控制系统状态方程求解

第三章控制系统状态方程求解

3－1 线性连续定常齐次方程求解

所谓齐次方程解，也就是系统的自由解，是系统在没有控制输入的情况下，由系统的初始状态引起的自由运动，其状态方程为：

………………………………………………………(3

－1)

上式中，X是n×1维的状态向量，A是n×n的常数矩阵。

我们知道，标量定常微分方程的解为：

………………（3

－2）

与（3－2）式类似，我们假设（3－1）的解X(t)为时间t的幂级数形式，即：

………………………………(3

－3)

其中为与X（t）同维的矢量。

将（3－3）两边对t求导，并代入（3－1）式，得：

上式对任意时间t都应该成立，所以变量t的各阶幂的系数都应该相等，即：

即:

……………………………………………（3－4）

将系统初始条件代入（3－3），可得。代入（3－4）式可得：

(3)

5）

代入（3－3）式可得（3－1）式的解为：

(3)

6)

我们记：

(3)

7）

其中为一矩阵指数函数，它是一个n×n的方阵。所以（3－6）变为：

(3)

8）

当（3－1）式给定的是时刻的状态值时，不难证明：

(3)

9）

从（3－9）可看出，形式上是一个矩阵指数函数，且也是一个各元素随时间t变化的n×n矩阵。但本质上，它的作用是将时刻的系统状态矢量转移到t时刻的状态矢量，也就是说它起到了系统状态转移的作用，所以我们称之为状态转移矩阵(The State Transition Matrix)，并记：

(3)

10）

所以：

【例3－1】已知，求解：根据（3－7）式，

3－2 的性质及其求法

性质1：

【证】根据的定义式（3－7），

【证毕】

性质2：①

②

③

【证】：

①：根据(3－7)式，即有：

②：由性质1及其关系①，

③:由②式两边同时左乘，注意本身是一个n×n的方阵，

，所以：

即：

从上式可知，矩阵指数函数的逆矩阵始终存在，且等于。

【证毕】

性质3：若矩阵A，B可交换，即AB＝BA，那么，否则不成立。

【证】根据（3－7）式的定义，

比较上述两展开式t的各次幂的系数可知，当AB＝BA式，。【证毕】

性质4：

【证】因为

所以

上式右边多项式中，由于t是标量，所以A可以左提或右提出来。所以：

或

由此可知，方阵A及其矩阵指数函数是可交换的。

【证毕】

性质4可用来从给定的矩阵中求出系统矩阵A，即：

……………………………………………（3－11）

【例3－2】已知某系统的转移矩阵，求系统矩阵A

解：根据（3－11）式

性质5：若矩阵A为一对角阵，即A=，那么也是对角阵，且

【证】按照（3－7）定义式，并注意

所以有：

【证毕】

性质6：若n×n方阵A有n个不相等的特征根，M是A的模态矩阵，，则有：

……………………………………………………………………（3－12）

【证】考虑齐次方程的解，其解为：

……………………………………………………………………（3－13）

我们对齐次方程作线性变换X＝MZ，则有：

，即：

，且，所以：

即，两边左乘M得：

…………………………………………………………………（3－14）

比较（3－13）和（3－14），因此有:

上式经常用来求。

【证毕】

【例3－3】已知，求

解：

所以

的特征向量满足：

求得：

同理，，求得：

所以，模态阵，

根据（3－12）式，

性质7：若为m i×m i的约当块，即

那么有：

……………………………………………（3－15）

【证】

不难验证，AB＝BA，即A，B可交换。所以根据性质3，又根据性质5，

又根据（3－7）：

性质8：若约当标准型矩阵

式中为m i×m i阶约当块，那么：

………………………………………………………(3－16)

(证明略)。

性质9：若n×n阶矩阵A有重特征根，是将A转化为约当标准型J的变换阵，即，那么有：

…………………………………………………………………………（3－17）

（证明略）。

（3－17）式经常用来求有重特征根的矩阵的。

【例3－4】已知，求

解：

根据第二章有关内容，可知：

设，则

得：

得：

得：

，

根据（3－17）式：

性质10：设A=, B=, 则有

=

=*=

（证略）。

性质11：矩阵指数可表示为有限项之和

＝

……………………………………………………………………………（3－18）

其中当A的n个特征根互不相等时，满足：

＝

……………………………………………………(3－19)

即满足：

……………………………………（3－20）

若A有n重特征根，不妨设为重根，这时（3－20）只有个独立方程，剩下的个方程，可由下列关系添加：

………………………………………………………………………………………（3－21）

【证】下面只证明A有n个不相等特征根的情况。

根据凯利－哈密顿(Cayley－Hamilton)定理，方阵A满足其本身的特征方程，即：

所以：