线性代数特征值一
1线性代数 4.2方阵的特征值与特征向量
0 1
00,
1 0 0 0 0 0
得基础解系
0 0,
1
所以k(0, 0,1)T (k 0)是对应于1 2的全部特征向量.
当2 3 1时,解方程(E A)x 0.由
~ 2 1 0
EA 4 2 0
1 0 1 0 1 2,
1 0 1 0 0 0
得基础解系
1 2 ,
1
x1 x2
,
E
x
1
x
x3
定义1的等价定义
Ax x (E A)x 0
这是n个未知数 n个方程的齐次线性方程 组，
它有非零解 x的充要条件是系数行列 式
a11 a12
| E A |
a21
a22
a1n
a2n
0.
an1 an2 ann
上式是以为未知数的一元n次方程，称为方阵A的
Ax 1x, Ax 2 x 1 x 2 x
1 2 x 0,
由于1 2 0, 则x 0, 与定义矛盾 .
四、小结
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1. 计算A的特征多项式 det AE;
2. 求特征方程detE A 0的全部根1,2,
, n,就是A的全部特征值;
3. 对于特征值i ,求齐次方程组
1 A E 0
1 3
1 0
~
1 0
0 1
1 0 ,
4 1 4 0 0 0
得基础解系
1 p1 0, 1
故对应于1 1的全体特征向量为
k p1
(k 0).
当2 3 2时,解方程2E Ax 0.由
~ 4 1 1
2E A 0 0 0
1 1 1 4 4 0 0 0 ,
5考研基础复习(线性代数)特征值
由于 (λE A) x = 0 存在非零解的充分必要 条件为 | λE A |= 0 ， 所以 | λE A |= 0 为 A 的特征 方程， 的特征值（ 方程，它的根就是 A 的特征值（根）.
一、特征值的基本内容
1、方阵的特征值和特征向量 、
特征值的性质 性质： （2）特征值的性质： ① 若 x ≠ 0 使 ： Ax = λx ， 则对 于 常 数 k （ k ≠ 0 ）有： A( kx ) = λ ( kx ) ；
k 1η 1 + + k n r η n r ，
为不全为零的任意常数. 其中 k 1 , , k n r 为不全为零的任意常数.
一、特征值的基本内容
2、方阵特征值和特征向量的计算 、
特别： 则知: 特别：若 | A |= 0 ，则知: λ = 0 是 A 的一 特征值， 个特征值，且：
Ax = 0 的基础解系就是 A 的属于特
Ax = λ x
非零列向量 x 称为 A 的属于特征值 λ 的 特征向量. 特征向量.
一、特征值的基本内容
1、方阵的特征值和特征向量 、
Ax = λx 等价于 ： (λE A) x = 0 . 称矩阵 等价于：
λE A 为 A 的特征矩阵， 的特征矩阵， 的特征多项式. 行列式 f A (λ ) =| λE A | 称为 A 的特征多项式.
此时, 为正交矩阵, 此时 , 令 P = ( β 1 , β 2 , , β n ) 则 P 为正交矩阵 , P 1 AP = P T AP = diag{λ1 , λ 2 , , λ n } . 使:
一、特征值的基本内容
5、实对称矩阵及其性质 、
② 当 A 的特征值有重根 λ 时，需要先将重 根对应的特征向量正交化，再单位化， 根对应的特征向量正交化，再单位化， 则由所有特征值对应的单位正交化的特 征向量可构造得所求正交矩阵 P .
线性代数 5-1 第5章1讲-特征值与特征向量(1)
0
2 0.
4 1 3
2 1 1
解
AE 0
2
2 0 (2 )
1 ( 1)( 2)2
4 3
4 1 3
1 1，2 3 2.
1 1 1 1 0 1
对1 1，解( A E) X 0
A
E
0
3 0 0 1
0
4 1 4 0 0 0
同解方程组为
x1 x2
x3 0
p2 (1,1, 0)T；
2 3 2对应的线性无关特征向量
p2 (0,1, 1)T ，p3 (1, 0, 4)T
9
特征值与特征向量的定义
例3 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值为 ______ .
1 1 1 1
1 1 11
1 1 1 1
1 1 1 1
解 A E 1 1 1 1 (n ) 1 1 1 1
0 0 1
对2 3 2，解( A 2E) X 0
1 1 1 1 1 0
A
2E
1
1
0
0
0
1
0 0 1 0 0 0
Hale Waihona Puke 得基础解系为 p2 (1,1, 0)T，
x1 x3
x2 0
其全部特征向量为k2 p2 (k2不为零).
