（三）——矩阵乘法矩阵A ∈ R m×n 和B ∈ R n×p 的乘积为矩阵：其中：.请注意，矩阵A的列数应该与矩阵B的⾏数相等，这样才存在矩阵的乘积。
有很多种⽅式可以帮助我们理解矩阵乘法，这⾥我们将通过⼀些例⼦开始学习。
2.1向量的乘积给定两个向量x，y ∈ R n，那么x T y的值，我们称之为向量的内积或点积。
它是⼀个由下式得到的实数：.可以发现，内积实际上是矩阵乘法的⼀个特例。
通常情况下x T y = y T x。
对于向量x ∈ R m， y ∈ R n（⼤⼩不必相同），xy T ∈ R m×n称为向量的外积。
外积是⼀个矩阵，其中中的每个元素，都可以由得到，也就是说，.我们举个例⼦说明外积有什么⽤。
令1 ∈ R n 表⽰所有元素都是1的n维向量，然后将矩阵A ∈ R m×n 的每⼀列都⽤列向量x ∈ R m表⽰。
使⽤外积，我们可以将A简洁的表⽰为：.2.2矩阵-向量的乘积对于⼀个矩阵A ∈ R m×n 和向量x ∈ R n，他们的乘积为向量y = Ax ∈ R m。
理解矩阵向量乘法的⽅式有很多种，我们⼀起来逐⼀看看。
以⾏的形式书写A，我们可以将其表⽰为Ax的形式：.也就是说，y第i⾏的元素等于A的第i⾏与x的内积 .咱们换个⾓度，以列的形式表⽰A，我们可以看到：.换⾔之，y是A列的线性组合，线性组合的系数就是x的元素。
上⾯我们看到的是右乘⼀个列向量，那左乘⼀个⾏向量嘞？对于A ∈ R m×n，x ∈ R m， y ∈ R n，这个式⼦可以写成y T = x T A 。
向之前那样，我们有两种⽅式表达y T，这取决于表达A的⽅式是⾏还是列。
第⼀种情况是把A以列的形式表⽰：这个式⼦说明y T 第i列的元素等于向量x与A的第i列的内积。
我们也⼀样可以把A表⽰成⾏的形式，来说明向量-矩阵乘积。
我们可以看到y T 是A的⾏的线性组合，线性组合的系数是x的元素。
矩阵 点乘 和相乘-概述说明以及解释
矩阵点乘和相乘-概述说明以及解释1.引言1.1 概述矩阵是线性代数中的重要概念，它由若干行与若干列元素组成的数组所构成。
矩阵在数学、物理、工程、计算机科学等领域有着广泛的应用，因此矩阵运算也成为了研究和实践中的重要内容之一。
在矩阵运算中，点乘和相乘是两种常见的操作。
点乘是指两个矩阵中对应位置元素相乘并相加得到一个标量值的运算，而矩阵相乘是指两个矩阵按一定规则相乘得到新的矩阵的运算。
这两种运算在实际问题中有着各自的应用场景和重要性。
本文将深入探讨矩阵的定义和性质，以及点乘和相乘的概念、规则和重要性。
通过对矩阵运算的全面解析，希望读者能够更深入地理解矩阵运算的重要性以及在实际问题中的应用价值。
1.2 文章结构本文将分为三个部分进行讨论：引言、正文和结论。
在引言部分，将介绍矩阵、点乘和相乘的基本概念，以及文章的结构和目的。
在正文部分，将详细探讨矩阵的定义和性质，点乘的概念和应用，以及矩阵相乘的规则和重要性。
在结论部分，将总结矩阵运算的重要性，指出矩阵点乘和相乘的应用场景，并展望矩阵运算的未来发展。
通过这样的结构，读者可以全面了解矩阵运算的相关知识和重要性，同时也可以展望未来在这一领域的发展方向。
1.3 目的目的部分本文的目的在于探讨矩阵运算中的点乘和相乘操作，分析它们在数学和实际应用中的重要性和作用。
通过深入理解矩阵的定义、性质以及点乘、相乘的规则，可以帮助读者更好地掌握这些概念，并在解决实际问题时运用到矩阵运算中。
此外，本文还旨在展示矩阵运算在不同领域的广泛应用，以及展望未来矩阵运算的发展方向与趋势。
通过阅读本文，读者能够深入了解矩阵运算的重要性和实用性，为其在学术和职业生涯中带来更多的启发和帮助。
2.正文2.1 矩阵的定义和性质矩阵是数学中一种非常重要的概念，它是由数字组成的二维数组。
一个矩阵通常用一个大写字母表示，比如A、B、C等。
一个矩阵可以用m ×n的形式表示，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵乘法运算方向
矩阵乘法运算方向全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：矩阵乘法是线性代数中非常重要的运算之一，广泛应用于科学计算、工程技术以及人工智能等领域。
矩阵乘法的运算方向是指两个矩阵相乘时，矩阵相乘的次序和乘法操作的方向。
