人教全国中考数学二次函数的综合中考真题汇总及详细答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图1，对称轴为直线x=1的抛物线y=

1 2 x

2+bx+c，与x轴交于A、B两点（点A在点B

的左侧），且点A坐标为(-1，0).又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与抛物线对称轴交于点E，点C与坐标原点O关于该对称轴成轴对称.

（1）求点B 的坐标和抛物线的表达式；

（2）当AE：EP=1：4 时，求点E 的坐标；

（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到OC ′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接C ′D、C′B，求C ′B+

2

3

C′D 的最小值．

【答案】（1）B（3，0）；抛物线的表达式为：y=

1

2

x2-x-

3

2

；（2）E(1，6)；（3）C′B＋2

3

C′D

4

10

3

【解析】

试题分析：（1）由抛物线的对称轴和过点A，即可得到抛物线的解析式，令y=0，解方程可得B的坐标；

（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．由平行线分线段弄成比例定理可得

AE

AP

=

AG

AF

=

EG

PF

=

1

5

，从而求出E的坐标；

（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，得到D（0，3）．

如图，取点M（0，

4

3

），连接MC′、BM．则可求出OM，BM的长，得到

△MOC′∽△C′OD．进而得到MC′＝

2

3

C′D，由C′B＋

2

3

C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到结论．

试题解析：解：（1）∵抛物线y=

1

2

x2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴-1

2

2

b

=1，∴b=-1．∵抛物线过点A（-1，0），∴

1

2

-b+c=0，解得：c=-

3

2

，

即：抛物线的表达式为：y=1

2

x2-x-

3

2

．

令y=0，则1

2

x2-x-

3

2

=0，解得：x1=-1，x2=3，即B（3，0）；

（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．

∵EG∥PF，AE：EP=1：4，∴AE

AP =

AG

AF

=

EG

PF

=

1

5

．

又∵AG=2，∴AF=10，∴F（9，0）．

当x=9时，y=30，即P（9，30），PF=30，∴EG=6，∴E（1，6）．

（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，则D（0，3）．∵原点O与点C关于该对称轴成轴对称，∴EG=6，∴C（2，0），∴OC′＝OC＝2．

如图，取点M（0，4

3

），连接MC′、BM．则OM＝

4

3

，BM＝22

4

3()

3

+＝

97

．

∵

4

2

3

'23

OM

OC

==，

'2

3

OC

OD

=，且∠DOC′＝∠C′OD，∴△MOC′∽△C′OD．∴

'2

'3

MC

C D

=，

∴MC′＝2

3C′D，∴C′B＋

2

3

C′D＝C′B＋MC′≥BM＝

4

10

3

，∴C′B＋

2

3

C′D的最小值为

4

10

3

．

点睛：本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，求得AF的长是解答问题（2）的关键；和差倍分的转化是解答问题（3）的关键．

2．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.

(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?

(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?

【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．

【解析】

【分析】

（1）根据售量与售价x （元/件）之间的关系列方程即可得到结论．

（2）设每星期利润为W 元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．

【详解】

解：（1）根据题意得，（60﹣x ）×10+100＝3×100，

解得：x ＝40，

60﹣40＝20元，

答：这一星期中每件童装降价20元；

（2）设利润为w ，

根据题意得，w ＝（x ﹣30）[（60﹣x ）×10+100]＝﹣10x 2+1000x ﹣21000

＝﹣10（x ﹣50）2+4000，

答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．

【点睛】

本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．

3．已知，m ，n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；

（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P 为2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．

【答案】（1）223y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；