6
特征值与特征向量的定义
2 1 1
例2
求矩阵的特征值与特征向量：A
(2) 一个特征值对应无数个特征向量； A A(k) (k)
(3) 每个特征向量对应一个特征值；
(4) 求特征值就是解 A E 0 ； (5) 齐次线性方程组( A E) X O的非零解即为特征向量.
3
特征值与特征向量的定义
线性代数中的奇异值特征值关系
线性代数中的奇异值特征值关系线性代数中的奇异值-特征值关系线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间、线性变换、矩阵和线性方程组等概念和性质。
在线性代数中，奇异值和特征值是两个常见的概念，它们扮演着重要的角色。
本文将探讨奇异值和特征值之间的关系以及它们在线性代数中的应用。
一、奇异值和特征值的定义在介绍奇异值和特征值之间的关系之前，我们先来了解一下它们的定义。
1. 奇异值（Singular Value）对于一个m×n的矩阵A，假设它的秩为r。
则A可以表示为A=UΣV^T的形式，其中U是一个m×r的正交矩阵，V是一个n×r的正交矩阵，Σ是一个r×r的对角矩阵。
其中，Σ的对角元素称为A的奇异值。
2. 特征值（Eigenvalue）对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ为一个常数，则称λ为A的特征值，x为对应于特征值λ的特征向量。
二、奇异值和特征值的关系奇异值和特征值之间存在着紧密的联系，下面我们来详细探讨这种关系。
1. 奇异值与特征值的关系当矩阵A是一个方阵时，其奇异值就是它的特征值的平方根。
即A的奇异值为A的特征值的平方根。
2. 存在奇异值和特征值之间的联系对于一个m×n的矩阵A，其奇异值和特征值之间存在一定的联系。
具体来说，A的非零奇异值的平方根是A^TA的特征值的平方根，也是AA^T的特征值的平方根。
3. 奇异值与特征值分解的关系奇异值和特征值分解是矩阵分解的重要方法之一。
任何一个矩阵都可以进行奇异值分解和特征值分解。
奇异值分解将矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中两个矩阵是正交矩阵，一个矩阵是对角矩阵，对角元素就是奇异值。
特征值分解将矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中两个矩阵是特征向量组成的正交矩阵，一个矩阵是特征值组成的对角矩阵。
三、奇异值和特征值的应用奇异值和特征值在线性代数中有着广泛的应用，下面我们来介绍一些常见的应用领域。
线性代数中的奇异值特征值关系
线性代数中的奇异值特征值关系在线性代数中，奇异值和特征值是两个非常重要的概念。
它们之间存在着一定的关系，通过研究和理解这种关系，可以帮助我们更好地理解线性代数的基本原理和应用。
奇异值和特征值都是矩阵的性质，但它们描述了不同的方面。
特征值是矩阵在一个向量方向上的影响力大小，而奇异值则表示了矩阵在整个向量空间上的变化情况。
首先，让我们先来了解一下特征值。
给定一个n×n的矩阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ是一个复数，那么我们称λ为矩阵A的特征值，v为对应的特征向量。
特征向量表示了在变换A 的过程中，保持在同一个方向或者方向相似的向量。
特征值则表示了在这个方向上的缩放倍数。
特征值和特征向量是通过求解方程det(A-λI)=0来得到的，其中I是单位矩阵。
求解这个方程可以得到矩阵A的所有特征值λ1, λ2, ..., λn。
每一个特征值都有对应的特征向量v1, v2, ..., vn。
接下来，我们来看奇异值。
对于一个m×n的矩阵A，它的奇异值分解可以写为A=UΣV^T，其中U是一个m×m的酉矩阵，V是一个n×n 的酉矩阵，Σ是一个m×n的对角矩阵。
对角线上的元素称为奇异值，通常用σ1, σ2, ..., σr来表示（r=min(m,n)）。
奇异值表示了矩阵A变换后在每个方向上的缩放倍数。
与特征值不同的是，奇异值并不是通过求解方程来得到的，而是通过奇异值分解得到的。
奇异值分解可以将矩阵A分解成三个矩阵的乘积，其中U和V是酉矩阵，Σ是对角矩阵。
那么奇异值与特征值之间有什么关系呢？首先，需要明确的是奇异值和特征值的个数是相同的，都是矩阵的秩。
另外，奇异值和特征值的平方根之间存在着一定的联系。
如果σ是奇异值，那么σ^2就是对应的特征值。
在奇异值分解中，矩阵U和V的列向量分别是矩阵A的左奇异向量和右奇异向量。
而特征值和特征向量则是矩阵A的右特征向量和左特征向量。
线性代数特征值、特征向量与二次型
Step1 计算A的特征多项式|A - λE|. Step2 令|A - λE| = 0得出A的所有不同的特征值. Step3 对于每个不同的特征值λ,求出齐次线性方程组 (A - λE)x = 0的所有非零解即得A的对应于λ的全部特 征向量. 更具体地说, 先求出(A - λE)x = 0的一个基础解系ξ1, ξ2,…, ξn-r,其所有非零的线性组合k1ξ1+ k2ξ2+…+ kn-rξn(只要k1, k2, …, kn-r不全为0)就是A的对应于λ的全部 k 0) A r( 特征向量, 其中R(A) = r.