本文将从矩阵乘法的定义、运算规则以及运算方向等方面进行详细介绍。
我们来回顾一下矩阵乘法的定义。
对于两个矩阵A和B，如果A的列数等于B的行数，那么它们可以相乘，得到一个新的矩阵。
设矩阵A 为m×n的矩阵，矩阵B为n×p的矩阵，则它们相乘得到的矩阵C为m×p的矩阵。
矩阵C的元素c_ij是矩阵A的第i行与矩阵B的第j列各元素乘积的和，即c_ij=a_i1×b_1j+a_i2×b_2j+…+a_in×b_nj。
接下来，我们来谈谈矩阵乘法的运算规则。
矩阵乘法具有结合律和分配律，但不满足交换律。
具体来说，设矩阵A、B和C分别为m×n、n×p和p×q的矩阵，那么有以下运算规则：1. 结合律：(AB)C=A(BC)；2. 分配律：A(B+C)=AB+AC；3. 不满足交换律：AB≠BA。
在实际计算中，矩阵乘法的运算方向非常重要。
矩阵乘法的运算方向主要有两种情况：行主序和列主序。
行主序是指先按照矩阵的行来乘法，即先计算矩阵A的每一行与矩阵B的各列的乘积，最后得到乘积矩阵C。
而列主序则是指先按照矩阵的列来进行乘法，即先计算矩阵A的各列与矩阵B的每一行的乘积，最后得到乘积矩阵C。
那么在实际应用中，如何选取合适的运算方向呢？一般而言，行主序和列主序的选择取决于矩阵的大小和计算平台的特点。
对于小规模的矩阵乘法，往往使用行主序比较方便和高效，因为这样可以减少存储空间和提高计算效率。
而对于大规模的矩阵乘法，一般采用列主序更加有效，因为这样可以充分利用缓存和并行计算的特点，提高计算速度和性能。
在一些特定的应用场景中，选择合适的运算方向也可以带来更好的效果。
矩阵 乘法
矩阵乘法矩阵乘法是一种数学运算，它将两个矩阵相乘来求解特定的问题。
在线性代数中，矩阵乘法是一种重要的运算方法，用于解决复杂的线性方程组。
它的基本原理是将两个矩阵相乘，可以得到一个新的矩阵，即结果矩阵。
矩阵乘法定义为：如果A和B是m×n和n×p矩阵，则AB是m×p矩阵。
其中，AB = C，C矩阵的每个元素cij 等于A矩阵的第i行和 B矩阵的第j列所对应的元素之积之和，即：cij=∑k=1nAikBkj 。
因此，矩阵乘法最重要的特征是，它可以根据两个输入矩阵的大小而改变结果矩阵的大小。
如果A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，则AB是m×p矩阵。
矩阵的乘法有几个特定的条件，这些条件必须满足，才能执行矩阵乘法。
这些条件是：1.矩阵A和B的行数应该相等，否则无法执行矩阵乘法。
2.矩阵A和B的列数应该相等，否则无法执行矩阵乘法。
3.矩阵A和B的列数应该等于矩阵C的行数，否则无法执行矩阵乘法。
4.矩阵A的行数也应该等于矩阵C的列数，否则无法执行矩阵乘法。
矩阵乘法的一些重要的性质包括：1.矩阵乘法的结果在整个空间中是不变的。
2.矩阵乘法是可交换的，即AB=BA。
3.矩阵乘法是可结合的，即(AB)C=A(BC)。
4.矩阵乘法的可加性，即A(B+C)=AB+AC。
矩阵乘法可以用来解决复杂的线性方程组，并可以用来解决许多矩阵运算问题。
它也可以用来计算矩阵的逆、行列式和特征值等。
矩阵乘法是矩阵运算的基础，因此它对于理解线性代数和解决线性方程组非常重要。
它是解决多个高级矩阵问题的基础，也是解决复杂的线性方程组的重要工具。
揭开矩阵乘法的面纱_华清远见
揭开矩阵乘法的面纱矩阵乘法的本质简介矩阵的乘法，本质是一种运动。
下面我们就来揭开矩阵乘法的面纱，给新手做一个矩阵乘法的本质简介，希望对大家有帮助。
矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。
它只有在第一个矩阵的列数(column)和第二个矩阵的行数(row)相同时才有意义。
一般单指矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。
一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。
由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型。
二维数组无论在数值计算领域还是在非数值计算领域都是一种相当基本、重要且抽象的数据结构。
