参数方程化普通方程

参数方程化普通方程

[重点难点]掌握参数方程化普通方程的方法，理解参数方程和消去参数后所得的普通方程的等价性；应明确新旧知识之间的联系，提高综合运用所学知识解决数学问题能力。

[例题分析]

1．把参数方程化为普通方程(1)(θ∈R，θ为参数)

解:∵y=2+1-2sin2θ, 把sinθ=x代入，∴y=3-2x2,

又∵|sinθ|≤1, |cos2θ|≤1, ∴|x|≤1, 1≤y≤3∴所求方程为y=-2x2+3 (-1≤x≤1, 1≤y≤3)

(2)(θ∈R，θ为参数）

解:∵x2=(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ，把y=sinθcosθ代入，∴x2=1+2y。

又∵x=sinθ+cosθ=sin(θ+)y=sinθcosθ=sin2θ

∴|x|≤，|y|≤。∴所求方程为x2=1+2y (|x|≤, |y|≤)

小结:上述两个例子可以发现，都是利用三角恒等式进行消参。消参过程中都应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出x, y的范围。在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法。

(3)(t≠1, t为参数)

法一:注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法。

x+y==1,又x=-1≠-1，y=≠2,

∴所求方程为x+y=1 (x≠-1, y≠2)。

法二:其实只要把t用x或y表示，再代入另一表达式即可。由x=, ∴x+xt=1-t,

∴(x+1)t=1-x，即t=代入y==1-x，∴x+y=1，（其余略）这种方法称为代入消参，这是非常重要的消参方法，其它不少方法都可以看到代入消参的思想。

(4)(t为参数)

分析:此题是上题的变式，仅仅是把t换成t2而已，因而消参方法依旧，但带来的变化是范围的改变，可用两种求值域的方法:

法一:x=-1, ∵t2≥0, t2+1≥1,∴0<≤1, ∴-1<-1≤1, ∴-1

法二:解得t2=≥0, ∴-1

(5) (t为参数)

分析:现在综合运用上述各种方法进行消参，首先，求x,y范围。

由x=得x2=≥0, ∴-1

t≠0时，|y|=≤=1，从而|y|≤1。

法一:注意到分子，分母的结构，采用平方消参，x2+y2=()2+()2===1。

法二:关键能不能用x, y表示t，且形式简单由x=得t2=，代入y==t(1+x)

∴t=再代入x=，化简得x2+y2=1。

法三:注意到表达式与三角中万能公式非常相象

可令t=tgθ，θ∈(-)，∴x==cos2θ,y==sin2θ,

∴x2+y2=1，又2θ∈(-,)，∴-1

2．已知圆锥曲线方程是

1）若t为参数，φ为常数，求它的普通方程，并求出焦点到准线的距离。

2）若φ为参数，t为常数，求它的普通方程，并求它的离心率e。

解:1）由已知，由(1) 得t=代入(2)

y-4sinφ+5=-6·(x-5cosφ-1)2=-(y-4sinφ+5)

为顶点在(5cosφ+1,4sinφ-5)开口向下的抛物线，其焦点到准线距离p=。

2）由已知∴=1，

表示中心在(3t+1, -6t2-5)的椭圆，其中a=5, b=4, c=3，∴e=。

分析:从上题可以看出，所指定参数不同，方程所表示的曲线也各不相同。从而给出参数方程一般应指明所取参数。

3．抛物线y2=4p(x+p)(p>0)，过原点作互相垂直的两条直线分别被抛物线截得线段为AB，CD，M为AB 中点，N为CD中点，G为MN中点。求G点轨迹方程，并说明其图形。

解:设AB方程为y=kx代入抛物线方程y2=4p(x+p)

∴k2x2-4px-4p2=0, 若A，B坐标为(x1, y1), (x2, y2) 则

∴x M=, y M=,

∵AB⊥CD,∴CD方程为y=-x，代入y2=4p(x+p)，∴x2-4px-4p2=0，设C(x3, y3),D(x4,y4)

∴N(2pk2, -2pk) 则G点坐标(x,y)为

y2=p2(+k2-2)=p2(-2)=p(x-2p)x=p(k2+)≥p·2=2p，而y∈R在方程中都已体现，

∴轨迹方程为y2=p(x-2p)为顶点(2p,0)开口向右的抛物线。

说明:消参一般应分别给出x,y的范围，而二题中变量的范围已体现在方程之中。在某些特殊情况，消参之

后给出x,y的范围也不能说明原曲线的轨迹，这时应用语言作补充说明。如方程θ∈[0,π]，是个

圆，但消参之后得x2+y2=1(|x|≤1, |y|≤1)却无法说明这一点。

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选择题

1．曲线的参数方程为（φ为参数），则方程所表示的曲线为（）

A、射线

B、线段

C、双曲线的一支

D、抛物线

2．参数方程（θ为参数，且0≤θ<2π）所表示的曲线是（）.

A、椭圆的一部分

B、双曲线的一部分

C、抛物线的一部分，且过(-1，)点

D、抛物线的一部分，且过(1，)点

3．已知直线l的参数方程为则直线l的倾斜角为（）

A、B、C、D、

4．抛物线（t为参数）的准线方程是（）

A、x=3

B、x=-1

C、y=0

D、y=-2

5．弹道曲线的参数方程为（t为参数，α，v0，g为常数）当炮弹到达最高点时，炮弹飞行的水平距离是（）

A、B、C、D、

答案与解析

解析：

（1）∵ x=cos2φ∈[0，1]，y=1-cos2φ=1-x，∴ x+y-1=0， x∈[0，1]为一条线段。故本题应选B。