i = m
ai Ai 的特征值为 f(λ); ∑
n
4,特征多项式性质 1),若x是A的对应于λ的特征向量,则对于任意k ≠ 0, kx也是A的对应于λ的特征向量. 2),设λ1, λ2是方阵A的两个不同特征值, p1, p2分别 是与之对应的特征向量,则p1+ p2不是A的特征向量 3),方阵A的对应于λ的特征向量不是唯一的, 而是有 的对应于λ 无限多个. 4),对于方阵A的对应于λ的所有特征向量, 其非零的 的对应于λ 非零的
5), f ( A) = 6),A与AT
有相同的特征值; 7),AB与BA有相同的特征值; 8),0是A的特征值====|A|=0; 9),零矩阵有n重特征值0; 10),单位矩阵有n重特征值1; 11),数量矩阵kE有n重特征值k; 12),幂等矩阵(A^2=A )只有特征值0或1; 13),对和矩阵(A^2=E )只有特征值-1或1; 14),k- 幂矩阵(A^k=E )只有特征值1的k次方; 3,设n阶方阵A = (aij)的n个特征值为λ1, λ2, …, λn(重 根按重数计算), 则 (1) λ1+λ2+ …+λn= a11+a22+ …+ann . (2) λ1λ2 …λn= |定义 设A是n阶方阵, 若存在数λ 和非零向量x, 使得Ax = λx, 则称λ为方阵A的特征值 特征值(eigenvalue), x是对应于λ 特征值 对应于 的特征向量( 的特征向量 λ). A - λE 称为A的特征矩阵; |A - λE|称为方阵A的特征多项式;|A - λE| = 0为A的 特征多项式; 特征方程.注意: 特征向量是非零向量 特征方程. 2,特征值的性质和运算, 如λ是A 的特征值, 则 1),kA 的 特征值为k λ; 2), Am的特征值为 λm; 3), A-1的特征值为 λ-1; 4), A*的特征值为 |A|/λ;
线性代数特征值
一个基，r称为向量空间V的维数，记作dimV＝r 并称V是r维向量空间。
注：（1）只含有零向量的向量空间没有基，规定其维数为0。
（2）如果把向量空间看作向量组，可知，V的基就是向 量组的极大无关组，V的维数就是向量组的秩。
（3）向量空间的基不唯一。
四、施密特正交化方法
1 2
1 2
1 1 1 1
3
3
3 , 1 1, 1
1
3 , 2 2 , 2
2
0 0
1 2
1 0
1 6
1 2
1 3
1 1
1
1 1
1 2
T
1 2
0
2
1 6
1 6
T
2 6
3
1 3
1 3
1 3
T
第五章 特征值与特征向量
第一节 特征值与特征向量
零向量与任何向量正交
Rn中向量组 e1 (1,0,0,,0)T e2 (0,1,0,,0)T en (0,0,0,1)T 它们两两正交
二、正交向量组
定义4：由一组两两正交的非零向量构成的向量组称为正 交向量组
例2 1 (1,1,1)T 2 (1, t ,1)T 3 (1,u , v)T
1
3
3 3
1
0
2 1
第四节 n 维向量空间
1、定义：设 V为 n维向量的集合，如果集合 V非空，
且集合 V对于加法及数乘两种运算封闭， 那么就称集合 V为向量空间．
说明: 集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭指
V , V , 有 V ; V ,k R, 有 k V .