二维数组在数学中的表现形式是矩阵，因此研究矩阵的基本运算本质上就是在研究二维数组的运算。
显然，尽可能地提高矩阵运算速率对于编程而言是十分重要的工作。
矩阵加法和矩阵乘法是矩阵中最基本的矩阵运算。
设A、B是两个n×n的矩阵。
矩阵的加法表示两个矩阵对应位置元素之和，因此它们的和仍然是一个n×n的矩阵，记为C=A+B。
显然，矩阵加法的时间复杂度为O(n2)。
如果设矩阵A与B的乘积为矩阵C，即C=A×B，显然矩阵C也是一个n×n的矩阵。
则矩阵C的第i行第j列的元素C(I,j)等于矩阵A的第i行和矩阵B的第j 列对应元素乘积的和。
可表示为：按这个公式计算C(i,j)需要n次乘法与n-1次加法，而矩阵C中有n×n个元素，因此，由矩阵乘法定义而直接产生的矩阵相乘算法时间复杂度为O(n3) 。
人们长期对矩阵的乘法计算的改进工作做着不懈的努力，做出不少尝试，也试图设计或改进这个算法，但无论怎样改进都囿于O(n3)数量级的时间复杂度，没有显著地提速。
1969年，斯特拉森(V.Strassen)利用分治策略并加上数学处理设计出了一种时间复杂度是O(n2.81)(准确地说是O(nlog7))的矩阵相乘算法，宣称在时间复杂度数量级上有所突破。
用向量内积的观点给出矩阵乘积的解释
用向量内积的观点给出矩阵乘积的解释矩阵乘积是矩阵的一类重要运算，在数学和技术领域具有重要的应用。
为了更好地解释和理解矩阵乘积的用法，本文将以向量内积的观点来解释这一运算。
首先，我们从更有抽象的概念出发，来讨论矩阵乘积是如何定义和计算的。
矩阵乘积是指矩阵A和矩阵B的乘积，它具有以下一般形式：$A_{mtimes n}B_{ntimes p}=(a_{ij})_{mtimes p}$ 其中矩阵A是$mtimes n$矩阵，矩阵B是$ntimes p$矩阵，而矩阵A*B则是$mtimes p$矩阵。
根据上述定义，它们之间的关系可以用下式来表示：$(a_{ij})=sum_{k=1}^{n}A_{ik}B_{kj}$要想详细了解矩阵乘积的计算规则，我们可以从向量的角度来看一下，我们知道矩阵就是一组向量的封装，这一组向量之间也可以用向量内积来表示其关系。
对于$A_{mtimes n}$矩阵，它由$m$个$n$维向量构成，其中每个向量分别为$A_{1},A_{2},cdots ,A_{m}$，而矩阵$B_{ntimes p}$又由$n$个$p$维向量$B_{1},B_{2},cdots ,B_{n}$组成，而两个矩阵的乘积就可以利用向量内积来表示：$(a_{ij}) = A_{i}cdot B_{j}=sum_{k=1}^n A_{ik}B_{kj}$ 从上述定义可以看出，计算矩阵乘积的实质就是向量之间的内积，也就是每一个元素$(a_{ij})$都是一个向量内积。
这样，就可以比较容易地理解这一运算，它可以用来衡量两个向量之间的相似度。
接下来，我们来看看矩阵乘积的一些重要定理和性质。
首先，矩阵乘积不满足交换律，即A*B$eq$B*A，因此它们不是等价的。
其次，矩阵乘积的伴随矩阵是根据矩阵乘积的性质求出的，可以用于求解矩阵乘积的逆元，从而实现矩阵求解。
另外，矩阵乘法也满足分配率，即可以结合A*（B*C）=（A*B）*C 以及A*（B+C）=(A*B)+(A*C)等公式来计算矩阵乘积。
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线性代数中矩阵乘法的本质
一、线性空间
1.1线性的含义
线性代数里面的“线性”意思就是线性空间里的线性变换。
线性变换或线性映射是把中学的线性函数概念进行了重新定义。
中学里，函数f(x)=kx+b称为一元线性函数，因为在平面直角坐标系中这个函数的图形就是一条直线，所以把这种函数形象地称为“线性”函数。
在线性代数中，为了线性函数的进一步推广，把一元线性函数f (x)= kx + b中的b去掉，即只有过原点的最简单的直线f (x)= kx才被称为一元线性函数，这是因为不过原点的直线不满足我们对线性函数的比例性的要求。
线性函数的“线性”二字，体现在几何意义和代数意义2个方面：几何意义，线性就是指几何上是一条线，称为线性；而代数意义上，线性体现在①可加性（对加法封闭）②比例性（对数乘封闭）。
1.2、空间
空间的概念比较抽象，简单来说，能装东西的就是空间。
