函数的连续性
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高等数学上册知识点
一、 函数与极限 （一） 函数
1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；
2、 反函数、复合函数、函数的运算；
3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函
数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点；
函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00
x f x f x
x =→
第一类：左右极限均存在.
间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点
5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定
理及其推论.
（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限
εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞
→a x N n N a x n n n , , ,0lim
2） 函数极限
εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00
时，当
左极限：)(lim )(0
0x f x f x x -
→-= 右极限：)(lim )(0
0x f x f x
x +→+= )()( )(lim 000
+
-→=⇔=x f x f A x f x x 存在
2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤
2
）
a z y n n n n ==→∞
→∞
lim lim a x n n =∞
→lim
2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量
1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1
)(~ααββαo +=⇔;
Th2 αβαβαβββαα'
'
=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；
3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限：
a) 1sin lim 0=→x
x x b) e x x x
x x
x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1
0 5） 无穷小代换：（0→x ） a)
x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~
b) 2
2
1~cos 1x x -
c) x e x ~1- （
a x a x ln ~1-） d) x x ~)1ln(+ （a
x x a ln ~)1(log +）
e) x x αα
~1)1(-+
二、 导数与微分 （一） 导数
1、 定义：0
00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 左导数：0
00)
()(lim )(0
x x x f x f x f x x --='-
→-
右导数：0
00)
()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+
→+ 函数
)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔
2、 几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =
在点())(,00x f x 处的切线的斜率.
3、 可导与连续的关系：()f x 在0x 点可导 ⇒ ()f x 在0x 点连续
4、 求导的方法
1） 导数定义； 2） 基本公式； 3） 四则运算；
4） 复合函数求导（链式法则）； 5） 隐函数求导数； 6） 参数方程求导；
7） 对数求导法. 5、 高阶导数
1） 定义：⎪⎭
⎫
⎝⎛=dx dy dx d dx y d 22 2）
Leibniz 公式：()
∑=-=n
k k n k k n n v u C uv 0)
()()
( （二） 微分
1） 定义：)()()(00x o x A x f x x f y ∆+∆=-∆+=∆，其中A 与x ∆无关. 2） 可微与可导的关系：可微⇔可导，且dx x f x x f dy )()(00'=∆'=
三、 微分中值定理与导数的应用 （一） 中值定理
1、 Rolle 定理：若函数
)(x f 满足：
1）
],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈； 3）)()(b f a f =；
则0)(),,(='∈∃ξξf b a 使.
2、 Lagrange 中值定理：若函数
)(x f 满足：
1）
],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈；
则))(()()(),,(a b f a f b f b a -'=-∈∃ξξ使. 3、 Cauchy 中值定理：若函数
)(),(x F x f 满足：
1）],[)(),(b a C x F x f ∈； 2）),()(),(b a D x F x f ∈；3）
),(,0)(b a x x F ∈≠' 则)()()()()()(),,(ξξξF f a F b F a f b f b a ''=--∈∃使