特征值
在变换的作用下，向量仅仅在尺度上变为原来的倍。称是的一个特征向量，是对应的特征值（本征值），是 （实验中）能测得出来的量，与之对应在量子力学理论中，很多量并不能得以测量，当然，其他理论领域也有这 一现象。
如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：
其中和为矩阵。其广义特征值（第二种意义）可以通过求解方程，得到（其中即行列式）构成形如的矩阵的 集合。其中特征值中存在的复数项，称为一个“丛(pencil)”。
若可逆，则原关系式可以写作，也即标准的特征值问题。当为非可逆矩阵（无法进行逆变换）时，广义特征 值问题应该以其原始表述来求解。
简介
特征值是指设是n阶方阵，如果存在数和非零n维列向量，使得成立，则称是的一个特征值(characteristic value)或本征值(eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵的属于（对应于）特征值的特征向量或本征向量，简 称的特征向量或的本征向量。
定义
基本定义
广义
设为n阶矩阵，若存在常数及 n维非零向量，使得，则称是矩阵的特征值，是属于特征值的特征向量。 的所学：
奇异矩阵特征值设是向量空间的一个线性变换，如果空间中某一非零向量通过变换后所得到的向量和仅差一 个常数因子，即，则称为的特征值，称为的属于特征值的特征向量或特征矢量(eigenvector)。如在求解薛定谔 波动方程时，在波函数满足单值、有限、连续性和归一化条件下，势场中运动粒子的总能量(正)所必须取的特定 值，这些值就是正的本征值。
基本应用
判断相似矩阵的必 要条件
求特征向量
判断矩阵可对角化 的充要条件
特征函数和特征值
特征函数和特征值特征函数和特征值是线性代数中的重要概念，它们在矩阵的理论和应用中都有着广泛的应用。
本文将围绕特征函数和特征值展开，介绍它们的定义、性质、求解方法及其在实际问题中的应用。
一、特征函数和特征值的定义1. 特征函数特征函数是指对于一个n阶方阵A，存在一个非零向量x，使得Ax=kx成立，其中k为一个标量。
这个方程称为矩阵A关于k的特征方程，而k则称为矩阵A的一个特征值。
由此可见，特征函数是与矩阵相关联的一个函数。
2. 特征值根据上述定义可知，矩阵A关于k的特征方程Ax=kx成立时，k即为矩阵A的一个特征值。
每个n阶方阵都有n个特征值。
二、特征函数和特征值的性质1. 特殊性质（1）如果一个n阶方阵A有n个不同的特征值，则它一定可以被对角化。
（2）如果两个n阶方阵A、B相似，则它们具有相同的特征值。
（3）如果一个n阶方阵A是实对称矩阵，则它的特征值都是实数。
（4）如果一个n阶方阵A是正定矩阵，则它的特征值都是正数。
2. 求解方法求解矩阵的特征值和特征向量有多种方法，下面介绍两种常用的方法。
（1）特征多项式法设A为n阶方阵，I为n阶单位矩阵，则其特征多项式为f(λ)=det(A-λI)，其中λ为变量。
由于f(λ)是一个n次多项式，因此有n个根，即为A的n个特征值。
（2）幂法幂法是一种迭代算法，通过不断迭代矩阵与向量的乘积来逼近特征向量。
假设有一个初始向量x0，通过不断迭代可以得到x1=Ax0、x2=Ax1=AAx0、x3=Ax2=AAAx0……直到收敛为止。
此时，xk即为A的最大特征值所对应的特征向量。
三、特征函数和特征值在实际问题中的应用1. 特殊结构问题在计算机图形学中，对于一个三维物体进行旋转时，可以使用特征值和特征向量来计算旋转矩阵。
此外，在工程中，特征值和特征向量还可以用于求解桥梁、建筑物等结构的振动频率和振动模态。
2. 数据分析问题在数据分析领域，特征值和特征向量可以用于PCA（Principal Component Analysis）降维算法。
线性代数矩阵特征值及特征向量
a a ... a
11
12
1n
E A
a 21
a ... 22
a 2n
a a ... a
n1
n2
nn
称为A的特征多项式. 方程 E A 0 称为A的
特征方程，其根称为A的特征根，即A的特征值. 注. n阶方阵A在复数范围内有n个特征值.
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
（1 ） 若 是A的属于特征值 的特征向量，则 k (k 0) 也是A的属于 的特征向量. （2） 若 1,2, ,s 是A的属于特征值 的特征向量，
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
例1. 问A是否可对角化？若可，求可逆矩阵P，使
1 2 2
P1AP 为对角矩阵.
这里
A
2 2
2 4
4 2
解: A的特征多项式为
1 2 2 E A 2 2 4
2 4 2
22 7
得A的特征值是2，2，-7 .
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
定理3. 相似矩阵的特征多项式相同，从而特征值相同.
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
推论. 设n阶矩阵A与对角矩阵
1
2
n
相似，则 1,2 , ,n 就是A的n个特征值.