数学上定义，里面装了可以运算的东西就是空间。
从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。
就好像从水果这个泛型概念开始，一步步往上加定义，可以形成很多更加具体化的概念，如热带水果，甜的热带水果，苹果，红苹果等等。
线形空间算是还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间；赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间；内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间；如果空间里装载所有类型的函数，就叫泛函空间。
空间有一些具体特征，就好像水果这个泛指的概念也有一些属性来描述一样，空间具有以下属性特征：
①由很多（实际上是无穷多个）位置点组成
②这些点之间存在相对的关系
③可以在空间中定义长度、角度
④这个空间可以容纳运动
上面的这些性质中，③比较特殊，其他的空间不需要具备，因此不是关键的性质，或者说一种泛有的性质，而④则是空间的本质，即容纳运动是空间的本质特征。
事实上，无论是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合该空间规则的运动（或者叫做变换）。
可以发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。
因此只要知道，“空间”是一个容纳可以运动的对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。
1.3、线性空间
既然空间是一个容纳可以运动的对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。
那么线性空间中的对象集合和线性空间中的运动（线性变换）是如何表示的呢？
线性空间中的任何一个对象，通过选取坐标系(基)的办法，都可以表达为向量的形式。
只要找到合适的坐标轴（也就是基），建立了一个坐标系，就可以用坐标（表示成向量的形式）表示线性空间里任何一个对象。
换句话说，给你一个空间，你就能用基和坐标来描述这个空间中的对象！
这是因为向量表面上只是一列数，但是由于向量的有序性，除了这些数本身携带的信息之外，还在对应位置上携带信息。
即向量携带的信息同时包含了位置信息以及这个位置上对应的数的本身的信息。
这就是为什么在程序设计中数组最简单，却又威力无穷呢？根本原因就在于此。
那么，线性空间中的运动（线性变换）是如何表示的呢？
二、矩阵的乘法
2.1、线性空间中的“运动”
线性空间中的运动，也就是为线性变换。
根据第一章的定义可知，从线性空间中的一个点运动到任意的另外一个点，都可以通过一个线性变化来完成。
那么，线性变换如何表示呢？在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵乘法来描述该空间中的任何一个运动（变换）。
而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。
即，在线性空间中选定基之后，向量（坐标）刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。
因此，矩阵乘法的本质是线性空间中“运动”的施加。
2.2 “运动”的含义
在人类的经验里，运动是一个连续过程，从A点到B点，就算走得最快的光，也是需要一个时间来逐点地经过AB之间的路径，这就带来了微积分中的连续性的概念。
而连续这个概念，如果不定义极限的概念，根本就解释不了。
不过此处的“运动”的概念不是微积分中的连续性的运动，而是瞬间发生的变化。
比如这个时刻在A点，经过一个“运动”，一下子就“跃迁”到了B点，其中不需要经过A点与B点之间的任何一个点。
这样的“运动”，或者说“跃迁”，是违反我们日常的经验的。
但事实上，量子（例如电子）在不同的能量级轨道上跳跃，就是瞬间发生的，具有这样一种跃迁行为。
所以说，自然界中并不是没有这种运动现象，只不过宏观上我们无法观察到。
但是无论如何，“运动”这个词用在这里，还是容易产生歧义的，说得更确切些，应该是“跃迁”。
