一元一次不等式竞赛辅导(附答案)演示教学

一元一次不等式竞赛辅导(附答案)

一元一次不等式（竞赛）

（一）巧用不等式的性质

例1 要使a 5＜a 3＜a ＜a 2＜a 4成立，则a 的取值范围是（ ）

A.0＜a ＜1

B. a ＞1

C.－1＜a ＜0

D. a ＜－1

分析：由a 3＜a 到a 2＜a 4，是在a 3＜a 的两边都乘以a ，且a ＜0来实现的；在a 3＜a

两边都除以a ，得a 2＞1，显然有a ＜－1。故选D

思路点拨：本题给出的条件是不等式，而且这个不等式的很有特点，观察指数分别是5,3,1,2,4,似乎不是什么有序的数，再观察发现，指数大小是从大到小再变大。而不等式方向却是＜不变，所以我们发现a 3＜a 与a 2＜a 4 之间的联系（在发现这个联系时，可以去观察下选项，会有一定帮助），从而解出答案。当然，本题若是发现不了这些，完全可以通过特殊值法，从答案出发，解出答案。

点评：本题应用不等式的性质，抓住题目给出的一个不等式作为基础进行变形，确定a 的取值范围。

例2 已知6＜a ＜10，

2

a ≤

b ≤a 2，b a

c +=，则c 的取值范围是 。 分析：在2a ≤b ≤a 2的两边都加上a ，可得23a ≤b a +≤a 3，再由6＜a ＜10可得9＜b a +＜30，即9＜c ＜30

思路点拨：观察题目我们发现，a 的范围是已知的，那么我们的基本思路就是想方设法用a 凑出c ，那么后续题目就可以迎刃而解了。

点评：本题应用不等式的基本性质，在2

a ≤

b ≤a 2的两边都加上a 后，直接用关于a 的不等式表示

c 再根据6＜a ＜10求出c 的取值范围。

（二）由不等式的解集确定不等式中系数的取值范围

例3 若关于x 的不等式组

⎪⎩⎪⎨⎧+++②m ＜x ①x ＞x 0

1456 的解集为4x ＜，则m 的取值范围是 。

分析：由①得 205244++x ＞x ，解之得4x ＜。

由②得 m x ＜-。

因为原不等式组的解集为4x ＜，所以4≥-m ，所以4-≤m 。

思路点拨：本题比较常规，通过数轴的理解，可以秒杀。当然，若是能理清不等式之间的联系，那么完全可以不用数轴。

点评：本题直接解两个不等式得到4x ＜且m x ＜-。 若m -≤4，则其解集为4x ＜，若m ＞-4，则其解集为m x ＜-，而原不等式的解集为4x ＜，所以4≥-m ，即4-≤m 。对此理解有困难的学生，可以通过在数轴上表示不等式的解集来帮助理解。

例4 若不等式0432b ＜a x b a -+-)(的解集是4

9x ＞

，则不等式 032)4(b ＞a x b a -+-的解集是 。 分析：原不等式可化为a b x ＜b a 342--)(。因为49x ＞

，所以 ⎪⎩⎪⎨⎧=---②b a a b ①b ＜a 49

23402

由②得 b a 6

5=，代入①得 b ＜0， 所以0465)4(b ＞b a ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=-。 由a b x ＞b a 234--)( 得b

a a

b x ＞423--。

把b a 65=代入b a a b x ＞423--得 19

8-x ＞。 思路点拨：对于此题，第一步自然是想办法用a ，b 解出

0432b ＜a x b a -+-)(，但当细心的同学在解的时候就会发现2a-b 的符号未

知。所以在观察题目条件，发现最后的不等号是＞。所以我们得出2a-b 的符号是﹣的。那么就可以列出方程，解出a ，b 关系以及a ，b 的正反性。那么后面题目自然就解出来了。（其实本题并不难，因为如果没有考虑到2a-b 的同学在列方程时就会发现不等号不统一，那么自然而然就会发现2a-b 了）

点评：本题先由不等式解集的不等号方向判断b a -2＜0，从数值上判断4

9234=--b a a b ，从而确定b a 与的关系及b 的符号。 不等式系数的符号决定了不等式解集中的不等号的方向，其数值决定了取值范围的边界，因此，反过来可以通过不等式的解集来确定不等式中系数的符号及参数的取值范围。

（三）利用不等式求代数式的最大值

例5 设7321x x x x ,,,, 均为自然数，且76321x x x x x <<<<< ，又

159721=+++x x x ，则321x x x ++的最大值是 。

分析：7321x x x x ,,,, 均为自然数，且76321x x x x x <<<<< ，

所以在7321x x x x ,,,, 这七个数中，后面的一个数比前面的数至少大1，

159=21762111111721+=+++++++

≥+++x x x x x x x x ）（）（）（ ， 7

5191≤x ，所以1x 的最大值为19。 当1x 取最大值时，15919732=++++x x x ，

140≥1565212222+=+++++++x x x x x )()()( ，

6

5202≤x ，所以2x 的最大值为20。 当1x 、2x 都取最大值时，

120=10542133333743+=+++++++

≥+++x x x x x x x x ）（）（）（ ， 所以223≤x ， 所以3x 的最大值为22。

所以321x x x ++的最大值是19+20+22=61。

思路点拨：分析题目，除了两个式子以外，还有一个很重要的条件，那就是x 的范围。观察这两个式子，很难有所作为。于是，本题的难点就是自然数性质的应用。在观察题目要求的答案，是最值问题，那么很自然得想到，需要通过放缩法。但是要注意的是，321x x x ++不一定是每个数都达到本来的最值。有可能其中两个是最值，而另一个却要通过那两个的最值再次判断范围。 点评：本题根据已知条件先分别确定1x 、2x 、3x 的最大值，再求出321x x x ++的最大值。其关键在于利用自然数的特征，用放缩法建立关于1x 、2x 、3x 的不等式。

例6 在满足32≤+y x ，00≥≥y x ，的条件下，y x +2 能达到的最大值是 。

解法一

分析：将y x 2+转化为只含有一个字母的代数式，再根据条件求解。

∵32≤+y x ，∴y x 23-≤，y x 462-≤。

∴632+-≤+y y x 。

∵，0≥y ∴03≤-y ，∴663≤+-y 。

即6632≤+-≤+y y x

故y x +2 能达到的最大值是6。

思路点拨：以上是一种解法，关键是有方向的“凑”。

解法二

分析：整理上述不等式，我们得到