注. 若矩阵A与对角矩阵相似，则可方便求出A的幂 Ak 及A的多项式.
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
§2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化 一、矩阵可对角化的条件 二、实对称矩阵的对角化
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
一、矩阵可对角化的条件
定义1：矩阵A是一个n 阶方阵，若存在可逆矩阵
P ，使 P1AP 为对角矩阵，即A与对角矩阵相似，则 称矩阵A可对角化.
线性代数课件特征值和特征向量
§2 相 似 矩 阵
一. 相似矩阵的定义和性质 定义6.3 设A ,B都是n阶方阵,若存在可逆矩阵P, 使
P-1AP=B 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵 A与B相似. P-1AP=B称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P称为把A 变成B 的相似变换矩阵. A与B相似记作A~B.
类似地有1k:x11+2kx22+…+skxss=0
(k=0,1,…,s-1),
即
(x1ξ1,x2ξ2,...,xsξs)11MM 12 O L L 12M ss11(0,0,L,0)
1 s L ss1
所以有 (x11, x22,…, xss)=(0, 0, …, 0)
即, xjj=0, 但j0, 故xj=0, (j=1,2,…,s)
1+2+…+n=a11+a22+…+ann 12…n=detA
定理6.2 设1,2,…,s是方阵A的互异特征值,1, 2,…, s是 分别属于它们的特征向量, 那么1,2,…,s线性无关.
证明 设 x11+x22+…+xss=0, 则
A(x11+x22+…+xss)=0,
即
1x11+2x22+…+sxss=0
例设4 3阶方阵A的特征值为1, -1, 2, 求|A*+3A-2E|. 解 由于A的特征值都不为0, 故A可逆.而|A|=-2 于是 A*=AA-1=-2A-1. 于是
A*+3A-2E=-2A-1 +3A-2E=(A)
(A)的3个特征值为:(1)=-1,(-1)=-3,(2)=3, 于是 |A*+3A-2E|=|(A)|=(-1)(-3)3=9
4、线性代数特征值与特征向量
第4讲 特征值与特征向量
定理: 实对称矩阵A 必能对角化, 且存在正交阵P 使 P −1 AP = Λ , 其中 Λ 是以 A的 n 个特征值为对角元素的对角矩阵. 利用正交阵将实对称矩阵对角化的步骤： (1) 求出 A的所有互不相等的特征值λ 1 , L , λ s ; (2) 求出每一λ i 对应的特征方程组 ( A − λ i E ) x = 0 的一基础解系, 再将它们正交规范化, 得λ i 对应的 一组正交的单位特征向量; (3)将所求的所有单位正交特征向量合在一起, 构成矩阵 P , P就是使 P −1 AP = Λ 的正交阵.
得 A的特征值为λ 1 = −1, λ 2 = λ 3 = 1;
对应 λ 1 = −1, 特征方程组为 ( A + E ) x = 0 ,
⎛1 0 1⎞ ⎛ 1 0 1 ⎞ 由 A + E = ⎜ 1 2 a ⎟ → ⎜ 0 2 a − 1 ⎟ , ⇒ r ( A + E ) = 2, ⎜1 0 1⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 可得1个线性无关的特征向量;
⎛ −1 0 1 ⎞ ⎛ 1 0 −1 ⎞ 而 A − E = ⎜ 1 0 a ⎟ → ⎜ 0 0 a + 1⎟ , ⎜ 1 0 −1 ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇒ A 能对角化,则要求 a = −1.
线性代数强化
第4讲 特征值与特征向量
例：设3阶矩阵A 的特征值为 1, 3, 4, B = A 2 − 4 E , 求 B 的特征值及 |B|. 解： 令 ϕ ( λ ) = λ 2 − 4, 则 B = A 2 − 4 E = ϕ ( A ), ⇒ B = ϕ ( A)的特征值为 ϕ ( −1) = −3, ϕ (3) = 5, ϕ (4) = 12, ⇒ B = − 3 ⋅ 5 ⋅ 12 = − 180
线性代数第5章 特征值及特征向量
A 123 2, A A A1 2 A1
( A) A 3 A 2 E 2 A1 3 A 2 E
的三个特征值为 (i ) 21 3i 2 ( i 1,2,3) i 计算得 (1) 1, ( 1) 3, ( 2) 3
B 的特征值为 1 3, 2 3 3
对于 1 3 ，解方程组 (1 E B ) x 0
4 2 2 1 0 1 1 E B 3 E B 3 4 1 0 1 1 2 2 4 0 0 0
解 (1) a+2+2=4+1+1 |A|=4*1*1 (2) |A-4E|=0
|A-2E|=0
a 2 . b 1 a 3 . b 0
4 40 a 2 2 a 0 b 1 3 b 0
的特征值。
例1
解
设n阶方阵A有n个特征值1，2，….，n，求|A+3E|.