因此这句话可以改成：“矩阵乘法是线性空间里跃迁的描述”。
可是这样说又太物理，也就是说太具体，而不够数学，也就是说不够抽象。
因此我们最后换用一个数学术语——变换，来描述之。
所谓变换，其实就是空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁。
比如说，拓扑变换，就是在拓扑空间里从一个点到另一个点的跃迁。
再比如说，仿射变换，就是在仿射空间里从一个点到另一个点的跃迁。
附带说一下，这个仿射空间跟向量空间是亲兄弟。
做计算机图形学的朋友都知道，尽管描述一个三维对象只需要三维向量，但所有的计算机图形学变换矩阵都是4 x 4的。
说其原因，很多书上都写着“为了使用中方便”，这简直就是企图蒙混过关。
真正的原因，是因为在计算机图形学里应用的图形变换，实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的。
想想看，在向量空间里相一个向量平行移动以后仍是相同的那个向量，而现实世界等长的两个平行线
段当然不能被认为同一个东西，所以计算机图形学的生存空间实际上是仿射空间。
而仿射变换的矩阵表示根本就是4 x 4的。
2.3、矩阵乘法的定义
一旦我们理解了“变换”这个概念，矩阵乘法就变成：“矩阵乘法是线性空间里的变换的描述。
”到这里为止，我们终于得到了一个看上去比较数学的定义。
当然，教材上一般是这么说的，在一个线性空间V里的一个线性变换T，当选定一组基之后，就可以表示为矩阵。
线性变换的定义是很简单的，设有一种变换T，使得对于线性空间V中间任何两个不相同的对象x和y，以及任意实数a和b，有：T(ax + by) = aT(x) + bT(y)，那么就称T为线性变换。
变换是从空间的一个点跃迁到另一个点，而线性变换，就是从一个线性空间V的某一个点跃迁到另一个线性空间V的另一个点的运动。
这句话里蕴含着一层意思，就是说一个点不仅可以变换到同一个线性空间中的另一个点，而且可以变换到另一个线性空间中的另一个点去。
不管你怎么变，只要变换前后都是线性空间中的对象，这个变换就一定是线性变换，也就一定可以用一个矩阵来描述。
最后把矩阵乘法定义完善如下：“矩阵乘法是线性空间中的线性变换的一个描述。
在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵乘法来加以描述。
”
例如上图的1，在一个线性空间V里的一个线性变换T，选定好基地X1、X2、X3后，那么对于这种线性变换T，可以用矩阵A的乘法来描述，如对矩阵d实施这种变换，变换后，矩阵d这个线性空间中的对象变成了e这个对象，这个e是三维的，也就是图1中a、
b、c都是可以变化的，因此e的变化是三维的；而在图2中，e是二维的，始终处于a、c 所确定的平面中。
对于矩阵乘法，主要是考察一个矩阵对另一个矩阵所起的变换作用。
其作用的矩阵看作是动作矩阵，被作用的矩阵可以看作是由行或列向量构成的几何图形。
同样，如果一连串的矩阵相乘，就是多次变换的叠加么。
而矩阵左乘无非是把一个向量或一组向量（即另一个矩阵）进行伸缩或旋转。
乘积的效果就是多个伸缩和旋转的叠加！比如S=ABCDEF会把所有的矩阵线性变化的作用力传递并积累下去，最终得到一个和作用力S。
工业上的例子就是机器人的手臂，机械臂上的每个关节就是一个矩阵（比如可以是一个旋转矩阵），机械臂末端的位置或动作是所有关节运动的综合效果。
这个综合效果可以用旋转矩阵的乘法得到。
三、另一种简单的理解方式
小明今天要做饭，消耗2斤肉，1斤蔬菜。
肉每斤20元，蔬菜每斤5元，则一共需多少花费？这个问题的答案很简单：
用向量相乘的方法写出来：
如果小明第二天有另一种做饭的方法，需要消耗1斤肉，4斤蔬菜，那么这两种方法的花费各是多少呢？我们显然需要另算这第二种方法的花费。
把这个做饭方式写在第二个矩阵（向量是宽度或长度为1的矩阵）里：
小明家附近还有另一个菜市场，那里肉每斤15元，蔬菜每斤10元。
那么，小明如果去这个菜市场，花费又是多少呢（分别计算上述两种做饭方式）？我们把这另外的一种价格写进第一个矩阵里：
这样我们看到了一个矩阵乘法的例子。
在左边的这个矩阵的每一行，都代表了一种价目表；在右边的矩阵的每一列，都代表了一种做饭方式。
那么所有可能的组合所最终产生的花费，则在结果矩阵中表示出来了。