则 设A有特征值 ， A 3E
3
所以，A+3E的特征值： 4，5，…..，n+3
(n 3)! | A 3E | 3!
例2 设3阶矩阵A的三个特征值为 1,1,2
求 A 3 A 2 E 解 A的特征值全不为零，故A可逆。
第一节 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的定义 二、特征值与特征向量的性质 三、特征值与特征向量的求法
一、特征值与特征向量的定义 定义1 设 A 是 n 阶方阵，
若数 和 n维非零列向量 X，使得
注意
AX X 成立，则称 是方阵 A 的一个特征值， X 为方阵 A 的对应于特征值 的一个特征向量。 （1） A 是方阵
特征值通俗理解
特征值通俗理解特征值是线性代数中一个非常重要的概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
但是对于初学者来说，特征值的概念可能比较抽象，难以理解。
本文将从通俗易懂的角度出发，深入浅出地解释特征值的概念和应用。
一、特征值的定义特征值是指一个矩阵在某个方向上的伸缩比例。
具体来说，一个n阶方阵A的特征值是指满足下列方程的数λ：det(A-λI)=0其中，det表示行列式，I表示n阶单位矩阵。
这个方程叫做特征方程，它的解λ称为矩阵A的特征值。
特征值的个数等于矩阵的秩，且每个特征值都有对应的特征向量。
二、特征值的意义特征值的意义在于它可以描述矩阵在某个方向上的伸缩比例。
具体来说，对于一个n阶方阵A，它可以看作是一个线性变换，把一个n维向量x变换成另一个n维向量Ax。
如果存在一个非零向量v，使得Ax=λv，那么v就是A的一个特征向量，λ就是v在A变换下的伸缩比例，也就是A的一个特征值。
特征向量可以看作是矩阵在某个方向上的“标志性”向量，它在A变换下只发生伸缩，而不发生方向的改变。
特征值的另一个重要意义在于它可以用来刻画矩阵的性质。
比如，矩阵的特征值可以用来确定矩阵的行列式、迹、逆矩阵等基本性质。
此外，特征值还可以用来描述矩阵的对称性、相似性、正定性等高阶性质。
因此，研究矩阵的特征值问题是线性代数中的一个重要课题。
三、特征值的计算方法计算矩阵的特征值可以通过求解特征方程来实现。
具体来说，对于一个n阶方阵A，它的特征方程为：det(A-λI)=0我们可以将它展开成一个n次多项式，然后求解它的根λ1,λ2,…,λn。
这些根就是矩阵A的特征值。
求解特征方程的过程可以使用高斯消元、LU分解、QR分解等方法来实现。
对于一些特殊的矩阵，比如对称矩阵、三对角矩阵等，可以使用特殊的算法来加速特征值的计算。
四、特征值的应用特征值在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面我们列举一些典型的应用场景。
1、矩阵对角化矩阵对角化是指将一个矩阵A通过相似变换，转化为一个对角矩阵D，即A=PDP^-1，其中P是可逆矩阵，D是对角矩阵。
线性代数 第五章第一节 矩阵的特征值与特征向量
第一步：写出矩阵A的特征方程，求出全 部特征值（注明重数）.
解
l 1 1 lE A 1 l 1 (l 2)( l 1) 2 1 1 l
l 代入齐次线性方程组
所以A的特征值为 l1 2, l2 l3 1.
第二步：对每个特征值
2 1 1 2 1 1 2 E A 1 2 1 1 2 1 1 1 2 0 0 0
A l E x 0, 求基础解系。 当l1 2 时,解方程组 (2 E A) x 0 . 由
1 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
故l0 是矩阵A 的特征值, 且X 0是A
1
1
1
对应于l0 的特征向量.
1
如何求得矩阵A的特征值和特征 向量呢? 式子AX=lX(lE-A)X=0. 由于X是非零向量, 故齐次线性方 程组(lE-A)X=0有非零解, 而这等 价于 |λE-A|=0.
定义 称
为A的特征多项式, 它是以l为未知数的一 元n次多项式, 也记为f(l). 称|lEA|=0为A的特征方程. λE-A称为A的 特征矩阵。
若l0，使得 A（X 1 X 2） l0 X 1 X 2） （
则有
（l1 l0）X 1 l2 l0）X 2 0 （
A左乘 λ1左乘
式两端：l1 l0）l1 X 1 l0 l2）l2 X 2 0 （ （ （ （ 式两端：l1 l0）l1 X 1 l0 l2）l1 X 2 0
（l0 l2）l2 X 2 l0 l2）l1 X 2 （
l2 l1 , X 2 0
l0 l2
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I A x 0.由 当1 1时, 解方程
1 1 1 1 0 1 I A 0 3 0 0 1 0 , 4 1 4 0 0 0 1 得基础解系 1 0 , 1 故1为对应于 1 1 的线性无关的特征向量 .
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1. 计算 A的特征多项式 I A;
2. 求特征方程 I A 0的全部根 1 , 2 ,, n , 就是 A的全部特征值 ;
3. 对于特征值 i , 求齐次方程组 i I A x 0 的基础解系 , 就是对应于 i 的线性无关的特征向量 .
矩阵P称为将A对角化的变换矩阵, P的每一列是A 的 特征向量,而对角矩阵的主对角元恰为A的特征值.
A的n个线性无关的特征向量1, 2, , n所组成 的 矩阵就是变换矩阵 P, 但要注意1, 2, , n的 排列 顺序必须与1, 2, , n的排列顺序相对应.
定理5.2.3
比例3更一般的结论：
若 是矩阵 A的特征值，是 A的属于的特征向 量，gx= asxs +as1xs1 + … + a1x + a0 为任一 多项式，试用特征值定义证明： g 是矩阵多项 式gA = asAs + as1As1 + … + a1A + a0I的特征 值， 仍是gA 的属于g 的特征向量。
2 A～B
A与B 均为n 阶方阵
性质5.2.1 若n阶矩阵A与B相似 , 则A与B的特征多 项式相同 , 从而A与B的特征值亦相同 .
证明 A与B相似 可逆阵P , 使得P AP B
1
I B P 1 I P P 1 AP P 1 I AP P 1 I A P I A .
dimV0nr0I A 0对应的线性无关的特征向量的个数
特别地: m 1时, dimV0 1.
注意 特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的， 一个特征值具有的特征向量不唯一； 但一个特征向量不能属于不同的特征值．
1 2 的特征向量,即有
因为, 如果设x同时是A的属于特征值1 , 2的
2 1 1 例1 设 A 0 2 0 , 求A的特征值与特征向量． 4 1 3 2 1 1 解 I A 0 2 0
4
1
2
3
( 1) 2
得A的特征值为 1 1, 2 3 2 （二重） .
可逆矩阵P称为把A变成B的 相似变换矩阵。
注：矩阵相似关系满足: (1) 反身性:A～A; (2) 对称性:若A ～ B则B ～ A; (3) 传递性:若A ～ B,B ～ C,则A PAQ P , Q 可逆
P 1 AP B A B r rB A A B
其中 trace( A) trA aii 称为 A的迹 .
i 1
n
因n阶矩阵A的 f A ( ) 为n次多项式，由代数学基 本定 理知，在复数域上 f A ( ) 可作因式分解： f A ( ) ( 1 )n1 ( 2 )n2 ...( k )nk , ni n 其中 i ( i 1,2,..., k )是 f A ( ) 的互异零点，即是 A的互 异特征值，称 ni 为特征值 i的(代数 )重数， 也称 i 是A 的ni重 特征值 .
n阶矩阵A可对角化的充要条件是
它的属于任一特征值的 特征子空间的维数等于 该特征值的重数，即若 f A ( ) ( 1 )n1 ( k )nk 其中i , i 1,2,, k互异, 则A可对角化当且仅当 dimVi ni , i 1,2,, k .
推论5.2.1 如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不 相等，则 A 必可对角化，反之不一定成立。
例4
设 A是 n 阶方阵，其特征多项式为
f A I A ,
解
求 AT 的特征多项式 .
f AT I AT
I A
T
I A
f A
说明: A 和 AT 有相同的特征值。 但特征向量不一定相同。
特别地:对角矩阵
a11 0 0 a22 0 0
判别 A是否可对角化 :
(1)求出 A的互异特征值i 及重数 ni . ( 2)对于重数大于1的特征值i , 求出dimVi . dimVi n rank(i I A) ( 3)判别dimVi ni 是否都成立. 并由定理 5.2.3 得出结论。
6 0 4 例5 设A 3 5 0 ，A能否对角化？ 3 6 1
1 3 0 , 4
所以 2 , 3 为对应于 2 2 的线性无关的特征向量 .
1 1 0 例2 求矩阵 A 4 3 0 的特征值和特征向量 . 1 0 2
解
A的特征多项式为
1 I A
定义： 如果矩阵A相似于对角矩阵,就称A可对角化.
定理5.2.2 n阶矩阵A与对角矩阵相似 (即A能对角化 ) 的充分必要条件是 A有n个线性无关的特征向量 .
设 1 , 2 ,, n 是 A的特征值， 1 , 2 ,, n 为与之对 应的线性无关的特征向量，若令P ( 1 , 2 ,, n ) , 则有 P 1AP diag1, 2, , n.
当2 3 2时, 解方程2 I Ax 0。由
4 1 1 4 1 1 2I A 0 0 0 0 0 0 , 4 1 1 0 0 0
得基础解系为：
1 2 4 , 0
性质2 n阶矩阵设 A有且仅有n个特征值,其中 m重特征值以m个计.
i 1 k
性质3 设1 , 2 , , n为 A的n个特征值(i未必 互异),则
trA i
i 1
n
A i
i 1
n
注: 1 可用此性质验证所求的特征值是否正确;
2 A可逆 A 0 A的特征值均非零; 且若为可逆矩阵A的特征值,则1为A1的特征值.
0 0 ann
0 a 22 an2 0 0 a nn
三角形矩阵
a11 0 0
a12 a1n a 22 a 2 n 0 a nn
3 A不可逆 A 0 A有零特征值. 且 AX 0的基础解系即为属于零特征值的线性无关 的特征向量.
性质4 设 1 , 2 ,, s 是方阵 A的互异特征值，
1 , 2 ,, s 为与之对应的特征向量 ， 则 1 , 2 , , s
线性无关.
推论 设 1 , 2 , , s 是 A的互异的特征值， i 1 , i 2 , , ili 分别为属于 i 的线性无关的特征向 量 , 则 11 , ,1l1 , , s1 , , sls 也线性无关 .
Ax 1 x, Ax 2 x 1 x 2 x 1 2 x 0,
由于1 2 0, 则x 0, 与定义矛盾 .
§5.2 矩阵的对角化
1. 矩阵的对角化
1. 矩阵的对角化
定义5.2.1 设A,B为两个n阶矩阵.若有可逆矩阵 P,使得P 1AP B.则称A与B 相似，记作A～B.
§5.1 矩阵的特征值与特征向量
1.特征值与特征向量的概念与计算 2. 特征值与特征向量的性质
1. 特征值与特征向量的概念与计算
定义5.1.1 设A是n阶复(实)矩阵,若为复(实) 数,0是一复(实) n维向量,使得 A (0 )，
则称为A的特征值, 为A的属于的特征向量.
说明：
1 只有方阵才有特征值和特征向量; 2 特征向量是非零向量.
定义5.1.2
设A是n阶矩阵,的多项式 I A
称为A的特征多项式,并记为 fA I A. fA I A=0称为A的特征方程,特征方程的 根即为A的特征值. I A称为A的特征矩阵。
a11 a 21 a n1
它们的特征值均为主对角元 a11,a22,,ann .
2. 特征值与特征向量的性质
性质1 设 A aij是n阶矩阵，则
f A ( ) I A n trace ( A)n1 ... ( 1)n A ,
3 1 0 由 2I A 4 1 0 1 0 0
0 0
1 0 0 1 0
0 , 0
当 2 3 1 时 , 解方程 ( I A) x 0 , 2 1 0 1 0 I A 4 2 0 0 1 1 0 1 0 0
1 2 , 0
得基础解系
1 2 2 , 1
所以 2 是对应于 2 3 1 的线性无关的特征向量 .
例3 证明：若 是矩阵 A的特征值，是 A的属 于的特征向量，则m必为Am的特征值，这里m 为正整数. 证明
定义 设0是A的特征值, 称齐次线性方程组 ( 0 I A ) x 0 的解空间V0 为A的属于0的特征子空间. 说明：V 0 是A的属于 0的特征向量的全体再添 上 零向量构成的集合 . 定义 称特征子空间V0的维数dimV0为0的几何重数.
性质5 设0为A的m重特征值,则dimV0 m . 即特征值的几何重数不超过其代数重数.
定义 对方程 f x 0,若有x* 使得f x* 0,则称 x* 为方程 f x 0的根或函数f x的零点.特别是, 如果 函数f x能写成 f x x x* m gx且gx*0, m 1, 则称x*为f x 0的m重根,或为f x 0的m重 零点. 一重根m 1通常称为单根.